CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 1.1 TENXƠ VÀ CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC (CHMTLT) Các đại lượng vật lý, hình học… đặc trưng cho tính chất mơi trường liên tục có chất khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ Trong hệ tọa độ, đại lượng biểu diễn qua số giá trị gọi thành phần đại lượng Khi thay đổi hệ trục tọa độ, thành phần thay đổi, song theo quy tắc định Những đại lượng CHMTLT có thành phần thay đổi theo quy luật gọi tenxơ Như vậy, tenxơ đối tượng tốn học, tồn độc lập với hệ trục tọa độ Các định luật vật lý CHMTLT thường biểu diễn ngơn ngữ tenxơ, dạng phương trình tenxơ Quy luật biến đổi thành phần tenxơ thay đổi hệ tọa độ mang tính tuyến tính đồng nên phương trình tenxơ hệ tọa độ hệ tọa độ khác Sức mạnh phép tính tenxơ CHMTLT tính bất biến hệ thức tenxơ phép biến đổi tọa độ Nếu phép biến đổi giới hạn hệ tọa độ vng góc tenxơ gọi tenxơ đề Tenxơ đề sử dụng nhiều CHMTLT nên thuật ngữ “tenxơ” giáo trình hiểu “tenxơ đề các” khơng có thích thêm Tenxơ phân loại theo hạng hay cấp ứng với số thành phần Ví dụ: Trong khơng gian Ơclít ba chiều, chẳng hạn khơng gian vật lý thơng thường, tenxơ hạng N có 3N thành phần * Tenxơ hạng khơng: 30 = thành phần Tenxơ hạng khơng có thành phần hệ tọa độ Đó đại lượng vơ hướng (scalar) a a’, song a = a’ Ví dụ: khối lượng, mật độ, nhiệt độ, chiều dài * Tenxơ hạng nhất: 31 = thành phần Tenxơ hạng có thành phần tọa độ khơng gian chiều, gọi véctơ Ví dụ: vận tốc, lực, gia tốc * Tenxơ hạng hai (còn gọi điađic), cần thiết việc miêu tả đặc trưng CHMTLT, gồm 32 = thành phần Ví dụ: ứng suất σij, biến dạng εij… * Tenxơ hạng ba (triađic), tenxơ hạng bốn (têtrađic) v.v… định nghĩa sử dụng nhiều CHMTLT Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI 1.2 VƠ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ 1.2.1 Khái niệm Vơ hướng: Các đại lượng vật lý có độ lớn, khối lượng, chiều dài, thời gian… (tenxơ hạng 0) Ký hiệu: vơ hướng a, b, c (chữ thường, nét nghiêng) Véctơ: Các đại lượng vật lý đặc trưng trị số hướng, lực Fi, vận tốc vi, gia tốc … Ký hiệu: véctơ a, b, c (chữ in đậm) a , b, c (chữ thường, có gạch dưới) Trị số véctơ a , ký hiệu a a Hai véctơ hướng độ dài Véctơ đơn vị: có độ dài đơn vị, ký hiệu ê ˆi Véctơ âm so với véctơ cho véctơ có mơđun hướng ngược lại ê a b c d Hình 1.1 Các véctơ 1.2.2 Cộng trừ véctơ Quy tắc hình bình hành hay tam giác: c = a+b a (1.1) b a+b a a+b b b -b a-b=d a a a+b b+g g a+b+g Hình 1.2 Các phép tính vector Tính giao hốn: a+b = b+a (1.2) Tính chất kết hợp (hình 2c) (a+b) + g = a+(b+ g) (1.3) Nhân véctơ với vơ hướng: có tính kết hợp phân bố Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Nhân véctơ với nghịch đảo mơđun nhận véctơ đơn vị có hướng: b bˆ  b Biểu diễn véctơ: (1.4) z, a k O i j y, x, Hình 1.3 Hệ vectơ sở Trong hệ tọa độ trực giao đề (hệ tọa độ thuận), véctơ biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính ba véctơ khác khơng, khơng đồng phẳng cho trước hệ, gọi véctơ sở Hệ véctơ sở trực chuẩn: hệ véctơ đơn vị tạo nên tam diện thuận hệ tọa độ đề Ví dụ: ˆi, ˆj, kˆ - hệ véctơ sở trực chuẩn hình 1.3 Véctơ a biểu diễn theo hệ sở trực chuẩn sau: a = ax i + ay j + azk ( 1.5) 1.2.3 Tích vơ hướng tích véctơ: a  b Hình 1.4 Tích vô hướng véc tơ Tích vơ hướng: a.b = a b cosθ = abcos θ Tích vơ hướng véctơ sở trực chuẩn: ˆi.ˆi = ˆj.ˆj= kˆ kˆ =  ˆi.ˆj= ˆj.kˆ = kˆ ˆi = (1.6) (1.7) a = a x ˆi  a y ˆj  a z kˆ b = bx ˆi  b y ˆj  bz kˆ a.b = axbx + ayby + azbz (1.8) Tính chất tích vơ hướng Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Giao hốn: a.b = b.a Phân bố: a.