CN.NGUYỄN MẠNH CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN KHU – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028 A BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Các bước giải toán thể tích Bước Xác định đường cao đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.( toán thể tích ) Bước Xác định yếu tố góc đường thẳng với mặt phẳng ( đề cho liệu ) ,  Tìm hình chiếu vuông góc điểm A, B  d mp (P)  hình chiếu d mặt phẳng (P) ′ ′ A  Góc d mp(P) góc ′ ′ d (  ABA '   hình vẽ ) B A’ Hoặc xác định góc mặt phẳng (P) mp (Q) ( gặp )     Tìm giao tuyến  hai mặt phẳng (P) (Q) cách nhìn điểm chung Xác định mặt phẳng (R)   ( mp (R) chứa đường thẳng cắt vuông góc  ) Tìm giao tuyến (R)  (P)  a;( R )  (Q )  b Góc (P) (Q) góc a b Ví dụ minh hoạ Cho hình chóp S.ABC, SA  ( ABC ) Góc (SBC) (ABC) ?  (SBC)  (ABC)  BC S SA  (ABC)  SA  BC Phương pháp dựng mặt phẳng vuông góc với BC từ chân Đường cao A hạ vuông góc đến giao tuyến BC  Kẻ AH  BC ( H  BC )  (SAH)  BC  ( SAH )  ( SBC )  SH ; ( SAH )  ( ABC )  AH C A   Góc (SBC) (ABC) góc SH AH = SHA Bước Tính chiều cao H B Để tính chiều cao em ý đường cao khối đa diện Là Cạnh góc vuông đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vuông Do để tính chiều cao, em phải sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông sau Tổng quát Cho  ABC vuông A, đường cao AH  BC A  Nếu biết trước cạnh huyền cạnh góc vuông, ta sử dụng pytago AB  AC  BC  AB  BC  AC B H  CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG biết trước CẠNH HUYỀN : ) Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin góc đối ( AB  BC.sin C ) Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân cos góc kề ( AB  BC.cos B C CN.NGUYỄN MẠNH CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN KHU – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028  CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG biết trước CẠNH GÓC VUÔNG CÒN LẠI: Cạnh góc vuông = cạnh lại nhân tan góc đối cot góc kề   AC.cot B  AB  AC.tan C  CÔNG THỨC tính ĐƯỜNG CAO ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN : 1    AH  2 AH AB AC AB AC AB  AC AH  HB.HC  Chú ý thêm định lý hàm số cos với tam giác ABC : BC  AB  AC  AB AC.Cos A Bước Tính diện tích đáy Muốn tính diện tích đáy phải tính cạnh đáy trước MỘT SỐ DẠNG ĐÁY CÁC EM THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI a Đáy tam giác S  1   ab.sin C  a.h  bc.sin  A  ac.sin B 2 2 A  Đặc biệt công thức tính diện tích tam giác biết cạnh c b h luôn sử dụng toán khoảng cách S  p ( p  a )( p  b)( p  c ); p  abc  Với tam giác cạnh a : S   a C B a 3 ; h  a 2 A b Đáy hình chữ nhật D  Tính chiều dài chiều rộng : AD  BC  AC  AB B C  S HCN  dài rộng c Đáy hình vuông cạnh a Ðuongcheo  Đường chéo = cạnh   cạnh = 2  S hv  a d Đáy hình thoi cạnh a  Tính diện tích hình thoi ta chia hình thoi thành tam giác Khi dễ dàng sử dụng công thức diện tích tam giác biết A  Nếu biết cạnh hình thoi góc đỉnh :  (1) S ht  a  sin  A  a  sin B B AC  BD  Nếu biết đường chéo : S ht   AC  BD ; a  2 C  Hình bình hành tính theo công thức e Đáy hình thang  S ht    AB  CD   AH  Tìm AH em sử dụng công thức tính cạnh góc vuông tam giác vuông D CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO Bước Tính thể tích khối đa diện CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028  Vchop   S đay  h  Vltru  Sđ  h II BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016 1) Bài toán Biết trước hình chiếu S mặt phẳng đáy H  H hình chiếu S đáy  SH  (đáy)  SH đường cao Bài tập minh hoạ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a; AD  a Hình chiếu vuông góc S (ABCD) trùng với trung điểm H AB Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD? Đáp án  SH   ABCD   SH đường cao  Tìm góc SD với mặt đáy (ABCD) S Hình chiếu S (ABCD) H; D D  hình chiếu SD (ABCD) HD   30  góc SD với (ABCD) SDH  Tính chiều cao SH: A 30 D Trong tam giác SDH vuông H: SH  HD tan 30 H  HD  AH  AD  a  a  SH  2a     2a B  a 3 C A Tính diện tích đáy : S ABCD  AB AD  3a H B Vậy VS ABCD  S ABCD SH  a  đvtt  3  Các em tham khảo thêm : Tính thể tích khối chóp S.BHDC Dễ thấy S BHDC  D C 3 S ABCD  VS BHDC  VS ABCD  a  đvtt  4  Tương tự em tính VS ABC ;VS BCD ;VS ADC ;VS BAD ;VS AHC ;VSAHC  Mở rộng : Cách tính thể tích khối chóp có đỉnh điểm M nằm cạnh bên.( Sử dụng toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa điểm M thuộc cạnh bên cạnh thuộc mặt đáy )  Trong tam giác chứa đường cao khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử SH} cạnh bên SN{ giả sử SN cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  Khi MK đường cao khối chóp đỉnh M Bài tập minh hoạ 1: Gọi M trung điểm SD Tính thể tích tứ diện MABC Đáp án : nhận thấy { tam giác chứa đường cao SH cạnh bên SD (chứa điểm M) SHD} Kẻ MK  SH  K  HD   MK   ABC   MK đường cao MABC CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO MK DM 1    MK  SH  a SH SD 2 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 S ABCD  3a 2 1  VMABC  MK S ABC  a  Ðvtt  3 S ABC  2) Bài toán Khối chóp ( khối đa diện) có mặt bên vuông góc với đáy  Đường cao đường hạ vuông góc từ đỉnh đến giao tuyến hai mặt phẳng Định lý sử dụng : hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc đường thẳng a nằm (P) vuông góc với giao tuyến vuông góc với mp(Q)   P   Q   a   P   a  Q   a     P   Q  Bài tập minh hoạ.cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A,  ABC  30 Tam giác SBC cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC  Tìm đường cao   SBC    ABC    SBC    ABC   BC   SH   ABC   SH  SH  BC  H  BC    Tính chiều cao SH ( ý SH đường cao tam giác ) SH  SC.Sin60  a  đường cao S Tính diện tích đáy : ( phải tìm cạch góc vuông ) a ; AC  BC.sin 30  2  S ABC  AB.AC  a a  VS ABC  S ABC SH   đvtt  16 AB  BC.cos 30  a B 60 H 30 C A 3) Bài toán Khối chóp ( khối đa diện có mặt bên vuông góc với đáy  Đường cao giao tuyến hai mặt bên Định lý sử dụng : Nếu hai mặt phẳng vuông góc với mặt thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt thứ ba  P    R  ;  Q    R        R  P   Q     Bài tập minh hoạ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A,B; với AB  BC  a; AD  2a Hai mặt bên (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Góc mặt (SAB) với đáy 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO  Tìm đường cao CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 Gọi O  AC  BD  SAC    ABCD  ;  SBD    ABCD    SO   ABCD   SO  SAC    SBD   SO   đường cao Tìm góc (SAB) (ABCD) Dễ thấy dựa vào tên điểm giống :  SAB    ABCD   AB Tư : Theo nguyên tắc tổng quát, từ chân đường cao O em hạ vuông góc đến giao tuyến AB S Hạ OH  AB  H  AB  SO  AB  AB   SOH   SOH    SAB   SH ;  SOH    ABCD   OH A  Góc (SAB) (ABCD) góc SH OH   60  SHO  H D O B C