Tập đề thi chọn học sinh giỏi lớp mơn tốn kèm đáp án chi tiết tài liệu hữu ích cho bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Chúc em học sinh thi đạt kết cao ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT UBND HUYỆN Năm học Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Thí sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: ( điểm) Cho biểu thức P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị lớn biểu thức Q = + x P Bài 2: (2 điểm) a) Giải phương trình sau: x − x +1 − x + + x + = b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − ) x + ( m − 3) y = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Bài 3: (2 điểm) a) Tìm tất số ngun dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 số y + z 2013 hữu tỉ, đồng thời x + y + z số ngun tố b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB2 b+c c+a a+b HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm UBND HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi:Tốn - Lớp Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ a Ta có P = b x + x +1− x − − ( )( ( x −1 x + )( x + 1) x +1 )= x −1 Điểm 0,25 − x x + x +1 0,75 Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: Q= ( )+ −2 x + x + x   x = −2 −  x + ÷ ≤ −2 − 2 x  Vậy GTLN Q= −2 − 2 x=2 0,75 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a ĐKXĐ: x ≥ Đáp án Điểm 0,25 x − x +1 − x + + x + = ⇔ ⇔ (1) x + − x + = x +1 − x = x+9 + x+4 0,25 x +1 + x ⇔ x + + x + = 5( x + + x) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: x + = x + + x ≥ x + = x + ≥ x + ,dấu b “=” xảy x=0 Thử lại x=0 nghiệm pt Vậy pt cho có nghiệm x=0 Với m, đường thẳng (d) khơng qua gốc toạ độ O(0; 0) • m = 4, ta có đường thẳng y = 1, khoảng cách từ O đến (d) (1) • m = 3, ta có đường thẳng x = -1, khoảng cách từ O đến (d) (2) • m ≠ 4, m ≠ (d) cắt trục Oy, Ox tại: 0,25 0,25     A  0; ; ÷ ÷ B   m−3 m−4  Hạ OH vng góc với AB, tam giác vng AOB, ta 1 có: OA = m − , OB = m − 0,25 1 2 = + = ( m − 3) + ( m − ) = 2m − 14m + 25 2 OH OA OB 7 1  = 2 m − ÷ + ≥ 2 2  0,25 Suy OH ≤ ⇒ OH ≤ (3) Từ (1), (2), (3) ta có GTLN OH , đạt m = 0,25 Kết luận: m = Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần a Đáp án x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = y + z 2013 n nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒  y z n mz − ny = ( Ta có ) x + y + z = ( x + z ) − xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 Vì x + y + z > x + y + z số ngun tố nên  x2 + y + z = x + y + z  x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) ⇔ x + x2 + x3 + = 4y2 – 4y + b ⇔ (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1) Do (2y - 1)2 số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) ⇒ d số lẻ x2 + M d (x + 1)(x – 1) M d ⇒ M d mà d lẻ nên d = nên x2 + x + ngun tố với x, y số ngun (2y - 1)2 số phương nên x2 + x + số phương lại có x2 x2 + hai số phương liên tiếp ⇒ x2 = ⇒x=0 Thay x = vào phương trình (1) ta tìm y = 0, y =1 Vậy cặp số tự nhiên (x,y) (0,1); (0,0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án a Điểm A E F G 0,25 O H B C M D · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC Ta có A· CD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD b c ⇒ G trọng tâm ∆AHD ⇒ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 