Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Lời nói đầu Trong năm gần đề thi thpt Quốc Gia có thay đổi hình thức chất lượng đề thi,theo kể từ năm 2015 đề thi định hình rõ hệ thống câu phân loại bao gồm:Pt,hpt,Bpt – Hình học tọa độ phẳng Oxy – BĐT Trong pt – hpt – bpt câu em có khả lấy điểm cao nhất, mức độ câu phân loại cần đến tư cao tư tổng hợp cho toán,tuy nhiên thầy muốn em ghi nhớ điều tất không vượt em học, trang bị cho kỹ kiến thức có thể, có em không bị phương hướng ta gặp toán “ mà cũ” đề thi.Để giúp em tự tin làm chủ phần hpt cố gắng biên soạn tài liệu nhỏ cách chi tiết ,rõ ràng có hệ thống bao gồm Giải hệ phương trình phương pháp hàm số Giải hệ phương trình phương pháp Liên hợp Giải hệ phương trình ẩn phụ không hoàn toàn kết hợp phân tích nhân tử Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá, bđt Phương pháp nhóm tích Do thời gian biên soạn cận kề với ngày tết truyền thống dân tộc nên chưa viết thật nhiều ví dụ,nhưng hi vọng với phân tích cụ thể qua ví dụ em tự rút phương pháp giải cho thân Cuối xin chúc em gia đình mùa xuân với nhiều niềm vui,sức khỏe tràn đầy hạnh phúc.Chúc cho ước mơ dự định em năm trở thành thực,chúc cho em vững tin vào thân – gạt bỏ tất hoài nghi để vượt lên em Thân ái! Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Đại Dương Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh A.GIẢI HPT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Cơ sở lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  lien tục xác định D - Nếu y  f  x  đơn điệu nghiêm ngặt D phương trình f  x   k có tối đa nghiệm - Nếu y  f  x  đơn điệu nghiêm ngặt D f  u   f  v   u  v  x y  2x  2y  5y    1 Bài Mẫu 01  2 2  y   x  y  2xy  x  x  2xy  y   y   x  y  ĐK :  y  Từ pt (2) ta cho x = 100; y = 100 thu x = 200 = 2y , đồng thời thay x = 200; y = 100 vào biểu thức  y  xy   pt (2) ta có  x  2xy  y   y    2xy  x Vậy ta kết hợp đại lượng với 2     y  xy   x  2xy  y   y   x  2y  x     x    2y  x    x   ( x = y = không nghiệm)  y  xy   x  y    y2     x  2y(a)    x  y   y2         x   0x  2  y  xy   x  y    y     thay (a) vào (1) đc : 4y  10y  5y    y  2  x  4 hệ có nghiệm Chú ý ta tìm x = 2y cách viết lại pt (2) sau y2   y  y   x  y 2   x  y   x  y   f  t   t   t  t 2t   4x 8x   12y   4y  13y  18x  Bài mẫu 02 :   4x  8x  2x   2y  7y  2y  ĐK : x  Từ pt (1) cho Y = 100, x = 100 shitf – solve thu  x = 5101  2x  10202  10000  200   y  2y   2x   y    3  ta viết lại pt (1) dạng mới: 2x   2x    y  1   y  1  f  t   4t  t  f '  t   12t   0t  R Vậy ta có 2x   y   2x  y  2y  Chú ý: việc tìm hàm đặc trưng làm sau,từ biểu thức y ta có f  y   4y  12y  13y   f ''(y)  24y  24  24(y  1)  t  y  Để tìm hệ số ta dùng phương pháp đồng hệ số  Thay 2x – = y    vào (2) thu y  y  y   5y   Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh    xy   x  y   y  1   Bài mẫu 03: Giải hệ phương trình  4y  1 4 3   2  xy xy   3y   y Hướng dẫn:     y  ĐK:   xy    xy   Phân tích casio,từ pt (1) shift – Solve với x = 100; y = 100 ta thu x = 1/100 = 1/y Quan sát pt(1) ta thấy rõ ràng có dấu hiệu hàm đặc trưng, biến x , y chưa độc lập bên trái chứa y ,điều khiến ta suy nghĩ tới việc làm để biến đọc lập, ý tưởng đặt chia vế cho y Nhận xét: y = nghiệm hpt  y  y  y   vt(1)   x  Y+ Chia vế pt(1) cho y ta có: x  x  x  1 1    f  x  f   y y y y  Xét f t  t  t  t ; t   f '(t)    t  t2 1  0t f  x   f    x  y  t2 y    2 1  1 y   xy    Thay x = 1/y vào (2) ta có 4y  3y    y   (L); y  1(N)  x   x  y  17x  32y  6x  9y  17 Bài mẫu 04 :   y   x    x   2y  x   x  9y    Lại có:   3y   y   Hướng dẫn giải x   ĐK :   2y  x   Phân tích casio : từ pt(1) shift – Solve với X = 100 ; Y = 100 ta có x = 99 = y – 1, mặt khác biến (1) độc lập với ta tiến hành tìm hàm đặc trưng sau, viết lại (1) x  6x  17x  17  y  9y  32y  f  x   f  y            Có f ' x  3x  12x  17  f '' x  6x  12  x  ; f '' y  6y  18  y  ta xác định x – = y – ; đồng hệ số,ta tìm  : x   3   x     y     y    f  t   t  5t  f '  t   3t   0t  R Vậy x – = y –  x  y  thay vào (2) ta có :  x  3 x    x   x  11  x  9x  10    x   x    x   x  11  x  9x  10    Bằng casio ta nhận thấy pt có nghiệm x = nhận định dùng phương pháp nhân lượng liên hợp để giải pt lại,tuy nhiên với đk x  4 x + chưa xác định dấu  liên hợp ta cần làm xuất x   muốn ta giả sử lượng cần liên hợp với ; b   x   x  ta viết lại pt (3) sau : 4 x  11  