(b+c) = a.b + b.c z, v   k O i  j y, x, Hình 1.5 Phương vector v = v x ˆi  v y ˆj  v z kˆ Trong đó: vx = v.ˆi  v 1.cos  Véctơ đơn vị theo hướng v vˆ  Vì : v = vˆ x ˆi  vˆ y ˆj  vˆ z kˆ = (cos )ˆi  (cos  )ˆj  (cos  )kˆ v (1.9) vˆ x = vˆ ˆi = cosα vˆ y = vˆ ˆj = cosβ (cosα, cosβ , cosγ cosin phương vˆ ) vˆ z = vˆ kˆ = cosγ (1.10) Góc hai véctơ: a.b = ab cosθ cosθ = a x bx  a y b y  a z bz a.b = ab (a x  a y2  a z2 )1 / (bx2  b y2  bz2 )1 / Tích véctơ:(hình 1.6) c =axb c b  a Hình 1.6 Tích vector Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI c trực giao với a b cho a, b, c tạo thành hệ thuận a x b = -b x a = (absin  ), (     ) (1.11) véctơ đơn vị c có hướng cho quay theo quy tắc bàn tay phải (quy tắc vặn nút chai ) quanh c góc  dẫn a đến b Mođun c diện tích hình bình hành Tích véctơ khơng giao hốn: a x b = -b x a i Đối với hệ véctơ sở trực chuẩn ˆi x ˆi = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = ˆi x ˆj = kˆ , ˆj x kˆ = ˆi , kˆ x ˆj = ˆi k j ˆj x ˆi = - kˆ , kˆ x ˆj = - ˆi , ˆi x kˆ = - ˆj Hình 1.7 Hoán vò số Tích véctơ có tính phân bố a x (b + c) = a x b + a x c a x b = (aybz – azby) ˆi + (azbx – axbz) ˆj + (axby - aybx) kˆ hay ˆi ˆj kˆ a x b = ax ay az bx by bz Tích véctơ khơng kết hợp, tích véctơ kép: a x (b x c)  ( a x b) x c Móc đơn biểu thức thứ tự nhân Biểu thức: a x b.c có nghĩa (a x b).c khơng cần ngoặc đơn biểu thức có ý nghĩa ta tính tích véctơ trước Tích hỗn hợp: c b a Hình 1.8 Biểu diễn tích hỗn hợp [abc] = a x b.c = a.b x c = ax ay az bx by bz cx cy cz (1.13) Có trị số thể tích hình hộp xiên có cạnh a, b, c Như tích hỗn hợp, tích véctơ tích vơ hướng đổi chỗ cho Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Xác định véctơ đơn vị trực giao với hai hướng cho trước: phải xác định nˆ vng góc với a b nˆ nˆ = a b a.b a.b (1.14) 1.3 KÝ HIỆU CHỈ SỐ VÀ BIỂU TƯỢNG Thành phần tenxơ hạng biểu diễn rỏ gọn nhờ ký hiệu số Ví dụ: ai, bj, Tij , εijk , Rpq … Chỉ số tự (hoặc có nghĩa) số gặp lần biểu thức, nhân giá trị từ 1, 2,…, n (n ngun dương, xác định khoảng biến thiên số) Chỉ số tổng (hoặc câm) số lặp lại hai lần biểu thức Chỉ số câm tổng thực thay chữ khác mà khơng thay đổi giá trị phần tử Quy ước phép lấy tổng: Chỉ số lặp hai lần có nghĩa số lấy tất giá trị khoảng biến thiên số thành phần tương ứng với giá trị số cộng lại Ví dụ : bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 akmbm = ak1b1 + ak2b2 + ak3b3 gss = g11 + g22 + g33 Một số tự viết xuất phần tử hệ thức tenxơ Ví dụ 2: cij cjkxk tổng theo j k, viết cmj cmm xm số m lặp lần, khơng hiểu xj = aij bi + dj xj = aij bi + dk khơng có nghĩa Hạng tenxơ phần tử cho số tự phần tử p , εijkujvk + Tenxơ hạng (các véctơ): ai, ai, aijbj, Fikk, R qp + Tenxơ hạng hai: Được viết dạng Dij , D ij D ij , Dij … Trong hệ trục tọa độ đề khơng có phân biệt số tenxơ (thành phần phản biến hợp biến) Điều khác với hệ tọa độ cong + Còn tenxơ hạng khơng (vơ hướng) λ, εkk Trong khơng gian vật lý thơng thường: véctơ a hồn tồn cho ba thành phần (xem §1.2) (ai) = (a1, a2, a3) hay Chương CƠ SỞ TỐN HỌC    a1    =  a2  a   3 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Tenxơ hạng (điađic) Aij ( i,j = 1,2,3) có thành phần:  A11 [ Aij] =  A21  A31 A12 A22 A32 A13  A23  A33  Tổng qt, tenxơ hạng N khơng gian n chiều có nN thành phần Ký hiệu số (hay biểu tượng Gibbs) thật thuận tiện để viết hệ phương trình rút gọn Ví dụ: 1) vi = σij nj ( i = 1,2,3) có dạng khai triển v1 =σ11 n1 + σ12 n2 +σ13 n3 v3 = σ31 n1 + σ32 n2 + σ33 n3 2) i, j = 1, biểu thức Aij = Bip Cjq Dpq Có