Tính chiều cao SO : ( em nên vẽ tách mặt phẳng đáy riêng để đưa hình học phẳng giúp dễ dàng việc tính cạnh cần tìm ) BC OB OC OB      AD OD OA BD OH OB OH  AB  O1H  BC  AD    AD BD 2a  OH  ;SO  OH.tan 60  a 3 BC  AD   AD  BC  AB  a 2  Tính 3 VS ABCD  SO.S ABCD  a  đvtt  3 4) Bài toán Khối chóp ( khối đa diện ) S ABCD  A H B D O C 4.1 Chóp     Đáy đa giác : hình vuông, hình tam giác Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Mặt bên tam giác cân tạo với mặt đáy góc Đường cao đường nối đỉnh với tâm đáy ( giao đường chéo với hình vuông; giao đường trung tuyến với tam giác ) Bài tập minh hoạ Cho chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD  Tìm đường cao : Gọi O giao điểm AC BD CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO SO  AC    SO   ABCD   SO đường cao SO  BD   CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 Tính chiều cao SO : S Theo py – ta – go tam giác SOD vuông O: SO  SD  OD ; OD  BD  AB  AD 2  a 2 A D    SO   2a    a   a 2    Tính S ABCD  a  Vậy VS ABCD  S ABCD SO  a  đvtt  O B C 4.2 Lăng trụ  Là lăng trụ đứng : Các cạnh bên song song vuông góc với đáy  cạnh bên đường cao Các mặt bên hình chữ nhật Hai mặt phẳng đáy song song  Có đáy đa giác  Chú ý Lăng trụ xiên khác lăng trụ đứng mặt bên hình bình hành Như ta dựng đường cao lăng trụ xiên giống toán khối chóp Bài tập minh hoạ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C '; AB  a Đường thẳng A ' B tạo với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C '  ABC A ' B ' C ' lăng trụ  A ' A   ABC   A ' A đường cao A ' A  B 'B  C'C  Tìm góc A ' B  ABC  : Hình chiếu vuông góc A ' B  ABC  AB  góc A ' B  ABC  góc A ' B AB A C 60 60 B  B ' AB  60  Tính chiều cao : A ' A  B ' B  AB.tan 60  a 3 A' AB AC.sin 60  a 2  Vậy VABC A ' B 'C '  S ABC A ' A  a  đvtt  Tham khảo thêm : B' 1  Thể tích tứ diện B ' ABC : VB ' ABC  S ABC B 'B  VABC A ' B 'C '  a  đvtt  3 1  Thể tích chóp C '.AA'B' : VC '.AA'B'  VA A ' B 'C '  S A ' B 'C ' AA'  VABC A ' B 'C '  a 3  Thể tích tứ diện ABB ' C ' :  Tính S ABC  C' CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO Vì S AA ' B '  S ABB '  VABB 'C '  VC ' ABB '  VC 'AA'B'  VAA ' B 'C ' CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 1  VABC A 'B'C'  a 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN B BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG  Gọi H hình chiếu vuông góc điểm M mặt phẳng (P) M Khi : d  M , P   MH (P) H  Đây toán mà nhiều em cảm thấy khó khăn Vì để giúp em dễ dàng việc giải toán này, em phân biêệt rõ dạng sau KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO M ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY ( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ CÁC MẶT BÊN ) Giả sử tổng quát với đường cao SM Bước Tìm giao tuyến d mặt phẳng (P) với mặt phẳng đáy Bước Từ chân đường cao M, kẻ MH  d  H  d  Khi d   SMH  Bước Tìm giao tuyến  mặt bên (P) với (SMH) Từ chân đường cao M , kẻ MK    d  M , P    MK Bài toán minh hoạ bản.