Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ ĐÀN HỒI CỦA TAY MÁY CÔNG NGHIỆP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN RESEACH ON BUILDING DEFORMATIONS ELASTIC EQUATIONS OF INDUSTRIAL MANIPULATOR BASE ON FINITE ELEMENT METHOD Biên Dương Xuân1, Mỳ Chu Anh1, Dũng Nguyễn Trí2 Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội xuanbien82@yahoo.com TÓM TẮT Khi giải toán học điều khiển robot, nhà thiết kế coi khâu rắn tuyệt đối coi chuyển vị đàn hồi (CVDH) thành phần hệ thống nhỏ, ảnh hưởng đến độ xác hoạt động robot Tuy nhiên, việc nghiên cứu ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi giúp cho hoạt động tay máy xác hơn, thực tế Bài báo tập trung trình bày việc xây dựng hệ phương trình chuyển vị đàn hồi tính toán CVDH cho hệ tay máy khâu phẳng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Kết báo làm sở phát triển hệ điều khiển tương ứng nhằm nâng cao độ xác định vị hệ tay máy khâu phẳng nói riêng hệ tay máy chuỗi hở nói chung có kể đến ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi khâu Từ khóa: robot công nghiệp, chuyển vị đàn hồi, tay máy khâu phẳng ABSTRACT Designers has considered links of robot are rigid bodies when they solve problems about mechanic and control robot They considered that deformations elastic of links are small and don’t effect on accuracy of industrial robot However, the study on influence of deformations elastic will help actions of robot are more accuracy and reality This paper focus on building deformations elastic equations and calculation for two-link planar manipulator base on finite element method The results can be used to improve corresponding control system to advances positioning accuracy of two-link planar manipulator and other open serial manipulators Keywords: industrials robot, deformation elastic, two-link planar manipulator ĐẶT VẤN ĐỀ Khi nghiên cứu tay máy công nghiệp, cần giải nhiều toán như: động học, động lực học, điều khiển số vấn đề khác (dư dẫn động, kì dị, độ bền cấu, khả tải, độ linh hoạt,…) Vấn đề đặt đa số công trình công bố nước lấy giả thuyết khâu robot rắn tuyệt đối, mô hình động lực lý tưởng, ứng xử động lực xuyên suốt, liên tục theo thời gian nội hệ không tồn biến dạng, chuyển vị đàn hồi Sai số sinh trình chuyển động bù hiệu chỉnh chương trình điều khiển [5, 6, 7, 8] Việc dẫn đến phức tạp điều khiển mô hình chưa sát với thực tế Vấn đề ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi đến độ xác định vị robot xem xét giới với nhiều góc cạnh khác Một số công trình mặc định chấp nhận chuyển vị đàn hồi, tìm cách đo đạc sai số định vị thực tế phương pháp khác đề xuất phương án bù sai số điều khiển phản hồi tuyến tính phi tuyến [5, 6, 7, 8, 9] Công trình [10] có liệt kê số kỹ thuật sử dụng để xét đến chuyển vị đàn hồi robot kết báo phương pháp phần tử hữu hạn phù hợp Tài liệu [11] 140 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV đề cập đến hai giải pháp hiệu chỉnh robot để giảm bớt sai số chuyển vị đàn hồi Thứ đơn giản hóa mô hình cách thiết kế giảm chiều dài khâu, thêm vào khâu kín song song, tăng diện tích mặt cắt giảm tỷ số truyền động truyền động Điển hình Robot KUKA 500-2 MT hay ABB