Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là một ý tưởng hay về phương pháp chia biểu thức chứa căn để phân tích PT vô tỉ thành nhân tử của Đỗ Hoàng Việt (một thành viên của VNC Team). Phương pháp này khi kết hợp với những phương pháp khác trước đó sẽ có thể giải quyết gần như tất cả phép chia các biểu thức chứa căn. Mời các bạn đón đọc và ủng hộ cho VNC Team
V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn VNCASIOer Team CHIA BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẰNG SỐ PHỨC Tác giả: Đỗ Hoàng Việt (facebook.com/viet.kynl.771) Chia biểu thức chứa vốn phương pháp hay để ép tích PT vô tỉ đề thi ĐH, đề tài nghiên cứu nhiều CASIOer Và ý tưởng sử dụng số phức Đỗ Hoàng Việt ý tưởng vừa lạ vừa hay để góp phần giải vấn đề này, phạm vi phép chia chứa mà kết có dạng u v1 f1 v2 f2 fn (u, v1, , vn, f1, , fn đa thức biến x) Nghĩa kết không chứa tích phương pháp ngon ăn! Nguyên lí chung việc chia biểu thức chứa nhiều tìm hệ số (là đa thức nhân với căn), ta vào giá trị ứng với giá trị X gán vào không, để từ phân tích hệ số kèm Khi sử dụng phương pháp số phức, ta quan tâm đến giá trị bao nhiêu, ta thay cần tìm hệ số i (đơn vị ảo) thao tác thứ MODE số phức CMPLX ( MODE ) I CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP Xuất phát điểm Xét phép nhân n biểu thức chứa với nhau: u1 v1 f Ta nhận thấy thay u v f u v f 2 n n f i kết có dạng a bi b hệ số f kết (ứng với giá trị x xác định mà ta gán) Sở dĩ vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn chắn số ảo i có tính chất giống với tính chất căn, i 1 f f Do đó, dù tất i ; i ; kết tính bị mất, không ảnh hưởng đến hệ số f biểu thức , f , f Từ phép nhân này, ta nghĩ đến phép chia, liệu thay i thực phép chia số phức cách tương tự? Xét phép chia u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 ) f u2 v2 f , giả sử thay u1 v1 f f i , ta được: u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 )i u2 v2i , cần lấy hệ số i kết có u1 v1i thể suy v , phải không? Rất tiếc lại Các bạn thực thao tác chia số phức kiến thức cũ học để thấy kết thực sao: u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 )i u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 )i u1 v1i u1 v1i u1 v1i u1 v1i u12u2 u2v12 u1v1v2 ( f 1) v2 u12 v12 f i u12 v12 Nghĩa hệ số i phải v2 u12 v12 f u12 v12 2 u12u2 u2v12 u1v1v2 ( f 1) v2 u1 v1 f i u12 v12 u12 v12 v Do đó, muốn v , ta u12 v12 f phải cho 2 Muốn vậy, thay nhân u1 v1i vào tử mẫu u1 v1 phép chia, ta nhân u1 v1i vào tử nhân u1 v1 f vào mẫu, kèm với việc giữ nguyên f mẫu, tức là: vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn u12u2 u1v1v2 ( f 1) u2v12 v2 u12 v12 f i u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 )i u1 v1i u12 v12 f u1 v1 f u1 v1 f u12u2 u1v1v2 ( f 1) u2v12 v2 i u12 v12 f Vậy gán X 1000 tính u1u2 v1v2 f (u1v2 u2v1 )i u1 v1i , ta thu u1 v1 f u1 v1 f kết có dạng a bi b v2 (1000) , từ dễ dàng suy v Đó khác biệt phép nhân phép chia thông qua số phức Mở rộng Phép chia tổng