GM = AM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, Suy G tâm ∆ABC GM = AM 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Do a,b,c > áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ≥ a(b + c) ⇔ a [a + (b + c)] ≥ 2a b + c  Điểm a 2a ≥ b+c a+b+c 0,25 Tương tự ta thu : b 2b ≥ c+a a+b+c , Cộng theo vế ta được: c 2c ≥ a+b a+b+c a b c + + ≥2 b+c c+a a+b 0,25 0,25 Dấu ba BĐT khơng thể đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c đề số dương ) Từ suy : UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO a b c + + >2 b+c c+a a+b 0,25 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học Mơn thi:Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)  x+2 x  x −1 + + ÷ (Với x ≥ 0, x ≠ 1) ÷: x x − x + x + 1 − x   Cho biểu thức: P =  a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị P x = 11 − + − c So sánh: P2 2P Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x + x + = x + 3x + 2 x − b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng (d 1): y = 3x – m – (d2) : y = 2x + m - Chứng minh m thay đổi, giao điểm (d 1) (d2) ln nằm đường thẳng cố định Bài 3: ( điểm) a) Tìm số ngun a cho a + số ngun tố b) Đặt a = − + + 64 Chứng minh M = (a − 3) − 3a số phương Bài 4: (… điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: S AEF Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ; S = cos A ABC 2 b Chứng minh : S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c.Chứng minh rằng: HA HB HC + + ≥ BC AC AB Bài 5: (… điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: ( điểm) Ý/Phần a) ĐKXĐ Với x ≥ 0, x ≠ Đáp án  x + + x − x − x − x −1  x −1 P =  ÷ ÷:  ( x − 1)( x + x + 1)  = x − x +1 2 = ( x − 1)( x + x + 1) x − x + x + x = 11 − + − 2 = (3 − 2)2 + ( − 1) Điểm 0.75 = 3− + − = (3 − 2) + ( − 1) =2(TM ĐKXĐ) Thay x =2 vào P ta có P = Vậy x = P = c) 0.25 2 2(3 − 2) = = + +1 + 2(3 − 2) 0.25 0.25 Vì x + x + >0 nên P >0 Với x ≥ x + x ≥ nên x + x + ≥ 1 ≤1⇒ P = ≤2 x + x +1 x + x +1 Do < P ≤ nên P.(P – 2) ≤ ⇔ P2 ≤ 2P Vậy P2 ≤ 2P suy ra: 0.25 0.25 Bài 2: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm x + x + = x + x + 2 x − ( ĐKXĐ x ≥ ) ⇔ x + 3x + = x x + + 2 x − ( ⇔ ( 2x − ) ( ) 0.25 ⇔ 4x2 − 4x x + + x + + − 2x − + 2x − = x+3 ) ( + − 2x − ) =0 2 x = x + 4 x = x + ⇔ ⇔ ⇔ x = (tmđk) = x −  = x −  Vậy phương trình có nghiệm x = Tìm (d1) cắt (d2) M(2m ; 5m-1) với m b) Suy quan hệ : ym = xm - với m Vậy m thay đổi, giao điểm M (d 1) (d2) ln nằm đường thẳng cố định (d) : y = x - 0.25 0.25 0.25 0.75 0.25 Bài 3: ( điểm) Ý/ Phần a) Đáp án 4 2 2 Ta có : a + = (a + 4a + 4) − 4a = ( a -2a+2 ) ( a +2a+2 ) Điểm 0.25 Vì a ∈ Z → a -2a+2 ∈ Z ;a +2a+2 ∈ Z Có a +2a+2= ( a+1) + ≥ ∀a Và a -2a+2= ( a-1) + ≥ ∀a nên a + số ngun tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a +2a+2=1 → a = −1 thử lại thấy thoả mãn Nếu a -2a+2=1 → a = thử lại thấy thoả mãn Vậy a + số ngun tố a=1 a= -1 b) Từ a = − + + a = ( − + + )3 0.25 0.25 0.25 a3 = 3a +4 a3 - 3a = Mặt khác từ a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vì a3 = 3a +4 nên a ≠0 ) 0.25 0.25 64 Thay vào rút gọn ta có M = (a − 3) − 3a = a3 - 3a = Vậy M số phương 0.5 Bài 4: ( điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm A E F H C B D AE Tam giác ABE vng E nên cosA = 0.5 AB AF Tam giác ACF vng F nên cosA = AC Suy AE AF ⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g c ) = AB AC 0.5 S AEF  AE  = ÷ = cos A S ABC  AB  S = cos B, CDE = cos C S ABC * Từ ∆AEF : ∆ABC suy b) S BDF Tương tự câu a, S ABC Từ suy 0.25 SDEF S ABC − S AEF − S BDF − SCDE = = − cos A − cos B − cos C S ABC S ABC 2 Suy S DEF = ( − cos A − cos B − cos C ) S ABC c) HC CE HC.HB S HA.HC CE.HB 0.5 S HBC Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒ AC = CF ⇒ AC AB = CF AB = S ABC HB.HA S HAC HAB Tương tự: AC.BC = S ; AB.BC = S Do đó: ABC ABC HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB =1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC 0.25 Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*) Áp dụng (*) ta có:  HA HB HC   HA.HB HB.HC HC.HA  + + + +  ÷ ≥  ÷ = 3.1 =  BC AC AB   BC.BA CA.CB AB AC  HA HB HC + + ≥ Suy BC AC AB 0.5 Bài : (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vng ∆ vng Khi đó: a, b, c ∈ N a ≥ 5; b, c ≥ 0.5 a = b + c (1) Ta có hệ phương trình:  bc = 3(a + b + c) (2) (1): (2): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) ⇔ a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) + ⇔ (a + 3)2 = (b + c – 3)2 ⇔ a+3=b+c–3 ⇔ a=b+c–6 bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6) ⇔ (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 0.5 NỘI DUNG CẤU TRÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN : Toán - LỚP CÂU NỘI DUNG KIẾN THỨC ĐIỂM Câu Biến đổi đồng nhất: Các bài toán biến đởi thức và các câu hỏi khai thác biểu thức rút gọn điểm Câu Phương trình đại số: phương trình bậc cao, pt vơ tỉ : Hàm số đồ thị: điểm điểm điểm Số học: Câu Sớ ngun tớ, hợp sớ, sớ chính phương, phương trình nghiệm ngun điểm Hình học: Câu Hệ thức tam giác vng, tam giác đờng dạng, định lý Ta lét : điểm điểm Đường tròn: Giới hạn đến dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến điểm Bài toán phát hiện học sinh x́t sắc Câu điểm Cực trị đại số, hình học, biến đởi đờng nhất Cộng 10,0 điểm UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO o0o ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: Mơn thi: Tốn học – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Cho biểu thức A = x +1 x +3 10 − x + − x −3 2− x x −5 x +6 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x cho A < c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B biết B = x − x + 20 A ( x −2 ) Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: x + + − x − x + = + x − x 2 b) Cho đường thẳng y = ( 2m + 1) x − 4m + ; y + 2m − = ( m + m + 1) x − 2m ( 3m − 1) x + ( − 2m ) y = Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định? Câu (2 điểm) a) Cho p p + số ngun tố Chứng số p + p + số ngun tố? b) Giải phương trình nghiệm ngun: x − xy − y + x − y = Câu (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm nằm nửa đường tròn (O) ( A ≠ B, A ≠ C ) Gọi H hình chiếu vng góc A BC, D điểm đối xứng với B qua A, I trung điểm AH, J trung điểm DH a) Chứng minh ∆AJH đồng dạng với ∆HIC b) Gọi E giao điểm HD CI Chứng minh : 2AE < AB? c) Khi A di động ( A ≠ B, A ≠ C ) , xác định vị trí điểm A nửa đường tròn cho tam giác ABC có chu vi lớn Câu (1 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: 1  1  4 + + ÷≤ + + +  a +b b+c c+a  a b c Hết UBND