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy ; SA  2a a, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Tư : Dễ dàng nhận thấy A chân đường cao , (SBC) mặt bên Ta làm sau : Bước Tìm giao tuyến (SBC) mặt đáy (ABC)  SBC    ABC   BC Bước Từ chân đường cao A, kẻ AH vuông góc BC Kẻ AH  BC  H  BC      SAH   BC SA  BC  Bước Tìm giao tuyến (SBC) (SAH) SH Từ chân đường cao A ,kẻ AK vuông góc SH Như khoảng cách từ A đến (SBC) AK  SBC    SAH   SH Kẻ AK  SH  d A, SBC    AK  Trong tam giác ABC : AH  AB.sin 60  2a Thay số : d  A, SBC   a    2a    a    2  SA AH S SA2  AH a 2 57 a 19 A K C H B KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO ( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ MẶT BÊN ) CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 Bước Tính khoảng cách từ chân đường cao M đến mặt bên (P) dạng Bước Sử dụng bổ đề sau để đưa khoảng cách từ N đến (P)  Nếu MN cắt mặt phẳng (P) H :  Nếu MN   P   d M , P   d N , P  d  N , P   d  M , P    NH NH  d  N , P    d MH MH  M , P  Bài toán minh hoạ ( tiếp tục toán ) b, Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) Bước Đã tính khoảng chách từ chân đường cao A đến (SBC) d  A, SBC   57 a 19 Bước Gọi M trung điểm BC AG cắt (SBC) M  dG , SBC  d  A, SBC   GM  (tính chất trọng tâm) AM 57  d G , SBC   d  A, SBC   a 57  Trong trường hợp mặt phẳng (P) chứa đường cao, em tính khoảng cách từ chân đường cao Khi em phải chuyển sang dạng số 3 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KÌ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CHỨA ĐƯỜNG CAO Bước Tìm giao tuyến d mặt phẳng (P) với mặt đáy Bước Chọn điểm M thuộc đáy Kẻ MH  d  d  M, P   MH Bước Sử dụng bổ đề dạng  Nếu MN cắt mặt phẳng (P) H :  Nếu MN   P   d M , P   d N , P  d  N , P   d  M , P    NH NH  d  N , P    d MH MH  M , P  Bài toán minh hoạ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, AD  a Cạnh bên SA vuông góc với đáy M điểm BC cho BM  2MC Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC) Tư : Dễ dàng nhận thấy (SAC) chứa đường cao SA Như ta làm sau : Bước Tìm giao tuyến mặt (SAC) với mặt đáy (ABCD) S  SAC    ABCD   AC Bước Chọn B thuộc mặt đáy Kẻ BH vuông góc AC Kẻ BH  AC  d  B , SAC   BH  AB.BC AB  BC a.a  D A  a  a   a H B C M CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO Bước Sử dụng bổ đề : BM cắt (SAC) C  d  M , SAC  d  B , SAC   CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 MC 1   d  M , SAC   d B , SAC   a BC 3 TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG (P){ MẶT PHẲNG (P) ĐI QUA ĐIỂM TRÊN CẠNH BÊN VÀ ĐƯỜNG THẲNG NẮM TRONG MẶT ĐÁY} Các em đưa toán toán tính khoảng cách khối chóp tạo điểm M cạnh bên đề cho với mặt phẳng đáy khối chóp ban đầu cách:   Trong tam giác chứa đường cao khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử SH} cạnh bên SN{ giả sử SN cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  Khi MK đường cao khối chóp đỉnh M Bài toán đưa dạng Bài tập minh hoạ cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA  2a SA vuông góc với đáy M trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC) Tư : Nhận thấy mặt phẳng (AMC) có M thuộc cạnh bên SB AC thuộc mặt đáy (ABC) Đường cao khối chóp ban đầu S.ABC SA Vậy ta làm sau :  Trong tam giác SAB{tam giác chứa đường cao SA cạnh bên chứa điểm M SB}, kẻ MK  SA  K  AB   MK   ABC   MK đường cao khối chóp M.ABC SA  MK  a  BK BM MK   MK  SA      AB a BA SB SA  BK  AK    2  Tính khoảng cách từ chân đường cao K đến (AMC)   AMC    ABC   AC {tìm giao tuyến mặt (AMC) với mặt đáy (ABC)}  Kẻ KH  AC {từ chân đường cao K kẻ vuông góc với giao tuyến AC vừa tìm được} Lại có MK  AC   MHK   AC  S  MHK    AMC   MH  Kẻ KE  MH  d  K , AMC   KE   KH  2SAKC AC M MK KH MK  KH a SABC    a AC