x  11    2x  6x  80    5(nghiệm) x = -3 (vì muốn có x + 3) vào ta có a   x   x   x    x  9  x   ax  b thay x = Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh   x   x     x5    x  3     x   x  11     x   x      x  11   x   x    x  3   x   x  11  x    x = nghiệm nên hpt có    x  5    x 7  x  4  x  11   nghiệm ( ; 6)  2y  y  2x  x   x  1  Bài mẫu 05 :  2   4y  2x  6y    Phân tích casio : 2y  y  2x  x   x; shift  solve; X  100; Y  100  x  9999   y  Do pt (1) có : Các biến độc lập với  x từ x   y   y   x từ cho ta kết luận pt (1) có hàm đặc trưng có Y   có f y  f    x hay  1  2y  y  1  x    x  f  t   2t  t  Vậy có f ' t  6t   0t  R  y   x thay vào (2) ta có :  4x  2x  6x   x  y  3y  3x   1  x  Bài mẫu 06 :  ĐK :  2 2  2y  y   x   x  2y  y   Phân tích casio : Nhập pt (1) : x  y  3y  3x  2; shift  Solve; x  100; y  100  x  99  y  Cũng giống vd5 ta có:  x  1   x  1  y  3y  f  t   t  3t ; t  0;   f '  t   3t  6t  0; t  0;  (chú ý: tìm đk cho t ta tìm đk cho x + cho y cộng đk lại có đk cho t trên) t  vi : t   x  t   3(L)  Vậy thay y = x + vào (2) ta có: x   x    t  2t      2y  12y  25y  18   2x   x   Bài mẫu 07 :  2  3x   3x  14x    4y  y Hướng dẫn giải :  x   6  y  y   ĐK :  Phân tích : Do phương trình (1) biến x y độc lập, cách tự nhiên ta tìm hàm đặc trưng cho pt ta có  f  x    2x   x    x   x   x   x   x   f  y   2y  12y  25 y  18  f ''(y)  12  y  2  f  y    y     y      Vậy ta có hàm đặc trưng cho     pt(1) : f t  2t  t  f ' t  6t   ; t  R  f y   f   x  y2 x4 Thay vào pt(2) ta có : 3x   3x  14 x    x  3x    x  3x  14 x        3x      x  3x  14 x   Chinh phục hpt 3 x   Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh x5   x   3x  1  3x     x    x  5    3x  1   3x     x  x      x =  y  nên hệ có nghiệm (2 ;1)   3x   ; x   ;   3x     x 3      x  y  y  x  2y y  x  x  Bài mẫu 09 :giải hệ pt   x  x  x   x  y  1   Hướng dẫn giải :  y   x  x   Đk :  Quan sát thấy hpt phức tạp dấu hiệu hàm đặc trưng biến x ;y không độc lập số mũ không đồng nhất,do ta nhận định toán có hướng khác,thật    2y y   x  x   y  y  1    x  x   y y     x  x  y y      x   x   y  1  y   f  x   f  Pt(1)  x  x 3 3 3 3 y 1  Tới chuyện rõ ràng : Xét f  t   t  t  f '  t   3t   0; t  R  f  x  f  y   x  y  hay x   y  1 (ĐK x  ) Thay vào (2) ta có :  2  x  x  x2   x    x   x  x  1  x  x     x  x  1  x  0    x  x2   x   Do x   x  0  x  x2  Vậy với x   y  1; x   y  nghiệm hpt :(0 ;1) (1 ; 2)  x  3x  x  22  y  3y  y(1)  Bài mẫu 10 :Gải hpt :  2 x  y  x  y   2  Hướng dẫn giải : Quan sát pt(1) ta thấy toán có dạng hàm đặc trưng biến x ;y độc lập với có số bậc bậc 3,cách tìm hàm đặc trưng cho kiểu đa thức sau : f  x   x  3x  9x  22  f ''  x    x  1 Xét   x   y  (dự đoán vậy) f(y)  y  3y  y  f ''  y   6(y  1) Từ nhận định ta dễ dàng viết lại pt(1) sau :  x  1 3  12  x  1   y  1  12  y  1  f  x  1  f  y  1   Xét hàm số : f t  t  12t;  f ' t  3t  12 ??? mà f '(t) không xác định dấu ??? Một cách tự nhiên ta suy nghĩ xem liệu có đk không ?nhưng quan sát thấy toán ???vậy đk lấy đâu để chứng minh ?Xin trả lời em chưa dùng đến pt(2),pt(2) có dạng bậc Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh ẩn x bậc ẩn y ta tìm đk để pt có nghiệm ( tính  x ;  y ).bài không cần   2 1  x      x    1  1  3 : pt(2)   x     y        t   ;  2  2   2  1  y      y     2  3      Vậy f ' t  ; t    ;   f x   f y   x   y   x  y  2    x  12x  15 x    y  1 2y   1 Bài mẫu 11 : Giải hpt :  6  x   y  x  26  16x  24y  28  2 Hướng dẫn giải :ĐK : y  Quan sát pt (1) ta thấy biến độc lập,cùng bậc,do ta nghĩ tới việc tìm hàm đặc trưng cho pt  pt(1)  x  24x  30x  14  2y    2x     2x       2y  2y   2y   f  2x    f  2y    Xét f(t) = t  3t  f ' t  3t  ; t  R   Vậy f 2x   f  x  2y   2x   2y     2y  x  x        Thay vào pt(2) ta có x  x  8x   x  26  16 x  12 x  8x   28  3   6x  24 x  31x   6 x  10 x      2x     x     x  2    x  1 x   x   y  3y  y   1  Bài mẫu 12 : Giải hpt   x  2x  x  y  14 y  19  3  y  1   Hướng dẫn giải :ĐK : x  2 Phân tích casio :Nhập pt(1)  x  1 x   x   y  3y  y  : Shift  Solve; X  100 , Y  100 Ta kết quả: x  10199  10000  200   y  2y  Quan sát pt(1) ta phán đoán x  y1   VT1   x   x   x    x    x   f Thật :   VP1   y  1   y  1  f  y  1    x2   Xét f t  t  2t; t  R  f ' t  3t   ; t  R Vậy f   y  1 x   f  y  1  x   y    thay vào pt(2) ta  x    y  1  pt  1  x  2x  6x  12  3  x   dùng casio dễ dàng