Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP C1 ĐẠI HỌC (Số đvhp: – số tiết: 30) Chương Bổ túc kiến thức Chương Tích phân suy rộng chuỗi số Chương Hàm số nhiều biến số Chương Một số tốn kinh tế Chương Phương trình vi phân cấp tích phân bội hai Biên soạn: Đồn Vương Ngun TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A1 – C1 – ĐH Cơng nghiệp TP HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2, 3) – NXB Giáo dục Lê Văn Hốt – Tốn cao cấp C2 – ĐH Kinh tế TP HCM Lê Quang Hồng Nhân – Tốn cao cấp – ĐH Kinh tế - Tài TP HCM – NXB Thống kê Đỗ Cơng Khanh – Tốn cao cấp (Tập 1, 3, 4) – NXBĐHQG TP.HCM Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1, 2) – NXB Giáo dục James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks Robert Wrede, Murray R Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc ……………………………………………… Chương BỔ TÚC KIẾN THỨC CƠ BẢN 0.1 Bổ túc hàm số 0.1.1 Định nghĩa Xét hai tập khác rỗng D Y ℝ Hàm số f quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng phần tử x ∈ D với phần tử y ∈ Y , ký hiệu f (x ) f : ℝ ⊃ D →Y ⊂ ℝ x ֏ y = f (x ) • Tập D gọi miền xác định (MXĐ) hàm số f , ký hiệu Df • Tập f (Df ) = {f (x ) | x ∈ Df } gọi miền giá trị hàm f • Đồ thị hàm f có MXĐ D tập hợp điểm {(x, f (x )) x ∈ D } mặt phẳng Oxy • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df f gọi hàm số chẵn • Nếu hàm f thỏa mãn f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df f gọi hàm số lẻ Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học • Hàm f gọi đồng biến (a;b ) f (x ) < f (x ) x < x với x 1, x ∈ (a;b) ; f gọi nghịch biến (a;b ) f (x ) > f (x ) x < x với x 1, x ∈ (a;b) 0.1.2 Hàm số hợp Giả sử hai hàm số f g thỏa mãn Gg ⊂ Df Khi đó, hàm số h(x ) = ( f g )(x ) = f (g (x )) gọi hàm số hợp f g VD Xét f (x ) = 3x g (x ) = x − , ta có: • Hàm số hợp f g f (g (x )) = 3(g (x ))2 = 3x − 6x + • Hàm số hợp g f g ( f (x )) = f (x ) − = 3x − 0.1.3 Hàm số ngược • Hàm số f gọi song ánh x ≠ x ⇔ f (x ) ≠ f (x ) • Xét hàm song ánh f có MXĐ D miền giá trị G Khi đó, hàm số ngược f , ký hiệu f −1 , có MXĐ G miền giá trị D định nghĩa f −1(y ) = x ⇔ f (x ) = y (x ∈ D, y ∈ G ) VD Nếu f (x ) = 2x f −1(x ) = log2 x (x > 0) Chú ý • MXĐ f −1 = miền giá trị f , miền giá trị f −1 = MXĐ f • Đồ thị hàm y = f −1(x ) đối xứng với đồ thị hàm y = f (x ) qua đường thẳng y = x 0.1.4 Hàm số Lượng giác ngược 0.1.4.1 Hàm số y = arcsin x  π π arcsin x = y ⇔ sin y = x , y ∈ − ;   2    1  1 VD Tính arcsin −  cot arcsin      Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Giải  1  π π π  π π • Ta có arcsin −  = − , sin −  = − − ∈ − ;      6  2   π π 1 • Đặt arcsin = ϕ , ta sin ϕ = ϕ ∈ − ;   2 4    1 cos ϕ 15 = , cot arcsin  = cot ϕ = = 15 Vậy, ta có cos ϕ = − 16 4  sin ϕ  0.1.4.2 Hàm số y = arccos x arccos x = y ⇔ cos y = x , y ∈  0;  VD arccos = π ; arccos(−1) = π ; arccos π = ; π     2π arccos −  =   0.1.4.3 Hàm số y = arctan x  π π arctan x = y ⇔ tan y = x , y ∈ − ;   2  Quy ước arctan(+∞) = VD arctan(−1) = − π π , arctan(−∞) = − 2 π π ; arctan = 0.1.4.4 Hàm số y = arccot x ( ) arccot x = y ⇔ cot y = x , y ∈ 0; π Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Quy ước arccot(+∞) = 0, arccot(−∞) = π VD arccot(−1) = 3π π ; arccot = 0.2 Giới hạn hàm số Quy tắc tính giới hạn Giả sử k số lim f (x ) , lim g(x ) tồn Khi x →a x →a 1) lim[k f (x )] = k lim f (x ) 2) lim[ f (x ) ± g(x )] = lim f (x ) ± lim g(x ) 3) lim[ f (x )g(x )] = lim f (x ).lim g(x ) 4) lim x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a x →a f (x ) f (x ) lim = x →a lim g(x ) ≠ x →a g(x ) lim g(x ) x →a Định lý Nếu f (x ) ≤ g (x ) x tiến đến a ( x ≠ a ) lim f (x ) , lim g(x ) tồn lim f (x ) ≤ lim g(x ) x →a x →a x →a x →a Định lý kẹp Nếu f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ) x tiến đến a ( x ≠ a ) lim f (x ) = lim g(x ) = L lim h(x ) = L x →a x →a x →a Chú ý 1 = +∞, − = −∞, =0 + ±∞ 0 Một số kết giới hạn cần nhớ 1) lim α (x )→ sin α(x ) tan α(x ) = lim =1 α ( x ) → α(x ) α(x )    x 2) lim 1 +  = lim (1 + x ) = e x →±∞  x →0 x  x 3) lim[ f (x )]n =  lim f (x ) , n ∈ ℤ+ x →a  x →a  n Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học { } x →a 4) lim [ f (x )]g (x ) =  lim f (x ) x →a  x →a  lim g (x ) lim f (x ) > x →a 5) lim n f (x ) = n lim f (x ) , n ∈ ℤ+ (nếu n lẻ, ta giả sử lim f (x ) > ) x →a x →a x →a α 6) lim x →+∞ ln x x = lim x = α ≥ 1, β > α x →+∞ x β 0.3 Hàm số liên tục Định nghĩa • Hàm số f gọi liên tục điểm a lim f (x ) = f (a ) x →a • Hàm số f gọi liên tục bên trái điểm a lim− f (x ) = f (a ) x →a • Hàm số f gọi liên tục bên phải điểm a lim+ f (x ) = f (a ) x →a • Hàm số f gọi liên tục khoảng (a;b ) f liên tục điểm thuộc (a;b ) (Nếu f liên tục phải a liên tục trái b f liên tục đoạn [a;b ] ) Chú ý • Mọi đa thức liên tục ℝ = (−∞; +∞) • Mọi hàm số sơ cấp liên tục miền xác định 0.4 Đạo hàm vi phân Định nghĩa vi phân Đại lượng dy = f ′(x )dx gọi vi phân hàm số y = f (x ) Chú ý dy = f ′(x )dx ⇔ f ′(x ) = dy dx Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử f , g h hàm số khả vi, ta có: 1) [ f (x ) ± g(x )]′ = f ′(x ) ± g ′(x ) ; 2) [Cf (x )]′ = C f ′(x ) (C ∈ ℝ) ; 3) [ f (x )g(x )]′ = f ′(x )g(x ) + f (x )g ′(x ) ;  f (x ) ′ ′ ′  = f (x )g(x ) − f (x )g (x ) (g(x ) ≠ 0) ; 4)   g(x )  [g(x )]   5) Nếu y = f (u ) với u = g (x ) y ′(x ) = y ′(u ).u ′(x ) ; 6) Nếu y = f (x ) x = f −1(y ) y ′(x ) = Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page ; x ′(y ) 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học 7) Nếu y = f (x ) cho x = ϕ(t ) y = ψ(t ) y ′(x ) = y ′(t ) x ′(t ) Đạo hàm hàm số sơ cấp (u α )′ = α.u ′.u α−1 1) (x α )′ = α.x α−1 2) ( u )′ = 2u ′u ( x )′ = 1x 3) (sin x )′ = cos x (sin u )′ = u ′.cos u 4) (cos x )′ = − sin x (cos u )′ = −u ′.sin u 5) (tan x )′ = = + tan2 x cos x 6) (cot x )′ = − = −(1 + cot2 x ) sin x (tan u )′ = 7) (e x )′ = e x (e u )′ = u ′e u 8) (a x )′ = a x ln a (a u )′ = u ′.a u ln a 9) (ln | x |)′ = x 10) (loga | x |)′ = 11) (arcsin x )′ = u′ = u ′(1 + tan2 u ) cos u u′ (cot u )′ = − = −u ′(1 + cot2 u ) sin u (ln | u |)′ = x ln a (log a u′ u | u |)′ = (arcsin u )′ = − x2 12) (arccos x )′ = − 1− x2 13) (arctan x )′ = + x2 14) (arccot x )′ = − + x2 u′ u.ln a u′ − u2 u′ (arccos u )′ = − − u2 u′ (arctan u )′ = + u2 u′ (arccot u )′ = − + u2 0.5 Quy tắc L’Hospital f (x ) gọi dạng vơ định g(x ) / (hoặc ∞ / ∞ ) Các dạng giới hạn giải nhờ quy tắc L’Hospital sau Nếu lim f (x ) lim g(x ) đồng thời (hoặc vơ cùng) lim x →x x →x x →x Nếu f (x ) g (x ) khả vi (a, b ) (có thể khơng khả vi x ) g ′(x ) ≠ với x ≠ x f (x ) f ′(x ) = lim x →x g (x ) x →x g ′(x ) lim Chú ý Các dạng vơ định: 0.∞ , ∞0 , 00 , 1∞ , ∞ − ∞ biến đổi để áp dụng quy tắc L’Hospital Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học 0.6 Tích phân Cơng thức đổi biến số ∫ f (x )dx = F (x ) + C Nếu hàm số x = ϕ(t ) khả vi ∫ f (ϕ(t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ(t )) + C Cơng thức tích phân phần ∫ udv = uv − ∫ vdu Các dạng tích phân phần thường gặp ∫ P(x )e dx ta đặt u = P(x ), dv = e dx • Đối với dạng tích phân ∫ P (x ) ln x dx ta đặt u = ln x , dv = P (x )dx αx αx • Đối với dạng tích phân α α MỘT SỐ NGUN HÀM CẦN NHỚ 1) ∫ a.dx = ax + C , 3) ∫ a ∈ ℝ; dx = ln | x | + C ; x 2) ∫ 4) ∫ x α+1 x dx = + C , α ≠ −1 ; α +1 α dx = x +C ; x ax +C ; ln a 5) x x ∫ e dx = e + C ; 6) x ∫ a dx = 7) ∫ cos x dx = sin x + C ; 8) ∫ sin x dx = − cos x + C ; 9) ∫ cos dx dx 10) ∫ sin dx x = arctan + C ; a a +a 12) ∫ dx x −a = ln +C ; 2a x +a −a 14) ∫ sin x x π  dx = ln tan  +  + C ; cos x   16) ∫ 11) ∫x 13) ∫x 2 x = tan x + C ; = − cot x + C ; x dx a2 − x dx = arcsin = ln tan dx x + C, a > ; a x +C ; 15) ∫ 17) ∫ x + a dx = ∫ x a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin +C 2 |a | …………………………………………………………………………… 18) x2 + a = ln x + x + a + C ; x a x + a + ln x + x + a +C ; 2 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ CHUỖI SỐ Bài Tích phân suy rộng Bài Khái niệm chuỗi số Bài Chuỗi số dương Bài Chuỗi số có dấu tùy ý Bài TÍCH PHÂN SUY RỘNG Khái niệm mở đầu • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b ] Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) trục hồnh b S= ∫ f (x )dx a • Cho hàm số f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a; +∞) ( b → +∞ ) Khi đó, diện tích S tính khơng tính Trong trường hợp tính hữu hạn +∞ S= ∫ b f (x )dx = lim a b →+∞ ∫ f (x )dx a 1.1 Tích phân suy rộng loại 1.1.1 Định nghĩa b Cho hàm số f (x ) xác định [a; +∞) , khả tích đoạn [a;b ] Giới hạn (nếu có) lim b →+∞ ∫ f (x )dx a gọi tích phân suy rộng loại f (x ) [a; +∞) , ký hiệu +∞ ∫ b f (x )dx = lim b →+∞ a ∫ f (x )dx a Định nghĩa tương tự: b ∫ −∞ b f (x )dx = lim a →−∞ a +∞ ∫ −∞ ∫ f (x )dx b f (x )dx = lim ∫ f (x )dx b →+∞ a →−∞ a Chú ý • Nếu giới hạn tồn hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ; ngược lại tích phân phân kỳ • Nghiên cứu tích phân suy rộng khảo sát hội tụ tính giá trị hội tụ (nếu được) Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học +∞ VD Khảo sát hội tụ tích phân I = ∫ b • Trường hợp α = 1: I = lim b →+∞ ∫ b dx  = lim ln x  = +∞ (phân kỳ) 1 b →+∞  x b • Trường hợp α khác 1: I = lim dx xα b →+∞ ∫    1−α b  dx 1 1−α  α − , α > x = lim = lim − = b  1  − α b →+∞  − α b →+∞  xα  + ∞, α < ( ) Vậy α > : tích phân hội tụ I = α −1 α ≤ : tích phân phân kỳ I = +∞ VD Tính tích phân I = dx (1 x ) − −∞ ∫ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý +∞ • Nếu tồn lim F (x ) = F (+∞) , ta dùng cơng thức x →+∞ ∫ f (x )dx = F (x ) +∞ a a b • Nếu tồn lim F (x ) = F (−∞) , ta dùng cơng thức x →−∞ −∞ +∞ • Tương tự: ∫ ∫ f (x )dx = F (x ) −∞ +∞ −∞ f (x )dx = F (x ) b −∞ +∞ VD Tính tích phân I = dx + x −∞ ∫ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 1.1.2.1 Tiêu chuẩn 0 ≤ f (x ) ≤ g(x ), ∀x ∈ [a; +∞) +∞  +∞  ⇒ ∫ f (x )dx hội tụ  ∫ g(x )dx hội tụ a  a  Các trường hợp khác tương tự +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫e −x 10 dx ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2.2 Tiêu chuẩn +∞ ∫ +∞ f (x ) dx hội tụ ⇒ ∫ a f (x )dx hội tụ a Các trường hợp khác tương tự +∞ ∫e VD Xét hội tụ tích phân I = −x cos 3x dx ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 1.1.2.3 Tiêu chuẩn Giả sử f (x ), g (x ) liên tục, dương [a; +∞) lim x →+∞ +∞ • Nếu < k < +∞ ∫ +∞ ∫ g(x )dx f (x )dx a ∫ g(x )dx hội tụ phân kỳ a +∞ • Nếu k = f (x ) =k g (x ) +∞ hội tụ a  k = +∞  • Nếu +∞  ∫ g(x )dx phân kỳ  a  ∫ f (x )dx hội tụ a +∞ ∫ f (x )dx phân kỳ a • Các trường hợp khác tương tự +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ dx + x + 2x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chú ý +∞ Nếu f (x ) ∼ g (x ) x → +∞ ∫ +∞ f (x )dx a +∞ VD Xét hội tụ tích phân I = ∫ ∫ g(x )dx có tính chất a dx + sin x + x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 10 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học • Nghiệm ( ∗ ) khoảng D hàm y = ϕ(x ) xác định D cho thay vào ( ∗ ) ta đồng thức D Đồ thị nghiệm y = ϕ(x ) phương trình vi phân gọi đường cong tích phân • Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm phương trình vi phân Nghiệm phương trình vi phân biểu diễn dạng hàm ẩn 1.2 Phương trình vi phân cấp • Dạng tổng qt phương trình vi phân cấp F (x , y, y ′) = (∗) • Nghiệm ( ∗ ) hàm số y = y(x ) thỏa ( ∗ ) • Nghiệm y = y(x ) ( ∗ ) có chứa số C gọi nghiệm tổng qt • Khi điều kiện đầu x = x , y = y vào nghiệm tổng qt ta giá trị C cụ thể nghiệm ( ∗ ) lúc gọi nghiệm riêng • Nghiệm thu trực tiếp từ ( ∗ ) khơng thỏa nghiệm tổng qt gọi nghiệm kỳ dị Chú ý Trong chương trình, ta khơng xét nghiệm kỳ dị việc giải phương trình vi phân theo cách khơng đầy đủ (nghĩa ta bỏ qua điều kiện có nghĩa) VD Phương trình vi phân y ′ − xy = có nghiệm tổng qt y = Ce x Thế x = y = vào y = Ce x /2 /2 ta nghiệm riêng y = 2e x /2 Bài MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Phương trình với biến phân ly 2.1.1 Dạng Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng f (y )dy = g (x )dx (1) Phương pháp giải Ta lấy tích phân hai vế (1): ∫ f (y )dy = ∫ g(x )dx VD Giải phương trình vi phân y ′y − x = với điều kiện đầu y(0) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Giải phương trình vi phân y ′ = 3x 2y Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 39 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Giải phương trình (x + 1)y ′ + 3x (y − 1) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Giải pt: x (2y + cos y )y ′ − 2x + = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.1.2 Dạng phương trình đưa biến phân ly (tham khảo) Phương trình vi phân đưa biến phân ly có dạng  ax + by + c   (1′) y ′ = f  a ′x + b ′y + c ′  a b = ⇔ a ′x + b ′y = α(x + by ) a ′ b′ Phương pháp giải Bước Đặt u = ax + by ⇒ u ′ = a + by ′ u′ − a = g(u ) (đây phương trình vi phân có biến phân ly) Bước (1′) ⇒ b 2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 2.2.1 Dạng Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng y′ = y  f   (2)  x  Phương pháp giải y Bước Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ x Bước (2) ⇒ u + xu ′ = f (u ) ⇒ du dx = (đây phương trình vi phân có biến phân ly) f (u ) − u x VD Giải phương trình vi phân y ′ = y y y + ln x x x Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 40 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học y , phương trình trở thành x du du dx u + xu ′ = u + u ln u ⇒ x = ⇒ = u ln u ⇒ dx u ln u x ⇒ ln | ln u | = ln | x | +C ⇒ ln | u | = ln | Cx | ⇒ u = Ce x Giải Đặt u = ∫ d (ln u ) = ln u ∫ dx x Vậy nghiệm tổng qt phương trình y = Cxe x (chú ý số C !) VD Giải phương trình vi phân y ′ = y 2x + x y ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Giải phương trình vi phân xy ′ − y = x tan y π với điều kiện đầu y(1) = x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.2.2 Phương trình vi phân đưa đẳng cấp Phương trình vi phân đưa đẳng cấp có dạng y ′ = f (x , y ) (2′) đó, f (x , y ) hàm đẳng cấp bậc 0: f (kx , ky ) = f (x , y ), ∀k ∈ ℝ \ {0} y  Phương pháp giải Ta biến đổi (2′) ⇒ y ′ = ϕ   , giải tiếp  x  VD Giải phương trình vi phân y dx + (y − x )dy = 0, y(2) = Giải Phương trình trở thành dy y = ⇒ y′ = dx x −y ⇒ 1−u dx du = ⇒ x u2 ∫ y x ⇒ u + xu ′ = y x 1−u du = u2 1− ∫ u 1−u  y , u =  x   dx x x − C− 1 ⇒ − − ln | u | +C = ln | x | ⇒ ln | xu | = C − ⇒ xu = e u ⇒ y = Ce y ( ∗ ) u u Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 41 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Thay x = 2, y = vào nghiệm tổng qt ( ∗ ), ta C = e Vậy nghiệm riêng ( ∗ ) y = e 2y −x y VD Giải phương trình vi phân (x + 2xy )dx + xydy = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Giải phương trình y ′ = 4x + xy + y với điều kiện đầu y(1) = x2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.2.3 Phương trình vi phân khác đưa đẳng cấp (tham khảo)  ax + by + c  a b  (2′′) , Phương trình vi phân đưa đẳng cấp có dạng y ′ = f  ≠ a ′ b′ a ′x + b ′y + c ′  Phương pháp giải ax + by + c = ta nghiệm (x , y ) Bước Giải hệ  a ′x + by ′ + c ′ =  Bước Đổi biến x = X + x , y = Y + y ta được:  a(X + x ) + b(Y + y ) + c  0  ⇒ Y ′ = (2′′) ⇒ Y ′ = f  a ′(X + x ) + b ′(Y + y ) + c ′ Bước Đặt u =  aX + bY   ⇒ Y ′ = f  a ′X + b ′Y   Y    a + b  X  f   Y  a ′ + b ′   X Y ⇒ Y ′ = u + Xu ′ ta phương trình vi phân đẳng cấp X 2.3 Phương trình vi phân tồn phần Nếu hai hàm P (x , y ) , Q(x , y ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D , thỏa điều kiện Qx′ (x , y ) = Py′(x , y ), ∀(x , y ) ∈ D phương trình vi phân có dạng P (x , y )dx + Q(x , y )dy = (3) gọi phương trình vi phân tồn phần Nếu tồn hàm u(x , y ) cho d[u(x , y )] = P (x , y )dx + Q(x , y )dy nghiệm tổng qt (3) u(x , y ) = C Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 42 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Nhận xét ux′ (x , y ) = P (x , y ), uy′ (x , y ) = Q(x , y ) Phương pháp giải u ′ = P (3a ) Bước Từ (3) ta có  x uy′ = Q (3b )  Bước Lấy tích phân (3a) theo biến x ta u(x , y ) = ∫ P (x, y )dx = ϕ(x, y ) + C (y ) (3c), C (y ) hàm theo biến y Bước Đạo hàm (3c) theo biến y ta uy′ = ϕy′ (x , y ) + C ′(y ) (3d) Bước So sánh (3b) (3d) ta tìm C (y ) Thay C (y ) vào (3c) ta u(x , y ) Các giải khác Nếu P (x , y ) Q(x , y ) liên tục M (x , y ) y x u(x , y ) = x ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x , y )dy 0 x0 VD Giải phương trình vi phân Giải Ta có u ′  x  uy′ x3 (a ) ⇒ u(x , y ) = ∫ Pdx = y0 x0 y0 (x + 2xe y − e x )dx + (x 2e y − y )dy = = P = x + 2xe y − e x (a ) = Q = x 2e y − y (b) ⇒ Py′ = Qx′ = 2xe y + x 2e y − e x + C (y ) ⇒ uy′ = x 2e y + C ′(y ) (c) So sánh (b ) (c) ta C ′(y ) = −y ⇒ C (y ) = − Vậy nghiệm tổng qt y y4 x3 y4 y x ⇒ u(x , y ) = + x e −e − 4 x3 y4 + x 2e y − e x − =C Cách khác y x u(x , y ) = ∫ (x + 2xe − e )dx + ∫ (x 2e y − y )dy = 0 x 0 x y x   y y  x3 y4 x y x     =  + x − e  + x e −  = + x e −e − +      0 x3 y4 y x Vậy nghiệm tổng qt + x e −e − =C VD Cho phương trình vi phân (3y + 2xy + 2x )dx + (x + 6xy + 3)dy = ( ∗ ) 1) Chứng tỏ ( ∗ ) phương trình vi phân tồn phần 2) Giải phương trình ( ∗ ) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 43 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………  x VD 10 Giải phương trình vi phân (2xye x + ln y )dx + e x + dy = , với y(0) = y   ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng y ′ + p(x )y = q(x ) (4) p(x ) , q(x ) hàm liên tục Khi q(x ) = (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp • Xét phương trình y ′ + p(x )y = , ta có: − p (x )dx dy dy = −p(x )y ⇒ ∫ = −∫ p(x )dx ⇒ ln | y | = −∫ p(x )dx ⇒ y = e ∫ dx y p (x )dx Nhân hai vế (4) với e ∫ , ta được: y ′.e ∫ ⇒ y.e ∫ p (x )dx p (x )dx d  ∫ p(x )dx  ∫ p(x )dx  = q(x ).e y.e   dx   p (x )dx − p (x )dx  p (x )dx  ∫ q(x ).e ∫ = ∫ q(x ).e ∫ dx + C ⇒ y = e ∫ dx + C    + y.p(x ).e ∫ p (x )dx = q(x ).e ∫ p (x )dx ⇒ Phương pháp giải − p (x )dx Bước Tìm biểu thức A(x ) = e ∫ Bước Tìm biểu thức B(x ) = q (x ) ∫ A(x ) dx Bước Nghiệm tổng qt y = A(x ) B(x ) + C    Chú ý • Khi tính tích phân trên, ta chọn số • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm tổng qt (4) dạng − p (x )dx y = C (x ).e ∫ = C (x ).A(x ) Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 44 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học VD Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm nghiệm tổng qt y ′ + A y = C (x ) ; x2 B y = C (x ) ; x3 −2 ∫ p (x )dx Giải Ta có: y = C (x )e ∫ = C (x )e − dx x C y = = C (x )e ln x −2 = C (x ) ; x y = 4x ln x dạng: x C (x ) D y = − x C (x ) ⇒ A x2 VD Giải phương trình vi phân (4xy − 3)dx + (x + 1)dy = thỏa điều kiện đầu y(0) = dy 4x 4x =− y+ ⇒ y′ + y= dx x +1 x +1 x +1 x +1 4x p(x ) = , q(x ) = x +1 x +1 Giải Phương trình vi phân trở thành Ta có: A(x ) = e B(x ) = − 4x ∫ x +1dx =e −2 ∫ q (x ) d (x +1) x +1 ∫ A(x ) dx = ∫ 3(x = (x + 1)2 + 1)dx = x + 3x Nghiệm tổng qt phương trình y = (x + 3x + C ) (x + 1) Thay điều kiện đầu, ta nghiệm riêng y = x + 3x + x + 2x + VD Giải phương trình vi phân y ′(x + y ) = y Giải Biến đổi y ′(x + y ) = y ⇒ dy x dx (x + y ) = y ⇒ + y = ⇒ x ′ − x = y ( ∗ ) dx y dy y Xem x hàm, y biến ta được: p(y ) = − , q(y ) = y y Ta có: A(y ) = e ∫ dy y = y B(y ) = q (y ) ∫ A(y ) dy = y Vậy phương trình có nghiệm x = y(y + C ) VD 11 Giải phương trình vi phân y ′ + 3x 2y = 6x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 12 Giải phương trình vi phân x 2y ′ + xy = thỏa điều kiện đầu y(1) = ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 45 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 13 Giải phương trình vi phân y ′ sin x + y cos x = x sin(x ) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 14 Giải phương trình vi phân xy ′ ln x = y + e x (x ln x )2 , với y(2) = ln ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.5 Phương trình vi phân Bernoulli Phương trình vi phân Bernoulli có dạng y ′ + p(x )y = q(x )y α (5) ≠ α ≠ , p(x ) ≡ / q(x ) ≡ / Phương pháp giải y′ y + p(x ) α = q(x ) ⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q (x ) α y y −α ⇒ z ′ = (1 − α)y ′y , ta được: (5) ⇒ z ′ + (1 − α)p(x )z = (1 − α)q(x ) (đây phương trình tuyến tính cấp với hàm z (x ) ) Bước Chia hai vế (5) cho y α ta được: Bước Đặt z = y 1−α VD Giải phương trình vi phân xy ′ − y = y ln x ln x Giải Chia vế cho y , phương trình vi phân trở thành y ′.y −2 − y −1 = x x ln x Đặt z = y −1 ⇒ z ′ = −y ′y −2 , ta z ′ + z = − x x ln x Ta có: p(x ) = , q(x ) = − x x dx −∫ q (x ) A(x ) = e x = e − ln x = B(x ) = ∫ dx = −∫ ln x dx = x − ln x ⇒ z = (x − ln x + C ) x A(x ) x Vậy nghiệm tổng qt y = x x − ln x + C Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 46 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học VD Giải phương trình vi phân (x sin y − x )y ′ + 2y = Giải Biến đổi: pt ⇒ x sin y + 2y dx =x dy ⇒ 2yx ′ − x = −x sin y ⇒ x ′ − ⇒ x ′x −3 − x sin y = −x 2y 2y −2 sin y x = − 2y 2y Đặt z = x −2 ⇒ z ′ = −2x ′x −3 1 sin y sin y pt ⇒ − z ′ − z = − ⇒ z′ + z = 2y 2y y y − ∫ dy y , B(y ) = ∫ sin y dy = − cos y y 1 Vậy phương trình có nghiệm = (− cos y + C ) y x A(y ) = e = VD 15 Giải phương trình vi phân y ′ + y3 y= x x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 16 Giải phương trình 3y ′ x x +1 − + y = x y ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 47 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Bài đọc thêm ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Điểm cân giá • Xét loại hàng hóa Giả sử hàm cầu QD hàm cung QS cho bởi: ( ) QD = a − bP QS = −c + dP a, b, c, d ∈ ℤ+ a +c b +d • Trong thực tế giá, lượng cung, lượng cầu ln thay đổi phụ thuộc vào thời gian t : Khi thị trường cân bằng, nghĩa QD = QS , mức giá P = P = P (t ), QD = QD (P (t )), QS = QS (P (t )) • Tại thời điểm khảo sát t = , mức giá P (0) ≠ P Tốc độ tăng hay giảm giá P ′(t ) tỉ lệ thuận với QD − QS Vậy P ′(t ) = λ (QD − QS ) = −λ(b + d )(P − P ), λ > Đặt k = λ(b + d ) > , ta có phương trình vi phân với biến phân ly P ′ = −k (P − P ) Phương trình có nghiệm tổng qt P (t ) = P + Ce −kt • Do k > , nên lim P (t ) = P Vậy theo thời gian, thị trường tự điều chỉnh giá mức cân P t →+∞ Các ví dụ VD Cho hàm cung cầu loại hàng hóa: QS = −6 + 8P QD = 42 − 4P − 4P ′ + P ′′ Tại thời điểm t = , ta có P (0) = P ′(0) = Giả sử hàng hóa bán hết thời điểm: QD = QS ⇒ P ′′ − 4P ′ − 12P = −48 (*) Giải (*), ta nghiệm tổng qt: P (t ) = C 1e −2t + C 2e 6t nghiệm riêng P (t ) = e −2t + e 6t + Do lim = +∞ , nên ta kết luận giá mặt hàng khơng ổn định theo thời gian t →+∞ VD Cho hàm cung cầu loại hàng hóa: QS = −5 + 3P QD = 40 − 2P − 2P ′ − P ′′ Tại thời điểm t = , ta có P (0) = 12 P ′(0) = Giả sử hàng hóa bán hết thời điểm: QD = QS ⇒ P ′′ + 2P ′ + 5P = 45 (**) Giải (**), ta nghiệm tổng qt: P (t ) = e −t (C cos 2t + C sin 2t ) + Và nghiệm riêng P (t ) = e −t (3 cos 2t + sin 2t ) + Do lim = , nên ta kết luận giá mặt hàng theo thời gian tự điều chỉnh mức P = t →+∞ Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 48 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Bài TÍCH PHÂN BỘI HAI CƠ BẢN 3.1 Bài tốn mở đầu • Xét hàm số z = f (x , y ) khơng âm, liên tục miền D ⊂ ℝ có đồ thị S Một khối trụ có đường sinh song song với trục Oz , đáy miền D đáy giới hạn mặt S • Để tính thể tích V khối trụ, ta chia đáy D thành n phần ∆Si ( i = 1, , n ) khơng dẫm lên Diện tích phần ký hiệu ∆Si Trong ∆Si ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý Khi đó, khối trụ chia thành n khối trụ nhỏ ∆Vi có đáy ∆Si chiều cao xấp xỉ f (M i ) Suy thể tích V khối trụ xấp xỉ { n n i =1 i =1 ∑ ∆Vi = ∑ f (x i , yi )∆Si } Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si (i = 1, , n ) đường kính ∆Si đặt d = max{d1, d2 , , dn } n Nếu ta chia miền D mịn, nghĩa d bé, ∑ ∆V i =1 i gần với V Vậy ta có n V = lim ∑ f (x i , yi )∆Si d →0 i =1 3.2 Tích phân bội hai 3.2.1 Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy Ta chia miền D (còn gọi phân hoạch miền D ) cách tùy ý thành n phần ∆Si ( i = 1, , n ) khơng dẫm lên nhau, gọi diện tích phần ∆Si với đường kính tương ứng di Trong ∆Si ta chọn điểm tùy ý M i (x i , yi ) gọi n I n = ∑ f (x i , yi )∆Si i =1 tổng tích phân hàm số f (x , y ) miền D ứng với phân hoạch miền D cách chọn điểm M i • Đặt d = max{d1, d2 , , dn } Nếu giới hạn n I = lim ∑ f (x i , yi )∆Si d →0 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) i =1 Page 49 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học tồn hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách phân hoạch miền D cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân bội hai (hay tích phân kép) hàm số f (x , y ) miền D , ký hiệu I = ∫∫ f (x, y )dS D • Xét phân hoạch miền D đường thẳng song song với Ox , Oy ta ∆S = ∆x ∆y Khi d → ∆x → ⇒ dS = dxdy ∆S →   ∆  y → Vậy ta có I = ∫∫ f (x, y )dxdy D • Nếu tồn tích phân ∫∫ f (x, y )dxdy ta nói hàm f (x , y ) khả tích miền D D 3.2.2 Tính chất tích phân bội hai Giả thiết tích phân tồn Từ định nghĩa, ta có tính chất sau 1) ∫∫ dxdy = S (D ) (diện tích miền D ) D 2) ∫∫ k.f (x, y )dxdy = k ∫∫ f (x, y )dxdy (k ∈ ℝ) D 3) D ∫∫ [ f (x, y ) + g(x, y )]dxdy = ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ g(x, y )dxdy D D D 4) Nếu D chia thành hai miền D1 D2 khơng dẫm ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy D D1 5) Nếu ≤ f (x , y ) ≤ g(x , y ), ∀(x , y ) ∈ D D2 ∫∫ f (x, y )dxdy ≤ ∫∫ g(x, y )dxdy D D 6) Nếu max f (x , y ) = M f (x , y ) = m m.S (D ) ≤ ∫∫ f (x , y )dxdy ≤ M S (D ) D D D 3.3 Phương pháp tính tích phân bội hai 3.3.1 Định lý Fubini Giả sử hàm số f (x , y ) khả tích hình thang cong { } D = (x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) y (x ) y1(x ), y2 (x ) liên tục [a, b ] với x ∈ [a, b ] cố định, tích phân ∫ f (x , y )dy tồn y1 (x ) tồn tích phân lặp b ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ D Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) a y2 (x )   dx f ( x , y ) dy  ∫  y1 (x )  Page 50 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học { Tương tự, D = (x , y ) ∈ ℝ | x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d x (y ) ∫ } với x (y) , x (y) liên tục [c, d ] f (x , y )dx (y ∈ [c, d ]) tồn x (y ) d ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ D c x2 (y )   f (x , y )dx dy  ∫   x (y )  Chú