Chương 1: SƠ LƯỢC VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ KHOA HỌC TỰ NHIÊN I.Liên minh triết học biện chứng vật khoa học tự nhiên tất yếu lịch sử: Triết học khoa học tự nhiên cung cấp cho tài liệu nhận thức tự nhiên lần có phát minh vạch thời đại lĩnh vực tự nhiên chủ nghĩa vật không tránh khỏi phải thay đổi hình thức F.Engen nói: “Cái thúc đẩy nhà triết học, hoàn toàn riêng sức mạnh tư túy họ tưởng tượng Trái lại, thự tế, thật thúc đẩy họ tiến lên chủ yếu phát triển mạnh mẽ ngày nhanh chóng ngày mãnh liệt khoa học tự nhiên công nghiệp” Luận điểm vạch rõ mặt lý luận, quy luật phát triển tiến lên triết học sát cánh với khoa học tự nhiên Khoa học tự nhiên phần đời phát triển sở phát triển đời sống vật chất, kinh tế hội, liên hệ chặt chẽ với triết học từ đầu xây dựng sở nhận thức luận vật Khoa học tự nhiên triết học cung cấp cho phương pháp nghiên cứu chung phạm trù, hình thức tư logic mà khoa học tự nhiên thiếu Với tư cách giới quan, phương pháp luận chung đó, triết học trước khoa học tự nhiên nhiều lĩnh vực, tư tưởng đạo đắn, dự kiến thiên tài, triết học không ngừng vạch đường cho khoa học tự nhiên tiến lên giúp cho khoa học tự nhiên phương pháp công cụ nhận thức để khắc phục khó khăn, trở ngại vấp phải đường Như vậy, suốt trình lịch sử đời phát triển mình, triết học vật khoa học tự nhiên luôn gắn bó mật thiết với nhau, nương tựa thúc đẩy lẫn Trong lịch sử, hình thức chủ nghĩa vật tương ứng với trình độ định khoa học tự nhiên Logic phát triển bên triết học vật trùng hợp với logic phát triển bên khoa học tự nhiên Sự phát triển khoa học tự nhiên đến trình độ định vạch phép biện chứng khách quan tự nhiên Thích ứng với trình độ khoa học tự nhiên đại triết học vật hiên đại – triết học chủ nghĩa C.Mac, chủ nghĩa vật biện chứng chủ nghĩa vật lịch sử Và mối liên minh nhà triết học biện chứng vật với nhà khoa học tự nhiên đại ngày chặt chẽ tất yếu lịch sử II Sự liên minh triết học khoa học tự nhiên qua thời kỳ: Thời cổ đại Hy Lạp, triết học vật mộc mạc phép biên chứng tự phát tương ứng với trình độ ban đầu khoa học tự nhiên Thời giờ, kiến thức khoa học tự nhiên, hình thức dự kiến, phát kiến rời rạc, chưa có hệ thống, hòa lẫn kho tàng kiến thức triết học Những kiến thức khoa học khoa học tự nhiên lúc quy vào khoa học hình học Euclide, lý thuyết hệ thống mặt trời Ptôlêmê, cách tính thập phân người Ả-rập, vào kiến thức sơ đẳng đại số học, chữ số hiên Lúc triết học khoa học tự nhiên chưa có phân biệt rõ rệt nhà triết học vật đồng thời nhà khoa học tự nhiên Triết học vật mộc mạc biên chứng tự phát cổ đại Hy Lạp gọi triết học tự nhiên Nhận thức triết học khoa học tự nhiên tạo nên tranh giới , tranh tổng quát lịch sử nhận thức khoa học coi giới chỉnh thể, toàn khong phân chia vật tượng xảy tự nhiên Ở đó, trôi qua, biến đổi, liên hệ, tác động qua lại chuyển hóa lẫn nhau, vĩnh viễn, bất biến Bức tranh giới , tính đắn Nó tạo trên dự kiến thiên tài kết luận xác trạng thái vật tượng xảy tự nhiên Nhưng tranh nêu lên hiểu biết toàn thể, mà chưa nêu lên hiểu biết chi tiết , biểu tượng cụ thể vật, tượng Nó nêu lên trạng thái vận động, liên hệ, tác động chuyển hóa lẫn giới tự nhiên, không nêu lên vận động, liên hệ, tác động chuyển hóa lẫn Thời kỳ Phục hưng, kỷ XV, Enggen nói, thời đại mà giai cấp tư sản đập tan thống trị chế độ phong kiến, mà hậu trường chiến đấu giai cấp tư sản thành thị với giai cấp phong kiến quý tộc xuất giai cấp nông dân bạo động, sau nông dân người tiền bối cách mạng giai cấp vô sản đại, lúc tay cầm cờ đỏ hô vang chủ nghĩa cộng sản, thời đại tạo nhà nước quân chủ lớn Châu Âu, đập tan chuyên tinh thần Giáo Hoàng, làm sống lại thời cổ đại Hy Lạp, phá vỡ giới hạn giới cũ npói là lần khám phá trái đất Đó thời đại cần có người khổng lồ sinh người khổng lồ tư tưởng, nhiệt tình, tính cách, tài năng, mặt học thức….Đó thời đại cách mạng vĩ đại mà trước trái đất chưa thấy Chính bầu không khí cách mạng sôi sục thời đại, khoa học tự nhiên thông qua đấu tranh chống tôn giáo, thần học, chống triết học kinh viện mà phục hồi lại phát triển lên với tinh thần triệt để cách mạng chưa thấy, phát triển lên song song với triết học dậy Khoa học tự nhiên sâu vào phần cụ thể, chi tiết, bổ sung vào tranh giới mà nhà triết học nhà khoa học tự nhiên thời cổ đại Hy Lạp không làm Nhưng phương pháp phân tích khoa học tự nhiên bộc lộ nhược điểm Sự vật hiên tượng tự nhiên xem xét trạng thái yên tĩnh, cố định, vận động, biến hóa, trạng thái tách biệt, cô lập, liên hệ, tác động, chuyển hóa qua lại lẫn Chủ nghĩa vật kỷ XVII – XVIII máy móc, siêu hình Nó tương ứng với trình độ khoa học tự nhiên lúc Nó tạo nên tranh cụ thể cụ thể, chi tiết Trình độ lúc khoa học tự nhiên gây nên tính hạn chế triết học, đến lượt nó, triết học vật máy móc, siêu hình, với tư cách phương pháp luận phổ biến đạo cho khoa học tự nhiên lại tác động hạn chế trở lại khoa học tự nhiên Đến kỷ XIII, khoa học tự nhiên chuyển sang giai đoạn cao hơn, giai đoạn tổng hợp, trở lại nghiên cứu giới tự nhiên với tính cách chỉnh thể, toàn bộ, liên tục, vĩnh viễn vận động phát triển, liên hệ, tác động lẫn không ngừng Thời đại này, tranh thay tranh siêu hình để trở lại với tranh thời cổ đại lúc ban đầu, dĩ nhiên trình độ cao hơn, hoàn chỉnh hơn.Nó khắc phục nhược điểm hai tranh trước đây, đồng thời khái quát hóa nâng cao thêm yếu tố tích cực vốn có hai tranh trước Như vậy, logic phát triển bên khoa học tự nhiên cho thấy, lúc đầu xuất quan niệm biện chứng tự nhiên , biểu thị trực quan tự nhiên, coi toàn không phân chia; thay cho quan niệm quan niệm máy móc, siêu hình tự nhiên, phân chia giới tự nhiên thành phận cá biệt, riêng lẻ, cách xem cố định phương pháp tư siêu hình, đến lượt nó, quan niệm máy móc, siêu hình lại thay tái tạo lại cách tổng hợp tranh giới tính toàn vẹn nó, sở kết đạt nhận thức khoa học từ trước đến Đi đôi với thay bước diễn biến từ phương pháp tư siêu hình sang phương pháp tư biện chứng Và logic phát triển bên khoa học tự nhiên trùng hợp với logic phát triển bên triết học vật Chương 2: VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC I Tác động triết học đến phát triển toán học: Qua tìm hiểu sơ lược mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, ta thấy hình thành, phát triển triết học tách rời hình thành, phát triển khoa học cụ thể Einstein nhận xét: “Cái khái quát triết học cần phải dựa kết khoa học Tuy nhiên, xuất truyền bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến phát triển tư tưởng khoa học chúng nhiều phương hướng phát triển có” Thật vậy, triết học tác động tích cực đến phát triển toán học, trước hết, dẫn đến số khuynh hướng toán học Chẳng hạn, tư tưởng triết học từ lâu khẳng định tính phức tạp giới tự nhiên Điều dẫn đến toán học sau có khuynh hướng sâu vào nghiên cứu hệ thống phức tạp Đặc biệt kể từ giai đoạn toán học đại với tư tưởng cấu trúc phát triển xác suất thống kê, người ta thấy rõ lĩnh vực khẳng định “đúng, sai” mà nói đến xác suất hay sai ( ≤ p ≤ 1), chẳng hạn học lượng tử, lưỡng tính “sóng, hạt” nên khẳng định vị trí hạt thời điểm xác định mà nói đến xác suất để hạt vị trí Từ 1965, toán học mờ đời nhờ khái niệm không gian, ánh xạ, hệ nhị phân mà vật có tọa độ diễn tả dãy Đó lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu tập hợp mờ tức tập hợp ranh giới rõ rệt khẳng định phần tử thuộc tập hợp hay không mà nói đến xác suất p để phần tử thuộc tập hợp Điều ứng dụng nhiều kỹ thuật máy tính điện tử II Triết học sở giới quan phương pháp luận toán học: Mỗi khoa học giới quan phương pháp luận riêng Toán học xem khoa học nghiên cứu quan hệ số lượng, hình dạng logic giới khách quan khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà người ta trang bị cho tập hợp hệ tiên đề Triết học khoa học quy luật chung vận động, phát triển tự nhiên, xã hội tư Sau ta minh họa vai trò giới quan phương pháp luận triết học vật biện chứng việc nghiên cứu toán học thể nguyên lý, số quy luật cặp phạm trù Nguyên lý mối liên hệ phổ biến: Nguyên lý mối liên hệ phổ biến giúp cho nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác động qua lại tất khái niệm, định lý, công thức toán học Chúng không tồn cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho Nhìn khía cạnh nhỏ đó, chẳng hạn việc định nghĩa khái niệm, chứng minh định lý phải dựa khái niệm, định lý có từ trước; giải tập hình học cần phải sử dụng phép tính đại số, hàm số lượng giác… Toán học phát triển, tất chuyên ngành toán học gắn bó khăng khít, liên thông với đến mức thật khó phân biệt ranh giới chúng Ví như, xuất ngành tôpô đại số - hình học, hình học vi phân liên thông hình học với ngành giải tích, đại số… Nguyên lý mối liên hệ phổ biến đòi hỏi phải có quan điểm toàn diện nghiên cứu toán học Quan điểm phải nhận thức, vận dụng lúc Khi giải toán hình học, phải nhìn điểm, đường thẳng mối liên hệ với điểm, đường thẳng khác thống với hình vẽ Khi xét toán dùng tất phương pháp đại số, hình học, lượng giác mối liên hệ thống để tìm lời giải tổng hợp… Nguyên lý phát triển: Nguyên lý phát triển cho thấy phát triển lý thuyết toán học hay lĩnh vực toán học nói chung tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân Đó trình giải mâu thuẫn nảy sinh thân nội toán học giải nhu cầu thực tiễn Nguyên lý phát triển đòi hỏi phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước vấn đề toán học Chẳng hạn, nhiều học sinh sau đọc nội dung cách chứng minh định lý Pythagore, định lý tổng ba góc tam giác thấy đơn giản coi thường Nhưng kì thực, việc phát minh chúng thời đại ông thật vĩ đại áp dụng đến tận ngày Quy luật thống đấu tranh mặt đối lập: Thực tiễn sống vô đa dạng đặt vô số vấn đề cần giải mà kiến thức toán học thời kỳ chưa cho phép giải Mâu thuẫn lý luận toán học thực tiễn sống động lực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu sống Vô số mẩu chuyện lịch sử chứng minh điều Ví dụ, nhu cầu phân chia lại ruộng đất sau trận lũ sông Nil (Ai Cập) thúc đẩy hình học phát triển; nhu cầu so sánh tập hợp tập hợp người lao động với tập hợp công cụ lao động làm nảy sinh phép đếm; nhu cầu nghiên cứu học làm nảy sinh phép tính vi phân; nhu cầu nghiên cứu đỏ đen canh bạc làm nảy sinh môn xác suất… Trong số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học phát triển mâu thuẫn nội lý luận Sự đời hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn Lobasepxki việc loài người trải qua 2000 năm đeo đuổi việc chứng minh tiên đề V Euclide mà thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay tiên đề Euclide hệ logic tiên đề khác?” Nghiên cứu ông trước hết nhằm sáng tỏ nghi vấn Số ảo đời từ mối băn khoăn phương trình bậc có nghiệm rõ ràng x3 − x = giải phương pháp Cacdano lại dẫn đến phương trình bậc 2 vô nghiệm thực x + =0 27 Nếu theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, dự đoán có lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn phương trình Diophante x n + y n = z n lại nghiệm n > ? Như là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân phép biện chứng thể tính đắn toán học Mâu thuẫn nguồn gốc, động lực phát triển toán học Quy luật mâu thuẫn góp phần thay đổi giới quan định hướng phương pháp luận cho nhà toán học Họ thấy rõ thống biện chứng khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược (chẳng hạn đặc biệt hóa khái quát hoá), trường hợp khác (chẳng hạn n ≤ n > )… để tìm đường giải mâu thuẫn, thúc đẩy phát triển tiến lên toán học Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua báo công trình nghiên cứu khoa học thừa nhận: tư biện chứng giúp ông nhiều nghiên cứu toán học ngược lại kết nghiên cứu củng cố nhiều giới quan vật biện chứng ông Lịch sử toán học chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người tìm cách chứng minh tiên đề Euclide phản chứng Họ phủ nhận tiên đề Euclide với hi vọng tìm mâu thuẫn Nhưng họ không tìm mâu thuẫn logic mà phát kiện kỳ quái trái với trực giác rút lui Trái lại, Lobasepxki có nhận thức không gian nên cho điều kỳ quái không tồn sống đời thường tồn vũ trụ bao la chứng minh sau Abel chứng minh không giải thức phương trình đại số bậc n > Galois không chịu dừng nên cuối đưa tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống trường hợp n ≤ n > kết lý thuyết Galois đời Có thể nói, quy luật mâu thuẫn mở giới quan phương pháp luận cho nhà toán học, tạo cho họ niềm tin vượt qua khó khăn lớn, kiên trì đeo đuổi nghiệp nghiên cứu cuối đạt kết thật vĩ đại Như vậy, quy luật thống đấu tranh mặt đối lập coi hạt nhân phép biện chứng Nó vạch rõ nguồn gốc, động lực phát triển toán học Quy luật phủ định phủ định: Đây quy luật phát triển vô phổ biến tự nhiên, lịch sử tư Nó vạch xu hướng tất yếu lên vận động, phát triển vạch xu hướng phát triển toán học Engen đánh giá tầm quan trọng quy luật phủ định phủ định khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định phủ định gì? Là quy luật phát triển tự nhiên, lịch sử tư vô phổ biến mà có tầm quan trọng ý nghĩa vô lớn, quy luật có giá trị động vật thực vật, địa chất học, toán học, lịch sử…” Engen mô tả quy luật phủ định phủ định toán học: “Hãy lấy số đại số đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định ta có − a Phủ định phủ định cách nhân − a với − a ta có a , tức số dương trước bậc cao hơn, lũy thừa bậc hai Bởi phủ định bị phủ định gắn chặt a khiến cho a trường hợp có số bậc hai tức a − a việc gạt bỏ phủ định bị phủ định, gạt bỏ số âm chứa bình phương có ý nghĩa rõ rệt phương trình bậc hai” Một ví dụ khác, Enggen giả sử ông có biến x y làm cho chúng trở thành số vi phân nghĩa giả sử x y nhỏ vô hạn không hết tỉ số chúng nhau, tỷ số sở gọi sở vật chất cả, tỷ số số lượng mà số lượng đó; dy , tỷ số vi dx 0 y phân x y coi biểu thức Cái tỷ số lượng 0 x biến đi, lúc chúng biến mà ta xác định mâu thuẫn Như vậy, ông phủ định x y phủ định đến mức không quan tâm đến lối phủ định phép siêu hình mà phủ định theo lối tương ứng với trường hợp định Như thay cho x y , ông có phủ định chúng, tức dx dy Lại tiếp tục làm tính coi dx dy số thực phủ định phủ định nghĩa chuyển công thức vi phân thành tích phân thay cho dx dy ta lại có số thực x y lúc ông vào chỗ mà ông xuất phát: “Trái lại giải đáp toán mà hình học đại số học thông thường có lẽ nát óc mà không giải nổi” Các nhà toán học nhiều sử dụng tư biện chứng quy luật phủ định phủ định cách không ý thức Lobasepxki phát minh hình học mang tên nghĩ phủ định hình học Euclide không nghĩ mở rộng hình học Euclide Những khái quát ông tác giả cho thấy hình học Lobasepxki phủ định hình học Euclide đồng thời mở rộng hình học Euclide Như phát minh vĩ đại hình học Lobasepxki không thoát khỏi quy luật phủ định phủ định tức phủ định có tính kế thừa Quy luật phủ định phủ định rõ xu hướng phát triển toán học Toán học trải qua lần phủ định liên tiếp trình phủ định biện chứng xảy khách quan sở kế thừa toán học có từ trước phát minh toán học đời phủ định trơn mà sở phát minh, kết có từ lâu nhà toán học tiền bối Quy luật phủ định phủ định cho thấy trình phủ định kết toán học, phải biết kế thừa có chọn lọc, tiếp thu tích cực chúng để mở rộng, phát triển lên Cặp phạm trù chất - tượng: Bản chất phần nhất, sâu xa nhất, bền vững nội dung Bản chất có ý nghĩa định vật nghĩa chất không vật không mà thành vật khác Ví dụ nói nội dung hình học tính từ theo hai chữ “hình học” “Ơclit”, “Lôbasepki” nói lên chất hình học mà ta đề cập đến Cái làm nên chất tiên đề Ơclit tiên đề Lôbasepki Nếu bỏ tiên đề Ơclit hình học Ơclit ko Hoặc nói nội dung đại số tính từ “tuyến tính” chẳng hạn nói lên chất đại số mà ta đề cập đến Cái làm nên chất tính chất: ur ur ur ur j u + v = j u + j v  (k số thực)  ur ur  j ku = kj u  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) phép biến đổi ϕ mà ta xét Mất tính chất đại số không đại số tuyến tính Hiện tượng biểu bên chất Hiện tượng hình thức hình thức có tính chất đặc trưng, bền vững, chất không Ví dụ, hình học Ơclit biểu bên định lý “Tổng góc tam giác 180o ” hay định lý Pitago tam giác vuông; định lý không ta phủ định tiên đề Ơclit Theo quan điểm triết học, chất tổng hợp mặt, mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định bên vật, quy định vận động phát triển vật tượng biểu bên chất Sự thống chất tượng thể chỗ chất tượng phù hợp với Như vậy, quan điểm đắn thể rõ toán học Một ví dụ khác, chất khái niệm liên tục định nghĩa tương tự khái niệm f ( x ) = f ( x0 ) ” giới hạn: “Một hàm số f ( x ) gọi liên tục x0 xlim →x Trong đó, tượng mà ta thường thấy đồ thị hàm số không đứt khúc mà đường liền nét x0 Về mặt phương pháp luận, cặp phạm trù cho nhận thức rằng, muốn nhận thức chất khái niệm, định lý toán học phải xuất phát từ tượng, phân tích, tổng hợp biến đổi nhiếu tượng, tượng điển hình Tuy vậy, dựa hoàn toàn tượng mà kết luận chất vật Không thể dựa vào mệnh đề với n = 1, 2, chí đến n = 1000 mà quy nạp mệnh đề ∀n , thử vài giá trị thấy hàm số gần số mà kết luận hàm số có giới hạn Cặp phạm trù lý luận – thực tiễn: Lịch sử toán học cho thấy mâu thuẫn lý luận thực tiễn động lực phát triển toán học Trong giai đoạn đầu, nhu cầu sản xuất thực tiễn đời sống mà toán học khai sinh với tính cách toán học kinh nghiệm: nhu cầu đo đạc lại đất đai sau trận lụt, tính diện 10 tích, thể tích hình làm nảy sinh hình học; nhu cầu cân, đong, đo, đếm, so sánh, ước lượng nảy sinh số tự nhiên phân số Sản xuất phát triển, hàng hóa nhiều lên, yêu cầu cân, đong, đo, đếm phát triển thực trực tiếp với mức độ xác thấp ước lượng, người ta ý đến phụ thuộc lẫn đối tượng Trong đại số xuất phương trình tìm ẩn số Điều lại làm xuất mâu thuẫn: bất lực trước phương trình x + = 0, x − = đòi hỏi bổ sung số âm, số vô tỉ số thực đời …Toán học bước lên trình độ lý luận Toán học đại phát triển với tốc độ chóng mặt Nhu cầu nghiên cứu lĩnh vực khẳng định “đúng, sai” làm toán học mờ đời Những toán cực trị sống giải toán học liên tục hình thành lĩnh vực “toán học rời rạc” Xuất phát từ thực tế tính xác, ngành “toán học tính toán” đời Như là, trừu tượng hóa toán học diễn cao không mà toán học xa rời thực tiễn Trong trình thỏa mãn nhu cầu thực tiễn, toán học sáng tạo khái niệm, công cụ không phản ánh trực tiếp giới khách quan điều để toán học tiến lên phía trước đáp ứng nhu cầu đặt Chẳng hạn, khái niệm không gian chiều vốn không tồn trước mắt tỏ khó hình dung lại tạo thuận lợi nghiên cứu toán cực trị Lịch sử cho thấy rằng, lý luận tưởng chừng vô nghĩa không phù hợp với hoàn cảnh nên thời bị người ta bác bỏ, lên án cuối có thực tiễn kiểm tra tính đắn Hình học Lobasepxki ứng dụng lý thuyết tương đối, lý thuyết nhóm ứng dụng vào tinh thể học học lượng tử, …Tuy nhiên phải thừa nhận rằng, lý thuyết toán học không đời từ thực tế mà từ mâu thuẫn nội toán học phát triển mạnh mẽ kiểm nghiệm thực tiễn Hình học Rieman phát triển mạnh mẽ sau tìm thấy ứng dụng vào lý thuyết tương đối Điều khẳng định, mâu thuẫn lý luận thực tiễn động lực thúc đẩy toán học phát triển Việc tìm mô hình Poincare, Cayley-Klein chứng minh hệ tiên đề hình học Euclide phi mâu thuẫn Mô hình không gian vật lý chúng tỏ hệ tiên đề Hilbert phi mâu thuẫn, tiêu chuẩn quan trọng ba tiêu chuẩn cho tồn đắn hệ tiên đề Nhưng thực tiễn lại làm cho người ta phải suy xét kỹ thêm sở toán học Ví dụ, toán “Tôi nói dối”, nghịch lý mà Russell đặt gây khủng hoảng toán học Cuối Godel (1906 – 1978) chứng minh rằng, có “đúng” không chứng minh nghịch lý nhắc ta không nên tin tuyệt đối vào toán học mà muốn tin nó, phải kiểm tra lại thực tiễn Chẳng hạn, người ta 11 Trong đại số học, người ta thường dùng ký hiệu chữ a, b, c, , x, y, z, để biểu đạt thông số đại lượng biến thiên Chẳng hạn, phương trình ax + bx + c = , hệ số a, b, c nhận giá trị thực nào, ẩn số x cần tìm thuộc tập hợp số phức Việc sử dụng ký hiệu đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt dạng tổng quát quy luật đại số quy luật lý thuyết toán học khác Chẳng hạn như: a − b − c = a − (b + c) , a b c = (a b) c = a (b c) Trong thực tế, khảo sát thể khác tiêu đề xuất phát khái niệm đối tượng lý thuyết thay đổi, mà khái niệm tương quan liên hệ chúng thay đổi Chẳng hạn, hệ tiên đề pêanô, ký hiệu > , = , < , + , − , × , : có ý nghĩa khác tuỳ theo ký hiệu 1, 2,3, biểu thị số tự nhiên lượng hay thứ tự Ví dụ, ký hiệu 3< biểu thị lượng có nghĩa bé 4, song biểu thị thứ tự có nghĩa đứng trước Như vậy, nói, ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại cách cô đọng dạng dễ nhận thức mệnh đề rườm rà ngôn ngữ thông thường Nhờ đó, ta dễ nhớ có khả nắm nội dung chúng Đồng thời, ký hiệu sử dụng cách có hiệu toán học để ghi lại khái niệm mệnh đề, chúng phản ánh tương quan lượng hình dạng không gian định giới thực Chính vậy, trước sử dụng ký hiệu vào lập luận mình, nhà toán học cần rõ ký hiệu biểu thị gì, không dẫn đến hiểu biết sai lệch điều mà ký hiệu muốn nói lập luận toán học tiếp tục tiến hành Chỉ ý nghĩa ký hiệu thiết lập cách xác, có khả hiểu điều mà quan hệ muốn diễn đạt Với cách diễn đạt nội dung lời Rõ ràng, việc phát biểu công thức lời dài dòng nhiều, so sánh cách chứng minh bất đẳng thức ký hiệu với cách chứng minh lời nhận thấy thuận tiện việc sử dụng ký hiệu toán học Tuy nhiên, lúc ký hiệu toán học biểu diễn cách ngắn gọn nội dung toán học khoa học khác Các ký hiệu toán học không thực nhiệm vụ chủ yếu chúng, chúng biểu ngắn gọn dạng ngôn ngữ dài dòng Chẳng hạn, việc xây dựng học cổ điển diễn với việc sử dụng vectơ để diễn tả chuyển động Theo đánh giá Albert Einstein, toàn công việc làm chuyển kiện thừa nhận từ trước thành ngôn ngữ phức tạp 14 kỳ lạ Nhưng, theo ông, ngôn ngữ kỳ lạ vectơ dẫn đến điều khái quát quan trọng mà vectơ giữ vai trò nòng cốt II Vai trò toán học hình thành phát triển giới quan vật: Ở thời kì cổ đại, toán học giai đoạn toán học sơ cấp mộc mạc với triết học vật thô sơ, chất phác Những kiến thức toán học phát kiến rời rạc, chưa có hệ thống hòa lẫn kho tàng kiến thức triết học Đó hình học Euclide, kiến thức đại số (số thực, số phức, cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, dùng công cụ logarit để tính toán gần đúng), số học (số nguyên tố, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, phương trình Diophante), lượng giác Lúc triết học toán học gắn bó tới mức khó phân biệt ranh giới chúng Các nhà triết gia đồng thời nhà toán học: Thales, Pythagore, Zenon…Những tư tưởng, quan niệm toán học ảnh hưởng đến giới quan triết học ông, dù nhiều hạn chế nhiều chứa đựng quan điểm vật biện chứng sâu sắc Pythagore (547 – 471 TCN): nhà toán học tiếng thời cổ đại với phát kiến tổng góc tam giác, quan hệ bình phương cạnh tam giác vuông, số vô ước, số bè bạn, số hoàn chỉnh… Khi nghiên cứu toán học, Pythagore cho số khởi nguyên giới Đối với ông, giới thân số, vật tương ứng với số định Chẳng hạn, điểm hình học coi đơn vị đơn giản tương ứng với số 1, đường thẳng coi số 2, mặt phẳng xem số 3…Thậm chí linh hồn người đươc tạo thành từ số Chúng đóng vai trò định tính đa dạng tượng tự nhiên đẳng cấp xã hội Quan niệm ông thể lập trường tâm thần thánh hóa số lại có điểm hợp lí chỗ nhấn mạnh vai trò quan trọng số nhận thức toán học Hơn nữa, ông có nhiều quan điểm biện chứng sâu sắc mối quan hệ số chẵn số lẻ, số hữu hạn số vô hạn, tính thống tính nhiều vẻ, vân động đứng yên Zenon (490 – 430TCN): làm toát lên tư tưởng phép biện chứng cách phản chứng Những nghịch lý “phân đôi”, “Asin rùa”, “mũi tên bay” đặt nhiều vấn đề biện chứng sâu sắc mối quan hệ tính thống giới, vận động đứng yên, tính gián đoạn tính liên tục thời gian không gian, tính hữu hạn vô hạn 15 Ở thời kỳ đầu này, toán học góp phần hình thành sở logic hình thức nhờ tư có lập luận xác, chặt chẽ Điều góp phần hình thành nên nguyên tắc tư khoa học, ví dụ từ quan hệ a = b b = c suy a = c Toán học từ chỗ “toán học kinh nghiệm” tức dừng lại đong, đo trực tiếp ước lượng kinh nghiệm tiến lên trình độ lý luận Hình học xuất lý luận so sánh hình dựa so sánh số đoạn thẳng hay góc đó, quy tắc tính diện tích, thể tích số hình đơn giản Đại số xuất công thức, phương trình để tìm ẩn số theo số biết Tuy lý luận han chế chỗ phát mối liên hệ có tính quy luật (được phát biểu định lí, công thức) vật, tượng tĩnh tại, riêng lẻ bước tiến lớn từ đơn nhất, ngẫu nhiên lên phổ biến, tất nhiên Toán học thông qua học thiên văn học góp phần vào cuôc cách mạng Copecnic thay hệ địa tâm hệ nhật tâm Sự phát triển giới quan gắn liền với cách mang mà Copecnic đòi hỏi phải có toán học mang tư tưởng chất đời Cũng thời kỳ này, thành tựu số học, hình học tạo mối liên hệ với quan niệm phép biện chứng Chẳng hạn, mối quan hệ số thực số ảo, vô hạn hữu hạn… Như là, toán học có đóng góp định vào hình thành phát triển số yếu tố biện chứng, dừng lại việc góp phần hình thành củng cố giới quan vật siêu hình máy móc Thời kỳ Phục hưng, nhu cầu nghiên cứu vận động học, vật lý đẩy toán học sang giai đoạn Trọng tâm toán học hướng vào nghiên cứu biến thiên hàm số, nghiên cứu đạo hàm nguyên hàm, tích phân với phương pháp toạ độ Decartes đời làm tảng cho lý thuyết hàm số thực phức, lý thuyết phương trình vi phân thực phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết chuỗi hình học giải tích, hình học vi phân với phép biến đổi hình học Vận động thực tràn vào toán học Như F.Enggen đánh giá: “Đại lượng biến đổi Decartes đánh dấu bước ngoặt toán học Nhờ đó, vận động biện chứng vào toán học phép tính vi phân tích phân trở thành cần thiết Toán học giáng đòn mạnh mẽ vào giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm quan niệm tính bất di bất dịch tuyệt đối tự nhiên” Nó tạo cho nhà khoa học phương tiện nhận thức tượng, vật Toán học góp phần phát định luật vạn vật hấp dẫn kỷ XVII, quy luật truyền sóng truyền nhiệt kỷ XVIII, thuyết tương đối Einstein nhờ phát triển từ trước hình học 16 phi Euclide Vậy là, cách gián tiếp, toán học thông qua vật lý học đóng góp vào cách mạng giới quan thay chủ nghĩa vật siêu hình máy móc dựa học Newton chủ nghĩa vật biện Trong thời kỳ này, đời tư tưởng xác suất – thống kê Đây thành tựu quan trọng Tư tưởng khẳng định tồn khách quan ngẫu nhiên bên cạnh tất nhiên mối quan hệ biện chứng chúng Tư tưởng xác suất – thống kê cho ta quan niệm phụ thuộc lẫn vật, tượng, trình Nó vượt hẳn quan điểm coi phụ thuộc, liên hệ vật đơn chặt chẽ tính tất nhiên thống trị tuyệt đối giới tự nhiên Như vậy, tư tưởng vận động, liên hệ xác suất – thống kê góp phần hình thành tư biện chứng sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng Sự rà soát lại tác phẩm “Cơ bản” Euclide làm nảy sinh phương pháp tiên đề đại Khi muốn tiên đề hóa lý thuyết toán học đó, người ta chọn khái niệm lý thuyết số vừa đủ khái niệm không định nghĩa gọi khái niệm bản, từ tính chất khác phải chứng minh chặt chẽ suy luận logic dựa tiên đề tính chất chứng minh trước Do khái niệm không định nghĩa nên muốn tưởng tượng chúng miễn thỏa mãn hệ tiên đề cho trước nên hệ tiên đề đặc trưng trừu tượng gọi cấu trúc toán học cấu trúc “không gian Euclide”, “không gian Lobasepxki”, cấu trúc “nhóm”, “vành”, “trường”… Như vậy, toán học đại đóng vai trò tảng trình thể hóa khoa học Nó góp phần quan trọng vào nhận thức sở tảng tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung giới quan, phương pháp luận sâu sắc Đồng thời sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng thống vật chất giới Như ta mạnh dạn khẳng định từ hình thành trình phát triển mình, toán học tạo sở giới quan vật biện chứng cách trực tiếp hay gián tiếp Toán học thời kỳ đầu tức đến thời kỳ toán học sơ cấp sở cho đời chủ nghĩa vật máy móc, siêu hình Nó góp phần khẳng định giới quan vật, chống lại giới quan tôn giáo – kinh viện Sang thời kỳ toán học cao cấp, mà trọng tâm toán học chuyển sang nghiên cứu đại lượng biến đổi trước hết tư tưởng vận động, toán học nguồn gốc đẻ tư biện chứng sở khoa học để hình thành luận chứng cho giới quan vật biện chứng giới tự nhiên vô sinh 17 Toán học đại hoàn thiện sâu sắc giới quan vật biện chứng lĩnh vực tự nhiên, xã hội tư Nó góp phần củng cố, hoàn thiện phát triển giới quan vật biện chứng III Toán học thúc đẩy triết học tiến lên: Ở phần trước có nhìn tổng quát vai trò toán học đời, phát triển chủ nghĩa vật biện chứng Ở mục này, ta vào vai trò minh họa toán học để làm rõ, làm sâu sắc triết học vật biện chứng Trước hết, toán học đại làm rõ thêm, sâu sắc thêm quan điểm tính thống giới, khía cạnh định tính mà khía cạnh định lượng Ở khía cạnh định tính khoa học tiến lên, loài người thấy rõ vũ trụ vật chất cấu tạo từ hạt hạt đâu tuân theo quy luật biến đổi, tương tác Ở khía cạnh quan hệ số lượng trước loài người khám phá cấu trúc toán học, nhà khoa học ý đến tượng dạng phương trình đại số hay phương trình vi phân lại diễn tả quan hệ số lượng tượng đa dạng giới khách quan Ví dụ, phương trình dạng y = a x + b diễn tả mối quan hệ hai đại lượng biến thiên x y mà chúng có số gia tỉ lệ thuận với thời gian đoạn đường được, chi phí bỏ mua sắm số lượng hàng hóa cần mua Đối với mối liên hệ phổ biến, toán học làm rõ tính khách quan tính phổ biến mối liên hệ nội toán học Toán học phát triển, ranh giới chuyên ngành toán học khó xác định rạch ròi Chẳng hạn, hình học vi phân, xác suất thống kê sử dụng cấu trúc đại số nhóm, vành, trường Decartes sáng tạo hình học giải tích công cụ nghiên cứu hình học thông qua phép biến đổi đại số Hơn nữa, tất khái niệm, định lý toán học chứa đựng mặt trái ngược nhau, rời rạc liên tục, vi phân tích phân, số âm số dương, số vô tỉ số hữu tỉ, chiều thuận chiều nghịch định lý, hữu hạn vô hạn,… khái niệm song hành, tồn khách quan, tác động lẫn tạo thành mâu thuẫn biện chứng thống với xuất lúc, nơi toán học Đối với nguyên lý phát triển, toán học làm rõ ràng phát triển toán học kết trình thay đổi dần lượng dẫn đến thay đổi chất, trình diễn theo đường xoắn ốc Giai đoạn toán học sơ cấp, vận động chưa vào toán học học, vật lý chưa phát triển biến thiên tiềm ẩn tĩnh Khi người xưa tính chu vi, diện tích hình tròn cách nội tiếp đa giác gấp đôi số cạnh đa 18 giác thay đổi biến thiên liên tục dãy đột biến: cạnh đa giác nội tiếp phương không thay đổi, đến đỉnh tiếp tục cạnh phương thay đổi đột ngột Như vậy, việc tính chu vi, diện tích hình tròn manh nha nguyên tắc phép tính vi tích phân Tư tưởng đại lượng biến thiên tích lũy dần đến nhu cầu nghiên cứu vận động học vật lý đặt mạnh mẽ cộng thêm đời phương pháp toạ độ Decartes phép tính vi tích phân thức đời Tóm lại, qua phân tích ta thấy toán học trình phát triển góp phần quan trọng vào phát triển tiến lên triết học Đó toán học cung cấp cho triết học kiện, liệu giúp cho triết học xây dựng nên lý luận cho mình; thành tựu toán học minh chứng hùng hồn cho đắn học thuyết triết học vật tiến bộ, làm phong phú, sâu sắc thêm tư tưởng triết học Có thể nói, toán học góp phần hình thành, phát triển củng cố, hoàn thiện chủ nghĩa vật biện chứng – sở phương pháp luận giới quan khoa học 19 Chương 4: Ý NGHĨA TRIẾT HỌC CỦA CÁC VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CỦ THỂ I Sự cần thiết mối liên minh triết học toán học: Những thành tựu mà toán học đại đạt buộc chuyển sang lĩnh vực lý luận, triết học, buộc phải vận dụng tư lý luận nhà toán học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Những thành tựu khoa học tự nhiên gần cho thấy nhà khoa học dù muốn hay tiến tới kết luận chung mặt lý luận Nền lý luận vững toán học tất nghành khoa học khác triết học vật biện chứng phương pháp luận chung nhận thức khoa học Với ý nghĩa ấy, toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư triết học vật biện chứng vào trình nghiên cứu dạy học toán học Các nhà toán học phải nhà triết học thông thái Những nhà toán học dù có thái độ họ bị triết học chi phối Vì vậy, vấn đề họ phải trang bị triết học đắn - triết học vật biện chứng để hướng dẫn đường đắn tới đích cách nhanh Các nhà toán học phải liên hệ chặt chẽ, bắt tay góp sức với nhà vật chống lại quan điểm tâm sai lầm Mỗi toán học đạt thành tựu đó, phải tiến tới kết luận chung lý luận để minh họa, làm phong phú thêm, sâu sắc