HUYỆN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN o0o -Năm học: Mơn thi: Tốn học – Lớp Câ u Ý a Nội dung Điể m x +1 x +3 10 − x + − x −3 2− x x −5 x +6 Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Khi đó: Rút gọn A = A= = (2 ( = ( x +1 x +3 10 − x x +1 x +3 + − = − − x −3 2− x x −5 x +6 x −3 x −2 )( x +1 )( x − 3) ( ) ( x −2 − ( x −3 )= x − 2) x +1 x −3 x +3 )( )( ) x − − 10 + x x −2 ) = ( ( 10 − x x −3 )( x −2 x −2 x −3 x −3 x +1 x −2 )( x −2 ) ) 0.5 0.5 b Tìm x để A < Để A < ⇒  TH1: Khi   x +1 < ⇔ 2− x −2  x x −5 > ⇔ x −2>0  x x +1 >0⇔ x −2 >5 x −5 >0 x −2  x > 25 ⇔ ⇔ x > 25 >2 x > 0,25 0,25 2/ (1,0đ) MA = MC OA = OC ⇒ ∆MAO = ∆MCO (c.c.c) · · ⇒ MCO = MAO = 90 ⇒ MC ⊥ OC ⇒ MC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O AC = 8cm ⇒ AF = 4cm +) ∆MAO vng A có đường cao AF 1 1 400 20 ⇒ = − = 2− 2= ⇒ MA = ⇒ MA = (cm) 2 400 MA AF AO +) ∆MAB vng A 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ  20  1300 10 13 ⇒ MB = AB + MA = 10 +  ÷ = ⇒ MB = (cm)   +) Chứng minh ∆MDA ∆MAB đồng dạng MD MA ⇒ = ⇒ MD.MB = MA MA MB +) Chứng minh MA = MF.MO MD MO +) Do : MD.MB = MF.MO ⇒ = MF MB +) Chứng minh ∆MDF đồng dạng với ∆MOB (c.g.c) 3/ (1,0đ) 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài : (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Vì x, y, z dương Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có : x2 y+z x2 y + z +) + ≥ =x y+z y+z Dấu “=” xảy ⇔ Điểm (1) x2 y+z = ⇔ 4x = ( y + z ) ⇔ 2x = y + z y+z 2 +) y + z + x ≥ y z + x = y (2) z+x z+x y2 z+x Dấu “=” xảy ⇔ = ⇔ 4y = ( z + x ) ⇔ 2y = z + x z+x +) z2 x+y z2 x + y + ≥ =z x+y x+y (3) z2 x+y = ⇔ 4z = ( x + y ) ⇔ 2z = x + y Dấu “=” xảy ⇔ x+y Cộng theo vế bất đẳng thức chiều (1), (2) (3) ta có : 0,5đ x2 y2 z2 y+z z+x x+y + + + + + ≥x+y+z y+z z+x x+y 4 x2 y2 z2 x+y+z ⇒ + + ≥ =1 y+z z+x x+y 2x = y + z  2y = z + x  Dấu “=” xảy ⇔ 2z = x + y ⇔ x = y = z = x + y + z =  x;y;z > Vậy giá trị nhỏ A x = y = z = 0,5đ -HẾT UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)  x+2 x  x −1 + + ÷ ÷:  x x −1 x + x + 1 − x  1.Cho biểu thức A =  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh < A ≤ Cho biểu thức: biểu thức 2+x+ 2-x = với –2 < x < x ≠ Tính giá trị 2+x− 2-x x+2 x-2 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x − x = x + − 30 Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – ) x – m2 – 2m (Với m tham số) (d2): y = ( m – ) x – m2 – m + cắt G a) Xác định toạ độ điểm G b) Chứng tỏ điểm G ln thuộc đường thẳng cố định m thay đổi Bài 3: (2 điểm) a/ Cho p số ngun tố lớn Chứng minh p2 – M 24 b/ Tìm sớ tự nhiên n cho A = n + n + là sớ chính phương c/ Tìm số ngun x; y thỏa mãn: y + xy − 3x − = Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngồi đường tròn, M di động đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB I a Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b Tìm vị trí M để ∆ MAB c Chứng minh M di động d AB ln qua điểm cố định Bài 5: (1 điểm) Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x y z + + ≤ x + yz y + zx z + xy …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số báo danh:………………… UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu ý HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn – Lớp Đáp án hướng dẫn chấm Điểm a/ với x ≥ 0, x ≠ Ta có A = 0,25đ  x+2 x  x −1 x + + x − x − x − x −1 + +  ÷ ÷: = x x − x + x + 1 − x x −1 x − x + x +   ( ( 1 b/ x − x +1 )( ) 2 = x −1 x + x + x −1 x + x +1 )( ) với x ≥ 0, x ≠ ta ln có A > Lại có: x + x + ≥ ⇒ Vậy < A ≤ 0,25đ 0,25đ ≤ hay A ≤ x + x +1 0,25đ 0,25đ 0,25đ Áp dụng tính chất: Nếu a c a-b c-d = ⇒ = ; từ giả thiết b d a+b c+d 0,25 2+x+ 2-x 2-x −1 = suy = 2+x− 2-x 2+x +1 Từ giả thiết –2 < x < suy 2-x - x  −1  2+x > 0⇒ =  ⇒ = 3+ 2 ÷ ÷ 2+x + x  +1 2-x ⇒ 2 ( ) 0,25 x+2 = −17 − 12 x−2 Đk: (x2 – 8x + 16) + (x + - + 9) = ( x – 4)2 + (- 3)2 = Vậy x = a/ Hồnh độ điểm G nghiệm phương trình: (m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + ⇔ x=m+1 Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m ⇔ y = -2m – Toạ độ điểm G (m + ; -2m - 1) b/ Có y = -2m - = -2(m + 1) + Mà x = m + ⇒ y = -2x + 0.5đ 0.5đ 0.5đ Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + cố định Chứng tỏ G ln thuộc đường thẳng y = -2x + cố định m thay đổi 0.5đ 0,25 a/ Ta có p2 – = (p – 1)(p + 1) Vì p số ngun tố lớn nên p lẻ p – p + hai số chẵn liên tiếp , suy (p – 1)(p + 1) M (1) 0,25 Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + ta có (p – 1) p(p + 1) M Mà p số ngun tố lớn nên p khơng chia hết cho 3, 0,25 số ngun tố suy (p – 1)(p + 1) M (2) Từ (1) (2) kết hợp với (3, 8)=1 3.8 = 24 suy p2 – M 24 (đpcm) b/ A = n + n + là sớ chính phương nên A có dạng A= n +n+6=k 2 (k ∈ N ) * 0.25 ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔   k − 2n − = 0.5 (Vì 23 là sớ ngun tớ và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k + 2n + = 23 k = ⇔ ⇔  2k − n − = n = Vậy với n = thì A là sớ chính phương c/ 0,25đ y + xy − x − = ⇔ x + xy + y = x + 3x + ⇔ ( x + y ) = ( x + 1)( x + 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số ngun liên tiếp nên phải có số 0,25đ x +1 =  x = −1 ⇒ y = ⇔ ⇔ x + =  x = −2 ⇒ y = Vậy có cặp số ngun ( x; y ) = (−1;1) ( x; y ) = (−2; 2) A O I K B (d) M H Vẽ hình đến câu a a) Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường tròn (O,R) ⇒ OB ⊥ MB ; OA ⊥ MA Chứng minh ∆OAM = ∆OBM từ suy MA = MB Lại có OA=OB suy OM đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ OM ⊥ AB ⇒ ∆ OMB vng B có BI đường cao ⇒ OB2 = OI.OM ⇒ OI.OM = R2 khơng đổi b) ∆ AMB cân M (chứng minh trên) Để ∆ AMB góc AMB = 600 ⇔ góc BMO = 300 ⇔ ∆ OBM vng B có OB = 0,5 OM ⇒ OM = 2.OB = 2R Kết luận c/ Kẻ OH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H cố định, OH cắt AB K Chứng minh ∆OIK ∆OHM đồng dạng ⇒ OH.OK = OI OM = R2 khơng đổi Mà O, H cố định nên OH khơng đổi ⇒ OK khơng đổi, K ∈ OH cố định ⇒ K cố định 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x) Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) Do đó: x y z x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) + + = x + yz y + zx z + xy ( x + y )( y + z )( z + x) 2( ( x + y )( y + z )( z + x) + xyz ) = ( x + y )( y + z )( z + x) 2xyz = + (x + y)(y + z)(z + x) ≤ + = ( áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ xy.2 yz.2 zx = 8xyz )) 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z = …………………HẾT.