Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 TẶNG HỌC SINH Mr HÙNG ĐZ MỤC TIÊU ĐIỂM TOÁN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu Giải phương trình ( x − 1) = (x − x − 2) + − x2 + x + 2 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ Phương trình tương đương x − x − − ( x − x − ) + = − x + x Ta có Đặt ( − x2 + x ) = + x − x2 ≥ ⇒ − x2 + x ≥ t = x − x − = t thu t − t + ≥ ⇔ t ( t − 1) ≥ ⇔  t ≥ t = ⇔ x − x − = ⇔ x ∈ + 3;1 − { } x ≥ t ≥ ⇒ t ≥ ⇔ x − x − ≥ ⇔ ( x − 3)( x + 1) ≥ ⇔  ⇒ x = −1  x ≤ −1 Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x = −1  x + y + + x − y = y + Câu Giải hệ phương trình  2 12 xy + x = x + y + 15 Lời giải  x + y + ≥ 0; x − y ≥ x ≥ ⇔ Điều kiện  x ≥ y 2 y + ≥ 0; xy + x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x− y x + y +1 − y +1 + x − y = ⇔ + x− y =0 x + y +1 + y +1   x− y + x− y =0⇔ x− y + 1 =  x + y +1 + y +1  x + y +1 + y +1   x− y +1 > ⇒ x − y = ⇔ x = y x + y +1 + y +1 ⇔ x − y Ta có x− y Phương trình thứ hai hệ tương đương 12 x3 + x = x + x + 15 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm ta có + x + x + x + x + 15 x ( x + ) = 8.8 x ( x + ) ≤ = ⇒ 12 x3 + x ≤ x + x + 15 3 Do phương trình ẩn x có nghiệm x = x + = ⇔ x = Kết luận hệ có nghiệm x = y = 5 x − y + x + y − = + ( x + y )( x − y ) + x − Câu Giải hệ phương trình   y + − x = Lời giải  y ≥ 0; − x ≥ Điều kiện   x + y − ≥ 0;3x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( x + y )( x − y ) − x + y + + ⇔ ( x + y − )( x − y − 1) + Facebook: Lyhung95 3x − − x + y − = 2x − y −1 =0 3x − + x + y −   ⇔ ( x − y − 1)  x + y − + =0  x − + x + y −   Vì x + y − + > ⇒ y = x − Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x − + x + y − Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x − + − x = (1) Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có + x −1 + − x2 + x − x2 x − + − x = 1( x − 1) + 1( − x ) ≤ + = 2 + x − x − ( x − 1) = ≤ = ⇒ x − + − x2 ≤ 2 2 2 x − = Do phương trình (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức  ⇔ x =1 2 − x = Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm  x2 + y + + x + = y + + y +  Câu Giải hệ phương trình  3x3 + y − + 2x − y −1  2x −1 + y − =  Lời giải Điều kiện x ≥ ; y ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + − y + + x2 + y + − y + = ⇔ ( x − y )( x + y ) x− y + x+2 + y+2 x2 + y2 + + y2 +   ( x + y) ⇔ ( x − y)  +  =0⇒ x= y  x + + y + x + y + + y +  3x3 + x − Phương trình thứ hai hệ trở thành x − + x3 − = + x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x − + 3x − + 3x + x − 3x3 + x − x − + 3x3 − ≤ + = ≤ + x −1 2 2 Do phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x − = x − = ⇔ x = x + 3y 2x  + =3  2 2 x − xy + y x − xy + y Câu Giải hệ phương trình  2  x − y − x + x + y =4  Lời giải x ≥ x ≥  Điều kiện  ⇒ 2 y ≥ x 2 y ≥ x  y ≥  ( ) ( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 2 2  5 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y )  x − xy + y ≥ x + y = x + y Nhận xét  ⇒ 2 2 6 x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y ) ≥ ( x + y )  x − xy + y ≥ x + y = x + y x + 3y x + y 3( x + y ) 2x 2x Dẫn đến + ≤ + = = x+ y x − xy + y x − xy + y x + y x + y Đẳng thức xảy x = y Phương trình thứ hai trở thành ( )(  x + x =  x − =4⇔ ⇔  x ≥  x ≥ Kết luận hệ phương trình có nghiệm x = y = ( x+x ) ) x +2 =0 ⇔ x = ⇔ x = Câu Giải bất phương trình x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) Lời giải: ĐK: x ≥ −1 (*) Khi (1) ⇔ x + + 2 x + ≤ x3 − x − x + ⇔4 ⇔ ⇔ ( ) ( x +1 − + ( x + − 4) x +1 + ( x − 3) + x +1 + + ) x + − ≤ x3 − x − x − 12 ( x + − 9) 2x + + ( x − 3) + 2x + ≤ ( x − 3) ( x + x + ) − ( x − 3) ( x + x + ) ≤ 4   ⇔ ( x − 3)  + − ( x + 1) −  ≤  + x +1 + 2x +  (2) Nhận thấy x = −1 thỏa mãn bất phương trình cho Xét với x ≥ −1 ⇒ 4 4 + − ( x + 1) − < + − − = + + −2 + + x + + 2x + Khi (2) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với (*) ta x ≥ thỏa mãn Đ/s: x = −1 x ≥ 4  x + y + y − x + = Câu Giải hệ phương trình  3 5 x − x y − x y = xy − x + y ( x, y ∈ R ) Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x + x ) − ( x y + xy ) − ( x y + y ) = ⇔ x ( x + 1) − xy ( x + 1) − y ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x − xy − y ) = ⇔ x − xy − y = ⇔ y − x = −4 xy Thế vào (1) ta x + y − xy + = ⇔ x + y + = xy Áp dụng BĐT Côsi ta có x + y + = x + y + + ≥ 4 x y 1.1 = xy ≥ xy Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x4 = y =  x = y = Dấu " = " xảy ⇔  ⇔  x = y = −1  xy ≥ Thử lại ta x = y = thỏa mãn Đ/s: ( x; y ) = (1;1) 3x − + x − x − x x + = Câu Giải phương trình (7x 2 − x + 4) Lời giải: x ≥1 3 x ≥  ĐK:  ⇔ x ≤ −  x ≥ x  • (*) Xét với x ≥ ⇒ ( x − x ) − x ( x + 1) = − x − x < ⇒ x ( x + 1) > x − x ≥ ⇒ x x + > x − x ⇒ x − x − x x + < ⇒ VT (1) < 3x − (2) Áp dụng BĐT Côsi ta có 2 x − ≤ + ( x − 1) = x + Mặt khác x − x + − ( x + 1) = x − x + = x + x ( x − 1) + > 0, ∀x ≥ ⇒ x + < x − x + ⇒ 2 x − < x − x + ⇒ x − < (7 x 2 − x + ) = VP (1) Kết hợp với (2) ⇒ VT (1) < VP (1) ⇒ ∀x ≥ không thỏa mãn (1) • Xét với x ≤ − 1 ta đặt x = −t ⇒ −t ≤ − ⇒t≥ 3 Phương trình (1) trở thành 3t − + t + t + t t + = ( 7t + t + 4) ⇔ 6t − + 2t + 2t + 2t 2t + = 7t + t + ⇔ 2t ( ) ( ) ( 2t + − t − + 2t + 2t − 3t − + ) 6t − − 3t + = 5t − 10t + 2 2t  2t + − ( t + 1)  ( 2t + 2t ) − ( 3t + 1) 2 6t − − ( 3t − 1)      = t −1 ⇔ + + ( ) 2 2t + + t + 2t + 2t + 3t + 6t − + 3t − ⇔ 2t ( t − 2t + 1) t + + 2t + + −t + 2t − 3t + + 2t + 2t + ( −3t + 6t − 3) 3t − + 6t − = ( t − 1)  2t 2 ⇔ ( t − 1)  − − − 5 = 2  t + + 2t + 3t + + 2t + 2t 3t − + 6t −  Đặt T = 2t t + + 2t + 2 − 3t + + 2t + 2t − 3t − + 6t − (2) − Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Với t ≥ Facebook: Lyhung95 1 2t −5 − 3t − 2t + > ⇒T < +0+0−5 = < 3 t + + 2t + t + + 2t + Khi (2) ⇔ ( t − 1) = ⇔ t = ⇒ − x = ⇒ x = −1 thỏa mãn (*) Đ/s: x = −1 ( )  xy + x − y ( ) xy − + x = y + y  Câu Giải hệ phương trình  ( x + 1) y + xy + x (1 − x ) =  ( ) ( x, y ∈ R ) Lời giải: ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, xy + ( x − y ) Khi (1) ⇔ xy + ( x − y ) • ( ( ) xy − ≥ (*) ) xy − − y + x − y = Với y = (3) trở thành (3) −2 x + x = ⇔ −2 x = x = ⇔ x = Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại • Với y > ⇒ T = xy + ( x − y ) Khi (3) ⇔ ⇔ xy + ( x − y ) ( ( ) xy − − y T y ( x − y) + ( x − y) T ( ) xy − + y > B = x + y > xy − + x− y =0 B ) + x − y = ⇔ ( x − y )  y +   B xy −  + =0 T B  (4) + ( x + 1) ( x − x − ) 4 Từ (2) ⇒ y + xy + x − x = ⇒ y + xy − = + x −x−2= x +1 x +1 x +1 x − x + ( x − 1) ( x + ) ⇒ y + xy − = = ≥ 0, ∀x ≥ x +1 x +1 Kết hợp với T , B > ⇒ y + xy − + > nên (4) ⇔ x = y T B Thế vào (2) ta ( x + 1) ( x + x + x − x ) = ⇔ ( x + 1) ( x − x ) + = x = ⇔ x − x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔   x = ± 17  2 x = 1⇒ y = Kết hợp với (*) ta   x = + 17 ⇒ y = + 17  2  Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,   + 17 + 17   ;      Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 8 x + y = y + x +  Câu 10 Giải hệ phương trình  y + 1+ y2 =  x + + x )( ( Lời giải Điều kiện: y + x + ≥ ( Phương trình (2) ⇔ x + + x )( y + ⇔ 3x + + x = ( − y ) + + ( − y ) ) + y = ⇔ 3x + + x = y + 1+ y2 Xét hàm số f ( t ) = t + + t ⇒ f ' ( t ) = ⇒ f ( 3x ) = f ( − y ) ⇔ 3x = − y ) t t2 +1 + > ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến Tập xác định Thay vào phương trình (2) ta có x − x = x + (Điều kiện : x ≥ −1 ) ⇔ x3 − x = x + − x ⇔ x ( x − 1) (1 − x )( x + ) ⇔ = 2x + + 2x     4x + ( x − 1)  x +  = ⇔ x =1 2x + + 2x   >0   Kết hợp điều kiện nghiệm hệ (1; −3)  x3 + y = x − x − y + Câu 11 Giải hệ phương trình  2  x + y − x + y − 10 = y + − x + y Lời giải 4 x + y ≥ Điều kiện:   y ≥ −5 Phương trình (1) ⇔ x3 + y = x − x − y + ⇔ y + y = (1 − x ) + (1 − x ) Xét hàm số f ( t ) = t − 3t ( t ≥ −5 ) ⇒ f ' ( t ) = 3t − > ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến Tập xác định ⇒ f (1 − x ) = f ( y ) ⇔ − x = y Thay vào phương trình (2) ta có x − x − 10 = − x − x + ( Điều kiện x ≥ ⇔ x − x − = − x − + − x + ⇔ ( x − )( x + 1) + ) ( x − 5) x−5 + =0 − x + + 3x +     ⇔ ( x − 5)  x + + + =0⇔ x=5 − x + + 3x +   >0   Kết hợp điều kiện nghiệm hệ ( 5; −4 )  x3 − y + 3x + x − y + = Câu 12 Giải hệ phương trình  2 2 x − x − 3 + y − y − 3x + = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Giải: 4 x − x ≥ Điều kiện:  ( *) 3 + y − y ≥ +) Xét phương trình (1): (1) ⇔ x + 3x + x + = y + y ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = y + y ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) Xét hàm số f (t ) = t + 3t∀t ∈ R Có f '(t ) = 3t + > 0∀t ∈ R nên f (t ) hàm đồng biến R ⇒ x + = y vào (2) ta có: ( ) ⇔ x − x − − x − 3x + = Do ≤ x ≤ ⇔ x − + − x = ⇔ x = 2; x = (T/M) ) ( ( ) +) Với x − + − x ≠ ⇔ x ≠ 2; x ≠ có: ( ) ⇔ 2 − x − x + x − − − x = ⇔ ( x − 2) 2 + x − x2 ( x − 2) + 6x ( x − 2) x − + − x2 6x =0⇔ ( x − 2) + x − x2 + 6x x − + − x2 = ⇒ VN + > 0, ∀0 < x < + x − x2 x − + − x2 +) Với x = ⇒ y = ( t / m ) Do +) Với x = ⇒ y = 1( L) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)  y + x + y + = x + ( x + 1) − y  Câu 13 Giải hệ phương trình  ( x − 1) y + − ( y − ) x + = Lời giải ĐK: x ≥ −3, y ≥ −2, x + y + ≥ 0, ( x + 1) ≥ y2 (*) Khi (1) ⇔ x − y + x + y + x − y + − x + y + = a = x + y + ≥ Đặt  ⇒ x − y = b − ⇒ b − + ab − a = ⇔ ( b − 1)( b + 1) + a ( b − 1) = b = x − y + ≥ ⇔ ( b − 1)( a + b + 1) = ⇔ b = ⇒ x − y + = ⇔ x − y + = ⇔ x = y Thế vào (2) có ( x − 1) x + − ( x − ) x + = ⇔ ( x − 1) ( ) x + − − ( x − 2) ( ) x+3−2 ⇔ ( x − 1)( x + − ) − ( x − )( x + − ) = x+2 +2 x+3+2 x =  1   ⇔ ( x − 1)( x − )  −  = ⇔ x =  2+ x+2 2+ x+3   2 + x + = + x + x =1 x = 1⇒ y =1 ⇔  x = ⇔ ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )} thỏa mãn (*) x = 2⇒ y =2   x + = x + Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )} Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2x − y +   1− x + x − y +1 = 1− x Câu 14 Giải hệ phương trình   2  x − 4x + + 5x − y + = y + Lời giải ĐK: x < 1, x + ≥ y (*) Đặt a = − x > 0, b = x − y + ≥ ⇒ (1) thành a + b = 2b ⇔ a + ab − 2b = ⇔ ( a − b )( a + 2b ) = a (3) Với a > 0, b ≥ ⇒ a + 2b > nên ( 3) ⇔ a = b ⇒ − x = x − y + ⇒ 1− x = x − y +1 ⇔ x = y x2 − x + + 5x2 − x + = x + ⇔ x2 − x + − = x − 5x2 − x + Thế vào (2) có (4) 2  11  2 Ta có x − x + =  x −  + 20 > 0, xét T = x + x x − x + + ( x − x + 3) 5  2  5x2 − x +  3 ⇒T =x+ x − x + ) >  + (     Do ( ) ⇔ ⇔ x2 − x + − x2 − 4x + + x2 − 4x + + x2 − x + + Với x ≤ T > ⇒ = x − ( x − x + 3) T (1 − x ) ( x − x + 3) T + x − 4x + + = ( x − 1) ( x − x + 3) T  1− x  = ⇔ ( x − x + 3)  +  T   + x − 4x + (5) 1− x > T x =1⇒ y =1 Khi ( ) ⇔ x − x + = ⇔  ⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} thỏa mãn (*) x = ⇒ y = Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} 3x +  x + 3y +1 = y − y + x +1 , Câu 15 Giải hệ phương trình   y − + x + y + = y +  ( x; y ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện y ≥ ; x > −1 Phương trình thứ hệ cho tương đương với ( x + 1) + 3x + 1 x +1− = y2 − 3y − ⇔ x +1− = y2 − 3y − y y x +1 x +1 1 ⇔ x +1− x +1 − = y2 − y − ( ∗) y x +1 Vì y ≥ ; x > −1 nên ta xét hàm số Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 2t − 3t + ( 2t + 1)( t − 1) f ( t ) = t − 3t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = 2t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Hàm số liên tục đồng biến miền t dương nên thu ( ∗) ⇔ f x + = f ( y ) ⇔ x + = y ⇔ x = y − 2 ( ) Phương trình thứ hai hệ trở thành y − + y + y − = y + ⇔  y − − ( y + )  +  y + y − − ( y + 1)  =   Đặt (1) ⇔ (1) y + y − = a; y + = b ⇒ a + ab + b > a = b = ⇔ y ∈∅ Cho nên y − − ( y2 + y + 4) 9y − + y + + y + y − − ( y + y + y + 1) a + ab + b =0 ( y + 1) ( y − y + ) y2 − y + ⇔ + =0 a + ab + b 9y − + y +  y +1  ⇔ ( y − y + 6)  + =0 2  y − + y + a + ab + b  Vì ( 2) y +1 + > 0, ∀y ≥ nên 9 y − + y + a + ab + b ( ) ⇔ ( y − )( y − 3) = ⇔ y ∈ {2;3} ⇒ ( x; y ) = ( 8;3) , ( 3; ) Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể  x3 − x − y + 20 + = y + 2,  x + y Câu 16 Giải hệ phương trình  ( x; y ∈ ℝ )  13 x − + + y + = 16 y + Lời giải Điều