dạng khai triển hệ thức A11 = B11 C11 D11 + B11 C12 D12 + B12 C11 D21 + B12 C12 D22 A12 = B11 C21 D11 + B11 C22 D12 + B12 C21 D21 + B12 C22 D22 A21 = B21 C11 D11 + B21 C12 D12 + B22 C11 D21 + B22 C12 D22 A22 = B21 C21 D11 + B21 C22 D12 + B22 C21 D21 + B22 C22 D22 Một số ký hiệu đặc biệt: Ký hiệu Kronecker delta δij (tenxơ đơn vị hạng hai) 1 , δij =  0 , i j i j (1.15) δ11 = δ22 = δ33 =1; δ12 = δ23 =δ31 =δ21 = δ32 =δ13 = Ký hiệu hốn vịεijk (tenxơ hạng ba Levi-Chivit) εijk = i, j, k = 1, 2, lập thành hốn vị chẵn từ 1, 2, -1 lập thành hốn vị lẻ từ 1, 2,3 hai số (1.16) Ví dụ: εii = ε11 + ε22 +ε33 = 1.4 ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỀ-CÁC 1.4.1 Quy luật biến đổi thành phần tenxơ Cho xi xi' hai hệ tọa độ đề trực giao có chung gốc tọa độ aij = cos( xi , x 'j ) (1.17) Xác định hệ số aij sau: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI x1' x 2' x3' x1 a11 a12 a13 x2 a21 a22 a23 x3 a31 a32 a33 Theo định nghĩa cosin phương (1.10) ta có: x3 ’ x3 v x2 ’ -1 cos a13 cos-1a31 x1 x2 x1 ’ Hình 1.9 Xoay hệ trục toạ độ Nói chung, aij  a ji (Xem Hình 1.9) Biểu diễn véctơ đơn vị ˆi j hệ tọa độ xi' ˆi = a11 ˆi ' + a12 ˆi ' + a13 ˆi ' 1 ˆi = a31 ˆi ' + a32 ˆi ' + a33 ˆi ' 3 Hay ˆi = aik ˆi ' i k Và ˆi ' = a11 ˆi + a21 ˆi + a31 ˆi 1 ( 1.18) ˆi ' Hay = a13 ˆi1 + a23 ˆi + a33 ˆi3 ˆi ' = aki ˆi i k (1.19) Véctơ v biểu diễn sau: v  v1ˆi1  v2 ˆi  v3ˆi3 v  v ' ˆi '  v ' ˆi '  v ' ˆi ' 1 Hay Theo (1.19) Hay 2 3    v =
= v j ˆi 'j '
vk ˆi k = v 'j akj ˆi k ( v k – v 'j a kj ) ˆi k = Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Suy ra: v k = akj v 'j (chỉ số thứ k akj số tự do) (1.20) Đây quy luật biến đổi thành phần véctơ quay trục tọa độ Tương tự: v 'j ˆi 'j = v m ˆi m Theo (1.18) v 'j ˆi 'j = v m a mk ˆi k' ( v k' – v m a mk ) ˆi k' = v k' = a mk v m Hay (1.21) (chỉ số tự do)  Do tính chất hệ véctơ sở trục chuẩn:  ˆi ' ˆi ' = δ pq p q ˆi ˆi = δ nm n m Ta có: akp ˆi k alq ˆil = δpq ank ˆi k' aml ˆil' = δnm akp alq ˆi k ˆil = δpq ank aml δkl = δnm Suy ra: akp akq = δpq ank amk =δnm (1.22) Đây điều kiện trực giao ma trận quay gồm phương trình Ma trận chuyển đổi hệ tọa độ [aij]– ma trận quay trực giao Phép biến đổi tuyến tính dạng (1.20) hay (1.21) qui luật biến đổi thành phần tenxơ đề bậc xoay hệ trục tọa độ Theo quy tắc biến đổi véctơ (1.21) ui’ vj’ ta có: ui’vj' = ( api up ) ( aqj vq ) = api aqj up vq Mở rộng cơng thức (1.23), ta có qui tắc biến đổi tenxơ đề hạng hai: (1.23) Tij’ = api aqj Tpq (1.24) Nhân (1.24) với aki alj, sử dụng điều kiện trực giao (1.22), thu Tij = aip ajq T’pq (1.25) Tổng qt hóa cho tenxơ đề hạng N T’ijk… = api aqj ark … Tpqr … (1.26) Tijk… = aip ajq akr … T’pqr… (1.27) Và ngược lại: Khái niệm tenxơ đề Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Tenxơ đề đại lượng có thành phần chuyển từ hệ tọa độ sang hệ tọa độ khác biến đổi theo qui luật (1.26) (1.27) Ví dụ: Cho véctơ a = (2,1,1) xác định hệ trục xi Tìm ai’ quay x1, x2 quanh x3 góc 300 Lời giải: x1’ x2’ x3’ x1 0 cos30 cos120 cos900 x2 cos600 cos300 cos900 x3 cos900 cos900 cos00 x2 x2 ’ x1 ’ 300 300 x1 O x3, x3’ Hình 1.10 Ví dụ a  ij    1 =  2 0    
= aij T 