IR7600-500 Tuy nhiên, robot đắt linh hoạt Cách thứ tác giả đề xuất can thiệp vào phần điều khiển cách sử dụng luật mờ (Takagi Sugeno Fuzzy) để hiệu chỉnh robot Dữ liệu đầu vào có coi mô hình robot hệ gồm khâu cứng liên kết với thông qua lò xo đại diện cho yếu tố chuyển vị đàn hồi khớp khâu Tuy nhiên, độ xác phương pháp phụ thuộc nhiều vào số lượng, kích cỡ vị trí lò xo Phương pháp đề cập tài liệu [12,13] Ngoài ra, tác giả nhắc đến phương pháp ứng dụng mô đun CAE phần mềm thiết kế CAD/CAM để tính toán chuyển vị Tuy nhiên, phương pháp có nhược điểm lớn thời gian tính toán lâu không phù hợp với điều khiển robot thời gian thực [14] Một số trường hợp, hệ có cấu trúc không gian nhẹ (khâu đàn hồi-flexible links) hoạt động với tốc độ cao việc xem xét ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi đóng vai trò vô quan trọng hoạt động hệ [15,16] Nó tác động trực tiếp tới độ xác hoạt động Như vậy, vấn đề đặt ta xây dựng thêm hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi khâu kết cho phép thiết lập hệ điều khiển tương ứng xác hơn, thực tế đầu vào kể đến ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Hệ phương trình động lực học tay máy Xét mô hình robot phẳng hai khâu [1] Hình 1: Hình Mô hình robot phẳng hai khâu Trong đó: Ox y0 z0 , Ox1 y1 z1 , Ox y2 z2 hệ tọa độ cố định, hệ tọa độ địa phương gắn với khớp (tại O) khớp (tại A); q1, q2 , m1 , m2 , l1 , l2 , C1 , C2 : biến khớp, khối lượng, chiều dài khâu vị trí trọng tâm khâu 1, khâu Px , Py : ngoại lực tác dụng điểm thao tác cuối B τ ,τ : mô men truyền động khớp Gọi khoảng cách OC  lC , AC  lC ; Véc tơ biến khớp q = [ q1 , q2 ] Ta có bảng tham số động học D-H động lực học T Bảng Bảng Bảng Bảng tham số động học D-H Khâu Θ d a α q1 l1 q2 l2 141 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Bảng Tham số động lực học khâu Khâu Vị trí trọng tâm Ma trận mômen quán tính I xC yC zC Khối lượng l C1 0 m1 I 1y I 1z 0 l C2 0 m2 I 2y I 2z 0 I xx I yy I zz I xy I yz I zx Ta có tọa độ điểm thao tác cuối theo hệ tọa độ cố định: xB =l1cosq1 + l2 cos ( q1 + q2 ) (1) yB =l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 ) Tọa độ trọng tâm khâu theo hệ tọa độ cố định: l1 cos q1 + lC cos ( q1 + q2 )  lC1 cos q1      rC1 =  lC1 sin q1  ; rC = l1 sin q1 + lC sin ( q1 + q2 )      (2) Tiến hành tính toán ma trận Jacobi tịnh tiến J T , J T , ma trận Jacobi quay J R1 , J R , trọng lực g1 (q), g (q) cho khâu, ma trận khối lượng suy rộng M (q) , biểu thức động T, Π , ngoại lực tác dụng vào hệ áp dụng hệ phương trình vi phân Lagrange loại II: d  ∂T  dt  ∂qi  ∂T ∂Π = − + Qi* , − q q ∂ ∂ i i  i=1,2 (3) Ta có hệ phương trình vi phân động lực học hệ: τ= ( m1lC21 + m2 (l12 + lC2 + 2l1lC cos q2 ) + I z + I1z ) q1 + ( m2 (lC2 + l1lC cos q2 ) + I z ) q2   − 2m2l1lC sin q2 q1q2 − m2l1lC sin q2 q22 + (m1lC1 + m2l1 ) g cos q1 + m2lC g cos(q1 + q2 )  − Px l1 sin q1 + l2 sin ( q1 + q2 )  + Py l1cosq1 + l2 cos ( q1 + q2 )    2 τ = ( m2 (lC + l1lC cos q2 ) + I z ) q1 + ( m2lC + I z ) q2 + m2l1lC q1 sin q2  + m2lC g cos(q1 + q2 ) − Px l2 sin ( q1 + q2 ) + Py l2 cos ( q1 + q2 )  (4) Dễ nhận thấy rằng, thành phần cấu thành hệ phương trình vi phân động lực học chưa kể đến ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi Khi sử dụng hệ phương trình (4) giải toán điều khiển xuất sai số Nếu ta xây dựng thêm hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi theo giá trị biến khớp có kể đến yếu tố nội khâu mô đun đàn hồi (đặc trưng cho biến dạng vật thể chịu tác động ngoại lực), khối lượng riêng (đặc trưng cho mật độ vật chất) để đưa thêm liệu cho toán điều khiển hoàn toàn làm giảm bớt sai số định vị tay máy hoạt động 2.2 Xây dựng hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi Để xác định chuyển vị phần tử, ta sử dụng số phương pháp khác phương pháp lực, phương pháp chuyển vị phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) [4] Với phát triển không ngừng ngành công nghệ thông tin ngày giải toán PTHH trở nên dễ dàng Đây phương pháp phù hợp để xác định chuyển vị tay máy công nghiệp Trong nội dung báo này, tác giả tập trung vào phương pháp PTHH mô hình chuyển vị, ẩn số chuyển vị nút cho hệ tay máy khâu phẳng 142 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Rời rạc hóa kết cấu tay máy khâu phẳng thành phần tử liên kết với với đất nút O1 , O2 , E Hình Mô hình phần tử tay máy khâu phẳng Trong đó: Ox y0 z0 , Ox1 y1 z1 , Ox y2 z2 , Ox y3 z3 hệ tọa độ cố định hệ tọa độ địa phương gắn với nút O1 , O2 , E ; {d } = {d1 , d , d3 , d , d5 , d6 , d7 , d8 , d9 } , {R} = {R1 , R2 , R3 , R4 , R5 , R6 , R7 , R8 , R9 } véc tơ chuyển vị đàn hồi nút O1 , O2 , E (chuyển vị nút) lực nút ứng với hệ tọa độ địa phương (d , d , d ) chuyển vị dọc trục dầm (theo trục x) (d , d , d ) chuyển vị theo trục y (d , d , d ) chuyển vị thẳng theo trục z E , l1 , J1 , ρ1 , l2 , J , ρ mô đun đàn hồi, chiều dài, mô men quán tính khối lượng riêng khâu, biến khớp q = [ q1 , q2 ] T Gọi {d } = {d , d , d , d , d , d , d , d , d } , ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' {R } = {R , R , R , R , R , R , R , R , R } véc tơ chuyển vị nút véc tơ tải trọng nút gắn với ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' hệ tọa độ cố định Ox y0 z0 Việc chuyển đổi hệ tọa độ thực qua công thức: −1 T = {di } = [T ]i {di' } hay ]i {di } [T ]i {di } {di'} [T= (5) Trong đó: [T ]i ma trận chuyển đổi hệ tọa độ trực giao [2] nên [T ]i = [T ]i −1 [T ]i 0 0  cos(q i ) sin(qi )  − sin(q ) cos(q )  0 i i    0 0 0 T = [T ]i   0 c os(q ) sin( q ) i i    0 − sin(qi ) cos(q i )    0 0 1  cos(q i )   sin(qi )       − sin(qi ) 0 cos(q i ) 0 0 cos(q i ) 0 sin(qi ) 0 0 0 0  0  − sin(qi )  cos(q i )   1 T (6) Hệ phương trình cân hệ hệ cố định theo lý thuyết PTHH: {R } =  K  {d } ' ' ' (7) Trong đó:  K '  ma trận độ cứng hệ hệ tọa độ cố định Đưa vào điều kiện biên nút O nối đất phương trình cân có dạng [2]: {R } =  K  {d } * * * 143 (8) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV ' ' ' Tại nút O coi liên kết dạng ngàm nên d= d= d= Do vậy, véc tơ chuyển * * * * * * * vị nút cần tìm là: {d } = {d , d5 , d , d , d8 , d9 } Cụ thể: * Xác định ma trận độ cứng Ma trận độ cứng hệ tọa độ địa phương theo [2]:  EF  l     [K ]i =  EF −  l      0 12 EJ l3 EJ l2 EJ l2 EJ l 0 − 12 EJ l3 EJ l2 − EF l 0 EF l EJ l2 EJ l − 0 − 12 EJ l3 EJ l2 12 EJ l3 EJ − l   EJ   l2  EJ  l     EJ  − l  EJ   l  (9) Áp dụng công thức chuyển đổi hệ tọa độ: [ K ]i' = [T ]Ti [ K ]i [T ]i , ta có kết sau:  Di Sqi2 + N i Cqi2   − Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi  −Ci Sqi '  K i  =  2 − D Sq  i i − N i Cqi  D Sq Cq − N Sq Cq i i i  i i i −Ci Sqi  − Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi Di Cqi2 + N i Sqi2 Ci Cqi Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi − Di Cqi2 − N i Sqi2 Ci Cqi −Ci Sqi Ci Cqi Ai Ci Sqi −Ci Cqi Bi − Di Sqi2 − N i Cqi2 Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi Ci Sqi Di Sqi2 + N i Cqi2 − Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi Ci Sqi Di Sqi Cqi − N i Sqi Cqi − Di Cqi2 − N i Sqi2 −Ci Cqi − Di Sqi Cqi + N i Sqi Cqi Di Cqi2 + N i Sqi2 Ci Cqi −Ci Sqi   Ci Cqi  Bi   Ci Sqi  −Ci Cqi   Ai  (10) EJ i EJ i EJ i 12 EJ i EFi ; E: Trong đó: = Sqi sin(= qi ); Cqi cos( = qi ); Ai = ; Bi = ; Ci = ; Di = ; Ni li li li li li Mô đun đàn hồi vật liệu khâu (coi khâu có thành phần vật liệu); J i : Mô men quán tính khâu; Fi : tiết diện khâu Căn theo (10) ta dễ dàng xác định  K1'  ,  K 2'  ta kí hiệu phần tử chúng công thức (11) đây: (11) 144 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Ma trận độ cứng toàn hệ [ K ] có dạng ma trận vuông 9x9 ứng với chuyển vị nút Tuy nhiên, xét đến điều kiện biên ta loại bỏ hàng thứ j cột thứ j tương ứng với chuyển vị nút q}j = Suy ma trận toàn hệ suy biến dạng: { *  K 44  *  K 54   K *  =   K*  84 *  K94 * K 45 * K 55 * K 48 * K 58 * K 66 K85* * K95 * 77 K K88* * K98 *  K 49 *  K 59     K89*   * K99  (12) Theo [2], phần tử K *j ,k  K *  (các số j , k lấy theo số cột dọc ngang bên ma trận ma trận  K1'   K 2'  (11)) tính sau: K *j ,k = ∑ K '(j ,ik) (13) i =1 Cụ thể * '(1) '(2) * * * * * K 44 = K 44 + K 44 ; K 55 = K 55'(1) + K 55'(2) ; K 66 = K 66'(1) + K 66'(2) ; K 77 = K 77'(2) ; K88 = K88'(2) ; K 99 = K 99'(2) Tương tự, ta tính phần tử khác  K *  * Xác định véc tơ tải trọng quy nút { R*} Lấy giả thiết vật liệu khâu có tính liên tục đẳng hướng nên coi phân bố mặt khối lượng Gọi lực phân bố khối lượng khâu gây p (kN / cm) Mô hình tính tải nút xét Hình Hình Mô hình tính lực nút với tải trọng phân bố Để tính {R } cần tính {R} , {R} Gọi ' * i i x giá trị biến chiều dài có giới hạn ≤ x ≤ l Do ta xét tay máy khâu phẳng nên coi tải xoắn τ ( x ) = tải phân bố p( x= p= const Ta có: ) l l i i pl i = = R1i = H τ dx R 0; ∫0 1( x ) ( x ) ∫0 H 2( x ) p( x ) dx =2 i ; l l li li x x2 x3 H1( x ) = − ; H 2( x ) = 1− + l l l i pli2 i i x x3 x = = τ = = − + ; H 4( x ) = R3i = H p dx R H dx H x ; 0; x x x x x 3( ) ( ) 4( ) ( ) 3( ) ∫0 ∫ l l l 12 R5i = ∫H 5( x ) p( x ) dx = pli i ; R6 = ∫H 6( x ) p( x ) dx = − pli2 ; 12 x2 x3 x x3 H 5( x ) = − ; H 6( x ) = − + l l l l Trong H1( x ) ; H 2( x ) ; H 3( x ) ; H 4( x ) ; H 5( x ) ; H 6( x ) hàm dạng phần tử [2] 145 (14) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Lúc này: Cqi R1i − Sqi R2i    i i  Sqi R1 − Cqi R2    R3i T   {R}i  [T ]i= i i Cqi R4 − Sqi R5   Sq R i − Cq R i  i 5  i i   R6    R1'(i )   '(i )   R2   R '(i )  '  = {R}i = '( i )   R4   R '(i )     R6'(i )  (15) Cụ thể: (16) Mỗi phần tử véc tơ { R*} xác định: R*j = ∑ R '(j i ) (17) i =1 Chỉ số j lấy theo cột số bên cạnh phải tương ứng véc tơ lực nút Cụ thể: R4* = R4'(1) + R4'(2) ; R5* = R5'(1) + R5'(2) ; R6* = R6'(1) + R6'(2) ; R7* = R7'(2) ; R8* = R8'(2) ; R9* = R9'(2) Vậy ta có: {R } = {R * * R2* R3* R4* R5* R6*} T (18) Thay (12) (18) vào (8) ta tính chuyển vị nút: {d } =  K * *  −1 {R } (19) * 2.3 Mô kết tính toán chuyển vị đàn hồi Áp dụng tính toán chuyển vị cho mô hình tay máy khâu phẳng (Hình 2) với tham số cụ thể Bảng Bảng Giá trị tham số tay máy khâu phẳng Khâu Mô đun đàn hồi E (Kg/cm2) Khối lượng riêng ρ Tải tập trung P x (N) Tải tập trung P y (N) (Kg/cm ) Bề Bề rộng ngang khâu B khâu (cm) H(cm) Chiều dài khâu (cm) Biến khớp (rad) 0≤t ≤π 2,1.106 7850.10-6 0 3 20 π +t 2,1.106 7850.10-6 0 3 10 t 146 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Sử dụng phần mềm Maple Matlab để tính toán ma trận độ cứng, tải trọng nút chuyển vị nút, ta có kết sau: * Xét vị trí tay máy với giá trị cố định: ;q q1 π= = Dễ thấy, chuyển vị nút O theo trục X, Y, Z là: 0.012 mm, -0.02 mm, 0.0018 mm; nút E (điểm thao tác cuối): 0.012 mm, -0.04 mm, -0.0019 mm Các giá trị nhỏ giá trị có dấu (-) thể ngược chiều so với chiều trục ứng với nút Vì xét tay máy phẳng nên ta chưa xét đến chuyển vị theo chiều trục Z Các giá trị chuyển vị lớn chịu thêm ngoại lực tác dụng (tải trọng bên ngoài) Lúc này, vị trí điểm thao tác cuối mô tả Bảng Bảng Tọa độ điểm thao tác cuối Tọa độ điểm thao tác cuối (E) X E (mm) YE (mm) Khi chưa kể đến chuyển vị đàn hồi 150 150 150 + 0.012 150 − 0.04 Khi kể đến chuyển vị đàn hồi * Xét vị trí tay máy với biến khớp thay đổi theo thời gian t(s): π q1= + t ; q2 = t ;0 ≤ t ≤ π Với giá trị biến khớp thay đổi, ta so sánh quỹ đạo chuyển động (1) hai trường hợp chưa kể đến chuyển vị đàn hồi có kể đến chuyển vị đàn hồi Hình Hình Tọa độ điểm thao tác cuối hai trường hợp Đồ thị Hình cho ta thấy sai lệch vị trí điểm thao tác cuối có kể đến ảnh hưởng CVDH Do giá trị chuyển vị nhỏ nên khó nhận sai lệch Hình 4, ta mô tả sai lệch theo Hình 147 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Hình Giá trị chuyển vị đàn hồi theo trục X Y nút E Về chất, giá trị chuyển vị đàn hồi theo chiều X Y ứng với hệ tọa độ địa phương nút E Để điều khiển tay máy theo quỹ đạo mong muốn cần phải xác định quy luật biến khớp (bài toán động học ngược) tính toán mô men điều khiển khớp (bài toán động lực học) Tuy nhiên, có ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi, với giá trị mô men tính toán cũ quỹ đạo chuyển động có sai lệch không mong muốn cần phải bù sai lệch Như vậy, đầu vào hệ điều khiển hệ phương trình động lực học (11) có thêm hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi (26) nút nhằm điều khiển tay máy hoạt động xác KẾT LUẬN Bài báo trình bày việc xây dựng hệ phương trình vi phân động lực học theo phương trình Lagrange loại II hệ phương trình tính chuyển vị đàn hồi nút phần tử theo phương pháp phần tử hữu hạn cho hệ tay máy khâu phẳng Bài báo thể tính toán cụ thể chuyển vị nút phần tử vị trí cố định khoảng giá trị biến khớp thay đổi nhằm so sánh, đánh giá sai lệch vị trí điểm thao tác cuối có kể đến ảnh hưởng chuyển vị đàn hồi làm sở xây dựng thông số đầu vào thiết lập hệ điều khiển sau TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ, Cơ sở robot công nghiệp, Nhà xuất Giáo dục, 2010 [2] Vũ Khắc Bảy, Bài giảng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn), Bộ môn Toán, Đại học Lâm nghiệp, 2012 [3] Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa, Phương pháp phần tử hữu hạn, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên, 2007 [4] Nguyễn Công Trí, Nguyễn Thị Hiền Lương, Tính toán khung phẳng phương pháp phần tử rời rạc biến thể sử dụng mô hình chuyển vị, Tạp chí KH&PT công nghệ, 2006 [5] Wisama Khalil, Philippe Lemoine, Autonomous calibration of robot using planar points, International Symposium on Robotics and Manufacturing, Montpellier, France, 2009 [6] A Watanabe, S Sakakibara, A kinematic calibration method for industrial robots using autonomous visual measurement, Annals of the CIRP vol 55/1/2006 [7] Ali Nahvi, John M Hollerbach, Cablration of a parallel robot using multiple kinematics closed loops, IEEE 1994 148 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV [8] Andrew B Lintott, Geometric modeling and accuracy enhancement of parallel manipulators, University of Canterbury Christchurch New Zealand, 2000 [9] In-chul Ha, Kinematic parameter calibration method for industrial robot manipulator using the relative position, Journal of mechanical science and technology, 2008 [10] Mathieu Rognant, A systematic proceduce for the elasto-dynamic modeling and identification of robot manipulator, IEEE Transaction on Robotics 1085-1093, 2010 [11] Stephane Marie, Eric Courteille, Patrick Maurine, Elasto – Geometrical modeling and calibration of robot manipulator: Application to machining and forming applications, Mechanism and Machine theory 69, P 13-43 2013 [12] Ivan J Baiges–Valentin, Dynamic modeling of parallel manipulators, University of Florida, 1996 [13] Claire Dumas, Stephane Caro, Joint stiffness identification of industrial serial robot, Robotica, Cambridge University, 2011 [14] T T Mon, F R Mohd Romlay, Role of Finite Element Analysis in designing multi-axes positioning for Robotic Manipulators, Advances in Robot manipulators, Malaysia, 2010 [15] D Wang and M Vidyasagar, Transfer functions for a single flexible link, Proceeding of the 28th IEEE conference on Decision and Control,1989 [16] G Hastings and W Book, Verification of a linear dynamic model for flexible robotic manipulators, Proceedings IEEE International Conference on Robotics and Automation.Vol 3, P 1024 – 1029, 1986 THÔNG TIN TÁC GIẢ Dương Xuân Biên Email: xuanbien82@yahoo.com, ĐT: 01667193567 149 ... định vị tay máy hoạt động 2.2 Xây dựng hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi Để xác định chuyển vị phần tử, ta sử dụng số phương pháp khác phương pháp lực, phương pháp chuyển vị phương pháp. .. Lagrange loại II hệ phương trình tính chuyển vị đàn hồi nút phần tử theo phương pháp phần tử hữu hạn cho hệ tay máy khâu phẳng Bài báo thể tính toán cụ thể chuyển vị nút phần tử vị trí cố định khoảng... thêm hệ phương trình xác định chuyển vị đàn hồi (26) nút nhằm điều khiển tay máy hoạt động xác KẾT LUẬN Bài báo trình bày việc xây dựng hệ phương trình vi phân động lực học theo phương trình