quát u1 v1 f u2 w1 f1 wn fn thực f1 fn u1 v1 f1 vn1 fn1 Un suy từ phép chia phía Bằng cách đặt u2 w1 f1 wn1 fn1 Vn ta viết dạng giống làm: tìm w n ta việc tính f Vn wn fn Lúc để Un fn f U v i n n (nhớ Un fn Un fn fn f thay i) X 1000 (hoặc 100) bóc lấy hệ số i xong Nói chung, để tìm hệ số u1 v1 f f1 v k fk ( k 1, n ), ta cho X 1000 (100) tính u1 v1 f1 v k i fn fk fn u1 v1 f1 v k fk fn sau lấy hệ số i để suy hệ số Phần lại u2 u1 v1 f w1 f1 wn fn dễ dàng tìm f1 fn vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Một cách tương tự, phép nhân biểu thức chứa với mở rộng từ thành nhiều Kết hợp phương pháp khác Sự đòi hỏi phải kết hợp phương pháp số phức với phương pháp phổ biến gán giá trị X cho cần tìm hệ số có giá trị vô tỉ (phân tách căn), hay áp dụng công thức AB Bùi Thế Việt, xuất phát từ việc mở rộng phạm vi áp f dụng Chưa kỹ thuật đơn lẻ số giải hết tất phép chia biểu thức chứa Chúng ta lấy trường hợp mà phương pháp số phức bế tắc chiến đấu Đó kết phép chia có chứa tích căn, chẳng hạn kết có dạng u v1 f v2 g v3 fg , tức u v1 v3 g f v2 g Lúc này, thay f i ta kết a bi b v1 v3 g nên số vô tỉ, truy hệ số f Tương tự, tìm hệ số g Để giải trục trặc này, ta phải kết hợp với phương pháp phổ biến biết Phương pháp thứ gọi gán giá trị tách căn, tức chọn giá trị X nhỏ thay vào cho g số vô tỉ, đó, máy hiển thị kết a m n t i b m n t , từ việc b v1 v3 g ta tìm v1 v3 Phương pháp thứ hai áp dụng công thức Bùi Thế Việt Thay X 1000 (hoặc 100; 1 ; ), tính kết a1 b1i bình thường (lúc a1, b1 vô tỉ), sau 100 1000 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn lưu b1 A Tiếp theo ta quay lại đổi dấu trước g tử lẫn mẫu phép chia (mọi thứ khác giữ nguyên cũ), bấm kết a2 b2i Ta lưu b2 B , từ suy ra: v1 AB AB v3 2 g Qua VD sau đây, bạn thấy rõ hiệu phương pháp số phức đứng lẻ kết hợp với phương pháp nói II VÍ DỤ MINH HỌA VD1 x x 3x x x x i vào Phép nhân biểu thức chứa số phức đơn giản, thay MODE số phức phím MODE , nhập: X 2i X X 2i Gán X 1000 ta kết quả: 2999996998 9,99999006.1011 i Hệ số i ứng với hệ số x hệ số lại bạn đừng hiểu nhầm ứng với phần lại kết quả, chứa i 1 x2 x 1 2 Sử dụng phương pháp xấp xỉ, ta có: 9,99999006.1011 1012 X Sửa lại biểu thức: (2 X i) X 2i X Xi X 4i , bấm hệ số i giảm xuống 993996 106 X Lại sửa thành: (2 X i) 2 X 2i X Xi X 4i X 2i , bấm hệ số i 6004 X Cuối thay nhiều giá trị X nhỏ xấu vào biểu thức (2 X i) X 2i X Xi X 4i X 2i Xi 4i để thử lại kết quả, ta thấy kết không chứa i (hay hệ số i 0) Vậy hệ số là: x x x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Sửa lại biểu thức: X X 3X X X X X X X Cho lại X 1000 ta được: 2,003003997.1012 2.1012 2X Quay lại viết thêm 2X vào đuôi biểu thức, bấm thu được: 3003996998 3X X 3X Vậy kết nhân là: 3x x 3x x x x x Đúng với ý nghĩa VD minh họa, toán nhằm cho thấy trực quan việc sử dụng máy tính nào, thực tế nhân tay nhanh Máy tính tốt với nhiều nhân tử nhân tử chứa nhiều sau VD2 x x 3x x x x 3x x Đặt 3x x X i , ta nhập biểu thức: X X X 2i (1 i) 1 3X X 3X X Cho X 1000 ấn ta được: 1000999 1000999i Hệ số i hệ số kết chia: 1000999 X X Các bạn đừng nhầm tưởng hệ số lại (cũng 1000999) ứng với phần lại không chứa (vì theo sở chứng minh thế!) Để tìm phần lại, ta lấy biểu thức đề trừ phần chứa tìm được: X X 3X X 3X X 3X X X X 1 X X Bấm ta được: 1001001 X X vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Vậy kết chia là: x x x x 1 3x x 3x 10 x x 4 x VD3 2 x 2 2 x Chỉ có căn, ta tìm hệ số x trước Vào MODE CMPLX thay x tử i nhập: 3X 10 3i 2 X 2 X 4i X 2 X i 2 X 2 X 2 2 X Hết sức ý điều kiện 2 x , ta bấm CALC cho X kết quả: 100 10,19353377 i , hệ số i hệ số x , tức 1 Tìm hệ số x , ta sửa biểu thức thành: 3X 10 X 6i 4i X X 2i X 2 X X 2 X Bấm thu 1,251575133 2i hệ số x X 10 X X 4 X X 2 X , nhấn Phần lại bằng: 2 X 2 2 X ta Vậy kết chia là: x 2 x VD4 x 5x x 3x 1 x x x x x 2 x x(x 1) 2x2 x x x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Biểu thức dài, nhập f U v i n n công thức Un fn Un fn tràn hình, ta nhân riêng Ta tìm hệ số x trước, thay x tử i, nhập biểu thức: X X X i X 1 X X X 3 X i 2 X X 2X X X X 2X X i X Cho X 1000 , kết kệ ta tính tiếp: Ans 2X X X X Kết là: 2000093,9 1000i Hệ số i nguyên ( 1000 X ) nên chắn kết không chứa tích Vậy hệ số Để tìm hệ số đề, tức là: x , ta lại thay x x x tử i, lại phải giữ nguyên X X X X X iX X X i 2 X X 2X X X X 2 X 2i X X 2029,591176 3i Hệ số i Bấm nhân tiếp: Ans 2 X X X X hệ số x 1 Để tìm phần lại, ta tính biểu thức gốc sau trừ tìm được: X X X X X X X X X 2 X X ( X 1) 2X X X X X 1000 2031716,692 Ans X X X 1999999 X Vậy kết chia là: 2x2 x x x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m VD5 RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x x x2 x 3 x x 1 Chú ý điều kiện x , ta tìm hệ số i X X X i X 3 X X 1 3 X X 1 Cho X X x trước, cách nhập: ta kết quả: 1,329775229 0,555i Cẩn thận hơn, lại gán tiếp 100 , thu được: 1,440073274 0,5163113883i Hệ số i vô tỉ chứng tỏ kết 1000 chia có chứa tích x(3 x) Vì thế, ta phải kết hợp phương pháp khác làm tiếp Cách Gán giá trị tách Kết chia có dạng u v1 x v2 x v3 x(3 x) u v1 v3 x theo phương pháp gán giá trị tách căn, ta lựa X cho x v2 x X vô tỉ 3 34 i Lần lượt cho X , X ta được: 2 i Hệ 2 số I hệ số v1 v3 x x kết quả, suy v3 Ta lại có 3 1 v1 (2) , v1 (3) , gán thêm X ta i v1 (0) Từ giá trị 2 2 1 dễ dàng suy v1 x 2 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 1 1 Vậy tạm thời kết chia u x x v2 x x(3 x) , hay 2 2 1 u (x 1) x v2 3 x x 2 Sửa biểu thức thành Gán X X i X2 X 3 X X 1 3 X i 1 3 X X 1 , để tìm hệ số x ta 1,237443343 0,8695808233i Hệ số i vô tỉ đơn giản 1000 v mà v2 1 x , ta tính tiếp: Ans i X , thu 2 1,237443343 5.104 i , lúc hệ số i v Vì 5.104 u 1 X nên v2 x Cuối ta có: 2000 2 X X X2 X 1 ( X 1) X X X X (3 X ) , bấm 2 3 X X 1 số đẹp: Vậy kết chia là: 1 1 (x 1) x x x x(3 x) 2 2 Cách Áp dụng công thức Bùi Thế Việt Đầu tiên tìm hệ số x , tính i X X X i X 3 X X 1 3 X X 1 ta được: 1,440073274 0,5163113883i vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm với X 1000 V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Ta lưu hệ số i vào A, nhấn SHIFT STO bình thường được, nhập tay 0,5163113883 lại sai số, ta lưu cách sau: nhập biểu thức Ans Conjg(Ans) 0,5163113883 A (các bạn sử dụng SHIFT 2 để 2i nhập Conjg(Ans)) Chịu khó mày mò chút MODE số phức bạn hiểu phép lưu Theo Cách 1, hệ số thức i x v1 v3 x , nên ta đổi dấu trước X X X i X 3 X X 1 3 X X 1 cú pháp B: Quan sát hệ số i lưu vào Ans Conjg(Ans) 0,4846886117 B 2i Theo công thức BT.Việt, ta có v1 v3 X , biểu AB 1 1 0,5005 X , 2 2000 2 AB X 1 1 x(3 x) Đến Do kết chia tạm thời u x x v2 x 2 2 bạn làm tiếp Cách (dùng tiếp công thức BT.Việt lâu hơn) 3x (x 2)3 (x 5) x 2 x 5x VD6 2x x Bài gán X lớn thoải mái, trước tiên ta nhập: 3X 2(X 2)i (X 5) X 2i X X 2i 1 X X 1 X X 1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m Biểu thức để tìm hệ số RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x , với X 100 ta 28,35489376 hệ số i, nhìn qua biết kết có chứa tích căn, tức có dạng: u v1 x v2 2x v3 2x 5x u v1 v3 2x x v2 2x Cách Gán giá trị tách Để tìm v1 v3 X hệ số x , thay cho X 100 ta cho X nhỏ 0; 1; 2;… cho X mang giá trị vô tỉ Chẳng hạn với X gán vào biểu thức phức nhập, ta kết không hài lòng 68 3,464101615i , 13 giá trị cần lấy hệ số i lại không hiển thị dạng Tuy nhiên ta biết 2X X 1 , nên dễ dàng nhận thấy 3,464101615 2 Tiếp tục, với X , ta kết khác với hệ số i 4,472135955 dễ dàng nhận thấy 2 2 X X 2 v Từ kết suy v1 v3 X 2 X , tức , kết v3 2 là: u v2 2x 2x 5x , hay viết thành u v2 x 2x Bây tìm v2 x , tức hệ số 2x , ta thay 2x thành i nhập: 3X 2(X 2) X (X 5)i 2i X i X 1 X X 1 X X 1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Cho X 100 thu 201,186789 20,19900988i Hệ số i lúc v2 x nên để tìm v ta phải cộng kết với 2i X , nhằm triệt tiêu 2 x Và ta kết không chứa i: 201,186789 Như v2 Cuối để tìm u, ta tính biểu thức X 100 : X 2( X 2) X ( X 5) X 2 X X 2 X 5X 2X X Thu 303 3X Vậy kết phép chia: 3x 2 x 5x Cách Áp dụng công thức Bùi Thế Việt Lưu hệ số i tính vào A: Ans Conjg(Ans) 28,35489376 A (sử 2i dụng SHIFT 2 để nhập Conjg(Ans)) Tiếp theo đổi dấu trước X (vì ta tìm biểu thức v1 v3 X ), ta được: 3X 2(X 2)i (X 5) X 2i X X 2i 1 X X 1 X X 1 Bấm lấy hệ số i lưu vào B: Vậy ta được: v1 Ans Conjg(Ans) 28,35489376 B 2i AB AB 2 v3 2 2X Tìm đến rồi, phần lại v2 u bạn thực giống Cách nhanh vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn VD đủ để bạn nắm rõ phương pháp này, thử mang áp dụng vào toán phương trình, hệ phương trình bạn để thấy sức mạnh chinh phục nó! Vì tài liệu biên soạn thời gian ngắn nên có sai sót chưa hoàn thiện dù nhóm tác giả cố gắng, mong bạn đọc bỏ lỗi góp ý để lần tái sau hoàn thiện Mọi thắc mắc phương pháp ib tác giả Đỗ Hoàng Việt: facebook.com/viet.kynl.771 liên hệ với VNC Team: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam Xin cảm ơn! vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm [...]