= 0                   0          2 2,232  1  =  1,344     1    1.4.2 Các phép tính tenxơ Cộng tenxơ đềcác (tenxơ hạng): Tổng hiệu hai tenxơ A B hạng tenxơ T hạng, thành phần T tổng hiệu hai thành phần tương ứng số hai tenxơ A B Aijk… ±Bijk… = Tijk… (1.28) Tích vơ hướng với tenxơ cho tenxơ hạng bi = λai b =  a Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 10 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Ví dụ 1: (trường hợp 1)  x1  x  x3   2 x1  x  x3  x  x  x   1 [ Aij ]  2 1 1 1  1 Tìm nghiệm hai cách: [ Aij ] 1  (i ) adj[ Aij ] [ Aij ] adj[ Aij ]  ? * Ma trận phần phụ đại số C:  C    * Định thức  adjA  C         1 3 (a) {A}=(0)1+2(-1) +1(1)= -1 T  1  [ Aij ]    1    xi   Aij 1 1 1   3  1  1 3 1  b j     (b) 1  1  1 3 8  1      7   2 6  3      (c) (ii ) Cramer : 1  1 Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 1  1 , x1  1 1 1  det[ A]  16 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI 2  1  2 1 3  2 1  3 Ví dụ 2: , x2  2 2  2 det[ A]  , x3  3 3  3 det[ A]  det[ ij ]  , b j   xi   Aij  1  b j      1 0 0      1 0  0 3 0 0 1 Ví dụ 3: det[ ij ]  , bi    x1  x2  x3    x1  x2  x3   3x  3x  x   (a ) (b) (c ) det A  2 1 0 3 Phương trình (c) =phương trình (a) + phương trình (b) suy ta có phương trình, ẩn số:  x1  x  x3   2 x1  x  x3   x1  x  khơng phụ thuộc tuyến tính Vơ số nghiệm x1 = x2 = , x3 = (nghiệm tầm thường) x1 = x2 = , x3 = -3 x1 = x2 = 10 , x3 = -30 Đây tốn trị riêng Trường hợp 4:  ij  , b   j Từ cơng thức Cramer, ta suy nghiệm bất định, với (i = Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 17 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Nếu khơng, hệ phương trình vơ nghiệm  x1  x  x3   2 x1  x  x3  3 x  x  x  3  (a) (b) (c ) Dễ thấy Δ1=Δ2=Δ3 = Vì phương trình (c) =phương trình (a) + phương trình (b) có (a) (b) độc lập tuyến tính x1 – x2 = Vơ số nghiệm: x1 =1 , x2 = , x3 = x1 =2 , x2 = , x3 = -3 v.v… 1.6.2 Bài tốn trị riêng Khái niệm: Xét hệ n phương trình nhất: [σ ij] {xj } – λ{xi } = (1.51a) (σij - λδij) xj = (1.51b) Hay dạng số: Với λ số, δij – ký hiệu Kronecker (1.51a) hay (1.51b) có nghiệp khơng tầm thường phương trình: Det[σij - λδij] = (1.52) phương trình đa thức bậc n λ Bài tốn biểu thị dẫn đến phương trình dạng (1.51) gọi tốn trị riêng + Phương trình đa thức bậc n (1.52) gọi phương trình đặc trưng, nghiệm gọi trị riêng ma trận [σij] + Ứng với trị riêng có nghiệm {xj}#0, tức nghiệm khơng tầm thường (1.51), gọi vectơ riêng hay vectơ đặc trưng + λk trị riêng Khi đó, theo (1.51) [σij] {xj (k)}= λk {xj (k)} ( ) , khơng lấy tổng theo k (1.53a) ( ) (1.53b) k hay σij xj (k)= λk xj (k) k Các phương trình (1.53a) phụ thuộc tuyến tính, véc tơ riêng x1(k) , x2(k) , … , xn(k) khơng xác định cách tường minh mà xác định dạng thừa số vec tơ trên, chẳng hạn xl(k) phải khác Có thể chứng minh tính chất sau: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 18 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Ma trận đối xứng thực có trị riêng thực vectơ riêng trực giao 0 ,  k  l  xj(k) xj(l) =  1 ,  k  l  (1.54) Chứng minh: ???? Chuyển đổi ma trận dạng đường chéo Xét ma trận thực, đối xứng (trường hợp M=N=3) Xây dựng ma trận P có cột vectơ riêng chuẩn hóa thành véctơ đơn vị: ( x (jk )  xˆ (jk ) - vectơ riêng đơn vị)  xˆ1(1)  P   xˆ2(1)  xˆ (1)  xˆ1(3)   xˆ2(3)  xˆ3(3)  xˆ1(2) xˆ2(2) xˆ3(2) , Pij  xˆi( j )   ij (1.55) Pji  xˆ (ji )   ji Ma trận chuyển trí PT có dạng:  xˆ1(1)  PT =  xˆ1( )  xˆ (3)  xˆ 2(1) xˆ 2( 2) xˆ 2(3) xˆ 3(1)   xˆ 3( 2)  xˆ 3(3)  , PT P = I ( ma trận đơn vị) P ma trận trực giao Thật vậy, từ (1.54) ta có: χij χik = δik Ta xét: (1.56)  ij xˆ (jk )   ij  jk (1.57) Mặt khác, từ (1.53a): ˆ (1)  ij xˆ (1) j  1 xi ˆ (2)  ij xˆ (2) j  2 xi ˆ (3)  ij xˆ (3) j  3 xi Từ đó, ta xây dựng  ij xˆ (jk )   k xˆ i( k ) , (khơng lấy tổng theo k) Hay:  ij  ik   k  ik , (khơng lấy tổng theo k) Từ (1.57) (1.58):  ij  jk  k  ik      k  (1.58) (1.59) Nhân hai vế (1.59) với χil : Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 