thêm quan điểm triết học Theo F.Enggen, tu lý luận thời đại, tức kể tư lý luận thời đại chúng ta, sản phẩm lịch sử mang những hình thức khac thời đại khác nhau, có nội dung khac Thế khoa học khác, khoa học tư khoa học lịch sử, khoa học phát triển lịch sử tư người Điều có ý nghĩa quan trọng với việc ứng dụng thực tế tư vào lĩnh vực kinh nghiệm Bởi trước hết, lý luận quy luật tư hoàn toàn chân lý vĩnh viễn mộtt có mãi không thay đổi Triết học luôn chi phối nhà toán học: Dù nhà toán học có thái độ họ bị triết học chi phối Vấn đề chổ, họ muốn bị chi phối thứ triết học sai lầm hay họ muốn 20 hướng dẫn hình thái tư lý luận dựa hiểu biết lịch sử tư tưởng thành tựu Những nhà khoa học tưởng họ thoát khỏi triết học họ không để ý đến phỉ báng Nhưng tư họ tiến bước, muốn tư họ cần phải có phạm trù logic, mà phạm trù họ tiếp thu cách không phê phán, ý thức chung, thông thường người gọi có học thức, ý thức bị thống trị tàn tích hệ thống triết học lỗi thời F.Enggen tác phẩm “Chống Đuyrinh”, NXB Sự thật, Hà Nội, 1960, tr.60 khẳng định: “Một quan niệm vừa biện chứng vừa vật tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học khoa học tự nhiên” Triết học muốn xây dựng quan điểm không tồn cách đơn độc mà tài liệu phân bố ngành khác khoa học có vai trò quan trọng toán học Vì vậy, chứng minh mặt triết học hiểu theo hai nghĩa đối chiếu tiền đề triết học với quy luật xác định ngành khoa học khác thể nghiệm việc vận dụng lý luận Do “một quan niệm vừa biện chứng, vừa vật tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học khoa học tự nhiên Triết học quyền tồn đơn độc Nó thu thập tài liệu từ nghành khác khoa học thực chứng” theo Nguyễn Hữu Vui, mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, trang 196 Sự liên minh nhà toán học nhà triết học vật biện chứng yêu cầu cấp bách đồng thời tất yếu lịch sử thời đại: Thế giới phát triển với tốc độ vũ bão đặt vô số vấn đề cần phải giải Nhu cầu thực tiễn đòi hỏi ngành khoa học phải phát triển kịp thời để đáp ứng Vì vậy, liên minh nhà toán học nhà triết học vật biện chứng yêu cầu cấp bách đồng thời tất yếu lịch sử thời đại Sự liên minh cho thấy rằng, điều không phần quan trọng đại biểu nhà toán học đại cần phải có can đảm để bảo vệ truyền bá chủ nghĩa vật, chống quan điểm triết học tâm chủ nghĩa hoài nghi chủ nghĩa vật Nếu không làm tròn nhiệm vụ cách triệt để chủ nghĩa vật đứng vũng Các nhà bác học lớn bất lực kết luận khái quát triết học họ khoa học tự nhiên tiến nhanh, trải qua thời kỳ đảo lộn cách mạng sâu sắc tất lĩnh vực, tuyệt đối không cần đến kết luận triết học 21 Theo V.I.Lênin, Về tác dụng chủ nghĩa vật chiến đấu Toàn tập, trang 33, nhà xuất thật, Hà Nội, “…Chúng ta cần hiểu sở triết học vững vàng, khoa học tự nhiên hay chủ nghĩa vật chống lấn bước tư tưởng tư sản phục hồi giới quan tư sản Muốn đương đầu đấu tranh đưa đến thành công, nhà bác học phải nhà vật đại, đồ đệ tự giác chủ nghĩa vật mà Mác người đại diện, nghĩa nhà bác học phải nhà vật biện chứng Không lúc thời đại chúng ta, mối quan hệ biện chứng ngành trí tuệ lại khăng khít mà bề tưởng chừng khó hiểu Ví dụ, có ngờ phép đếm nhị phân lại liên quan chặt chẽ với dịch thuật thông qua máy tính Vấn đề quan trọng triết học toán học vấn đề quan hệ cấu trúc toán học trừu tượng thực tiễn thực II Mối liên hệ, tác động qua lại triết học toán học đòi hỏi phải áp dụng phương pháp vật biện chứng việc nghiên cứu, dạy học toán học Đổi phương pháp dạy học toán học vấn đề đặt cấp bách ngành giáo dục quan tâm toàn xã hội Đổi phương pháp dạy học toán vấn đề lớn biết toán môn học vô quan trọng học sinh chiếm thời lượng lớn chương trình phổ thông Mặc dù chỉnh lý sách giáo khoa thay đổi phương pháp dạy cách dạy toán phổ biến đa phần giáo viên đưa kiến thức (khái niệm, định lý) giải thích, chứng minh; trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng công thức, định lý nhiều tốt Nhiều học trò giỏi thường thắc mắc giả thiết kết luận toán đâu mà ra, nghĩ làm mà nghĩ Nhà trường không dạy cho họ cách “phát vấn đề” để tự đề xuất toán nên họ làm xong toán, chân trời họ mở rộng Thay đổi cách dạy học đặt người học vị trí trung tâm, tự phát vấn đề, giải vấn đề đánh giá kết đạt Có qua lao động tìm tòi, sáng tạo ấy, tư họ phát triển mà họ có thêm lòng tự tin, hứng thú, ham muốn tìm tòi sáng tạo Giáo viên lúc đóng vai trò hướng dẫn trình lao động Nhưng thực tế thời gian không cho phép giáo viên thực cách dạy học III Ý nghĩa triết học vấn đề toán học cụ thể Thông qua lời bàn xung quanh việc phát giải vấn đề 22 Muốn sáng tạo, muốn tìm trước hết phải có vấn đề để nghiên cứu Vấn đề tự phát người khác đề xuất cho giải Khoa học nói chung, toán học nói riêng phát triển không ngừng, điều có nghĩa không hết mâu thuẫn, giải mâu thuẫn mâu thuẫn khác lại xuất hiện, làm động lực cho phát triển Ví dụ loài người mói biết có số nguyên không giải phương trình 2x = (tức có mâu thuẫn) Với việc phát minh số hữu tỉ phương trình có nghiệm x= (tức mâu thuẫn giải quyết) Nhưng với số hữu tỉ lại gặp phương trình không giải x = (tức mâu thuẫn lại xuất hiện), từ lại đời số vô tỉ, làm cho phương trình có nghiệm x = ± (mâu thuẫn lại giải quyết), lại xuất phương trình không giải x + = 0, Như lần mâu thuẫn xuất giải hiểu biết loài người lại tiến thêm bước theo quy luật phủ định phủ định lần mâu thuẫn xuất tức có bất lực kiến thức xuất Sự việc hay hiên tượng bác bỏ kiến thức cũ, nghĩa phủ định kiến thúc cũ Trước tình hình người ta phải nghiên cứu khoa học để tìm cách giải hay giải thích việc Nghiên cứu khoa học cho ta kiến thức mới, kiến thức tưởng chừng mâu thuẫn với kiến thức cũ cuối lại thống với kiến thức cũ Sự thống thể chổ kiến thức bao trùm lên kiến thức cũ, kiến thức cũ trở thành trường hợp đặc biệt kiến thức Thông qua quy luật cặp phạm trù a Quy luật mâu thuẫn: Ta xem xét việc tìm số phức Khi giải phương trình bậc hai người ta gặp việc khai thác bậc hai số âm số ảo chưa đời mâu thuẫn lí luận thực tiễn hay nội toán học Bỡi lẽ phương trình bậc hai ax + bx + c = nghiệm ∆ < không làm cho người ta băn khoăn, thắc mắc Chẳng hạn, phải giải toán kiểu tìm hai cạnh hình chữ nhật biết nửa chu vi S diện tích P ta đến 23 phương trình x − Sx + P = với ∆ = S2 − 4P Nếu P > S2 phương trình vô nghiệm điều lại phù hợp với thực tiễn diện tích bị hạn chế chu vi Về lí luận chẳng có vấn đề ∆ < rõ ràng đường parabol y = ax + bx + c không