kiện x ≥ 1, y > −2 Phương trình thứ hệ tương đương với ( y + 2) + x3 − x − 8 = y +2− ⇔ x2 − 6x − = y + − y + − ( ∗) x x y+2 y+2 t − 3t + ( t − ) ( t + 1) Xét hàm số f ( t ) = t − 6t − ; t > ⇒ f ′ ( t ) = t − + = = ≥ 0, ∀t > t t t2 t2 Rõ ràng hàm số liên tục đồng biến toàn tia Ox thực nên thu 2 ( ∗) ⇔ f ( x ) = f ( ) y+2 ⇔ x = y+2 Phương trình thứ hai hệ trở thành 13 x − + x + = 16 x ⇔ 16 x − 13 x − − x + = 1  9  ⇔ 13  x − − x − +  +  x + − x + +  = 4  4   x −1 = 2  1 3    ⇔ 13  x − −  +  x + −  = ⇔  ⇔x= 2 2    x +1 =  7 5 Kết luận hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ; −   16  Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Điều kiện thức xác định x = y Phương trình thứ tương đương ( x − y ) ( x + y + 1) = ⇔  ⇒x= y  x + y = −1 2x + 7 x − Phương trình thứ hai trở thành + = 12 x−2 x−2 2x + Điều kiện ≥ 0; x ≠ Phương trình cho tương đương với x−2 x − + 11 x − 11 11 11 11 + −7 = ⇔ 2+ + = ⇔ 2+ +2+ = x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 x−2 11 Đặt + = t , t ≥ ta thu x−2 t ≥ t ≥ t ≥ 11 ⇔ ⇔ ⇔ t =1⇔ + =1  t − t + = t ∈ − 7;1 x − + = ( )( ) { } t t      11 11 ⇔ 2+ =1⇔ = −1 ⇔ x − = −11 ⇔ x = −9 x−2 x−2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = −9 nên hệ có nghiệm x = y = −9 Câu Điều kiện x > 0; y > Phương trình thứ tương đương với x = y x + xy + x − xy − y − y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔  ⇒x= y  x + y = −1 Phương trình thứ hai trở thành x2 + 5x + 6 Phương trình cho tương đương với x + + + = 15 ⇔ x + + + x + + = 12 x x x x Đặt x+ + = t , t ≥ ta thu x t ≥ t ≥ t ≥ ⇔ ⇔ ⇔t =3 2 t + t − 12 = ( t − 3)( t + ) = t ∈ {−4;3} 6 + = ⇔ x + = ⇔ x − x + = ⇔ x ∈ {1;6} x x Kết luận hệ có nghiệm x = y = 1; x = y = ⇔ x+ Câu Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x − y + 2( x − y) y = ⇔ Facebook: Lyhung95 x− y + 2( x − y) y = x+ y   ⇔ ( x − y) +2 y=0⇒ x= y  x+ y    ( x + 1) + = Điều kiện x−2+ + x+3 x+3 Phương trình thứ tương đương với ≥0 x+3 Phương trình cho tương đương với x ≠ −3; x − + x−2+ Đặt x2 + 2x + + =3⇔ x+3 x+3 ( x + 3)( x − ) + + x + x + − = ⇔ x+3 x+3 x2 + x + x2 + x + + = x+3 x+3 x2 + x + = t , t ≥ ta thu x+3 t ≥ t ≥ t ≥ ⇔ ⇔ ⇔ t =1 2 t + t = ( t − 1)( t + ) = t ∈ {−2;1} x2 + x + = ⇔ x + x + = x + ⇔ x = ⇔ x ∈ {−1;1} x+3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = y = ⇔ Câu Điều kiện thức xác định Phương trình thứ tương đương x − xy − y − x − y − = ⇔ x + xy + x − xy − y − y − x − y − =  x = y +1 ⇔ ( x − y − 1)( x + y + 1) = ⇔  ⇒ x = y +1 2 x + y + = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với phương trình thứ 2x + y − + 2x2 + y + 2 2x + y −1 + ( 2x + y ) ≤ + = x2 + x + y + 2 2 x + y − = 2 x − x =   Dấu đẳng thức xảy 2 x + y = ⇒ 2 x + y − = ⇔ x = 0; y = −1 x = y +1 x = y +1   Kết luận hệ có nghiệm ( Câu Phương trình thứ tương đương ( x + y ) = x ) ⇔ x+ y = x ⇔ y = x − x Phương trình thứ hai trở thành x3 − x + x − x = x3 + x + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu x3 − x + x − x + x3 − x + x − x ≤ + = x3 + x + 2 2 x − x = x − x =  x = Dấu đẳng thức xảy  ⇔ y =1  y = x − x Kết luận hệ có nghiệm Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x >  Câu ĐK:  y > 4 x − y >  Facebook: Lyhung95 (*) Khi (1) ⇔ x − y + xy = x x − y + y x − y ⇔ 4x − y ⇔ ( ( ) 4x − 3y − x − y 4x − y − x )( ( ) 4x − 3y − x = ) 4x − 3y − y =  4x − y = x 4 x − y = x  y = ⇔ ⇒ ⇒  x − y = y 4 x − y = y x = y Kết hợp với (*) ta x = y, vào (2) ta ⇔ ( ) ( x −1 + x + x + = + ( x − 1) ) x + − = ( x − 1) x2 + x ⇔ x −1 x2 + − x2 + + = ( x − 1) x x +1 x2 + + ⇔ x − ( x − 1)( x + 1) x2 + + = ( x − 1) x + x + x2 + x =  ⇔ x +1 x2 + + =  x 1 + x + x + Với x > ⇒ x2 + x (3) x +1 x +1 1 + < + < + = 2 1+ x + x + 1+ + x x2 +  11  Lại có x + − x =  x −  + > ⇒ x + > x > ⇒ >2 2 x  2 ⇒ x +1 x2 + + ⇒ x > ⇒ y ≥ Khi (1) ⇔ x − y + xy = x x − y + y x − y ⇔ 2x − y ( ) 2x − y − x − y ( ) 2x − y − x = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( 2x − y − x )( Facebook: Lyhung95 ) 2x − y − y =  2x − y = x 2 x − y = x ⇔ ⇒ ⇒ x = y  x − y = y 2 x − y = y Thế vào (2) ta ( x3 + x − 1) x + = x + Với x > (3) ⇔ x + x − = Xét hàm số f ( x ) = x3 + x − − f ' ( x ) = 3x + − (3) x+3 x+3 ⇔ x3 + x − − = 3x + 3x + x+3 với x ∈ ( 0; +∞ ) có 3x + 1 −8 3x + = 3x + + > 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 2 x + ( x + 1) x + 1) x + ( 3x + Kết hợp với f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) Do ( 0; +∞ ) phương trình f ( x ) = có nghiệm có nghiệm 1 ∈ ( 0; +∞ ) Mặt khác  ⇒ x = nghiệm f ( x ) = ⇒ y = thỏa mãn (*)  f (1) = Đ/s: ( x; y ) = (1;1)  3  y −  + ≥  y2 − y + ≥  2 Câu ĐK:  ⇔  ⇔ y≥− 7 y + ≥  y ≥ −  (*) Khi (1) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) x + y = ( ⇔ x2 + y − x − y ) = ⇔ x + y = x2 + y x + 3y ≥  x + y ≥ ⇔ ⇔ 2 2 3 x − xy + y = ( x + y ) = ( x + y )  x + y ≥ x + 3y ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = y ≥ x = y 3 ( x − y ) = ( x ≥ 0) Kết hợp với (2) ta x + x + x − 3x + = + x x + ) ( ( ⇔ x x + − 7x + + ) x2 − 3x + − = x + ) − ( x + ) ( x − x + − 1) ( ⇔ x + =0 x + + 7x + x − 3x + + Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x ( x − 3x + ) x + + 7x + + ( x − 3x + ) + x − 3x + Facebook: Lyhung95 =0   x ⇔ ( x − 3x + )  + =0  x + + x + + x − 3x +  Với x ≥ ⇒ x x + + 7x + + + x − 3x + (3) > x = 1⇒ y = Do (3) ⇔ x − x + = ⇔  thỏa mãn hệ cho x = ⇒ y = Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )} Câu ĐK: y − y + ≥ (*) Đặt a = x + y ≥ ⇒ (1) thành a − y = xy + xa ⇔ ( a + y )( a − y ) − x ( a + y ) =  x2 + y = − y a = − y ⇔ ( a + y )( a − y − x ) = ⇔  ⇒  a = x + y  x + y = x + y • TH1 − y ≥ y ≤ x2 + y2 = − y ⇔  ⇔ ⇔ x = y = 2 x + 3y = y x + y = Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại • TH2 x + y ≥ x + y ≥   x ≥ 0, y =  x2 + y2 = x + y ⇔  ⇔  y = ⇔  2 x = y ≥  x + y = x + xy + y  x = y  +) Với x ≥ 0, y = kết hợp với (2) ta − x = ⇔ x = thỏa mãn hệ cho +) Với x = y ≥ kết hợp với (2) ta x − x + = x − x + (3) Áp dụng BĐT Côsi ta có ( x − x + 1) + ≥ x − x + ⇒ x − x + ≤ x − x + Lại có x + − 3x = ( x − 1) ( x − x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) ≥ 0, ∀x ≥ ⇒ x + ≥ 3x 2 ⇒ x − x + ≤ x3 + − 3x + = x3 − 3x + ⇒ VT ( 3) ≥ VP ( 3) Dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ y = thỏa mãn hệ cho    Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,  ;0      Câu 10 Điều kiện: x ≥ 0; − y ≥ Từ phương trình đầu hệ, có: ( ) ( ) x (3 − y ) + y − 2x = ⇔ y − x − 2x − x + = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x =1 x = x −1 y + x −1 = ⇔  ⇔  y + x − =  y = 1− x Với x = ⇒ y = suy ( x; y ) = (1; ) nghiệm hệ phương trình ( ) ( ⇔ y 1− x − )( ) x −1 x −1 = ⇔ ( )( ) Với y = − x vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x2 − ( ( x − 1− x )) x = ( ) (i ) − − x + ⇔ x2 − 5x x + 2x − = x + ( ) Đặt t = x ≥ , ( i ) ⇔ t − 5t + 2t − = 4t + ⇔ t − 5t + 2t − t − + t − 4t + = ⇔ ( t − 4t − 3)( t − t − 1) + t − 4t −   = ⇔ ( t − 4t − 3)  t − t − +  =0⇔ t = 2+ t + 4t + t + 4t +   (t ≥ 0)  x = +  x = 11 + Từ suy  ⇔ ⇒ ( x; y ) = 11 + 7; −3 − nghiệm hệ phương y = − x y = − −   trình ( ) Câu 11 Điều kiện: y ≥ x; x + y ≥ 0; x + y ≥ Phương trình hệ tương đương với: x − xy + y + x − y + − ( x − y + 1) y − x = ( ) ⇔ ( x − y + 1)( x − y + ) − ( x − y + 1) y − x = ⇔ ( x − y + 1) x − y + − y − x = ( ) ( )( ⇔ ( x − y + 1)  − y − x − y − x  = ⇔ ( x − y + 1) y − x −   • Với y = x + vào phương trình thứ hai hệ, ta được:  y = 2x + y−x +2 =0⇔  y = x +1 ) x + x + − x + x + − x + ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ 3x − x + − x + − x + = ( ) ( ) ⇔ 3x − 3x + x + − 3x + + x + − x + = ⇔ ( x − x ) ( x + 1) + − 3x − ( x + 2) + − 5x − =0 x + + 3x + x + + 5x + x2 − x x2 − x 1   ⇔ ( x2 − x ) + + = ⇔ ( x2 − x )  + + =0 x + + 3x + x + + x + x + + 3x + x + + x +   x = ⇒ y = 1 1 ⇔ x2 − x = ⇔  + + > 0; x ≥ − x + + 3x + x + + x + x = ⇒ y = • Với y = x + vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 2 x + x + − x + x + − x + ( x + 1) = ( x + 1) ⇔ 3x − + x + + x + = ( ) ( ) 4x 9x + =0 4x + + 9x + + 9   ⇔ x3 + + + > 