... A Ad dm miinn Ta sẽ lưu hệ số của i vào A, không thể nhấn SHIFT STO như bình thường được, nhưng nếu nhập tay 0,5163113883 thì lại sai số, vậy ta sẽ lưu bằng cách sau: nhập biểu thức Ans Conjg(Ans) 0,5163113883 A (các bạn sử dụng SHIFT 2 2 để 2i nhập Conjg(Ans)) Chịu khó mày mò một chút về MODE số phức là các bạn sẽ hiểu ngay phép lưu này thôi Theo Cách 1, hệ số của thức i 3 x là v1 v3... NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m Biểu thức này để tìm hệ số của RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x 2 , với X 100 ta được 28,35489376 là hệ số của i, nhìn qua đã biết kết quả có chứa tích 2 căn, tức là có dạng: u v1 x 2 v2 2x 1 v3 2x 2 5x 2 u v1 v3 2x 1 x 2 v2 2x 1 Cách 1 Gán giá trị tách căn Để tìm v1 v3 2 X 1 là hệ số của x 2 , thay vì cho X 100... cho 2 X 1 mang giá trị vô tỉ Chẳng hạn với X 1 gán vào biểu thức phức đã nhập, ta được kết quả rất không hài lòng là 68 3 3,464101615i , vì 13 giá trị cần lấy là hệ số của i lại không hiển thị ở dạng căn Tuy nhiên ta biết rằng 2X 1 X 1 3 , nên dễ dàng nhận thấy 3,464101615 2 3 Tiếp tục, với X 2 , ta được kết quả khác với hệ số của i là 4,472135955 và cũng dễ dàng nhận thấy nó là 2... 2 x 2 đi Và ta được kết quả mới không hề chứa i: 201,186789 Như vậy v2 0 Cuối cùng để tìm u, ta tính biểu thức này tại X 100 : 3 X 3 2( X 2) X 2 ( X 5) 2 X 1 2 2 X 2 5 X 2 2 2 X 2 5X 2 2X 1 2 X 2 1 Thu được 303 3X 3 Vậy kết quả phép chia: 3x 3 2 2 x 2 5x 2 Cách 2 Áp dụng công thức của Bùi Thế Việt Lưu hệ số của i tính được ở trên vào A: Ans Conjg(Ans)... 1 cú pháp trên B: Quan sát hệ số của i và lưu nó vào như Ans Conjg(Ans) 0,4846886117 B 2i Theo công thức của BT.Việt, ta có v1 v3 X , được biểu AB 1 1 1 1 0,5005 X , và 2 2 2000 2 2 AB 1 2 X 2 1 1 1 x(3 x) Đến đây các Do đó kết quả chia tạm thời là u x 3 x v2 x 2 2 2 bạn có thể làm tiếp như Cách 1 (dùng tiếp công thức của BT.Việt cũng được nhưng sẽ... Conjg(Ans) 28,35489376 A (sử 2i dụng SHIFT 2 2 để nhập Conjg(Ans)) Tiếp theo đổi dấu trước 2 X 1 (vì ta đang tìm biểu thức v1 v3 2 X 1 ), ta được: 3X 3 2(X 2)i (X 5) 2 X 1 2i 2 X 1 2 X 1 2i 1 2 X 1 2 X 2 1 2 X 1 2 X 2 1 Bấm và lấy hệ số của i lưu vào B: Vậy ta được: v1 Ans Conjg(Ans) 28,35489376 B 2i AB AB 2 0 và v3 2 2 2X ... v2 2 x 2 , tức hệ số của 2x 1 , ta thay 2x 1 thành i và nhập: 3X 3 2(X 2) X 2 (X 5)i 2i X 2 i 2 X 2 1 2 X 1 2 X 2 1 2 X 1 2 X 2 1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Cho X 100 thu được 201,186789 20,19900988i Hệ số của i lúc này chính ... nhân biểu thức chứa số phức đơn giản, thay MODE số phức phím MODE , nhập: X 2i X X 2i Gán X 1000 ta kết quả: 2999996998 9,99999006.1011 i Hệ số i ứng với hệ số x hệ số lại... giá trị vô tỉ (phân tách căn) , hay áp dụng công thức AB Bùi Thế Việt, xuất phát từ việc mở rộng phạm vi áp f dụng Chưa kỹ thuật đơn lẻ số giải hết tất phép chia biểu thức chứa Chúng ta lấy trường... 1000999i Hệ số i hệ số kết chia: 1000999 X X Các bạn đừng nhầm tưởng hệ số lại (cũng 1000999) ứng với phần lại không chứa (vì theo sở chứng minh thế!) Để tìm phần lại, ta lấy biểu thức đề trừ