………………… ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm)    x −1 x −1  − ÷ x x+ x ÷  Cho biểu thức P =  x − ÷:  x    a) Tìm x để P xác đònh, rút gọn P b) Tính giá trị P x = 2+ c) Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức P x = x − − x − Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình a) x − 3x + + x + = x − + x + x − b) x + x + = ( x + 5) x + Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 + + = ba số a, b, c phải có số 2015 a b c 2015 ( )( ) 2 b) Cho x y thỏa mãn x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 Tính x + y Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD, G giao điểm CD AO Chứng minh: b) OE ⊥ CD a) EG // AB c) SDAC + SBDO = SABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn(AB < AC) Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A cắt AB AC M N Chứng minh: BM = CN HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần a) 0,75 điểm Đáp án   x −1 x −1   P= x − − ÷, ĐKXĐ: x > 0, x ≠ ÷:  x  x x+ x ÷   0,25  x −1  x −1  x −1 : − = ÷  x  x  x x +1  0,25 ( ) 0,5 điểm c) ( ( ( ) x +1 Nên P = ( ) −1+ ĐK: x ≥ ( ⇔ ) ) x +1 ( x +1 3 = −1 = = x −3− ( x −2 ) Kết luận ) +1 0,25 0,25 ( x −2 0,25 x−4 x−4 ⇔ ≥ ∀ x > 0; Nên để (*) xảy x = −1 x−4 ⇔ x + x + = x −3− Do ( 0,25 x−4 x = x −3− x ⇔ −1 P x = x − − 0,75 điểm  x −1 x −1− x +1 = : x x x +1   ) = ( x + 1) ( ) x − 1) x ∈ ĐKXĐ, x = − = ( − 1) ⇒ Với x = 2+ x− x x −1 x −1 x × = : = x x +1 x x x b) Điểm ( ) x − + x − = (*) 0,25 x−4 ≥ 0, ∀x ≥ ) = x − = ⇒ x = (TM ĐKXĐ) 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án a, x − 3x + + Điểm x + = x − + x + x − (1)  x − 3x + ≥  ⇔x≥2 ĐK: x + ≥ x + x − ≥  (1) ⇔ + = + 0,25  x −1 = a ≥  Đặt:  x − = b ≥  điểm  x + = c ≥ ⇔ a.b + c = b + a.c (1) ⇔ a(b - c) - (b - c) = 0,25 a = ⇔ (a - 1)(b - c) = ⇔  b = c đk) 0,25 Với a = ⇒ x − = ⇔ x - = ⇔ x = (thoả mãn Với b = c ⇒ vơ nghiệm x − = x + ⇒ x - = x + ⇒ 0x = 0,25 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b) x + x + = ( x + 5) x + 0,25 Đặt x + = y (với y ≥ ) điểm Khi đó, ta có: y + x = ( x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = ⇔  y =  Từ tìm nghiệm phương trình là: x = ±4 y = x 0,5 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm 1 1 1 1 + + = ⇔ ( + )+( − )=0 a b c a+b+c a b c a +b +c a+b a +b + =0 ab c( a + b + c ) 1 ⇔( a + b)( + ) =0 ab c ( a +b + c ) ⇔ ⇔( a + b)( ab + ac + bc + c ) = ⇔( a + b)(b + c )(c + a ) = a +b = ⇔ b + c =  c + a = +) Nếu a + b = suy c = 2015 +) Nếu b + c = suy a = 2015 +) Nếu a + c = suy b = 2015 Chứng tỏ số a, b, c phải có số b) )( (x+ ) x2 + 2015 y + y2 + 2015 = 2015 (hai nhân tử v.trái phải khác 0) ) ( Nên x + x + 2015 = điểm 2015 y + y + 2015 Tương tự y + y + 2015 = = y2 + 2015 − y 0,5 x2 + 2015 − x Cộng vế theo vế, ta có x + y + y + 2015 + x + 2015 = ⇒ 2(x + y) = nên x + y = y + 2015 + x + 2015 − x − y 0,5 Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) điểm Vẽ hình xác 0,25 Chứng minh EG //AB: Kẻ đường trung tuyến CM, DN ∆ ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO CD cắt G, nên G trọng tâm ∆ 0,25 ABC Xét ∆ MCD, ta có: CE CG ⇒ EG // DM hay EG // AB = = CM CD Chứng minh OE ⊥ CD : OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1) điểm ∆ ABC cân A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2) Từ (1) (2) suy G trực tâm ∆ ODE, OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD 0,5 b) c) 0,5 Chứng minh: SDAC + SBDO = S ODC điểm SABC: 1 1 1 = OC × OA = × BC × OA = OA.BC 2 2 OA.BC = =4 OA.BC 0,5 S ABC S ODC Vậy SABC = SODC hay SODC = 0,5 SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 4 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Vẽ hình xác Chứng minh: BM = CN điểm Gọi K giao điểm MN đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC P ∆ AMN tam giác cân A (AK vừa đường cao vừa đường phân giác) ⇒ AM = AN (1) BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân A ⇒ AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong ∆ BCP, D trung điểm BC, DN// BP ⇒ N trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) ⇒ BM = CN Điểm 0,25 0,5 0,25 Lưu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học Mơn thi: Tốn- Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giaođề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức:  y − xy   x y x + y  + x: + − M =    xy + y xy − x xy   x+ y   a Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa; rút gọn M b Tính giá trị M x = 1; y = Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a x + + 4x x+3 =4 x b 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + = 82 1+ + + 9 Bài 3: (2 điểm) a b c + + =1 b+c c+a a+b a2 b2 c2 + + Tính P = b+c c+a a+b Cho Bài 4: (2 điểm) Cho hình thang ABCD; góc A = góc B = 900 AB = BC + CD Chứng minh rằng: trung điểm cạnh DC tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh lại hình thang Bài 5: (2điểm) Cho tam giác ABC cân A; AB = AC = b; góc A = ∝ a Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC = b Sin ∝ b Chứng minh rằng: Sin2 ∝ = 2Sin ∝ Cos ∝ HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp Bài 1: (2điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điều kiện Rút gọn M = b) Điểm 0,25đ 1,25đ y+ x Tính y = 0,25đ Thay x; y => M = 0,25đ Bài 2: (2điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điều kiện Đưa ( x − − x ) = Tìm x; kết luận Điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ Chia vế cho x2 ( x2 ≠ 0) b) Đặt t = x + 0,25đ ( - ≤ t ≤ 2) x 0,25đ Đưa phương trình ẩn t 0,25đ Giải phương trình t = t = 2 0,25đ Thay tìm x = 0,25đ Bài 3: (2điểm) Ý/Phần Đáp án Viết P + a + b + c = Điểm 2 a b c +a+ +b+ b+c c+a a+b 1đ Biến đổi P + a + b + c P = kết luận 0,5đ 0,5đ Đáp án Vẽ hình vẽ đường đường vng góc từ trung điểm DC tới cạnh Chứng minh đoạn Kết luận Điểm Bài 4: (2điểm) Ý/Phần 0,75đ 0,75đ 0,5đ Bài 5: (2điểm) Ý/Phần a) Đáp án Vẽ đường cao từ B C Tính đường cao : B SinA = b Sin ∝ => S = b) b Sin ∝ => S = b2 sin ∝ cos ∝ b sin ∝ => sin2 ∝ = sin ∝ cos ∝ Kết hợp S = 0,5đ 0,5đ Vẽ đường cao từ A => góc A1 = góc A2 = Tính đường cao từ A b cos ∝ Điểm 2∝ =∝ BC = b Sin ∝ 0,5đ 0,5đ [...]... cách giải khác đúng vẫn cho điểm UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học Mơn thi: Tốn- Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giaođề) Bài 1 (2 điểm)  x+2 x 1  + + ÷ Cho biểu thức: P =  ÷:  x x −1 x + x + 1 1 − x  d Rút gọn biểu thức P e Tìm x để P = x −1 Với x > 0, x ≠ 1 2 2 7 f So sánh: P2 và 2P Bài 2.(2 điểm) x 2 − 3x + 2 + x... ÷+ ( x16 + y16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2 ≥ 2 y x  4 2 HẾT - (Đề thi gồm có 01trang) Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1:(2 điểm) Ý/phầ n a ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi : Tốn – Lớp 9 Đáp án A = − x ( x − 1) b Điể m 0.25 đ 0.75 đ Với x = 0 ta có A = 0 Với... 45o ; BC = 4cm Tính độ dài AB; AC Cho VABC có A HẾT (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: …………………………………; Số báo danh: ………………… UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn – Lớp: 9 Ý/Phần a) ĐK: x > 0; x ≠ 1 P= = ( x ( ( Đáp án ) ( ) Điểm x +1 + x 2 x +1 − 2 + x : x +1 x −1 x x... 