Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập lớn lý thuyết đồ thị
GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị BÀI TẬP LỚN LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ PHẦN LÝ THUYẾT Câu 1: Trình bày đầy đủ định nghĩa ví dụ đường chu trình, trọng đặc biệt đường chu trình Euler Hamilton? - Định nghĩa đường đi: Cho V0 Vn hai đỉnh đồ thị Một đường từ V0 đến Vn có chiều dài n dãy có (n+1) đỉnh n cạnh đỉnh V kết thúc Vn ( v0,e1,v1,e2,…,vn-1,en,vn ) ei nối vi-1 với vi Có thể vi = vj (i#j) + Đường từ v0 đến định hướng định gọi đường định hướng + Một đường từ v0 gọi sơ cấp vi # vj với ∀i # j + Đường định hướng gọi định hướng sơ cấp đỉnh qua lần - Định nghĩa chu trình :Chu trình (mạch) đường có định hướng có độ dài khác không không qua cạnh lần + Chu trình (mạch) gọi sơ cấp từ v0 đến không lần ngoại trừ v - Định nghĩa đường Euler : Một đường gọi đường Euler từ v đến w đường chứa tất đỉnh cạnh đồ thị - Định nghĩa chu trình Euler :Một chu trình gọi chu trình Euler chu trình chứa tất đỉnh đồ thị - Định lý 1:Đồ thị G có chu trình Euler G có tất bậc chẵn khác không - Định lý 2:Đồ thị G có đường Euler từ v đến w (v≠w) G liên thông có hai đỉnh bậc lẻ SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị - Định nghĩa chu trình Hamilton : Là chu trình sơ cấp chứa tất đỉnh đồ thị + Đồ thị n đỉnh có chu trình Hamilton phải có n cạnh * Lưu ý: Nếu đồ thị có chu trình Hamilton đỉnh nằm chu trình điều bậc hai - Đường Halminton : ta hủy cạnh chu trình Halmiton nhận dược đường Halmiton Ví dụ : Cho quân mã bàn cờ vua cho qua ô lần (bài toán mã tuần) - Các Ví dụ đường chu trình Euler Hamilton: Đồ thị chu trình có chu trình Euler Halminton Đồ thị vừa chu trình Euler vừa chu trình Halminton SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Đồ thị vừa có chu trình Euler vừa có chu trình Halminton Đồ thị có chu trình Halminton chu trình Euler - Định lý 3: Cho đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n ≥ đồ thị G có (n-1)/2 chu trình Hamilton đôi không giao - Định lý 4: Cho G đồ thị đơn giản có đỉnh n lớn bậc δ(v) ≥ n/2 với đỉnh v ∈ G G có chu trình Hamilton SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Một số nhận xét: Đồ thị có đỉnh có bậc ≤ chu trình Hamilton Đồ thị có đỉnh có bậc ≥ Nếu có đỉnh có bậc chu trình Hamilton (nếu có) phải qua hai cạnh kề với đỉnh Nếu đồ thị có đỉnh có ba đỉnh bậc kề với đồ thị chu trình Hamilton Nếu đỉnh a có hai đỉnh kề bậc b c cạnh (a, x), x ∉{b, c} không thuộc chu trình Hamilton Đồ thị có đường vô hướng < a1 , a2 , , ak > Với số k < n đỉnh đường (trừ a1 ak) có bậc cạnh (a1, ak) không thuộc chu trình Hamilton Đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) với | V1 | ≠ | V2 | chu trình Hamilton Câu : Thế ma trận liên kết, ma trận kề , ma trận tới đồ thị ngược lại? - Ma trận liên kết : Cho đồ thị G có n đỉnh v , v ,…v n Ma trận liên kết G với thứ tự đỉnh v1, v ,…v n ma trận vuông nxn [mij]n X n ; mij số cạnh nối vi với vj B Ví dụ: Cho đồ thị G: D A C SVTH: Trần Thị Thanh Trang E GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Từ đồ thị G có ma trận liên kết A B C D E A 1 0 B 1 1 C 1 1 D 1 E 1 - Ma trận kề đồ thị : cho G đồ thị n đỉnh, cạnh song song Ma trận vuông cấp n Anxn = [Aij] có n dòng n cột ứng với i, j.thì A ijđược xác định sau : Nếu có cạnh đỉnh i đỉnh j Aij= Ngược lại Ví dụ: A A B B C D 1 E 1 SVTH: Trần Thị Thanh Trang C 1 D 1 0 E 1 0 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Chú ý: Chỉ có đồ thị đơn giản nhìn vào ma trận kề ta tính bậc đỉnh Khi đồ thị có cạnh song song ta không tính ma trận kề Cho A ma trận kề đồ thị đơn giản phần tử hàng thứ i cột thứ j ma trận An (tích ma trận ) số đường có chiều dài n từ điểm i đến j - Ma trận tới : cho G đồ thị có n đỉnh v 1, v2, có m cạnh e1,e2,e3 …em Ma trận An xm có n hàng ứng với n đỉnh , m cột ứng với m cạnh có giá trị sau : Nếu cạnh ei tới vj Aij= Ngược lại Ví dụ: V2 V1 E6 E2 V3 E4 E1 E5 E3 V5 V4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 V1 1 0 0 V2 0 1 V3 0 0 1 V4 1 0 V5 1 SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị - Tìm đường chu trình biết ma trận liên kết,ma trận kề,ma trận tới • Ma trận kề : a b c d e 1 b 1 c 1 d 1 0 d 11 e 1 0 e 8 a A= a b c a 11 b 15 11 11 15 A 4= c d e [A4] de = Vậy có đường có độ dài từ d → e (d,a,b,c,e) ; (d,a,d,c,e) ; (d,c,d,c,e) ;(d,c,b,c,e) ;(d,c,e,c,c,e) ;(d,a,b,a,d,c,e) - Ma trận tới : Tìm đường ngắn qua đỉnh đồ thị có trọng số - Tìm đường từ a đến f: a , b , c , f ; f không thuộc T SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị L(f) = Câu : Thế đồ thị phẳng , cách nhận biết đồ thị phẳng? - Định nghĩa:Đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt đỉnh Ví dụ đồ thị K4 phẳng, vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt đỉnh Một điều đáng lưu ý đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng với cạnh nối đoạn thẳng không cắt đỉnh * Cách nhận biết đồ thị phẳng : Để nhận biết xem đồ thị có phải đồ thị phẳng sử dụng định lý Kuratovski : Ta gọi phép chia cạnh (u,v) đồ thị việc loại bỏ cạnh khỏi đồ thị thêm vào đồ thị đỉnh w với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai đồ thị G(V,E) H=(W,F) gọi đồng cấu chúng thu từ đồ thị nhờ phép chia cạnh - Định lý (Kuratovski) Đồ thị phẳng không chứa đồ thị đồng cấu với K3,3 K5 SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Ví dụ : Câu : Các hiểu biết đồ thị đẳng cấu, tự do, có gốc nhị phân đẳng cấu? Đồ thị đẳng cấu : Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu với có song ánh f : từ tập đỉnh G1 đến tập đỉnh G2 song ánh f : từ tập đỉnh cua G1 đến tập đỉnh G2.1 song ánh G: từ tập cạnh G1→tập cạnh G2 Sao cho e tới đỉnh v, w G1 cạnh g(e) tới f(v), f(w) G2 SVTH: Trần Thị Thanh Trang GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Hai đồ thị G1 , G2 đẳng cấu, hai ma trận kề tương ứng xếp lại theo thứ tự ảnh * Cách nhận biết : Hai đồ thị đẳng cấu với phải có số cạnh, số đỉnh Số đỉnh bậc k hay số chu trình sơ cấp có đỉnh bậc k Ta xây dựng song ánh tập đỉnh đồ thị G1 tập đỉnh đồ thị G2 Kiểm tra xem cặp cạnh G1 