a E A H K B C CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO  d K , AMC    KE   CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 a MK KH MK  KH  a   a2   a    57 a 19 Sử dụng bổ đề : BK cắt (AMC) A d B , AMC  BA 57     d B , AMC   2d K , AMC   a d K , AMC  KA 19 PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) Nghe tên lạ, em để ý thực phương pháp em học hình học phẳng tính diện tích tam giác ABC Các em coi A đỉnh BC đáy; B đỉnh AC đáy; C đỉnh AB đáy Giờ thầy hướng dẫn em tư sang hình học không gian : với khối chóp S A1 A2 A3 ta coi S , A1 , A2, A3 đỉnh mặt tương ứng tạo điểm lại đáy Khi từ công thức tính thể tích khối chóp ta xây dựng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sau : NẾU MUỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ A1 THÌ TA COI A1 LÀ ĐỈNH ,MẶT TẠO BỞI ĐIỂM CÒN LẠI LÀ ĐÁY 1 VS A1 A2 A3  S A1 A2 A3 d  S , A A A   S SA2 A3 d A , SA A   3 3 3VS A1 A2 A3  d  A , SA A   S SA2 A3   Phương pháp giúp em tư tưởng tượng làm toán khoảng cách mà không cần dựng hình  Muốn tính diện tích tam giác đáy mặt bên chóp, ta cần tính cạnh cách áp dụng Py – ta – go vào tam giác chứa đường cao Để tính diện tích tam giác nằm mặt bên ta so sánh với diện tích mặt bên biết cách tính theo công thức tỷ lệ diện tích : A Cho tam giác ABC M  BC Khi :   S ABM BM  S ABC BC B C M  Muốn tính thể tích chóp ta so sánh thể tích chóp cần tìm với khối chóp ban đầu đề cho cách sau : Tỷ số thể tích tỷ số diện tích đáy mặt phẳng đáy trùng nhau.( đỉnh đáy thuộc đường nằm đáy hay đáy phần nhỏ đáy kia) Trường hợp thường gặp Sử dụng công thức tỷ lệ thể tích : Cho chóp S.ABC Các điểm M , N , P  SA, SB , SC Khi V SM SN SP VM ABC MA : S MNP  ;  VS ABC SA SB SC VS ABC SA Bài tập minh hoạ cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA  2a SA vuông góc với đáy M la trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC) Tư : Dễ dàng nhận thấy (AMC) chứa chân đường cao A Ta làm sau: Bước Tính thể tích khối chóp đề cho ban đầu ( làm ý đề thi ) CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO SABC  a 3 VS ABC  SABC SA  a  Ðvtt  CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 Bước Thiết lập công thức tính khoảng cách từ B đến (AMC) lần thể tích khối chóp tạo điểm B,AMC chia diện tích đáy mặt phẳng đề cho AMC d  B , AMC    3VB AMC (1) S AMC Bước Tính VBAMC   Cách tư Do MC nằm mặt bên (SBC) nên ta coi A đỉnh , (BMC) đáy 1 3 Khi : S BMC  S SBC  VA.BMC  VA.SBC  VS ABC  a  Ðvtt  2 12 Cách tư Nhận thấy M nằm SB nên coi B đỉnh , (SAC) đáy Khi sử dụng V BM 1 3 công thức thể tích : B.MAC    VB.MAC  VS ABC  a  Ðvtt  VB.SAC BS 2 12 Bước Tính SAMC  Theo phương pháp truyền thống ( em phải chấp nhận dài ), em phải tính độ dài cạnh AM,AC,MC Để tính cạnh cạnh bên khối chóp, em phải sử dụng công thức tổng quát sau : cho tam giác ABC, M  BC , BC  k BM Ta có : S AM  k   k AB  1  k  BC  k AC2 M k Áp dụng :  A AM nằm tam giác SAB Khi ta cần xác định SA,SB,AB SA  2a; AB  a; SB  SA2  AB  a K B M trung điểm SB nên SB  BM  k    AM   E AB  BS  SA2  a 2 CM nằm tam giác SBC Khi ta cần xác định SB,SC,BC SB  a 5; BC  a; SC  SA2  AC  a M trung điểm SB nên SB  BM  k    CM  p  Nửa chu vi tam giác AMC : 2CB  SB  2SC  a 2 AC  AM  CM  52  a  S AMC    5 19 p  p  a p  a a    p  a       C CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO 3V Thay vào công thức (1) ta : d B , AMC   