ý 1) Tích phân lặp bội hai thường viết dạng b ∫ a d ∫ c y ( x )    f ( x , y ) dy  ∫ dx = y1 (x )  x (y )   dy = f ( x , y ) dx  ∫  x1 (y )  b y2 (x ) ∫ ∫ y2 (x ) b f (x , y )dydx = ∫ dx ∫ a y1 (x ) a y1 (x ) d x (y ) d x (y ) ∫ ∫ f (x , y )dxdy = c x1 (y ) ∫ dy ∫ f (x , y )dy , f (x , y )dx x1 (y ) c 2) Cận tích phân a ≤ x ≤ b c ≤ y ≤ d gọi cận cụ thể, cận x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ) y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) cận khơng cụ thể (cận phụ thuộc) Trong tích phân lặp, tích phân có cận khơng cụ thể đặt (hoặc phía sau) để tính trước tích phân có cận cụ thể đưa ngồi (hoặc phía trước) để tính sau x (y ) 3) Khi tính tích phân ∫ f (x , y )dx , ta xem y số x (y ) y (x ) Khi tính tích phân ∫ f (x , y )dy , ta xem x số y1 (x ) Các trường hợp riêng 1) Nếu miền D hình chữ nhật [a, b ] × [c, d ] , nghĩa { } D = (x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , b d d b ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ ∫ f (x, y)dydx = ∫ ∫ f (x, y)dxdy D a c c a 2) Nếu D = [a, b ] × [c, d ] f (x , y ) = u(x ).v(y ) ∫∫ D d b     f (x, y )dxdy =  ∫ u(x )dx  ×  ∫ v(y )dy   a   c  { } 3) Nếu D = (x , y ) ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x ) với y1(x ) , y2 (x ) liên tục [a, b ] f (x , y ) = u(x ).v(y ) b y2 (x ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ u(x )dx ∫ D Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) a Page 51 v(y )dy y1 (x ) 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học { } 4) Nếu D = (x , y ) ∈ ℝ | x 1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d với x 1(y ) , x (y ) liên tục [c, d ] f (x , y ) = u(x ).v(y ) d x (y ) ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ v(y)dy ∫ D c u(x )dx x1 (y ) 3.3.2 Phương pháp tính 1) Trường hợp miền D biểu diễn định lý ta viết thành tích phân lặp tính 2) Trường hợp miền D chưa biểu diễn, ta thực sau • Bước Dựa vào phương trình biên D , ta vẽ xác định miền D mặt phẳng Oxy • Bước Chiếu miền D lên trục Ox Oy cho biên D chia thành hai đường cong trơn • Bước Biểu diễn D , viết tích phân thành tích phân lặp tính 3) Nếu chiếu miền D lên hai trục Ox Oy mà biên D bị chia thành hai đường cong trơn khúc ta phải chia D thành miền đơn giản  π π  , D = ( x , y ) ∈ ℝ − ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x cos y dxdy   ∫∫   D π  π  2     6−3 2  2      Giải Ta có: I =  ∫ 2x dx  ×  ∫ cos y dy  = x  sin y π  =   −1   −1     π       VD Tính tích phân I = VD Tính tích phân I = ∫∫ (2x + y )dxdy , D = {(x, y) ∈ ℝ | y ≤ x ≤ − y, − ≤ y ≤ 0} D 1−y    Giải Ta có: I = ∫  ∫ (2x + y )dx dy =   −2  y VD Đưa I = ∫∫ f (x, y )dxdy 1−y     ( x + xy )  ∫ dy = − y  −2 dạng tích phân lặp, biết miền D giới hạn đường: D y = x + y = x − Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 52 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Giải Hồnh độ giao điểm y = x + y = x − là: x = −1 , x = Suy D = {−1 ≤ x ≤ 2, x − ≤ y ≤ x + 1} x +1 Vậy I = ∫∫ f (x , y )dydx −1 x −1 VD Tính tích phân I = ∫∫ y dxdy , miền D giới hạn đường: D y = x − y = 2x Giải Trong hình vẽ bên phải ta thấy rằng, ta chiếu miền D lên Ox D bị chia thành hai phần Do đó, ta chiếu miền D lên Oy viết lại phương trình đường cho là: y = x − ⇔ x = y + , y = 2x ⇔ x = y2 2   y Suy D = (x , y ) ∈ ℝ ≤ x ≤ y + 4, − ≤ y ≤ 4     y +4 4  y2  Vậy I = ∫ y dy ∫ dx = ∫ y y + − dy = 18   −2 −2  y2 VD Tính tích phân I = ∫∫ (x − 3y )dxdy , với miền D = [0, 2]× [1, 2] D ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Vẽ miền D tính I = ∫∫ (x + 2y )dxdy , với D = {0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ + x 2} D ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tính I = ∫∫ 2x dxdy , miền D giới hạn y = x + y = x − D ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD Tính I = ∫∫ xy dxdy , biết miền D giới hạn y = x − y = 2x + D ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………Hết……………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 53 01-09-2014 [...]... (IUH) Page 30 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương 3 MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ Bài 1 Bài tốn lãi kép – Đánh thuế doanh thu Bài 2 Bài tốn tìm mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Bài 3 Bài tốn người tiêu dùng – Tìm đầu vào sao cho chi phí sản xuất nhỏ nhất CÁC KHÁI NIỆM – KÝ HIỆU TRONG KINH TẾ 1 Trung bình của hàm Xét hai đại lượng kinh tế H , V có mối quan hệ... ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 19 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương 2 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 1 Khái niệm cơ bản Bài 2 Đạo hàm riêng – Vi phân Bài 3 Cực trị của hàm hai biến số Bài 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Tập hợp trong Rn Xét khơng gian Euclide n chiều ℝ n ( n ≥... ……………………………………………………………………………………………… 2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao • Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số fx′(x , y ) , fy′(x , y ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f (x , y ) , ký hiệu là: fx′′2 = ( fx′)x′ hay Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) ∂2 f ∂  ∂f  =   hay fxx = (fx )x , ∂x  ∂x  ∂x 2 Page 22 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ∂2 f ∂  ∂f  =   hay fyy... giá (Price) Số lượng (Quantity) Doanh thu (Revenue) Lợi nhuận (Profit) Chi phí (Cost) Cầu (Demand) Cung (Supply) Thuế (Tax) Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 31 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học BÀI 1 BÀI TỐN LÃI KÉP – ĐÁNH THUẾ DOANH THU 1.1 Bài tốn lãi kép • Giả sử một người gửi số tiền P0 vào một ngân hàng với lãi suất s(%) trong thời gian t Sau thời gian t thì... ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 23 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học 2.2 Vi phân 2.2.1 Vi phân cấp 1 Giả sử hàm số f (x , y ) liên tục trong lân cận của điểm M 0 (x 0 , y 0 ) Cho x một số gia ∆x và y một số gia ∆y , khi đó hàm số... trường hợp các biến x và y độc lập Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 25 01-09-2014 Đồn Vương Ngun VD 10 Cho hàm số f (x , y ) = e x Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học 2 −y Tính d 2 f (1, −1) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… VD 11 Tính vi phân cấp 2 của hàm số f (x , y ) = ln(x... (IUH) Page 26 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học • Nếu ∆f > 0 thì hàm số f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 Điểm M 0 được gọi là điểm cực tiểu và f (M 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của f (x , y ) , ký hiệu là fCT • Nếu ∆f < 0 thì hàm số f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 Điểm M 0 được gọi là điểm cực đại và f (M 0 ) được gọi là giá trị cực đại của f (x , y ) , ký hiệu là fCĐ VD... sự ràng buộc nào (H.1.3.1) 3.2.2 Phương pháp tìm cực trị tự do Giả sử hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên D ⊂ ℝ 2 Để tìm cực trị của f (x , y ) , ta thực hiện các bước sau Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 27 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học • Bước 1 Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ phương trình f ′(x , y ) = 0 x  ′ fy (x , y ) = 0  •... cos1 x →+∞ x = − lim 1 sin x dx ≤ x2 +∞ ∫ 1 dx ⇒ x2 +∞ ∫ 1 sin x dx hội tụ x2 +∞ +∞ + 1 ∫ 1 sin x dx x2 (1) (2) Từ (1) và (2) ta suy ra I hội tụ Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 13 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Bài 2 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 2.1 Định nghĩa • Cho dãy số có vơ hạn các số hạng u1, u2 , , un , Biểu thức ∞ u1 + u2 + + un + = ∑ un n =1 được... đi hữu hạn số hạng Bài 3 CHUỖI SỐ DƯƠNG 3.1 Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑u n =1 n được gọi là chuỗi số dương nếu un ≥ 0, ∀n Khi un > 0, ∀n thì chuỗi số là dương thực sự 3.2 Các định lý so sánh Định lý 1 ∞ Giả sử hai chuỗi số ∑ un , n =1 ∞ ∑v n =1 n thỏa 0 ≤ un ≤ vn , ∀n ≥ n 0 Khi đó: Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 15 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học ∞ • Nếu ∞ ∑v n ... ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 30 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương MỘT SỐ BÀI TỐN KINH TẾ Bài Bài tốn lãi kép – Đánh thuế doanh thu Bài Bài... ……………………………………………………………………………………………… Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 19 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài Khái niệm Bài Đạo hàm riêng – Vi phân Bài Cực... 2 Đại học Cơng nghiệp Tp Hồ Chí Minh (IUH) Page 01-09-2014 Đồn Vương Ngun Bài giảng Tốn Cao cấp C1 Đại học Chương TÍCH PHÂN SUY RỘNG VÀ CHUỖI SỐ Bài Tích phân suy rộng Bài Khái niệm chuỗi số Bài