ta biết pt có nghiệm x = -1 ta phán đoán toán dùng liên hợp,vấn đề với liên hợp bình thường khó để chứng minh nghiệm nhất,trong trường hợp ta nghĩ tới truy ngược dấu.Viết lại pt(1) sau 3x  x  18x  36  9  x  2  Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh     x  2  81  x       x  2  3x  6x  18x  36      x  1 x       x  3x  9x  18    x  2 81  3   2 x  81  81 x   81           81  x    x      x  1  3x  9x  18   3  2   x   81  81  x    81  x   81  x    x    f  x   3x  9x  18   3x  x  18     x  2 812  81  x  2  81   23  3x   x   20  3y   y  1 Bài mẫu 13:Giải hệ phương trình   2x  y   3x  2y   3x  14 x    Hướng dẫn giải x   y  ĐK:   2x  y    3x  2y   Phân tích casio  Nhập pt(1): 23  3x   x   20  3y   y ; Shift  Solve : Y  5; X   x   y  Quan sát pt(1) phán đoán  x   y  x  y  ta phân tích pt(1) sau  VT1   23  3x   x    x   x   x    x    x pt  1 :  VP   20  3y   y    y   y   y    y    y  1 Vậy pt (1)  f    7x f 6 y    Xét f t  3t  3t; t   f ' t  9t   0; t  Lúc đó:  f    7x f   y   x   y  x  y  , thay vào pt(2) ta có   pt( 2)  3x    x  3x  14 x    DK :   x   (2’)   Phân tích casio Nhập pt(2’) 3x    x  3x  14 x  8; Shift  Solve : X   x  Bài toán có căn,một cách tự nhiên ta tìm đại lượng liên hợp; thay x = vào thức ta có kết  3x   3.5    3x   đại lượng liên hợp cần tìm     x    1   x Ta pt(2’)      3x      x  3x  14 x    3x  15 x5       x   3x  1   3x     x     x  5    3x  1    3x  1   x  Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh x        3x   ; x    ;    3x  1   x   Vậy x = ; y = nghiệm hpt cho  x  2x   2y  1 Bài mẫu 14: giải hệ pt   15  2x   x   y   2y   2  x   x  x   y y   x  y   1 Bài Mẫu 15 : Giải hệ phương trình  2  x   x  y  x   x  y    Hướng dẫn giải : ĐK : x  y   Ví dụ 16 :  y   x   xy  y   Giải hệ pt sau:   x  xy  y   x2  y   2 x  y   x  4 / Phân tích:Đk:   y  1/ Nhập pt:  x  xy  y  2x2  y   2x  y Shift + Solve với Y = 100, X = 100 ta có kết Như có nhân tử x - y Tiếp tục nhâp X = Y = 100 vào thức ta có Do ta nhận định đại lượng kết hợp với hai 2x 2y x + y Tuy nhiên quan sát thấy hai thức chứa đồng thời x , y mà vế phải ( x + y ) nên ta suy đoán đại lượng cần dùng x + y Câu hỏi : Sau biết đại lượng liên kết với ta dùng phương pháp để làm xuất nhân tử chung LIÊN HỢP hay ĐÁNH GIÁ Trả lời : dùng hai nhiên kinh nghiệm cho thấy toán có tổng việc đánh giá nhanh so với liên hợp,ta tiến hành đánh sau : 2 x  y  x  y  x  y   x  y    x  y   dấu (=) xảy x = y  x  xy  y   x y   x  xy  y  2   x  y    x  y   dấu (=) xảy x = y Vậy pt (2) xảy x = y.thay vào phương trình (1) ta có (1)  x   x   x  x  Dùng casio cho ta hai nghiệm x = 0, x = ta xác định đại lượng cần liên hợp với thức x + x + 2(cái quen nhé)    Pt   x  1  x   x   x   x  x   x  x  1  x   x   1   0  x   x  x   x   x   3x    0 x   5x   Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh     x  x  2x   y  y    1  Ví dụ : Giải hệ pt :   y  xy   2014  y  2y   2015x    Hướng dẫn giải : ĐK : y  xy   Nhập pt (1) (x  x  2x   1)(y  y  1);shift - Solve Y = 100; x = 100  x=-101= - y - hay x + = - y Quan sát vào cấu trúc pt (1) ta thấy pt(1) có dạng hàm đặc trưng, vấn đề làm để độc lập biến x ; y xuất hàm đặc trưng ? y   y  y  y  y   nhân hai vế (1) cho y  y  ta có : Nhận xét : 1   x      x  1    x  2x    y  y   x  1   1  y    y   t  Xét f t  t  t   f ' t         f  x  1  f   y  1 t2   Vậy f x   f  y  y   x  thay vào (2) ta x   x   2015 x  2014    x2     x    2015  x  1   x1  x1   x  1    2015   x2    x 83  x    x  x 1 x 1 x 1   2015  vi x    x     0 2 2  x   x 32 x 83 x 32 Vậy hệ cho có nghiệm x = ; y = -2 ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN – KẾT HỢP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ CASIO  2y   x  2  y  x    2xy   Bài : giải hpt   x   y   ĐK : x   y  Phân tích Casio cho phương trình (1)  Nhập 2y  x    y  x    2xy  9; shift  Solve  X  100; y  100  x  206  2y  Nhập tiếp: A 2y   x    y  x    2xy  x  2y   Vậy: 2y  x   calcx  100; y  1  A  99, 999  100   x  y3 100 1000000   y  x    2xy    x  2y   x  y   x  2y   x  y +) với x = 2y + thay vào (2) có:   +)Với x  y  pt2  2y   y    y3   y          y3     x  y  2y   y  y  x    Bài : Giải hpt   y   xy  5x   x  Hướng dẫn giải :ĐK ? Phân tích casio   2y     y2 2 0 y 6x ?  y 1   y   x  ? Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Thoạt nhìn ta thấy toán hoàn toàn không giống ví dụ 2pt chứa thức, nhiên may mắn Pt(1) có ta nghĩ tới việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nhưng đặt ẩn phụ không hoàn toàn có phức tạp không ?Liệu tính  có phương không ??? câu tả lời KHÔNG theo dõi lời giải sau để thấy việc dùng ẩn phụ không hoàn toàn không phức tạp em nghĩ đâu :     Đặt t  x   t   pt1  t  y  y  t  y  2y  (3)   Nhập x  y  y  x  y  2y; shift  solveX  100; Y  100  x  100  y có nhân tử chung x – y.(Chú ý coi t = x máy coi x biến thui) Nhập tiếp A   x  y  y  x  y  2y xy ; calcx  100; y  980001 A  98   x  y2  100 10000 10000 Nhắc lại x t   Lúc viết lại (3)  t  y t   y    y  t  y  x2   y   2 0 x   y thay vào (2)   t   y  2(L) Có lẽ tới quen thuộc rồi,thầy nhường lời giải lại cho em  3y   2y  x  1  y x  2y  Bài :   y  y  x    3y ĐK : x  2y   Phân tích phương trình (1) :Đặt t = x  2y  1; t  lúc (1) viết lại sau : t  yt  x  3y  2xy  Phân tích casio Lúc coi t ẩn x ; x = A ;y giữ nguyên nhập pt vào máy t  yt  A  3y  2Ay; shift  solve : X  100 ; A  100 ; y  1  t  100 , 01  100   Ay 100 100 Vậy pt có nhân tử t – A – y Nhậptiếp : t  yt  A  3y  2Ay 10497 calc : t  100; y  ; A   kQ   100    t  A  3y tAy 100 100 100 Vậy ta có kết phân tích sau (trả lại A = x nhé)  x  2y   x  y t  yt  x  3y  2xy   t  x  y  t  x  3y      x  2y   3y  x  2   y  x  2y  x  2y  3xy  Bài :   y   x  2y  2y  x ĐK : Phân tích casio : Đặt t = x  2y ; t  ;  1  t    y  t  x  2y  x  2y  3xy  Coi x = A (nhớ máy coi x biến thôi,mà ta coi t biến nên nhập t = x) ta có : X    y  X  A  2y  A  2y  3Ay; shift  Solve : X  100; y   X(  t)  100 , 02  100  ; A  100 100  A  2y có nhân tử X – A – 2y hay t – A – 2y 100 Chinh phục hpt Xét Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh f  x   x2  x   x2  x   f '  x   Xét : g  t   t t 3  g 't   2x 1 2 x  x 1 2x 1  2 x  x 1 2x 1   x  1  3 2x 1  x  1 3  0, t  R t  3 Do x   x   g  x  1  g  x  1  f  t  đồng biến ,nên (3)  f  x   f    x  2; y  Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 3) Chú ý: để phân tích y  x  xy  y    y  x  1 x  y  1 ta làm sau Nhập A  y  x  xy  y  1 Calc : X  100; Y   A  99,02  100  1  x  y  y  x 1 100 100  x  y  2 x  xy  y  x  y  xy 1 Bài Giải hệ phương trình :   x  y  x  y  3x  y    Hướng dẫn giải x  y   ĐK:  x  y   x  3xy  y   Phân tích casio: Nhập pt (1): x  y  2 x  xy  y  x  y  xy : shift  solve : x  100; y  100  x  100  y  x  y Là nhân tử chung pt Truy tìm lượng liên hợp  2 x  xy  y Calc : x  100; y  100  kq  200  x  y Nhập:  2  x  y  xy  20000 Ta viết lại (1): 2 x  xy  y   x  y   x  y  xy  (1’)  2 x  xy  y  Xét   x  y  (ko thỏa mãn)  x  y  Lúc 1'    x  y 2 2 2 x  xy  y  x  y   x  y      x  y   1   2 x  xy  y  x  y   1   2 x  xy  y Thay x = y vào pt (2) ta được: x   x  x  y  x  1  x  y  y 1  Bài Giải hpt    x   2y  x    y 1   2 Hướng dẫn giải , x  y  x  1  0, y  x   Phương trình (1)  x  y  x  1  y  x  y  Điều kiện: x  0, y  Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh x  xy  y  y  Vì x  y  x  1  y x y 0 x y    1 y 0 x y   x  y   x  y   x  y  x  1  y 1 y 1   0; y  thay x = y vào phương trình (2) ta x y x  y  x  1  y  Xét f  x   x2 x6   2x 1   x   x    f ' x  1   f  x  đồng biến x2 x6 Tương tự xét g  x   x     g '  x     g  x  đồng biến 2x 1 Vậy f  x  g  x    x2 x6    x   đồng biến Mặt khác f   g    hpt có nghiệm (x;y) = (7; 7)  x  y  x  x  y   y  y 1 Bài 6: Giải hpt   x  y    x   y   Hướng dẫn: pt(1)  x  y  y  x  x  y   y   x y   x  y  x  y   x  y  2y     x  y   x  2y   x  y  x  y  y  1  y  x  y  x    x  y  1 y 1 Bài giải hpt :   y  x  y   x  y  x  y    ĐK: y  0; x  y; x  y   pt1  1  y   x  y  1   x  y  1 1  1  y  x  y  1   x  y  11  y    x  y 1  y 0 1 y  1   1  y  x  y  1   0  x  y  1  y  y 1   y  x 1 Với y = ta có (2) : – 3x =  x    y  x  1;  pt   x  x    x   x  x  1   0 x 1   x    x2  x    x  1  x   x   x  y   xy  y 1  Bài 8.Giải hpt    x   y  x    x  3  Hướng dẫn giải: ĐK: x   x   x  y   0, xy  0,  x   y  x   Chinh phục hpt Xét thấy x = 0; y = không nghiệm hpt Từ pt(1) ta có y >    pt1   x   x   x  y   y  Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh  xy  y   8x  y  y  0   x  y    x   x   x  y   y xy  y    x  y  42x  y   y    0a  x   x   x  y   y xy  y  Ta cm (a) vô nghiệm cách cm:  x  y    0; x  0, y  Thật từ pt(2) ta có 3 x3  3  y  2x     x2      2x  y   4 x2  4 x2  Vậy thay x = y vào (2) ta có x = y =1  x  y  x   y  1  Bài   x  16  y  x   y  xy   Hướng dẫn