0; ∀x ≥ −  = ⇔ x = ⇒ y = + 4x + + 9x + +  4x + + 9x + +  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 0;1) , (1; )} ⇔ 3x + 4x + − + x + − = ⇔ 3x + Câu 12 Điều kiện: x + ≥ 0; x + xy − x ≥ Phương trình hệ tương đương với: ( x − y + 3) x + y + − ( x − y + 3)( x + y ) + x − xy + = ( ⇔ ( x − y + 3) ( ⇔ ( x − y + 3) ) +1 − x − y) + ( x + y + − x − y + ( x + y + 1) − ( x + xy + y ) = x2 + y 2 x2 + y2 + ) − ( x + y) 2 =0 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( x − y + 3) ( ) ( 2x2 + y2 + − x − y + ( ⇔ x + + x2 + y2 + )( x2 + y2 + + x + y )( Facebook: Lyhung95 ) x2 + y + − x − y = ) x + y ≥ x2 + y + − x − y = ⇔ x2 + y2 + = x + y ⇔  2 xy = x + Vì điều kiện x + ≥ → x + > ⇒ x + + x + y + > Với xy = x + vào phương trình thứ hai hệ, ta được: ( x + 1) x + + x + = x + x + ⇔ ( x + 1) ( x + − ( x + 1) ( x − x − 1) x2 − x − ⇔ x + + 8x + + ) ( ) 8x + + x + − x + = x +1   = ⇔ ( x − x − 1)  + =0 x + + 6x +  x + + 8x + x + + x +  x = + ⇒ y = x +1 1 ⇔ x2 − x − = ⇔  + > 0; ∀x ≥ − x + + 8x + x + + x +  x = − ⇒ y = − Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( + )( 5; , − 5; − )} Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN  y + x + y + ( y + 1) − x = Câu 1: Giải hệ phương trình sau  2 2 y + y − x + (1 − y − x ) y + = Lời giải  x ≤ Điều kiện:   y ≥ −1 Phương trình (1) hệ phương trình cho tương đương y + y + + x − + ( y + 1) − x = ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) − x − (1 − x ) =  y + = − x ⇔ ( y + 1)2 = − x ⇔ x = − y − y ⇔ y + + − 2x y + − − 2x = ⇔   y + + − x = ( l ) Thay x = − y − y vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có ( )( ) y + y + y + y + (1 − y + y + y ) y + = ⇔ y + y + ( y + 1) y + = ( ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) y + + ( y + 1) = ⇔ y + + y + • Với y + + y + = ⇔ ) 2 y + + y + = =4⇔  y + + y + = −2   y ≤ y ≤ y +1 = 1− 2y ⇔  ⇔ ⇒ y =0⇒ x=0 2  4 y − y =   y + = (1 − y ) • Với y + + y + = −2 ⇔ y + + y + = ⇔ ( y + 1) + y + + = ( l ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0; ) Câu 2: [Trích đề thi thử trường chuyên Lê Hồng Phong – Tp HCM - Lần – 2015] x − y − x + y2 =  Giải hệ phương trình  2 x + − y + y xy + y = 34 − 15 x Lời giải: − ≤ x ≤  Điều kiện:  y ≥ ( ) Phương trình (1) hệ phương trình tương đương  − x = y ⇔ − x = y2 ⇔ x = − y2 (2 − x) + y − x − y = ⇔ − x + y − x − y = ⇔   − y + y = ( l ) Thay x = − y vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có ( )( ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ) ( − y − y + y y ( − y ) = 34 − 15 ( − y ) ⇔ − y − y + y − y = 15 y + ⇔ ( y + 1) − y = 15 y + y + ⇔ ( y + 1) − ( y + 1) − y + ( − y ) − = ( ⇔ 4y +1− − y • Với ) 4 y + − − y =  − y2 = y =1⇔  ⇔  y + − − y = −1 4 y + = − y2   − y = y ⇔ − y = 16 y ⇔ y = 30 ⇔ y= ⇒x= 17 17 17 • Với y + = − y ⇔ ( y + ) = − y ⇔ 17 y + 16 y = ⇔ y = ⇒ x = 2  30  ;  , ( 2; ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =   17 17  Câu 3: [Trích đề thi thử trường chuyên ĐHSP - Lần – 2015] Giải phương trình x + 3x − − x + = − x + 11x − + x + Lời giải: Phương trình cho tương đương Điều kiện: x ≥ ( x − 1)( x + ) − ⇔ 2x − ( x + = ( x + 6) − ( x + 2) − ) ( x+ + x +6 −3 ) ( x+6+ x+2 = ⇔ 2x − − = x + − x + ⇔ x−7 ( x − 1)( x + ) + ( x+2 x+6+ x+2 ) ( 2x − − x + + ) x−7 + x+6− x+2 ) x+2 −3 =  = ⇔ ( x − 7)  + 2x −1 + x + x+2 +3  2x −1 + x + Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {7} ⇔ )(  =0⇔ x=7 x + +3 Câu 4: Giải phương trình 12 x + 55 x + 50 − 3x + 10 = 3x + + − 12 x + 19 x + Lời giải Điều kiện: x ≥ − Phương trình cho tương đương ( x + )( 3x + 10 ) − ⇔ 4x + ( x + 10 = x + + ( x + 10 ) − ( x + 1) − ) ( x + 10 + x + − ⇔ x + − = x + 10 − x + ⇔ x−5 ( x − 5) ) ( x + 10 + x + = ( ( x + )( x + 1) x + 10 + x + ) ( x + − x + 10 + ) )( x + 10 − x + ) 3x + − =   = ⇔ ( x − 5)  + =0⇔ x=5 x + + x + 10 3x + + 3x + +   x + + x + 10 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {5} ⇔ + Câu 5: [Trích đề thi thử trường chuyên KHTN - Lần – 2015]  x2 + y2 =  Giải hệ phương trình  x  x + y + ( xy + 1) =  Lời giải: ĐK: x + y ≠ (*) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x5 = − xy − x y ⇔ x5 = ( x + y ) ( − xy − x y ) x+ y 2 Ta có = ( x + y ) nên 2x = ( x + y ) ( x + y ) − ( x + y ) xy − x y    Khi (2) ⇔ (3) +) Với y = ⇒ (3) thành x = x ( x − − ) ⇔ x = ⇔ x = ⇒ x + y = ≠ ⇒ Loại   x2  x x2  x  x   x +) Với y ≠ (3) ⇔ =  + 1  + 1 −  + 1 −  y  y   y  y  y y  x Đặt t = ⇒ 2t = ( t + 1) ( t + 1) − ( t + 1) t − t    y ⇔ 2t = ( t + 1) ( t − t + t − t + 1) ⇔ 2t = t + ⇔ t = ⇔ t = ⇒ x = ⇒ x = y y x = 1⇒ y = Thế vào (1) ta x = ⇔ x = ⇔   x = −1 ⇒ y = −1 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( −1; −1)}  x + y ( x + ) = ( y + 1)2  Câu 6: Giải hệ phương trình  x5 + y − = xy ( x + y )( y − 1)   y +1 ĐK: y ≠ −1 Lời giải (*) Khi (2) ⇔ x5 + y − y − = xy ( y + 1)( x + y )( y − 1) ⇔ x5 + y − y − = y ( y + 1)( y − 1) ( x + xy ) Ta có (1) ⇔ x + xy + y = y + y + ⇔ x + xy = y + ⇒ x5 + y − y − = y ( y + 1)( y − 1) ( y + 1) ⇔ x5 + y − y − = y ( y − 1)( y + 1) ⇔ x + y − y − = y ( y − 1) = y − y ⇔ x5 = ⇔ x = y = ⇒ + y = y2 +1 ⇔ y2 − y = ⇔  y =1 Thử lại ta thấy ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )} thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , (1;0 )} ( x + y )3 = + 3xy ( x + y )  Câu 7: Giải hệ phương trình  4  x + xy = ( x + y ) ( x + y )  Lời giải ĐK: x, y ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x + y + 3xy ( x + y ) = + xy ( x + y ) ⇔ x3 + y = 3 (3) Ta có (2) ⇔ x5 + xy = ( x + y ) ( x + y ) = x5 + y + xy + x y Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇒ 2x5 + ( x3 + y ) xy = x5 + y + xy + x y ⇔ x5 + x y + xy = x5 + y + xy + x y ⇔ x = y ⇔ x = y Thế vào (3) ta x = ⇔ x = ⇔ x = ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 8: [Trích đề thi thử trường chuyên Quốc Học Huế - Lần – 2015]  x + y ( x − ) − = y − x + 2 y Giải hệ phương trình  4 y ( x − ) + x = x − Lời giải: x ≥ ĐK:  (*) y ≥ Khi (1) ⇔ x + xy − 20 y − = y − x + 2 y Ta có (2) ⇔ xy − 16 y + x = x − ⇔ xy = 16 y − x + x − ( ) ⇒ x + 16 y − x + x − − 20 y − = y − x + 2 y ⇔ x + x − = y + y + + 2 y ⇔ x + x − = ( y + 1) + 2 ( y + 1) − ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) (3) > 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) t −1 Kết hợp với f ( t ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [1; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t + Do (3) ⇔ x = y + ⇔ y = x − Thế vào (2) ta ( x − 1)( x − ) + x = x − ⇔ x − x + = x − ⇔ ( x − 2) = x − x −1 = x −1 − x −1 + = ( ) x −1 + ( x − ) = x − +  x − = x − 2 − ⇔ ⇔ ( − x ) = x − +  x − = − x + 2 − • TH1 x − 2 −1 ≥  x −1 = x − 2 −1 ⇔   x − = x − 2 − ( )  5+2 3+ 2 x ≥ 1+ 2 ⇔ ⇔x= ⇒y= 2 x − + 2 x + 10 + = ( • TH2 ) − x + 2 − ≥  x −1 = −x + 2 −1 ⇔   x − = − x + 2 − ( )  5−2 3− 2 x ≤ 2 −1 ⇔ ⇔x= ⇒ y= 2 x − − 2 x + 10 − = ( )  + 2 + 2   − 2 − 2   Đ/s: ( x; y ) =  ; ; ,        Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x + xy − y = y − x + y + Câu 9: Giải hệ phương trình   x + y + xy = + x − Lời giải x ≥ ĐK:  (*) y ≥ Khi ta có ( x + xy − y ) + + x − = y − x + y + + ( x + y + xy ) ( ) ( ) ⇔ x − y + x −1 = y +1 + y ⇔ x + x −1 = y + y + + y 2 ⇔ x + x − = ( y + 1) + 2 ( y + 1) − ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) (3) > 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) t −1 Kết hợp với f ( t ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [1; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t + Do (3) ⇔ x = y + ⇔ y = x − Thế vào (2) ta x + x − + x ( x − 1) = + x − ⇔ x + x − = x − x −1 −1 + x2 − x − = x −1 +1  x −1  ( x − 2) x −1 ⇔ + ( x − )( x + 1) = ⇔ ( x − )  (4) + x +  = + x −1  + x −1  ⇔ x −1 ( ) x − − − ( x − 1) + x + x − = ⇔ x − x −1 + x + > nên (4) ⇔ x = ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ cho + x −1 Đ/s: ( x; y ) = ( 2;1) Với x ≥ ⇒ 2 x − y + x y = y + y + Câu 10: Giải hệ phương trình  2  x + y + x y = + x − Lời giải x ≥ ĐK:  y ≥ (*) ( ) ( ) Khi ta có ( x − y + x y ) + + x − = y + y + + ( x + y + x y ) ⇔ x2 − y2 + x −1 = y + y +1 ⇔ x2 + x −1 = y2 + y + + y ⇔ x + x − = ( y + 1) + ( y + 1) − ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) (3) > 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) t −1 Kết hợp với f ( t ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [1; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t + Do (3) ⇔ x = y + ⇔ y = x − Thế vào (2) ta x + x − + x ( x − 1) = + x − ⇔ x3 + x − = x − Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x −1 −1 + x3 − x − = x −1 +1  x −1  ( x − 2) x −1 ⇔ + ( x − ) ( x + x + 3) = ⇔ ( x − )  + x + x +  = + x −1  + x −1  ⇔ x −1 ( Facebook: Lyhung95 ) x − − − ( x − 1) + x3 + x − = ⇔ x − (4) x −1 + x + x + > nên (4) ⇔ x = ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ cho + x −1 Đ/s: ( x; y ) = ( 2;1) Với x ≥ ⇒ Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! [...]... hai nghiệm là ( x; y ) = {( 2 + )( 5; 5 , 2 − 5; − 5 )} Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM 9 TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016 – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP... ⇒ y= 2 4 2 x − 9 − 2 2 x + 10 − 4 2 = 0 ( )  5 + 2 2 3 + 2 2   5 − 2 2 3 − 2 2   Đ/s: ( x; y ) =  ; ; ,   2 4   2 4    Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x 2 + xy − y 2 = y − x + 2 y + 4 Câu 9: Giải hệ phương... 1) ( ⇔ x + =0 2 x + 2 + 7x + 2 x 2 − 3x + 3 + 1 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ x ( x 2 − 3x + 2 ) x + 2 + 7x + 2 + 4 ( x 2 − 3x + 2 ) 1 + x 2 − 3x + 3 Facebook: Lyhung95 =0   x 4 ⇔ ( x 2 − 3x + 2 )  + =0 2  x + 2 + 7 x + 2 1 + x − 3x + 3  Với x ≥ 0... đầu của hệ, chúng ta có: ( ) ( ) x (3 − y ) + y − 2x = 1 ⇔ y 1 − x − 2x − 3 x + 1 = 0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x =1 x = 1 x −1 y + 2 x −1 = 0 ⇔  ⇔  y + 2 x − 1 = 0  y = 1− 2 x Với x = 1 ⇒ y = 2 suy ra ( x; y ) = (1; 2 ) là một... 2 x + 2 x + 1 − x + 4 ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1) ⇔ 3x − 3 + 4 x + 1 + 9 x + 4 = 0 2 ( ) ( ) 4x 9x + =0 4x + 1 + 1 9x + 4 + 2 4 9 4 9 1   ⇔ x3 + + + > 0; ∀x ≥ −  = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 vì 3 + 4 4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 0;1) , (1; 2 )} ⇔ 3x + 4x + 1 − 1 + 9 x + 4 − 2 = 0 ⇔ 3x + Câu 12 Điều kiện: 8 x + 5 ≥ 0; 6 x + 4 xy −... 2 2 x2 + y2 + 1 ) − ( x + y) 2 2 =0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔ ( x − y + 3) ( ) ( 2x2 + y2 + 1 − x − y + ( ⇔ 2 x + 3 + 2 x2 + y2 + 1 )( 2 x2 + y2 + 1 + x + y )( Facebook: Lyhung95 ) 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ) x + y ≥ 0 2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ⇔... ra khi  ⇔ y =1  y = 2 x − x Kết luận hệ có nghiệm duy nhất Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x > 0  Câu 6 ĐK:  y > 0 4 x − 3 y > 0  Facebook: Lyhung95 (*) Khi đó (1) ⇔ 4 x − 3 y + 2 xy = 2 x 4 x − 3 y + y 4 x − 3 y ⇔ 4x − 3 y ⇔ ( ( ) 4x − 3y − 2 x... = 0 ( l ) Thay x = 2 − y 2 vào phương trình ( 2 ) của hệ phương trình ta có 2 ( )( ) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 Facebook: Lyhung95 ) ( 4 − y 2 − 4 y + 8 y y ( 4 − y 2 ) = 34 − 15 ( 2 − y 2 ) ⇔ 2 4 − y 2 − 8 y + 8 y 4 − y 2 = 15 y 2 + 4 ⇔ 2 ( 4 y + 1)... Giải hệ phương trình  2 x 5 2  x + y + ( xy + 1) = 5  Lời giải: ĐK: x + y ≠ 0 (*) Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 x5 = 4 − 2 xy − x 2 y 2 ⇔ 2 x5 = ( x + y ) ( 4 − 2 xy − x 2 y 2 ) x+ y 2 2 Ta có 4 = ( x 2 + y 2 ) nên 2x 5 = ( x + y... 2 3 3 (3) Ta có (2) ⇔ 2 x5 + 2 xy = ( x + y ) ( x 4 + y 4 ) = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇒ 2x5 + ( x3 + y 3 ) xy = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y ⇔ 2 x5 + x 4 y + xy 4 = x5 + y 5 + xy 4 + x 4 y ⇔ x 5 = y 5 ⇔ x = y Thế ... tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHINH PHỤC ĐIỂM TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016. .. Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95... trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  x + xy − y = y − x + y + Câu 9: Giải hệ