19 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI      k  σijχjkχil = λkχikχil hay :      k  σijχjkχil= λkδlk (1.60) (1.61) Có thể viết dạng ma trận  il   ij  jk  T 1    0 2 0  3  (1.62) (3  3) Có thể mở rộng cho trường hợp n Tọa độ chuẩn tọa độ mở rộng Hệ n phương trình tuyến tính:  ij x j  bi (1.63a)  ij   x j   bi  Đưa phép biến đổi tuyến tính: x j   jk yk (1.63b) (1.64a)  x       y  j jk (1.64b) k Đặt (1.64a) vào (1.63a):  ij  jk yk  bi (1.65) Nhân hai vế với χil, sử dụng (1.65), tìm l yl   il bi ( ) (1.66) ( ) (1.67) l yl  Hay  il bi l l Như vậy, phương trình (1.48) tách phép biến đổi (1.64a) Ta gọi y tọa độ chuẩn, x - tọa độ suy rộng Dạng tồn phương Dạng tồn phương tọa độ suy rộng xi: V   xi   ij   x j    ij xi x j Với phép biến đổi (1.64a), V có dạng tắc tọa độ chuẩn yl: T n V  k yk yk  1 y12  2 y22   n yn2 (1.68) (1.69) k 1 Tính xác định dương: (i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] dạng tồn phương (1.68) xem xác định dương V>0 với {σxi} thực #{0} Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 20 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Điều kiện cần đủ để [σij] V xác định dương (theo Frazer, Duncan Collar, 1938):  11  12  13   11  12     11  0,    ,  21  22  23   , , det  ij      21 22   31  32  33  (1.70) (ii) Với dạng tắc (1.69), tính xác định dương thỏa λI>0 Một số trường hợp riêng +Xét phương trình đặc trưng (1.52), n=2  11    12 0,  21  22     ij   ji (1.71)   ( 11   22 )  ( 11 22   12 )  2 Nghiệm:    1,2   11   22   11   22   4 122     (1.72)  +Xét phương trình đặc trưng (1.52), n=3 σ3- I1σ2 + I2σ -I3 = (1.73) Với I1= σii (1.74a)  11  12   22  23   11  13  I2        21  22   32  33   31  33  (1.74b) I  det[ ij ] (1.74c) I1, I2, I3 bất biến 1 Thật vậy, với [σii] trùng với ma trận tắc:  0 2    3  Ta có: det  ij   ij  (1   )(2   )(3   ) Khi λ= 0:  ij = λ1λ2λ3 Phương trình đặc trưng (1.52) có dạng:   (1  2  3 )  (12  2 3  31 )  12 3  (1.75) So sánh (1.73), (1.75), rút Ik (k=1, 2, 3) – bất biến Nghiệm phương trình (1.73): Đưa ký hiệu: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 21 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI  a  ( I1  3I )  b  (2 I  I I  27 I ) 1  27 (1.76) Ta 27b2 – 4a3  (i)Nếu 27b2 – 4a3= có nghiệm thực, nghiệm 1  (4b)  I1 (1.77a)  b 3 I 2  3      2 (ii) Nếu 27b -4a < 0, có nghiệm thực khác (1.77b,c)  a 2   I 1    cos    3 3 (1.78a)  a 2  2    I1 2    cos   3   (1.78b)  a 2  4    I1 3    cos   3   3 3b cos   2a 1.7 Trường tenxơ Các định lý 1.7.1 Trường tenxơ (1.78c) (1.79) x3 xi,t x2 x1 Hình 1.11 Không gian xi, t Định nghĩa: Ứng với điểm x khơng gian thời điểm thời gian t, tenxơ T (x,t) có giá trị Tập hợp giá trị tạo thành trường tenxơ: (x,t) (T (x,t) Bán kính véctơ x (hay xi) biến đổi miền cho khơng gian, t thay đổi khoảng thời gian cho Trường tenxơ liên tục (hay khả vi) thành phần trường liên tục (khả vi) theo xi t Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 22 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Nếu thành phần hàm số phụ thuộc vào x trường tenxơ gọi dừng Trong hệ tọa độ đề trực giao, bán kính véctơ điểm biểu diễn: x = xi ˆi i Các trường tenxơ có hạng khác viết dạng số biểu tượng: = (xi , t) hay = (x,t )  Trường vơ hướng vi = vi(xi , t) hay v = v(x,t)  Trường véctơ Tij = Tij(xk , t) hay T = T(x,t)  Trường tenxơ hạng 1.7.2 Vi phân trường tenxơ Vi phân thành phần tenxơ theo tọa độ xi ký hiệu tốn tử vi phân  (hay (i) xi Có thể tốn tử tenxơ hạng nhất: ' () () () x j () x k  '  ' a kj  aij ' x i x j xi x j xi x j (1.80) Có thể dùng ký hiệu nabla (để viết tốn tử dạng tenxơ:  ˆ  = ˆii  ii  i x i Vi phân theo biến xi viết số sau dấu phẩy: φ   ,i  x i  v i  v i,i x i  vi  vi,j x j   vi  v i, jk x j x k   Tij x k  Tij, k  Tij x k x m  Tij, km Ta nhận thấy vi phân nhận tenxơ có hạng cao bậc i số tự thấp bậc i số lấy tổng 1.7.3 Một vài tốn tử vi phân quan trọng CHMTLT: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 23 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG  grad  =   = PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI  ˆ ii x i hay  i  ,i (1.81a)  div v = .v hay  i v i  v i,i (1.81b)  rot v =  x v hay ε ijk  i v k  ε ijk v k, j (1.81c) ˆi  rot v  x vx ˆj  y vy kˆ  z vz hệ tọa độ đề-các  Tốn tử Laplace: 2 = . (1.81d) hay  ii = ,ii 1.7.4 Các định lý trường tenxơ 1.7.4.1 Định lý phân kỳ Gauss chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt Cơng thức thường dùng định lý: trường véctơ v = v(x), (1.82)  div v dV   nˆ v dS V S Với nˆ véctơ đơn vị pháp tuyến ngồi mặt S giới hạn thể tích V mà v xác định Cơng thức viết dạng số: v i,i V dV   vi n i dS (1.83) S Mở rộng định lý cho trường hợp tenxơ hạng bất kỳ: T ijk V ., p dV   Tijk n p dS (1.84) S 1.7.4.2 Định lý Green (trong mặt phẳng) chuyển từ tích phân đường sang tích phân mặt S – miền phẳng kín giới hạn chu tuyến kín C (khơng tự cắt nó) mặt phẳng x1, x2 Cho hàm M(x1,x2), N(x1, x2) liên tục có đạo hàm liên tục miền S Khi đó:  N M  dx1dx (1.85)   Ndx     x x     C S Có thể tổng qt hóa định lý thành định lý Xtốc (n =3) 1.7.4.3 Định lý Xtốc Đối với hàm F = Fi ˆi liên tục khả vi, tích phân hàm F dọc theo chu tuyến  Mdx i kín C chuyển sang tích phân theo mặt S có biên chu tuyến C (xem hình vẽ): Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 24 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Hình 1.12 Mặt S biên đường cong C  C F d x   nˆ rotFdS (1.86) S Có thể viết dạng số khai triển: F dx  (*) i C i   (rotF) S n dS   S   F  F   F F3  cos nˆ , x         x x   x  x    F      F1  cos nˆ , x     x  x     cos( nˆ , x )    dS    1.8 Hình học vi phân 1.8.1 Đường cong mặt khơng gian x3 xi(u+u) xi = xi(u + u) – xi(u) xi(u) x2 x1 Hình 1.13 Đường cong khơng gian Trong khơng gian vật lý thơng thường, cho bán kính véctơ x hàm vơ hướng u: xi = xi(u) với u - thơng số Điểm cuối xi vẽ nên đường cong khơng gian thơng số u thay đổi Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 25 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI x i dx tồn tại, giới hạn véctơ hướng theo phương tiếp tuyến với  u  u u0 du  dx  đường cong khơng gian có thành phần đềcác  i   du  Nếu lim   dx  Nếu u (t,  i  vận tốc vi điểm cuối xi vạch nên đường cong  dt   dv i  d x i    - gia tốc điểm xi dọc theo đường cong  dt  dt  Nếu u  s (chiều dài cung đo từ điểm cố định đường cong) dx i  Ti - véctơ tiếp tuyến đơn vị với đường cong ds Nếu Ni Bi véctơ pháp tuyến phó pháp tuyến đơn vị (như hình vẽ)  Tương tự x3 Ni O Bi Ti x2 x1 Hình 1.14 Véctơ tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong không i Ti, Ni Bi vng góc đơi Bi=εijkTj Nk (1.87) Ta có cơng thức Frenet – Serret: dB i  dTi  dS  KN i , dS   τN i  (1.88)  dN i  dS  τB i  KTi   K, τ độ cong độ xoắn,  = K-1 σ= τ -1 bán kính cong bán kính xoắn tương ứng Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 26 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI 1.8.2 Các phương trình đường thẳng mặt  Phương trình thơng số để điểm (x1, x2, x3) nằm đường thẳng nối (y1, y2, y3) (z1, z2, z3) (Xem Hình 1.15 a) x1  y1 x  y x  y   (1.89) z1  y1 z  y z  y Trên (Hình 1.15b) biểu diễn