có ảnh cạnh G2, có đẳng cấu, không không đẳng cấu Ví dụ : f(a) = A , f(b) = B , f(c) = C , f(d) = D, f(e) = E (a , e ) = x1 ∈ G1 (A , E) = y1 ∈ G2 (b , c ) = x3 ∈G1 (B , C) = y3 ∈ G2 (c , d ) = x4 ∈ G1 (C , D) = y4 ∈ G2 (a , b ) = x2 ∈ G1 (A , B) = y2 ∈ G2 (d , e ) = x5 ∈ G1 (D , E) = y5 ∈ G2 Cây tự có gốc : - Cây tự đồ thị đơn giản thỏa mãn cặp đỉnh T có đường nối SVTH: Trần Thị Thanh Trang 10 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị - Cây có gốc có hướng chọn đỉnh gốc cạnh định hướng cho với đỉnh, luôn có đường có hướng từ gốc đến đỉnh Cho T có rễ v0 , giả sử x , y, z đỉnh T v0 , v1 lối đơn giản T ( qua đỉnh) a – cha b v0 -1 tiền bối c vn – d Nếu x tiền bối y y hậu x e Nếu x y z , ta bảo x ,y anh em f Nếu x ta gọi x đỉnh treo (lá) g Nếu x không đỉnh treo, ta gọi x đỉnh phân h.Cây T lấy gốc x đồ thị với tập đỉnh V , tập cạnh E với hậu x E={ e│e} cạnh đường đơn giản từ x đến đỉnh V * Nhận xét : Cho T , ta có : - T liên thông - T chu trình ( có đường nối) SVTH: Trần Thị Thanh Trang 11 GVHD:TS Trần Hành T1 Lý Thuyết Đồ Thị T2 Với tự T trên, chọn đỉnh a làm gốc thành có gốc Cây nhị phân đẳng cấu : Nếu T tự định nghĩa đẳng cấu định nghĩa đồ thị đẳng cấu Nếu có rễ thêm điều kiện : ảnh rễ T1 rễ T2 Câu : Trình bày hiểu biết cây, m-phân có thứ tự nhị phân ? 1/ Cây : Cây tự đồ thị đơn giản thỏa mãn cặp đỉnh đến T có đường nối Cho T có rễ v , giả sử x , y, z đỉnh T v , v1 lối đơn giản T ( qua đỉnh) a – cha b v0 -1 tiền bối c vn – d Nếu x tiền bối y y hậu x e Nếu x y z , ta bảo x ,y anh em SVTH: Trần Thị Thanh Trang 12 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị f Nếu x ta gọi x đỉnh treo (lá) g Nếu x không đỉnh treo, ta gọi x đỉnh phân Ví dụ : 2/ Cây m- phân : - Định nghĩa :Cho có gốc T Nếu số tối đa đỉnh tring T m có đỉnh có m T gọi m phân Nếu đỉnh T có m T gọi m-phân đầy đủ Ví dụ : - Định lý : 1.Một m- phân đầy đủ có i đỉnh có mi +1 đỉnh 2.Một m- phân có chiều cao h có nhiều mh Một m - phân có l có chiều cao h >=[logml] Một m – phân đầy đủ cân có l có chiều cao h=[log ml] SVTH: Trần Thị Thanh Trang 13 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị 3/ Cây nhị phân : - Định nghĩa : Cây nhị phân dạng quan trọng có rễ.Một đỉnh nhị phân nhiều hai định bên trái hay bên phải Cây nhị phân đầy nhị phân mà đỉnh phải có hai Ví dụ : - Định lý : Nếu T nhị phân đầy có i đỉnh phân T có i+1 đỉnh treo 2i+1 đỉnh tất - Định lý : Nếu nhị phân có chiều cao h có t đỉnh treo ta có : lgt ≤ h Câu : Cây bao trùm ? - Định nghĩa : Cho đồ thị vô hướng G.Một T gọi bao trùm G T đồ thị chứa đỉnh G - Định lý :Đồ thị G có bao trùm G liên thông Ví dụ : Cho đồ thị liên thông G , G’ bao trùm G SVTH: Trần Thị Thanh Trang 14 GVHD:TS Trần Hành G SVTH: Trần Thị Thanh Trang 15 Lý Thuyết Đồ Thị G’ [...]... Định lý 1 : Nếu T là cây nhị phân đầy có i đỉnh phân thì T có i+1 đỉnh treo và 2i+1 đỉnh tất cả - Định lý 2 : Nếu cây nhị phân có chiều cao h và có t đỉnh treo thì ta có : lgt ≤ h Câu 6 : Cây bao trùm ? - Định nghĩa : Cho một đồ thị vô hướng G.Một cây T gọi là một cây bao trùm của G nếu T là một đồ thị con chứa mọi đỉnh của G - Định lý :Đồ thị G có cây bao trùm nếu và chỉ nếu G liên thông Ví dụ : Cho đồ. .. đỉnh phân h.Cây con của T lấy gốc tại x là một đồ thị với tập các đỉnh V , tập các cạnh E với các hậu thế của x và E={ e│e} là một cạnh của đường đi đơn giản từ x đến một đỉnh trong V * Nhận xét : Cho T là một cây , ta có : - T liên thông - T không có chu trình ( vì có duy nhất một đường nối) SVTH: Trần Thị Thanh Trang 11 GVHD:TS Trần Hành T1 Lý Thuyết Đồ Thị T2 Với cây tự do T trên, chọn đỉnh a làm... trùm của G nếu T là một đồ thị con chứa mọi đỉnh của G - Định lý :Đồ thị G có cây bao trùm nếu và chỉ nếu G liên thông Ví dụ : Cho đồ thị liên thông G , G’ là cây bao trùm của G SVTH: Trần Thị Thanh Trang 14 GVHD:TS Trần Hành G SVTH: Trần Thị Thanh Trang 15 Lý Thuyết Đồ Thị G’ ... gọi là một cây m-phân đầy đủ Ví dụ : - Định lý : 1.Một cây m- phân đầy đủ có i đỉnh trong thì có mi +1 đỉnh 2.Một cây m- phân có chiều cao là h thì có nhiều nhất là mh lá 3 Một cây m - phân có l lá thì có chiều cao h >=[logml] 4 Một cây m – phân đầy đủ và cân bằng có l lá thì có chiều cao h=[log ml] SVTH: Trần Thị Thanh Trang 13 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị 3/ Cây nhị phân : - Định nghĩa : Cây nhị... 1 là cha vn b v0 vn -1 là tiền bối của vn c vn là con của vn – 1 d Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu thế của x e Nếu x và y là con của z , ta bảo x ,y là anh em SVTH: Trần Thị Thanh Trang 12 GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị f Nếu x không có con ta gọi x là đỉnh treo (lá) g Nếu x không là đỉnh treo, ta gọi x là đỉnh phân Ví dụ : 2/ Cây m- phân : - Định nghĩa :Cho một cây có gốc T Nếu số con tối...GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị - Cây có gốc là một cây có hướng trên đó đã chọn một đỉnh là gốc và các cạnh được định hướng sao cho với mọi đỉnh, luôn luôn có một đường có hướng từ gốc đi đến đỉnh đó Cho T là một cây có rễ... cây có gốc 3 Cây nhị phân đẳng cấu : Nếu T là cây tự do thì định nghĩa 2 cây đẳng cấu như định nghĩa về đồ thị đẳng cấu Nếu cây có rễ thì thêm điều kiện : ảnh của rễ cây T1 là rễ cây T2 Câu 5 : Trình bày các hiểu biết về cây, cây m-phân có sắp thứ tự và cây nhị phân ? 1/ Cây : Cây tự do là một đồ thị đơn giản thỏa mãn mọi cặp đỉnh đến T có duy nhất một đường nối Cho T là một cây có rễ v 0 , giả sử x ... Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Đồ thị vừa có chu trình Euler vừa có chu trình Halminton Đồ thị có chu trình Halminton chu trình Euler - Định lý 3: Cho đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n ≥ đồ thị G có (n-1)/2... dụ: Cho đồ thị G: D A C SVTH: Trần Thị Thanh Trang E GVHD:TS Trần Hành Lý Thuyết Đồ Thị Từ đồ thị G có ma trận liên kết A B C D E A 1 0 B 1 1 C 1 1 D 1 E 1 - Ma trận kề đồ thị : cho G đồ thị n... Cách nhận biết đồ thị phẳng : Để nhận biết xem đồ thị có phải đồ thị phẳng sử dụng định lý Kuratovski : Ta gọi phép chia cạnh (u,v) đồ thị việc loại bỏ cạnh khỏi đồ thị thêm vào đồ thị đỉnh w với