ĐK: x  0; y  5; x  16  y  x   Pt (2)  x  16  y  x   xy  xy  y   x  16 y  0   x  y    x  16  y  x   xy xy  y    Ta chứng minh x – 16 < Thật  y 53 y 5  x 3 x3 5  Pt (1)     t  3t  x  x    t  y      x   x  Để pt(1) có nghiệm     x3    10  x  16  Vậy x = y PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài  x  y  y  x  (1) Giải hệ phương trình  2  x  xy  x  (2)  x, y    Lời giải Điều kiện: 1  x , y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz , ta có x  y  y  x2  x  y   x2 y  Do 1  x  y2  x     x2  y2  y   x2  x  y  Thay vào   , ta y x  x  x     x  1   x  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    1;  ▪ Chinh phục hpt Bài Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh  x   y   y2  2y  x  (1)  Giải hệ phương trình  x  x  y 1  x  x  y    x  1 y  1  (2) x 1     x, y    Lời giải Điều kiện: x  1, y  1  Xét hai vectơ: a    x  1; y  b   1;1 Ta có    a.b  a b  x  1.1   y  1    x  1   y  1  12  12   x   y   y2  y  x  x 1 y 1   x 1  y 1 1 Do 1  Ta có    x 1'    x  x  y    x  1 y   x  x  y  Áp dụng bất đẳng thức ab  a2  b2 , a , b   Ta có  x2  y 2  x  x  x  y   x  x x  y    2 x   y    x  x y2    x  1 y   2  Suy x   x  x  y    x  1 y    x  x  x  y Do      x2  y x2  2x  y    x2  x  y  2  2'   y   x   x   y   x   y   *  Điều kiện: x  y  Khi  y   x   x  y  y   x  x  y  x   y     *     x   y   x   y  Từ 1'   2'  , suy hệ cho tương đương        x  y    0  y  x    x   y      x   y   x   y   y  x x  x   y  x      x  x     x   x  y  y  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ phương trình cho là:  x; y    3;  Bài    Giải hệ phương trình    x2   x   y2   y  2 (1) 18 x  16 y  40 xy  34 x   x  x (2) ▪    1  x  0;  , y        Lời giải  1 Điều kiện: x  0;   3  x2   x  y   y  (3)  x   x  y   y (4) Phương trình 1 viết lại thành  Ta có       x   x  y  5x  y  x        5x  y   x   25x  40 xy  16 y  x  Chinh phục hpt Kết hợp với phương trình   , ta Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh x3  2x2    x  3x Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có x  x    x  x  1  x 1  x   1  x  x   x  x     x  (do x  0;  )  3  3 Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    0;  ▪  4 Bài  y  x   x x  (1)      Giải hệ phương trình   40 x  x  y 14 x   x, y    (2) Lời giải Điều kiện: 14 x  1, y   Lấy 1 cộng   vế theo vế, ta   x  x  1  y 14 x   y   x  1  40 x  x Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có (8 x  1)  y 14 x  1 8x     8x     y  14 x  3  2  y   x  1  40 x  x   x  1 x(8 x  1)  y 14 x   x  y2    x  1   40 x 2   x  8x  1 8 x    x    Dấu ''  '' xảy khi:  y  14 x     y    8 x   1 8  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    ; Bài  x xy y    (1) y  x   xy  Giải hệ phương trình    4 (2)  x 1 y 1  3    x, y    Lời giải Điều kiện: x , y  Ta chứng minh bất đẳng thức:  1    a  b  ab   * với a b dương, ab   Thật vậy,  *     a   ab  1  b   ab  1  a   b      a  b    ab  1  a 1  b    a  b  ab  ab  a  b  ab    ab  a b   với a b dương, ab  Dấu ''  '' xảy khi: a  b ab  Ta có ▪ Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh xy y x   y 1 x1 xy     xy  y x  2 xy  1 1     x  y  1    y 1 x1 xy  xy   x1 y 1  x  y   xy   Theo bất đẳng thức Cauchy  *  , ta có  1  x   y  xy   Do 1  x  y Thay vào   , ta  x 1 x 1   x1   x  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ phương trình cho là:  x; y    5;  Bài   x2  x  y  Giải hệ phương trình     1 x 1 y  xy  ▪ (1)  x, y    (2) Lời giải Điều kiện: x  1, y  1, xy  Từ 1 suy  x  Do  y  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có   1      12  12      1 x   x  y 1 y    Dấu ''  '' xảy khi: x  y  Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức:  1   với  x , y   x  y  xy  * * *    x  y    xy  1  x 1  y    x  y  xy  xy  x  y  xy   xy   x y   với  x , y  Dấu ''  '' xảy : x  y xy  Từ  *   * *  , suy    x  y Thay vào 1 , ta  x  1  x  x  x   x 1  x     x    1     Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    ;  , 1;1 2 Bài  xy  y x   12 y   Giải hệ phương trình  xy x   y  xy  y  x y  (1) (2) Lời giải Điều kiện: x  1, y  Phương trình    xy 1 1  1 y xy  y x x y 2   x, y    ▪ Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh  1  x 2 y   xy  y  1     y xy y x y   2'  a b2  a  b    m n mn 2 a b    m  n    m n  * Ta chứng minh bất đẳng thức: Thật vậy,  *    a  b  với a , b   m , n    a b2  a b   n Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có  m    m  n    m n  m n a b Dấu ''  '' xảy :  m n Áp dụng  *  cho vế trái  2'  , ta có     1  xy  y     y  xy  y  1  1 y  xy1 y    xy  y  1 xy  y    xy  y      xy  y         Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có     x 2 y y   y y   41  41   1    xy  y   xy  y  x  y  x y     1   Do      y xy  y  xy   y  Thay vào 1 , ta x  xy   12 x      x  10 x x   Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    10;  10   1 Bài  1    2  xy  2y   2x Giải hệ phương trình    x 1  2x   y 1  y    ▪ (1)  x, y    (2) Lời giải Điều kiện:  x , y  a Với số thực a  , b  Ta đặt a  x , b2  y Suy x    1 , y b 2 Từ điều kiện x , y  0;  ta có a , b   0;  Khi 1 trở thành  2   1 a  1 b 2   ab 1'  Ta có 1 a Mà  1 b  1 a  1 b  1  1   12     a  b2     1 2     a  b   ab  1  với a , b   0;   a2  b2  ab   Do 1'   a  b suy x  y Thay vào   , ta  16 x  x    x  4 1 1 Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    ;  4 4 x 1  2x  ▪ Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Bài   x   y   xy (1)  (2)  x 1  y   y   x    2 Giải hệ phương trình   x, y    Lời giải Điều kiện:  xy  0, x 1  y   0, y 1  x   Phương trình 1  1  xy     x2   y2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có   xy     2x   y       x2  y  x2 y    xy   x  y  x y 2    1  xy    x  y  x y   x  y    x  y Thay vào   , ta 1 x   1   1  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    ;  ,  ;   2   6  x  x2   x  Bài 10 6 x y   y  x  5x  y  (1)  Giải hệ phương trình   x   x    y  (2)   ▪  x, y    Lời giải Điều kiện: x  2, y  Sử dụng bất đẳng thức a  b  ab , a , b   Ta có    x y   3.2 x y   x  y   y  x  2.2 y  x   y   x  Suy x  y    y  x  5x  y   x  y  Do 1    y   x  x  y   Thay vào   , ta  y  x   x    x 1  x2   x  6  x2  x2   x    x  1  x2   x2  1   x    x    x2 Do x  nên x  6  x    x6 2  x2   x  1  x1 1  0  x 1 1   0  x    x2  x  1 x2 1   2'  0  x 1 1 Vì  2'   x    x  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    2;  Bài 11  2x2  y2  3     x  y  (1)  Giải hệ phương trình  xy  y x    x  1  xy  x  y   x x  y    x  y  (2) Lời giải ▪  x, y    Chinh phục hpt Điều kiện: x  0, 3  y  Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Ta có 1  x2  xy  y    2x  3y  x  x  y  y     xy  y  x  xy     2x   xy xy  y 2     4xy  4y  2x  3xy x  x  y  3    x  y  3  xy  y  x  3xy 1'  2 Phương trình    x  y    x  y  3  x  y   x  y     x  y  3   x y3   2'    x  y  2  xy  y  x  xy  x  y  Từ 1'   2'  , ta  *  Giải hệ  *  đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ cho là:  x; y    4;1 Bài 12  2 (1)  x  1  x  y   x  y4 Giải hệ phương trình   2 (2) x  x  y    ▪  x, y    Lời giải Điều kiện: x , y   Áp dụng đánh bất đẳng thức AM–GM, ta có x4  y  Kết hợp với 1 , ta  x y  2 x  y2  ( x  y )2 2  x  y ( x  y )2 suy  7    x2  y 2 x4  y    x2  y  x2  y 2       x  y2     1'  Suy x  y   x   x   2 x  y  x  x    y   x Ta có    x  y   x   Kết hợp với 1'  , ta x2  x     x  1   x  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    1; 1 Bài 13  x  xy  y  y xy (1)  Giải hệ phương trình  y   x   (2)      x  y ▪  x, y    Lời giải Điều kiện:  x  2,  y Nhận xét y  không nghiệm hệ phương trình nên x x x  1   y   y   y    Thay vào   , ta x2 1  x 2  x  x 1 x y y 1 x  2'  1 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 2x   2  x Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh 25  x  1 2x 9 Vì ta g  x       x  1     x  1 8 5  x 1  x  x x Suy g  x   g   x    2  x  1  12  98   x  1  Do  2'   x  Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    1; 1 Bài 14 ▪  x  xy  y  x  xy  y   x  y  (1)  Giải hệ phương trình   x  y   x  12 y   xy  y  (2)  x, y    Lời giải Điều kiện: x  y   Vế trái phương trình 1  x  xy  y  x  xy  y 2  2x  y    x  y  2  x  2y   x  y   2x  y  x  y  x  y   x  y  Do 1  x  y  Thay vào   , ta   x   19 x   x  x   x  x   x  1  x     x    19 x         2x  14  x2  x x x  x2  x   0  x  1  3x   x  2   x   19x   19x  2      x  14  x  x     x  1  3x   x     x   19x   19 x  2     0    x  x   x  x  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ là:  x; y    0;   x; y    1; 1 Bài 15   x2 y  x4 y2  x  2x  y  Giải hệ phương trình   x 1    x  y   x    x  2y2  ▪  x, y    Lời giải Điều kiện: x , y    4   x y   2x  x  y Hệ phương trình viết lại thành  1    x  y 2  x x  x  y     Lấy 1    , ta   x2 y   2      x  y   x3  y2  (1)  (2) 0 Suy   x2 y   2  1 1 x  y 2   2  x  y   x y 1    x y 1  Ta có  nên  *      x  y 1  x y      x  y 2      x  y 2    Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ là:  x; y    1; 1     * ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Hệ phương trình trước mảng khó chương trình THPT biến hóa đa dạng Đây câu hỏi phân loại học sinh giỏi khá, điểm điểm đề thi gần Dưới xin trình bày vài ứng dụng kĩ thuật nhóm tích việc giải hệ phương trình Chính xác cách nhóm tích phương trình hai ẩn thông qua phương trình ẩn  x    y  x  y  1  Bài toán 1: Giải hệ phương trình:  x5  3y    xy  y  2  3 y    Điều kiện:  x   3 y  x   Ta nhóm tích pt(1): x    3y  x  y  1 Chọn y   x   12  x   Mà  y   1    12  x  3y  x  y     12  x    3y  x  y   Pt(1)  3y  x  y   x  y   Thay vào (2)  3y   y   y  3y   3y     3y     y    4y2  9y    3y     y  2    y  1   y   x   y    y2 2 Vậy hệ có nghiệm  3,2   x2   x  y   4y y Bài toán 2: Giải hệ phương trình:  3  x   x  y  x  y  x2  0  Điều kiện:  y x  y  x2   Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246 Địa chỉ: 76/5 Phan Đà Nẵng ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Ta nhóm tích pt(1): x2  y  x2    4y y       Chọn y   x2  x2     x2     x     5    Mà Pt(1)    x2    x2   x2   x2      4     y y y    x2    y  x2  y Thay vào (2)  x   x   x2       x   x     x  x    x  5x      x   x  14  x     x  2    4x  3   x   y  A   x 1 1   Vậy hệ cho có nghiệm  2,3   x  y  x  y   x  y  xy  1  Bài toán 3: Giải hệ phương trình:   2 1  x  y  x    7   Ta nhóm tích pt(1)  x  5y  x2  y   x2  y  xy  26 x 54  x2   Chọn y     x  1 x  (*) 25 25  26  26  Cân nhóm tích  *    x   x2   x   x  0  25  25       Do y    1  x  y  x2  y  x  y  x2  y   Do x2  y   x  y  x  y  x , y   3x  y  y (1)  x  y   x  y  y  xy      3y2  2x  2y  Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246 Địa chỉ: 76/5 Phan Đà Nẵng ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Do y  không nghiệm hệ, thay vào (2)   3y2    1  21     7  y  1  y   x    3   2y   y 4 6   36  Vậy hệ cho có nghiệm   ,   43 6    Bài toán 4: Giải hệ phương trình: 4 x2  xy  y   x  y   x  y    x  y  11     x  y  1 2 x    54 y  17  5x   x  14 y   3  x  Điều kiện :  5x   Ta nhóm tích pt(1) : 4x2  xy  3y   4x  3y   x2  y    x  y  1 Chọn y  16 93  18  26 (*)  4x2  x    4x   x2  5 25   25  26  26  Cân bẳng nhóm tích  *    x   x   x   x  0  25  25    Do y   x2  y   x2   Ta có  x1  x   x2  y   x   4 3 với x   ,  5 2  x  y  Pt(1)  x  y  x  y     y  x  2 xy     27  Thay vào (2)   x     x    17  5x   x  x x    x    nên 1  x  y  x2  y  x   x2  y     x2  x   2x   27  17 x  5x   x2  Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246 Địa chỉ: 76/5 Phan Đà Nẵng x1 0 ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng   2x   x 5x   2 Ta có :  5x   x   VT  x  x    x    27  17 x   5x      4 3   x  1  2x  91   x  Do x   ,  5 2  1 Vậy hệ có nghiệm  1,   2  x2  y  y   y  x2  y   Bài toán 5: Giải hệ phương trình:  2  x  4x   y  y     x2  y   Điều kiện : 4 x    2 8 y  x  y   Từ (2)  y  y   2  y  (3) Ta nhóm tích pt(1) : x2  y  2y   8y  x  y  Do (1) có thức nên ta bình phương để đưa thức, ta chọn giữ lại đơn giản x2  y 1  8x2  4y2  4y    y  1 Chọn y  x2  y 49  8x2   x  (*) 25 5   3 Cân nhóm tích  *    x2    x2      5  5    Do y  3    y  y ta chọn   y (1) có hệ số tự 5 5    do:  1  x2  y   y x2  y  y   TH:  x2  y  y   vô nghiệm (3) TH: x2  y   y  16 x2  y  12 y  Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246 Địa chỉ: 76/5 Phan Đà Nẵng ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Do x2   16 x2   y  12 y     y  3  2 3  2 y 2 So sánh với (3) suy vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm Tài liệu quà tặng đầu năm 2016 Chúc thầy cô & em năm nhiều sức khỏe thành công công dạy học Cố gắng đạt thành tích cao kì thi THPT Quốc Gia 2016 Phía ứng dụng nhỏ kĩ thuật nhóm tích phương trình ẩn vào toán nhóm tích phương trình hai ẩn giải hệ phương trình Dạng toán có nhiều thủ thuật xuất mạng kĩ thuật không cần sử dụng đến máy tính CASIO Đây phần Phương Pháp Cân Bằng Tích vận dụng vào hệ phương trình Do thời gian có hạn nên tài liệu tương đối ngắn gọn không phân tích nhiều, có sai xót lời giải mong người thông cảm góp ý Mọi ý tưởng thủ thuật dựa kiến thức nên em học sinh tự sáng tạo phát triển thêm hiểu chất vấn đề Chúc em ngày giỏi sáng tạo thêm nhiều ý tưởng mẻ Fb: ThayNguyenDaiDuong – Sđt: 0932589246 Địa chỉ: 76/5 Phan Đà Nẵng [...]