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = x + y HẾT - (Đề thi gồm có 1 trang) Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN - Lớp 9 Ý/Phần 1 ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1 Đáp án Điểm  x + 2 + x − x − x − x −1  x −1 P =  ÷ ÷: 2 ( x − 1)( x... = 2 là giá trị cần tìm Giả sử 199 0 + n2 là số chính phương thì 199 0+ n2 = m2 (m ∈ N ) Từ đó suy ra m2 - n2 = 199 0 ⇔ (m + n) (m – n) = 199 0 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là 2 số chẵn 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇒ (m + n) (m – n) M 4 nhưng 199 0 khơng chia hết cho 4 ⇒ Điều giả sử sai...  + : − ÷  ÷ ÷  x −1 x −1   x x x + x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 2: (2,0 điểm) ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học: Mơn thi: Tốn – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) 1 Giải phương trình : x 2 − 7x + 6 + x + 3 = x − 6 + x 2 + 2x − 3 2 Cho 2 điểm A ( 1;3) và B ( −2;1) a) Biết phương trình đường thẳng... Ta có : M = vì ( x + y ) 2 0.25 0.25 Vậy Max M = -2 ⇔ x = y = -1 UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học: 2015-2016 Mơn thi: Tốn9 Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) x2 − x 2 x + x 2 ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a)Rút gọn P b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P c)Xét biểu thức: Q = 2 x , chứng tỏ 0 < Q < 2 P Bài... Ý/Phần Đáp án Điểm A Kẻ AH ⊥ BC Xét VAHB có ·AHB = 90 o 1 2 µ = 45o ⇒ µA = 45o B B H C 1,0 ¶A = 105o − 45o = 60o 2 + ) HC = AH tan 60o ⇔ 4 − BH = AH 3 ⇔ 4 − AH = 3 AH ( AH = BH ) ⇔ ( ) 3 + 1 AH = 4 ⇔ AH = 4 =2 3 +1 ( ) 3 −1 Mà: AB 2 = AH 2 + BH 2 (Định lí Pi- ta- go) ⇔ AB 2 = 2 AH 2 ⇔ AB = 2 AH = 2.2 AC = 2 AH = 4 ( ) ( ) ( 3 −1 = 2 6− 2 ) 1,0 3 −1 UBND HUYỆN PHỊNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP... Pi- ta- go) ⇔ AB 2 = 2 AH 2 ⇔ AB = 2 AH = 2.2 AC = 2 AH = 4 ( ) ( ) ( 3 −1 = 2 6− 2 ) 3 −1 UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học : Mơn thi: Tốn – Lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)  x −2 x + 2  x2 − 2 x + 1 − ÷ ÷ 2  x −1 x + 2 x +1  Bài 1:(2 điểm) Cho A =  a) Rút gọn A b) Tìm x để A > 0 c) Tìm giá trị lớn nhất... lần lượt là hình chi u của M trên CD và AB · · · · 1.Tính sin 2 MBA + sin 2 MAB + sin 2 MCD + sin 2 MDC 2.Chứng minh: OK 2 = AH (2 R − AH ) 3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn nhất µ = 105o ; B µ = 45o ; BC = 4cm Tính độ dài AB; AC Cho VABC có A HẾT ( Đề thi gồm có 2 trang ) Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh …………………… ... Hết UBND HUYỆN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TẠO HUYỆN o0o -Năm học: Mơn thi: Tốn học – Lớp Câ u Ý a Nội dung Điể m x +1... PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ): Ý Đáp án Điểm a/   x + x ÷:... trái với giả thi t a, b, c đề số dương ) Từ suy : UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO a b c + + >2 b+c c+a a+b 0,25 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian