BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - THIỀU THỊ THÚY THANH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - THIỀU THỊ THÚY THANH CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUÂN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Thế Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các khái niệm 1.1 Xác suất tính chất xác suất 1.2 Xác suất có điều kiện 1.3 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất 1.3.1 Biến ngẫu nhiên 1.3.2 Hàm phân phối xác suất 1.4 Kỳ vọng phương sai 1.4.1 Kỳ vọng 1.4.2 Phương sai 10 1.5 Kỳ vọng có điều kiện 10 1.6 Hiệp phương sai hệ số tương quan 12 1.7 Quá trình ngẫu nhiên 14 16 1.8 Quá trình dừng 1.9 Hàm hệ số tự tương quan 18 Mô hình số chuỗi thời gian cụ thể ứng dụng 19 2.1 Mô hình số chuỗi thời gian cụ thể 19 2.1.1 Quá trình nhiễu trắng 19 2.1.2 Du động ngẫu nhiên 20 2.1.3 Quá trình tự hồi qui 20 2.1.4 Quá trình trung bình trượt 25 2.1.5 2.2 Ứng dụng Quá trình trung bình trượt tự hồi qui 31 33 Kết luận chung kiến nghị 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Ngày mô hình xác suất thực ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên khoa học xã hội Trong nhiều áp dụng, từ lĩnh vực kinh tế đến kỹ thuật, để nghiên cứu biến tương lai người ta thường quan tâm đến dãy giá trị quan sát trình tự theo thời gian trước Giá trị quan sát lập thành chuỗi thời gian Ta liệt kê số lĩnh vực cần nghiên cứu chuỗi thời gian sau: + Trong kinh tế: Giá cổ phiếu nhiều ngày liên tiếp, tổng số hàng xuất khẩu, thu nhập trung bình, lợi nhuận công ty tháng (năm) liên tiếp + Trong vật lý: nhiều dạng chuỗi thời gian xuất khoa học vật lý, đặc biệt khí tượng thủy văn, địa vật lý, hải dương học, Chẳng hạn dòng chảy sông, lượng mưa, hay nhiệt độ đo đơn vị thời gian + Trong Marketing: liệu lượng hàng hóa bán tháng (năm, ) chuỗi thời gian, liệu có quan hệ mật thiết với liệu kinh tế Theo dõi dự liệu marketing để dự báo kênh quan trọng cho việc lập kế hoạch sản xuất Để hiểu sâu chuỗi thời gian mặt lý thuyết ứng dụng, khuôn khổ luận văn thạc sỹ, chọn đề tài cho luận văn là“Chuỗi thời gian ứng dụng.” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương Các khái niệm lý thuyết xác suất Trong chương này, trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất để phục vụ cho chương Chương Mô hình số chuỗi thời gian cụ thể ứng dụng Chương nội dung luận văn Trong chương 2, nghiên cứu mô hình số chuỗi thời gian cụ thể: Quá trình tự hồi qui, Quá trình trung bình trượt Quá trình trung bình trượt tự hồi qui Cụ thể định nghĩa xét số tính chất trình đưa ví dụ minh họa Luận văn thực trường đại học Vinh, hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Thế Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Thế tận tình hướng dẫn suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê Toán ứng dụng, khoa sư phạm Toán học nhiệt tình giảng dạy trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, lực thời gian có hạn chế, luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận lời bảo, góp ý quý báu thầy cô bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Xác suất tính chất xác suất Giả sử Ω = ∅ Ký hiệu P (Ω) họ tất tập Ω Định nghĩa 1.1.1 Họ tập F ⊂ P (Ω) gọi σ -đại số (hay σ trường) nếu: (i) Ω ∈ F (hoặc ∅ ∈ F ); (ii) Nếu A ∈ F ⇒ A¯ ∈ F ; (iii) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F ∞ n=1 An ∈ F (hoặc ∞ n=1 An Khi cặp (Ω, F ) gọi không gian đo Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F ) không gian đo Ánh xạ P:F → R gọi độ đo xác suất nếu: (i) P(A) 0, với A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hóa); (iii) Nếu {An , n = 1, 2, , } ⊂ F , Ai Aj = ∅, i = j ∞ P( n=1 ∞ P(An ) (tính cộng tính đếm được); An ) = n=1 Khi đó, • Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất; ∈ F ) • Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp; • σ - đại số F gọi σ -đại số biến cố ; • P gọi độ đo xác suất F ; • Mỗi A ∈ F gọi biến cố ; • Biến cố Ω ∈ F gọi biến cố chắn; • Biến cố ∅ ∈ F gọi biến cố ; • Biến cố A = Ω \ A gọi biến cố đối biến cố A; • Hai biến cố A, B thỏa mãn AB = ∅ gọi hai biến cố xung khắc Tính chất 1.1.3 Độ đo xác suất P có tính chất sau P(∅) = 0; AB = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B); A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B); A ⊂ B ⇒ P(B\A) = P(B) − P(A); P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB); P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC); P(A) = − P(A); P( ∞ n=1 An ) ≤ ∞ n=1 P(An ); (Tính liên tục xác suất) (i) Nếu A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ ∃ lim P(An ) = P(∪∞ n=1 An ); n→∞ (ii) Nếu A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ ∃ lim P(An ) = P(∩∞ n=1 An ) n→∞ 1.2 Xác suất có điều kiện Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất A, B ∈ F, P(A) > Khi đó, số P(AB) P(B/A) = , P(A) gọi xác suất có điều kiện biến cố B biến cố A Tính chất 1.2.2 Xác suất có điều kiện có tính chất sau P(B/A) 0; Nếu B ⊃ A P(B/A) = Đặc biệt P(Ω/A) = 1; Nếu (Bn ) dãy biến cố đôi xung khắc ∞ P( ∞ P(Bn /A); Bn /A) = n=1 n=1 (Quy tắc nhân) Giả sử A1 , A2 , , An (n 2) n biến cố cho P(A1 A2 An−1 ) > Khi P(A1 A2 An ) = P(A1 )P(A2 /A1 ) P(An /A1 A2 An−1 ) 1.3 1.3.1 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3.1 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất Ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ F , B(R) σ−đại số Borel R Mặt khác, X biến ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} lập thành σ -đại số σ -đại số F σ -đại số gọi σ -đại số sinh X Rõ ràng, Đó σ(X) σ - đại số bé mà X đo Từ suy X biến ngẫu nhiên σ(X) ⊂ F Định nghĩa 1.3.2 (Biến ngẫu nhiên độc lập) Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất cố định Họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} σ -đại số F gọi độc lập P( Ai ) = P(Ai ), i∈I i ∈I Ai ∈ Fi , i ∈ I + Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ -đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập + Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập họ σ -đại số sinh chúng {σ(Xi ), i ∈ I} độc lập + Họ biến cố {Ai , i ∈ I} ⊂ F gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.3.2 Hàm phân phối xác suất Định lý 1.3.3 Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R Với B ∈ B(R), ký hiệu PX (B) := P(X − 1(B)) Khi PX độ đo xác suất σ -đại số Borel B(R) Định nghĩa 1.3.4 PX gọi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Hàm số F (x) := P(X < x) = P(ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Tính chất 1.3.5 Hàm phân phối F (x) có tính chất sau (i) F (x) đơn điệu không giảm: x < y ⇒ F (x) F (y); (ii) F (x) liên tục trái, có giới hạn phải điểm; (iii) F (−∞) := lim F (x) = 0, F (+∞) := lim F (x) = x→−∞ x→+∞ Định nghĩa 1.3.6 Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm giá trị Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , x3 , , xn , với xác suất tương ứng P(X = xi ) = pi , (i = 1, 2, 3, , n, ) Khi bảng sau gọi bảng phân phối xác suất X X x1 x2 P p1 p2 xn pn 23 Quá trình tự hồi qui cấp p mô hình quan trọng phân tích chuỗi thời gian Theo định nghĩa thời điểm n, giá trị Xn biểu diễn tuyến tính theo p giá trị khứ Xn−1 , Xn−2 , , Xn−p cộng với sai số ngẫu nhiên εn Trong thực tế, tham số αi phương sai σ nhiễu ước lượng từ liệu Chú ý 2.1.5 (i) Nếu định nghĩa trên, ta xét n = 0, 1, 2, phương trình (2.4) với n = p, p + 1, Còn với n − i < ta đặt Xn−i = (ii) Trong định nghĩa ta thêm số α0 Nếu dùng toán tử dịch chuyển L cho (2.3), ta có biểu diễn (2.4) dạng (1 − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp )Xn = εn (2.5) Khi ta có Xn = (1 − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp )−1 εn = f (L)εn , đó, f (L) : = (1 − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp )−1 = (1 + β1 L + β2 L2 + ) Như vậy, Xn có biểu diễn Xn = (1 + β1 L + β2 L2 + )εn = εn + β1 εn−1 + β2 εn−2 + (2.6) Mệnh đề 2.1.6 Với k > 0, Xn−k εn không tương quan Chứng minh Theo biểu diễn (2.6), ta có với k > Cov(Xn−k , εn ) = Cov(εn−k + β1 εn−k−1 + β2 εn−k−2 + , εn ) ∞ = Cov(βi εn−k−i , εn ), (β0 = 0) i=0 ∞ = βi Cov(εn−k−i , εn ) i=0 Mặt khác, Cov(εn−k−i , εn ) = Suy Cov(Xn−k , εn ) = Vậy Xn−k không tương quan với εn 24 Theo biểu diễn EXn = với n phương sai hữu hạn chuỗi ∞ i=1 βi hội tụ Đây điều kiện cần để chuỗi dừng Hàm tự tương quan cho ∞ γ(k) = σ βi βi+k , β0 = i=1 Quan hệ αi βj tìm nhờ phương pháp đại số Tuy nhiên để tính toán hệ số βi khó khăn Định lí sau cho điều kiện để trình tự hồi qui (2.4) dừng với điều kiện đặt lên hệ số αi Định lý 2.1.7 [4] Nếu tất nghiệm phương trình đa thức (đối với ẩn L) − α1 L − α2 L2 − · · · − αp Lp = 0, nằm đường tròn đơn vị trình tự hồi qui cho (2.4) dừng Định lý 2.1.8 [4] Nếu trình tự hồi qui cho (2.4) dừng hàm tự tương quan γ(k) hàm hệ số tương quan ρ(k) cho p αi γ(k − i) γ(k) = (2.7) i=1 p αi ρ(k − i), k = 1, 2, ρ(k) = (2.8) i=1 ρ(0) = Phương trình (2.7) (2.8) gọi phương trình Yule -Walker Từ phương trình ta truy hồi công thức hàm hệ số tự tương quan (hoặc giải phương pháp đại số khác) Ví dụ 2.1.9 Chứng minh trình AR(2) sau dừng tìm hàm hệ số tương quan Xn = Xn−1 − Xn−2 + εn (2.9) Chứng minh Đây trình tự hồi qui cấp với α1 = 1; α2 = − 25 Khi xét phương trình đa thức − L + 21 L2 = Phương trình có √ nghiệm L = ± i Ta có |L| = > Theo Mệnh đề 2.1.7, trình Xn = Xn−1 − Xn−2 + εn trình dừng Để tìm hàm hệ số tương quan, ta dùng phương trình Yule -Walker, ρ(k) = ρ(k − 1) − ρ(k − 2) Từ phép liên tiếp ta có ρ(0) = 1, 1 ρ(1) = − ρ(−1) = − ρ(1) 2 Suy ρ(1) = , 1 ρ(2) = ρ(1) − ρ(0) = − = , ρ(3) = − , Tuy nhiên theo cách giải phương trình sai phân, ta có nghiệm tổng quát πk πk + sin }, k = 0, 1, ρ(k) = ( √ )k {cos 4 2.1.4 Quá trình trung bình trượt Định nghĩa 2.1.10 (Quá trình trung bình trượt cấp q) Cho {εn , n ∈ Z} nhiễu trắng W N (0, σ ) Quá trình ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Z} xác định q θi εn−i + εn với n ∈ Z, Xn = (2.10) i=1 θi số, gọi trình trung bình trượt cấp q (Moving average process of order q ) ký hiệu M A(q) 26 Nhận xét 2.1.11 (i) Trong định nghĩa thêm vào số µ mô hình Tức trình xác định q θi εn−i + εn với n ∈ Z Yn = µ + (2.11) i=1 Khi đưa trường hợp cách qui tâm, tức xét trình Xn := Yn − µ (ii) Nếu đặt θ0 = (2.10) viết lại q θi εn−i , n ∈ Z Xn = (2.12) i=0 Tính chất 2.1.12 Giả sử Xn trình trung bình trượt cấp q , ta có (i) Với n q E[Xn ] = θi E[εn−i ] = i=0 q D[Xn ] = E([Xn ) = σ θi2 i=0 (ii) Cov[Xn , Xn+k ] = σ2 q−|k| i=0 θi θi+|k| (iii) Hàm hệ số tương quan  q−|k|   σ i=0 θi θi+|k| q ρ(k) = i=0 θi   |k| = 0, 1, , q; |k| = q + 1, q + 2, (2.13) |k| = 0, 1, , q; |k| = q + 1, q + 2, Chứng minh (i) Ta có εn , n ∈ Z trình nhiễu trắng nên q E[Xn ] = θi E[εn−i ] = i=0 (2.14) 27 q q E[Xn2 ] = D[Xn ] = q θi2 σ = σ D(θi εn−i ) = i=0 i=0 θi2 i=0 (ii) Ta có q q Cov[Xn , Xn+k ] = E θi εn−i θi εn+k−i i=0 i=0 q = θi θj Eεn−i εn+k−j i,j=0 Do {εn , n ∈ Z} trình nhiễu trắng, nên k = q + 1, q + 2, Cov[Xn , Xn+k ] = Còn k = 1, , q   q Cov[Xn , Xn+k ] = E  θi εn−i θj+k εn−j   i=0  q−k j=−k q−k E[θi θi+k ε2n−i ] = i=0 q−k q−k θi θi+k Eε2n−i = i=0 =σ θi θi+k i=0 Do đó, ta có Cov[Xn , Xn+k ] = σ2 q−|k| i=0 θi θi+|k| |k| = 0, 1, , q |k| = q + 1, q + 2, (2.15) (iii) Theo tính chất (i), ta có chuỗi thời gian {Xn , n ∈ Z} dừng Vậy hàm hệ số tương quan Xn là:  q−|k|  σ i=0 θi θi+|k|  Cov[Xn , Xn+k ] |k| = 0, 1, , q q ρ(k) = = θ i=0 i DXn DXn+k   |k| = q + 1, q + 2, (2.16) 28 Từ tính chất (i) ta có hệ sau Hệ 2.1.13 Quá trình trung bình trượt trình dừng Hơn nữa, tất εn nhiễu trắng Gauss trình dừng (ngặt) Ta xét hai trường hợp cụ thể (i) Hàm tự tương quan trình M A(1)   k =   θ |k| = ρ(k) = (2.17) + θ    |k| = 2, 3, (ii) Nếu q = 2, ta có:      θ1 (1 + +θ2 )    + θ12 + θ22 ρ(k) = θ2     + θ12 + θ22    k = |k| = (2.18) |k| = |k| = 3, 4, Chú ý 2.1.14 (i) Nếu chuỗi thời gian M A(1), thay θ1 (= 0) ta có công thức cho hàm hệ số tương quan: ρ(1) = Hơn nữa, cho g(x) = x x2 +1 , g (x) = θ1−1 + θ1−1 = θ1 +1 θ12 θ1 , (2.19) ta có: − x2 = x = ±1 (x2 + 1)2 Mặt khác, 2x(x2 − 3) g”(x) = = (x2 + 1)3 Suy x = −1 (x = 1) giá trị nhỏ (tương ứng, lớn nhất) hàm g(x) Do đó, ta kết luận −1 ≤ ρ(1) ≤ 2 29 Ngược lại, với θ1 (2.19) ta tìm được: θ1 = 1 ± 2ρ(1) 4ρ2 (1) − Nếu biểu thị hai nghiệm θ1+ θ1− , ta có : θ1+ = θ1− (ii) Trong trường hợp trình M A(∞), ta ∞ γ(k) = σ θi θi+|k| , i=0 với điều kiện ∞ |θi | < ∞ i=0 Định nghĩa 2.1.15 Ta nói trình M A(q) khả nghịch nghiệm phương trình đa thức q θi Li = 1+ (2.20) i=1 nằm hình tròn đơn vị Như theo định nghĩa trình M A(q) dừng với hệ số θi Tuy nhiên để trình khả nghịch cần có điều kiện đặt lên hệ số θi Sau ta xét ví dụ minh họa tầm quan trọng khái niệm Xét trường hợp q = hai trình M A(1) sau Quá trình A: Xn = εn + θεn−1 Quá trình B: Xn = εn + εn−1 θ Khi phép liên tục εn theo Xn , Xn−1 , ta có Quá trình A thu εn = Xn − θXn−1 − θ2 Xn−2 + Quá trình B thu 1 εn = Xn − Xn−1 − Xn−2 + θ θ 30 Đối với trình A, ta có (2.20) trở thành + θ1 L = nên có nghiệm L=− θ1 Nghiệm nằm đường tròn đơn vị |θ1 | < Do trình A khả nghịch trình B không khả nghịch Mặt khác, trường hợp |θ1 | < chuỗi thu theo trình A hội tụ theo B không Do thủ tục ước lượng liên quan đến đánh giá phần dư trình A tốt Ta ý rằng, hai trình có hàm hệ số tự tương quan Qua cho ta thấy hai trình có hàm hệ số tương quan hoàn toàn khác (liên hệ Tính chất 1.9.2) Mệnh đề sau cho thấy vai trò quan trọng chuỗi thời gian trung bình trượt Đó định lí phân tích Wold Nội dung nói trình dừng phân tích thành tổng trình tất định trình trung bình trượt (bậc vô cùng) Định nghĩa 2.1.16 (Quá trình tuyến tính tổng quát) Quá trình MA (có thể bậc vô hạn) cho ∞ ψi εn−i , Xn = (2.21) i=0 gọi trình tuyến tính tổng quát, εn nhiễu trắng, ψi số Mệnh đề 2.1.17 Nếu ∞ ψi2 < ∞ i=0 chuỗi cho (2.21) hội tụ trình dừng Chứng minh Rõ ràng, biến ngẫu nhiên εn không tương quan nên ∞ i=0 ψi < ∞ chuỗi vế phải (2.21) hội tụ Khi ta có ∞ EXn = ψi Eεn−i = i=0 31 Với n, k , ta có ∞ Cov(Xn , Xn+k ) = Cov( ∞ ψi εn−i , i=0 j=0 ∞ = ψj εm+k−j ) ∞ ψi ψj i=0 ∞ Cov(εn−i , εm+k−j ) j=0 ψi ψk+i σ < ∞ = i=0 Do đó, hàm Cov(Xn , Xn+k ) phụ thuộc vào k Vậy trình (Xn ) dừng Mệnh đề 2.1.18 [4] Bất kì trình {Xn , n ∈ Z} biểu diễn sau: ∞ X n = εn + θi εn−i + νn i=1 với {εn , n ∈ Z} trình nhiễu trắng W N (0, σ ), {νn , n ∈ Z} trình tuyến tính ∞ i=0 θi < ∞ Quá trình trung bình trượt ứng dụng nhiều lĩnh vực, đặc biệt kinh tế lượng Chẳng hạn số kinh tế bị ảnh hưởng nhiều kiện ngẫu nhiên đình công, định phủ, tình trạng thiếu nguyên liệu quan trọng, Những kiện không ảnh hưởng đến số kinh tế tức mà ảnh hưởng số giai đoạn Vì vậy, trình trung bình trượt đáng tin cậy để xấp xỉ cho liệu 2.1.