cắt trục Ox Phải đợi đến giải phương trình bậc ba mâu thuẫn xuất Ta thử áp dụng phương pháp Cacđano để giải phương trình bậc ba x − x = (1) Rõ ràng phương trình (1) có nghiệm ; ; − giải phương pháp Cacđano bế tắc Nghĩa ta đổi ẩn số cách đặt x = y + z với ràng buột y z yz = Khi (1) trở thành: ( y + z) − ( y + z) = ⇔ y3 + z + 3y z + 3yz − ( y + z ) = ⇔ y3 + z + 3yz ( y + z ) − ( y + z ) = ⇔ y3 + z + ( y + z ) ( 3yz − 1) = ⇔ y3 + z = (do 3yz = 1) Y + Z =  Đặt y = Y, z = Z ta có:   YZ = 27 3 Vậy Y, Z hai nghiệm phương trình : X + = (2) 27 Phương trình ( 2) vô nghiệm phương trình (1) rõ ràng có ba nghiệm ; ; − Đây mâu thuẫn nội lí luận b Cặp phạm trù chung – riêng: Xem xét cặp phạm trù, trước hết phải ý tới số điểm sau:  Các phát minh lý thuyết chủ yếu mở rộng: Toán học có lẽ lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ chung riêng Sự xếp chương trình học toán nói chung dẫn dắt học sinh từ trường hợp riêng khái quát dần lên chung từ số tự nhiên đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông đến tam giác thường, từ tam giác đến tứ giác, từ hàm lượng giác góc nhọn đến hàm lượng giác suy rộng…Khi làm tập, học sinh phải vận dụng khái niệm chung, định lý chung vào trường hợp riêng cho 24 Nói rộng ra, phát minh lý thuyết có tầm cỡ lĩnh vực toán, mở rộng từ “cái riêng” đến “cái chung” trước chưa biết mà “cái riêng” trường hợp đặc biệt Kết nghiên cứu lý thuyết kế thừa mặt tích cực lý thuyết cũ (là mặt thống hai lý thuyết cũ) vừa phủ định mặt tiêu cực lý thuyết cũ Ví dụ, lý thuyết số phức kế thừa mặt tích cực lý thuyết số thực đồng thời phủ định mặt tiêu cực lý thuyết số thực bó tay trước việc lấy bậc hai số âm Quy luật phủ định phủ định khách quan, không phụ thuộc chủ quan người nghiên cứu Lobasepxki phát minh hình học Euclide mang tên ông nghĩ phủ định tiên đề Euclide thực mở rộng hình học Euclide góc nhọn hai đường thẳng song song với đường thẳng a xuất phát từ điểm A nằm dần tới  Một riêng trường hợp đặc biệt nhiều chung khác nhau: Sau ta xem xét vídụ hình thoi: Ta biết hình thoi trường hợp đặc biệt hình bình hành ta nhìn hình thoi góc độ có cạnh đối song song, xem trường hợp đặc biệt tứ giác có đường tròn nội tiếp ta nhìn góc độ “có đường tròn nội tiếp”, ta xem trường hợp đặc biệt tứ giác có đường chéo vuông góc ta nhìn góc độ hai đường chéo vuông góc Tập nhìn riêng theo nhiều góc độ khác điều quan trọng việc rèn luyện óc sáng tạo toán học góc độ lại gợi hướng mở rộng “cái riêng” ta thấy ví dụ mở đầu  Đặc biệt hóa phận khác chung cách khác ta có nhiều riêng khác nhau: Chẳng hạn, tứ giác đem đặc biệt hóa theo tính chất quan hệ cạnh góc cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông Cũng có số cách đặc biệt hóa gặp đặc biệt hóa tứ giác cách cho cạnh triệt tiêu cho góc đạt tới giới hạn 180o để có tam giác c Cặp phạm trù nội dung – hình thức:  Cùng nội dung chứa nhiều hình thức: Trong toán học đại, phương pháp tiên đề trở thành văn phong để trình bày lý thuyết toán học Mỗi hệ tiên đề có nhiều mô hình Mỗi mô hình hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn hệ tiên đề Gần gũi người hai mô hình hình học Euclide phổ biến trường phổ thông Hình học tổng hợp với hình suy diễn hình để tìm tính chất chúng; hình học giải tích với tọa độ, 25 phương trình, bất phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức nhờ mà ta sâu vào tính chất không gian Euclide Số tự nhiên khái niệm trừu tượng xuất từ việc tìm cách thuận tiện để so sánh tập hợp mà không cần trực tiếp thiết lập quan hệ – phần tử tập hợp Nội dung chúng lực lượng tập hợp hữu hạn Nội dung xuất nhiều hình thức mà hình thức văn minh số Nhưng số có nhiều hình thức thể hiện, chẳng hạn số La Mã, số Ả Rập Chúng lại xuất hệ đếm số khác phổ biến hệ thập phân hệ nhị phân Các số cụ thể 1, 2,3, 4, hình thức chứa đựng nội dung, lực lượng tập hợp Đến lượt chữ a, b, c, , x, y, z, lại hình thức để biểu diễn không ứng với lực lượng tập hợp cụ thể Trong hình học, đường thẳng, tam giác, đường tròn hình thức lộ ngoài, quan hệ bên (nội dung), thí dụ hình vẽ đường tròn chứa đựng nội dung “sự cách điểm cố định”  Hình thức che lấp nội dung, có mâu thẫn hình thức nội dung: mâu thuẫn kích thích việc nghiên cứu để làm rõ thống nhất: Chẳng hạn mâu thuẫn nội dung hình thức đường trung bình đường trung tuyến điều kích thích ta nghiên cứu đường trung bình tứ giác nghiên cứu làm rõ thống  Nội dung định hình thức hình thức tác động trở lại nội dung: Nội dung diễn tả nhiều hình thức nghĩa tùy tiện suy nghĩ để tìm hình thức khác nội dung mà tìm hình thức diễn đạt nội dung, tư người bị nội dung chi phối, coi nội dung kim nam cho việc tìm tòi Nhưng hình thức ảnh hưởng lại nội dung, mang đến cho việc nghiên cứu nội dung khó khăn thuận lợi riêng Ví dụ, để nghiên cứu hình học Euclide dùng phương pháp tổng hợp phương pháp giải tích Phương pháp tổng hợp có huy động trí tưởng tượng không gian, nhiều đưa tới lời giải hay, gọn lại có số hạn chế: phương pháp giải chung để giải toán; có khả vào vô bé, vô lớn nên dễ bị trực giác đánh lừa nên dễ mắc sai lầm; dễ sót nghiệm phải phân biệt nhiều trường hợp hình vẽ khác như, đường bậc hai không suy biến phải chia ba trường hợp elip, hypebol, parabol, … khó khăn việc mở rộng không gian nhiều chiều 26 Ngược lại, phương pháp giải tích cho ta cách giải tổng quát nhiều trường hợp Ví dụ: phương trình ax + 2bxy + cy + 2dx + 2ey + f = gói tất đường cong bậc hai suy biến không suy biến Nó cho phép chuyển số chiều không gian cách tương đối dễ dàng Ví dụ từ hình học phẳng lên hình học không gian cần thêm tọa độ thứ ba cao độ (bên cạnh hoành độ tung độ)  Sáng tác tập toán cho học sinh: Như nói, nhiều học sinh làm xong tập thường đặt câu hỏi tập đâu mà ra? Ai người nghĩ toán đó? Nghĩ nào? Một cách tìm hình thức khác để diễn tả nội dung lấy hình thức phù hợp với trình độ học sinh yêu cầu họ chứng minh tính đắn Ví dụ: r ur Chọn hai vectơ có tọa độ a = (a1 ; a ; a ) , b = (b1 ; b ; b )  Từ nội dung cos x ≤ 1, ∀x ta có : rr rr a1b1 + a b + a 3b3 a.b cos(a, b) = r r = ≤1 a b a1 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 Ta có bất đẳng thức Bunhacopxki : ( a1b1 + a 2b + a 3b ) ≤ ( a 12 + a 22 + a 32 ) ( b12 + b 22 + b32 )  Cho b1 = b = b3 = ta có toán: 2 Chứng minh ∀a, b, c ∈ R ta có ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) Có thể biến hóa để có nhiều hình thức bất đẳng thức nhằm tìm nhiều với mức độ khó khác nhau: 1 1  ∀A, B, C > : ( A + B + C )  + + ÷ ≥ A B C  Nếu chọn A = a + 2bc , B = b + 2ac , C = c + 2ab a + b + c = A + B + C = ta có toán: Chứng minh a + b + c = , a, b, c > 1 + + ≥9 a + 2bc b + 2ac c + 2ab d Cặp phạm trù ngẫu nhiên tất nhiên: Giới tự nhiên, xã hội tư người nhiều điều bí ẩn mà người chưa biết biết đến mức độ tức tượng ngẫu nhiên Đó 27 tượng xảy mà người dự báo xác không nắm hết quy luật tác động lên tượng Như vậy, ngẫu nhiên tất nhiên mà người chưa nhận thức hết Cùng với phát triển khoa học, có ngẫu nhiên trở thành tất nhiên ngẫu nhiên người tất nhiên người Lý thuyết xác suất có định luật số lớn cho phép ta lấy tần số để xấp xỉ “xác suất” với độ xác xác định Nghĩa dù chưa nắm chất quy luật để trả lời câu hỏi lý thuyết xác suất trả lời cấu tạo sau theo dõi tượng nhiều phép thử để xem có xảy hay không Do đó, để nghiên cứu toán, nhà toán học không nên khước từ việc mày mò nhiều phép thử thời đại máy tính điện tử cho phép xử lý nhanh kết phép thử mang lại Tóm lại, qua chương 4, vận dụng phương pháp luận vật biện chứng việc dạy học toán học tác giả đề cập đến quy luật mâu thuẫn cặp phạm trù chung – riêng, nội dung – hình thức tất nhiên – ngẫu nhiên Thật ra, việc vận dụng phải thực cách thường xuyên, liên tục, không số toán, tính chất định, không lớp trên, không nguyên lý, số quy luật cặp phạm trù điều quan trọng là, học sinh giỏi thực Giáo viên, trình dạy học, cần giúp cho học sinh nhận thức rõ ràng vai trò phương pháp luận vật biện chứng việc học nghiên cứu toán học Cần phải hướng dẫn cho họ cách thức vận dụng, có ý thức tập dượt vận dụng lúc, nơi quan trọng nhất, có hứng thú say mê, đủ dũng khí đối mặt với trở ngại nhận thức đường chinh phục toán học 28 [...]... Vấn đề quan trọng của triết học trong toán học là vấn đề quan hệ giữa cấu trúc toán học rất trừu tượng và thực tiễn hiện thực II Mối liên hệ, tác động qua lại giữa triết học và toán học đòi hỏi phải áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu, dạy và học toán học Đổi mới phương pháp dạy và học toán học đang là vấn đề được đặt ra cấp bách đối với ngành giáo dục và được sự quan tâm... của khoa học trong đó có vai trò quan trọng của toán học Vì vậy, một chứng minh về mặt triết học có thể hiểu theo hai nghĩa hoặc là đối chiếu những tiền đề triết học với các quy luật đã được xác định của các ngành khoa học khác nhau hoặc là thể nghiệm việc vận dụng lý luận đó Do đó “một quan niệm vừa biện chứng, vừa duy vật về tự nhiên đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên Triết. .. đòi hỏi người ta phải thông thạo toán học và khoa học tự nhiên Triết học không hề có quyền được tồn tại đơn độc Nó thu thập các tài liệu của mình từ trong các nghành khác nhau của khoa học thực chứng” theo Nguyễn Hữu Vui, về mối quan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên, trang 196 3 Sự liên minh giữa các nhà toán học và các nhà triết học duy vật biện chứng là một yêu cầu cấp bách đồng thời là một tất... THỂ I Sự cần thiết của mối liên minh giữa triết học và toán học: 1 Những thành tựu mà toán học hiện đại đạt được đã buộc nó chuyển sang lĩnh vực lý luận, triết học, buộc nó phải vận dụng tư duy lý luận và các nhà toán học dù muốn hay không đều phải tiến tới các kết luận chung về mặt lý luận Những thành tựu của khoa học tự nhiên gần đây cho thấy bất kỳ nhà khoa học nào dù muốn hay không đều phải tiến... chắc của toán học cũng như tất cả các nghành khoa học khác chỉ có thể là triết học duy vật biện chứng vì nó là phương pháp luận chung nhất của nhận thức khoa học Với ý nghĩa ấy, toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư duy triết học duy vật biện chứng vào quá trình nghiên cứu cũng như dạy và học toán học Các nhà toán học cũng phải là những nhà triết học thông thái Những nhà toán học dù có thái... thành tựu to lớn và phát triển Tuy vậy, kỳ thực, theo tôi, quan điểm ấy là chưa toàn diện Với vai trò là thế giới quan và phương pháp luận chung nhất cho các khoa học trong đó có toán học, triết học đã đi trước toán học trên nhiều lĩnh vực và bằng những tư tưởng chỉ đạo đúng đắn, bằng những dự kiến thiên tài, triết học đã không ngừng vạch đường cho toán học tiến lên và giúp cho toán học phương hướng và. .. toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự nhiên vô sinh 17 Toán học hiện đại hoàn thiện sâu sắc thế giới quan duy vật biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy Nó góp phần củng cố, hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng III Toán học thúc đẩy triết học. .. + b diễn tả mối quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên x và y khi mà chúng có các số gia tỉ lệ thuận với nhau như thời gian và đoạn đường đi được, như chi phí bỏ ra mua sắm và số lượng hàng hóa cần mua Đối với mối liên hệ phổ biến, toán học làm rõ tính khách quan và tính phổ biến của các mối liên hệ ngay trong nội bộ toán học Toán học càng phát triển, ranh giới giữa các chuyên ngành toán học cũng khó... mang mà Copecnic đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời Cũng ở thời kỳ này, những thành tựu của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng Chẳng hạn, mối quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn… Như vậy là, toán học đã có những đóng góp nhất định vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, tuy... hiện tượng tự nhiên và đẳng cấp trong xã hội Quan niệm ấy của các ông đã thể hiện lập trường duy tâm khi thần thánh hóa các con số nhưng nó lại có điểm hợp lí ở chỗ nhấn mạnh vai trò quan trọng của các con số và nhận thức toán học Hơn nữa, ông còn có nhiều quan điểm biện chứng sâu sắc về mối quan hệ giữa số chẵn và số lẻ, số hữu hạn và số vô hạn, giữa tính thống nhất và tính nhiều vẻ, vân động và đứng ... triết học khoa học tự nhiên chưa có phân biệt rõ rệt nhà triết học vật đồng thời nhà khoa học tự nhiên Triết học vật mộc mạc biên chứng tự phát cổ đại Hy Lạp gọi triết học tự nhiên Nhận thức triết. .. bên triết học vật Chương 2: VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC I Tác động triết học đến phát triển toán học: Qua tìm hiểu sơ lược mối quan hệ triết học khoa học tự nhiên, ta... II Triết học sở giới quan phương pháp luận toán học: Mỗi khoa học giới quan phương pháp luận riêng Toán học xem khoa học nghiên cứu quan hệ số lượng, hình dạng logic giới khách quan khoa học