B AMC SAMC CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 3 a 57 12   a 19 19 a  Như để tính diện tích tam giác tạo điểm cạnh bên cạnh thuộc mặt đáy khối chóp theo phương pháp truyền thống dài phải tính nhiều cạnh phụ Do ,các em sử dụng phương pháp tính diện tích tam giác MAB tổng quát { M thuộc cạnh bên SN, AB thuộc mặt phẳng đáy }  Trong tam giác chứa đường cao khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử SH} cạnh bên MK DM SN{ giả sử SN cạnh bên chứa M}, kẻ MK  SH  K  HN  Khi  SH SD  Kẻ KE  AB  ME  AB hay ME đường cao tam giác MAB 2S  KE  AKB ; ME  MK  KE ; S MAB  ME AB AB  Áp dụng vào toán minh hoạ : tính diện tích tam giác MAC  Trong tam giác SAB{tam giác chứa đường cao SA cạnh bên chứa điểm M SB}, kẻ MK  SA  K  AB   MK   ABC   MK đường cao khối chóp M.ABC SA   MK   a BK BM MK  MK  SA      AB a BA SB SA  BK  AK    2  Kẻ KH  AC  H  AC   MH  AC  KH  S KAC AC a S ABC 19    a; MH  MK  KH  a AC a 4 19 MH AC  a C KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d1 , d S MAC   Khoảng cách hai đường chéo d1 , d khoảng cách đoạn vuông góc chung d1 , d2 ( thầy bỏ qua giảng giúp em phân vân lựa chọn phương pháp )  Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d khoảng cách từ đường d đến mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d Các em ý phương pháp này, phương pháp tổng quát cho tất khoảng cách hai đường chéo d1 , d Các bước dựng hình :  Bước Từ A  d1 , kẻ Ax  d1 Kí hiệu mặt phẳng (P) chứa Ax, d1 Khi d   P  Bước d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d   Như em đưa toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đường d1 thuộc mặt bên { trường hợp thường gặp cạnh bên } với đường d thuộc mặt phẳng đáy  Bước Tìm giao điểm M đường d1 thuộc mặt bên với mặt đáy Qua M kẻ Mx  d Khi Mx cắt cạnh mặt đáy Giả sử cắt cạnh mặt đáy K mặt (P) chứa d1 MK Bước d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d  ,B thường đỉnh mặt phẳng đáy Khoảng cách đường d1 thuộc mặt bên (Q) d cạnh bên CN.NGUYỄN MẠNH CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN KHU – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028 Bước Tìm giao điểm M đường thẳng d1 với cạnh bên d mặt bên (Q) ( lưu ý M không thuộc mặt đáy ) Qua M kẻ Mx  d Khi Mx cắt cạnh mặt phẳng chứa cạnh bên d , d K mặt (P) chứa d1 MK Bước d d1 , d2   d d2 , P    d B , P   B  d  ,B thường đỉnh mặt phẳng đáy Bài tập minh hoạ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA  2a M điểm SD cho SM  MD Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD S 2, tính khoảng cách hai đường thẳng CM SB 3, Tính khoảng cách AD CM M A D H E O B E C K Đáp án Tư : Dễ dàng nhận thấy SC cạnh bên , BD nằm mặt đáy ABCD SC   ABCD   C Các em giải toán sau :  Qua C , kẻ Cx  BD, Cx  AB   K  {Khi BD song song mặt phẳng chứa SC CK mặt phẳng (SCK)}  BD   SCK   d BD , SC   d BD , SCK    d B , SCK   TÍNH d  B , SCK  : em so sánh cách !  