véctơ vị trí xi nối yi z với tọa độ: xi = zi - yi (1.90) (y1,y2,y3) 3 yi zi - yi (x1,x2,x3) yi xi zi (z1,z2,z3) zi 2 xi 1 (a) (b) Hình 1.15 Biểu diễn đường thẳng  Phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng (α1, α2, α3), (β1, β2, β3) (γ1, γ2, γ3): (1.91) ax1+ bx2 + cx3 +1 = Với a, b, c thu từ điều kiện ba điểm nằm mặt phẳng: x1  α1 x  α x  α (1.92) β1  α1 β  α β  α  γ1  α1 γ2  α2 γ3  α3 yi xi zi - xi zi Hình 1.16 Mặt phẳng chứa ba điểm khơng thẳng hàng Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 27 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI  Phương trình mặt phẳng vng góc yi qua điểm cuối zi có dạng: (zi – xi) yi = xiyi = yizI (1.93) Hay x1y1 + x2y2 + x3y3 = y1z1 + y2z2 +y3z3 Ở dạng khác: Chia vế cho y  xini = d (1.94) ni – véctơ pháp tuyến đơn vị d khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến mặt phẳng  Cho mặt bất kỳ: φ(xi) = const Vi phân tồn phần vị trí xi: φ dφ  dx i  φ ,i dx i  x i  grad dx  Gradient mặt véctơ pháp tuyến mặt Thành phần véctơ pháp tuyến đơn vị với mặt φ(xi) = const φ,i ni =  φ, j φ, j (1.95) Dấu ± chọn cho ni hướng ngồi bề mặt  Cũng biểu diễn bán kính véctơ điểm nằm bề mặt sau: xi = xi(α , β) (1.96) x i x i Với α β hai thơng số độc lập nằm mặt phẳng tiếp tuyến với bề α β mặt Véctơ pháp tuyến với mặt (1.96) hướng với véctơ xác định sau: x x ε ijk j k  (1.97) α β Ý nghĩa hình học: Phương trình bề mặt: d = = const  dxi = grad dx = xi dx tiếp tuyến bề mặt, suy grad song song pháp tuyến với bề mặt Ví dụ: Tìm nˆ mặt cầu điểm ( , 2, 3) nằm mặt cầu, tâm gốc tọa độ, bán kính R = Giải: Phương trình mặt cầu : x12 + x22 + x32 = 16 = A grad A = 2x1e1 + 2x2e2 + 2x3e3 Tại ( ,2,3): grad A = eˆ1 + 4
+ eˆ gradA =
= Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 28 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG
= PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI gradA = eˆ1 + eˆ + eˆ gradA 8 1.9 Hàm Đirắc – delta hàm bậc Heaviside 1.9.1 Hàm Đirắc – detta  Định nghĩa: δ(t – a) hàm suy biến khả tích  , t  a δ(t  a)   0, t  a (1.98) c  δ(t  a)dt  (b< a[...]...  x j    ij xi x j Với phép biến đổi (1.64a), V có dạng chính tắc của tọa độ chuẩn yl: T n V  k yk yk  1 y12  2 y22   n yn2 (1.68) (1.69) k 1 Tính xác định dương: (i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] và dạng tồn phương (1.68) được xem là xác định dương nếu V>0 với mọi {σxi} thực #{0} Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 20 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Điều kiện... tường minh mà được xác định dưới dạng thừa số của một các vec tơ trên, chẳng hạn xl(k) và phải khác 0 Có thể chứng minh tính chất sau: Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 18 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Ma trận đối xứng thực có trị riêng thực và các vectơ riêng trực giao 0 ,  k  l  xj(k) xj(l) =  1 ,  k  l  (1.54) Chứng minh: ???? 2 Chuyển đổi ma trận về dạng đường chéo Xét ma trận thực,...   dS    1.8 Hình học vi phân 1.8.1 Đường cong và mặt khơng gian x3 xi(u+u) xi = xi(u + u) – xi(u) xi(u) x2 x1 Hình 1.13 Đường cong khơng gian Trong khơng gian vật lý thơng thường, cho bán kính véctơ x là hàm của vơ hướng u: xi = xi(u) với u - thơng số Điểm cuối xi vẽ nên một đường cong khơng gian khi thơng số u thay đổi Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 25 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI...  