... của hệ là:  x; y    1; 1     * ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Hệ phương trình trước nay vẫn là một mảng khó trong chương trình THPT bởi sự biến hóa đa dạng của nó Đây cũng chính là câu hỏi phân loại học sinh giỏi và khá, điểm 8 và điểm 9 trong các đề thi gần đây Dưới đây xin trình bày một vài ứng dụng của kĩ thuật nhóm tích trong việc giải hệ phương trình. .. Gia 2016 Phía trên là một ứng dụng nhỏ của kĩ thuật nhóm tích phương trình một ẩn vào bài toán nhóm tích phương trình hai ẩn giải hệ phương trình Dạng toán này đã có nhiều thủ thuật xuất hiện trên mạng rồi nhưng kĩ thuật trên hầu như không cần sử dụng đến máy tính CASIO Đây là một phần của Phương Pháp Cân Bằng Tích vận dụng vào hệ phương trình Do thời gian có hạn nên tài liệu tương đối ngắn gọn và không... x  1  2  1 1     Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm:  x; y    ;  , 1;1 2 2 Bài 7  xy  6 y x  1  12 y  4  Giải hệ phương trình  xy 1 2 x  1  y  xy  y  x y  (1) (2) Lời giải Điều kiện: x  1, y  0 Phương trình  2   xy 1 1 1  1 y xy  y 2 x x y 2   x, y    ▪ Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh  1 1  4 x... x  4 4 1 1 Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm:  x; y    ;  4 4 x 1  2x  ▪ Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Bài 9  1  2 x  1  2 y  2 1  2 xy (1)  2 (2)  x 1  2 y   y  1  2 x   3  2 2 Giải hệ phương trình   x, y    Lời giải Điều kiện: 1  2 xy  0, x 1  2 y   0, y 1  2 x   0 Phương trình 1  4 1  2 xy... 1 Từ 1'  và  2'  , suy ra hệ đã cho tương đương       1  x  y   1  0  y  x    x  1  y  1     x  1  y  1  x  1  y  1  y  x x  0 x  3  y  x hoặc      x  x  3   0  x  1  x  1 y  0 y  3 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ phương trình đã cho là:  x; y    3; 3  Bài 3    Giải hệ phương trình    x2  1  x  3 ... 1  x  2 y 2  1  2 y  (3)  2 x 2  1  2 x  y 2  1  y (4) Phương trình 1 được viết lại thành  Ta có 2  4    3   3 x 2  1  5 x  4 y  5x  4 y  3 x 2  1 2       5x  4 y   9 x 2  1  25x 2  40 xy  16 y 2  9 x 2  1 Chinh phục hpt Kết hợp với phương trình  2  , ta được Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh 2 x3  2x2  1  1  2 x 3 1  3x Theo bất... nghiệm duy nhất của phương trình , ta có y = -2 (tm) PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP I.Cơ sở lý thuyết Công thức thường dùng trong liên hợp Biểu thức A B Biểu thức liên hiệp A B Tích A B Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh 3 A3B 3 A2  3 AB  3 B2 AB 3 A3B 3 A2  3 AB  3 B2 A B II.Định hướng liên hợp bằng máy tính casio 1 Chọn một trong hai pt có trong hệ phân tích casio... dẫn giải 1 , x  y  x  1  0, 2 y  x  6  0 2 Phương trình (1)  x  y  x  1  y  x  y  0 Điều kiện: x  0, y  Chinh phục hpt Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh x  xy  y  y  Vì 2 x  y  x  1  y x y 0 x y    1 y 1 0 x y   x  y   x  y   x  y  x  1  y 1 y 1 1   0; y  thay x = y vào phương trình (2) ta được 2 x y x  y  x  1  y  Xét... vậy  2'   x  2  0  x  2 Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm:  x; y    2; 2  Bài 11  2x2  4 y2  2 3   4   x  y  1 (1)  Giải hệ phương trình  xy  y x  2   x  1  xy  3 x  2 y  5  2 x x  y  3   x  y  3 (2) Lời giải ▪  x, y    Chinh phục hpt Điều kiện: x  0, 3  y  0 Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh Ta có 1  2 x2... 3xy 2 1'  2 2 Phương trình  2   x  y  3  2  x  y  3  x  y  3  2 x  y  3   2  x  y  3   x y3  2  2'   0  x  y  3 2 2  4 xy  4 y  2 x  3 xy  x  y  3 Từ 1'  và  2'  , ta được  *  Giải hệ  *  và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ đã cho là:  x; y    4;1 Bài 12 2  7 1 2 2 (1)  x  1  2 x  y  2  4 x  y4 Giải hệ phương trình   2 2 ... xin trình bày vài ứng dụng kĩ thuật nhóm tích việc giải hệ phương trình Chính xác cách nhóm tích phương trình hai ẩn thông qua phương trình ẩn  x    y  x  y  1  Bài toán 1: Giải hệ phương. .. Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm:  x; y    1;  ▪ Chinh phục hpt Bài Nhóm tác giả: Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh  x   y   y2  2y  x  (1)  Giải hệ phương trình ... chiếu điều kiện ta nghiệm hệ là:  x; y    1; 1     * ỨNG DỤNG NHÓM TÍCH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH Gv: Nguyễn Đại Dƣơng Hệ phương trình trước mảng khó chương trình THPT biến hóa đa dạng