Phương pháp thể tích đổi điểm :  Trước hết ta tính thể tích khối chóp đề cho S.ABCD : SA  2a; S ABCD  a 2  VS ABCD  S ABCD SA  a  Ðvtt  3 d  B , SCK   3VS BKC S SKC 1 S ABCD  VS BKC  VS ABCD  a  Ðvtt  2 { PHẢI TÍNH CẠNH SC,SK,CK}  Tính VS BKC : S BKC   Tính SSCK D A Các em dễ dàng nhận tứ giác BDCK hình bình hành  CK  BD  AC  a 2;CD  BK  a; AK  2CD  2a 2 Trong tam giác SAC : SC  SA  AC   2a    a I  B C a H CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028 Trong tam giác SAK : SK  SA2  AK  Nửa chu vi tam giác SCK : p  S SCK  Vậy  p pa d B , SCK     p  3VS BKC SSKC  2a    2a   2a K SC  SK  CK 62 2 3  a a 2 2a  p  a   3a a 3   a 3a  Phương pháp dựng hình:  Tính khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt (SCK)  SCK    ABCD   CK  BD { tìm giao tuyến (SCK) với mặt phẳng đáy } Kẻ AH  CK  H  CK  ; AH  BD   I  { từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến vừa tìm } Lại có SA  CK SA   ABCD   CK   SAH  {(SAH) chứa SA AH vuông góc CK}  SAH    SCK   SH {tìm giao tuyến (SCK) với mặt (SAH) vừa tìm được} Kẻ AE  SH  d A, SCK   AE  SA AH SA2  AH AB AD Trong tam giác ABD vuông A : AI  Do BD  CK  d  A, SCK   AE   AB  AD  a.a a2  a2  a AI AB   {Theo Ta – let }  AH  AI  a AH AK SA AH SA  AH  2a.a  2a    a  Sử dụng bổ đề : AB cắt (SCK) K ;   a d  B , SCK  d  A, SCK   BK 1   d  B , SCK   d A, SCK   a AK 2  Như hai kết hoàn toàn giống Phương pháp nhìn ngắn gọn mà tư Đây ưu điểm lớn với em học sinh tưởng tượng hình Vậy d  BD , SC   d BD , SCK   d B , SCK   a Tư : em dễ dàng nhận thấy CM nằm mặt bên (SCD) ;SB cạnh bên Các em giải toán sau: nhận thấy CM cắt cạnh bên SD M Qua M kẻ Mx  SB { Mx  MO MO đường trung bình tam giác DSB;O giao AC BD}  MO  SB  SB   MOC  {(MOC) mặt phẳng chứa đường CM MO vừa kẻ}  3V d  SB ,CM   d  SB , MOC   d B , MOC   M BOC S MOC CN.NGUYỄN MẠNH CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN KHU – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028  Tính VM BOC { Thể tích có đỉnh M thuộc cạnh bên } SA  ( ABCD)  SA   BOC  MN   MN  SA  N  AD   MN   BOC  Kẻ 1 a3 SA; SBOC  S ABCD  VM OBC  VS ABCD  12 Tính SMOC { Phải tính cạnh OM,OC,MC} OM  SB ; SB  SA2  AB  OC  AC  a 2  2a   a  a  OM  a  Tính MC {MC nằm mặt bên SCD nên phải tính cạnh SC,SD,CD} SC  SA2  AC   2a  SD  SA2  AD   2a  { SC  2CM  k   } : CM  k   a   6a  a  5a; CD  a   k CD  1  k  SD  kSC k  2CD  SD  SC  a 2   2a Nửa chu vi tam giác MOC : p  2 S MOC      p  p  a pa    p  a   a      3V Vậy d  SB ,CM   d  SB , MOC   d  B , MOC   M BOC S MOC a3  12  a 3 a  Các em thử tính diện tích tam giác MOC theo cách Tính khoảng cách AD CM Tư : nhận thấy CM nằm mặt bên (SCD); AD nằm mặt đáy Theo dạng tổng quát ta làm sau : kẻ Cx  AD  Cx  CB  Khi mặt phẳng chứa CM CB (MBC)  AD 3V Đáp án CB  AD   MBC   AD  d  AD ,CM   d  AD , MBC   d A, MBC   M ABC (1) S MBC Tính VM ABC { thể tích chóp có đỉnh M cạnh bên SD} MH DM SA  Kẻ MH  SA  K  AD      MH  a SA SD 2 a2 1  SABC  S ABCD   VM ABC  MH SABC  a 2  Tính S MBC   Kẻ HE  BC  E  BC   ME  BC CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028  Dễ thấy HE  AB  CD  a; ME  MH  HE  a  a  a  S MBC  1 2 ME.BC  a 2.a  a 2 Thay vào (1) : d AD ,CM  a   a 2 a ... CN.NGUYỄN MẠNH KHU – SƠN VI – LÂM THAO Bước Tính thể tích khối đa diện CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHÔNG GIAN PHONE NUMBER 0981534028  Vchop   S đay  h  Vltru  Sđ  h II BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ... Tính 3 VS ABCD  SO.S ABCD  a  đvtt  3 4) Bài toán Khối chóp ( khối đa diện ) S ABCD  A H B D O C 4.1 Chóp     Đáy đa giác : hình vuông, hình tam giác Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Mặt... VS ABC  S ABC SH   đvtt  16 AB  BC.cos 30  a B 60 H 30 C A 3) Bài toán Khối chóp ( khối đa diện có mặt bên vuông góc với đáy  Đường cao giao tuyến hai mặt bên Định lý sử dụng : Nếu hai