α2 γ3  α3 yi xi zi - xi zi 2 0 1 Hình 1.16 Mặt phẳng chứa ba điểm khơng thẳng hàng Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 27 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI  Phương trình mặt phẳng vng góc yi và đi qua điểm cuối zi có dạng: (zi – xi) yi = 0 xiyi = yizI (1.93) Hay x1y1 + x2y2 + x3y3 = y1z1 + y2z2 +y3z3 Ở dạng khác: Chia 2 vế cho y  xini = d (1.94) ni – véctơ pháp tuyến đơn vị và d là khoảng cách ngắn... của chuỗi đặc biệt các hàm số thường Ở Hình 1.19 là giới hạn của hàm xung (pulse) - Biểu diễn lực tập trung, nếu t là biến số tọa độ thời gian - Biểu diễn lực xung, nếu t_ biến thời gian (t) t 0 Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC t=a Hình 1.19 Biểu diễn hàm ((t) tại t = a 29 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI 1.9.2 Hàm bậc Heaviside Trạng thái tĩnh hồn tồn trước thời điểm t = 0 (được coi là mốc) 1 ,... trị Tập hợp mọi giá trị tạo thành trường tenxơ: (x,t) (T (x,t) Bán kính véctơ x (hay xi) biến đổi trong miền đã cho của khơng gian, t thay đổi trong khoảng thời gian đã cho Trường tenxơ liên tục (hay khả vi) nếu thành phần của trường là liên tục (khả vi) theo xi và t Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 22 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Nếu các thành phần là hàm số chỉ phụ thuộc vào x thì trường tenxơ... F dọc theo chu tuyến  Mdx 1 i kín C có thể chuyển sang tích phân theo mặt S có biên là chu tuyến C (xem hình vẽ): Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 24 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Hình 1.12 Mặt S và biên là đường cong C  C F d x   nˆ rotFdS (1.86) S Có thể viết dưới dạng chỉ số hoặc khai triển: F dx  (*) i C i   (rotF) S n dS   S   F 3  F 2   F F3  cos nˆ , x 1    1 ... cách thay mỗi phần tử bằng phần phụ đại số sau đó đổi hàng và cột + Ma trận nghịch đảo: Nếu ma trận vng [Aij] khơng suy biến thì sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo [Aij]-1, xác định như sau:  Aij*  1  Aij     Aij (1.47) Tính chất Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 14 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI [Aij]-1[Aij] = [Aij][Aij]-1= I (ma trận đơn vị) 1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH & BÀI TỐN TRỊ RIÊNG... tuyến với đường cong không i Ti, Ni và Bi vng góc đơi một Bi=εijkTj Nk (1.87) Ta có cơng thức Frenet – Serret: dB i  dTi  dS  KN i , dS   τN i  (1.88)  dN i  dS  τB i  KTi   K, τ là độ cong và độ xoắn,  = K-1 và σ= τ -1 bán kính cong và bán kính xoắn tương ứng Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 26 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI 1.8.2 Các phương trình đường thẳng và mặt  Phương trình... theo k) Từ (1.57) và (1.58):  ij  jk  k  ik      k  (1.58) (1.59) Nhân cả hai vế (1.59) với χil : Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 19 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI      k  σijχjkχil = λkχikχil hay :      k  σijχjkχil= λkδlk (1.60) (1.61) Có thể viết dưới dạng ma trận  il   ij  jk  T 1   0  0 0 2 0 0 0  3  (1.62) (3  3) Có thể mở rộng cho trường hợp ... diễn lực tập trung, t biến số tọa độ thời gian - Biểu diễn lực xung, t_ biến thời gian (t) t Chương CƠ SỞ TỐN HỌC t=a Hình 1.19 Biểu diễn hàm ((t) t = a 29 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN... Quy luật biến đổi thành phần tenxơ Cho xi xi' hai hệ tọa độ đề trực giao có chung gốc tọa độ aij = cos( xi , x 'j ) (1.17) Xác định hệ số aij sau: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS... k – v 'j a kj ) ˆi k = Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS LƯƠNG VĂN HẢI Suy ra: v k = akj v 'j (chỉ số thứ k akj số tự do) (1.20) Đây quy luật biến đổi thành phần véctơ quay