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi qui Một trình ngẫu nhiên tổng quát trình trung bình trượt trình tự hồi qui gọi trình trung bình trượt tự hồi qui định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.19 (Quá trình trung bình trượt tự hồi qui) Quá trình ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Z} với EXn = xác định p Xn = q θj εn−j với n ∈ Z, αi Xn−i + εn + i=1 i=1 (2.22) 32 {εn , n ∈ Z} nhiễu trắng W N (0, σ ); εn độc lập với Xn−1 , Xn−2 , ; gọi trình trung bình trượt tự hồi qui cấp (p, q) (autoregressive moving average process of order (p,q)) ký hiệu ARM A(p, q) Ví dụ 2.1.20 Giả sử trình ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Z} xác định sau Xn = α1 Xn−1 , n ∈ Z quan sát cách trực tiếp Mặt khác, giả sử ta quan sát biến ngẫu nhiên Yn : Yn = Xn + εn , n ∈ Z, {εn , n ∈ Z} W N (0, σ ) nhiễu trắng εn độc lập Yn−1 , Yn−2 , Xác định trình Zn sau: Zn = Yn − α1 Yn−1 , n ∈ Z (2.23) Ta có: Zn = Xn + εn − α1 (Xn−1 + εn−1 ) = Xn − α1 Xn−1 + εn − α1 εn−1 = εn − α1 εn−1 , n ∈ Z Khi đó, {Zn , n ∈ Z} trình trung bình trượt cấp với θ1 = −α1 Từ (2.23), ta suy {Yn , n ∈ Z} trình trung bình trượt tự hồi qui cấp (1, 1) Do {Xn , n ∈ Z} Bây giờ, ta tìm hiệp phương sai (Xn ) Rõ ràng, Xn = α1 Xn − + εn + θ1 εn−1 , n ∈ Z Ta có γ(0) ≡ D[Xn ] = E[(α1 Xn−1 + εn + θ1 εn−1 )Xn ] = α1 E[Xn − 1Xn ] + E[εn Xn ] + θ1 E[εn−1 Xn ] = α1 γ(1) + E[ε2n ] + θ1 (E[εn−1 α1 Xn−1 ] + E[θ1 ε2n−1 ]) = α1 γ(1) + σ + θ1 (α1 E[ε2n−1 ] + θ1 σ ) = α1 γ(1) + σ (1 + θ1 α1 + θ12 ) Tương tự 33 γ(1) = Cov[Xn , Xn−1 ] = E[(α1 Xn−1 + εn + θ1 εn−1 )Xn−1 ] = α1 E[Xn−1 ] + E[εn Xn−1 ] + θ1 E[εn−1 Xn−1 ] = α1 γ(0) + θ1 E[ε2n−1 ] = α1 γ(0) + θ1 σ γ(k) = Cov[Xn , Xn−k ] = E[(α1 Xn−1 + εn + θ1 εn−1 )Xn−k ] = α1 E[Xn−1 Xn−k ] + E[εn Xn−k ] + θ1 E[εn−1 Xn−k ] = α1 γ(k − 1) với k = 2, 3, Suy γ(0) = σ (1 + 2θ1 α1 + θ12 ) − α12 γ(1) = [θ1 + α1 (1 + θ1 α1 + θ12 )] − α12 Chú ý quan tâm đến chuỗi thời gian dừng Do chuỗi {Xn , n ∈ Z} không dừng ta sai phân trình {Yn , n ∈ Z} Yn = ∆Xn = Xn − Xn−1 , n ∈ Z Nếu kết thu trình dừng ta mô hình trình ARMA(p,q) Ngược lại, ta tiếp tục sai phân trình {Yn , n ∈ Z} thu trình {Xn , n ∈ Z} dừng Tổng quát, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.21 Giả sử trình ngẫu nhiên {Yn , n ∈ Z} xác định d d (−1)j Yn = ∆ X n = X n + j=1 d Xn−j , n ∈ Z, j với d = 1, 2, ARM A(p, q) trình Khi {Xn , n ∈ Z} gọi trình trung bình trượt tự hồi qui tích hợp, kí hiệu ARIM A(p, d, q) 2.2 Ứng dụng Giả sử Xn giá đóng cửa số chứng khoán đó, chẳng hạn số Dow Jones, thời điểm n (trong phiên giao dịch, giá biến động 34 tăng giảm liên tục, kết thúc phiên giao dịch chốt mức giá cuối gọi giá đóng cửa hôm đó: closing value) Giả sử nhóm quan sát x1 , x2 , , xN giá đóng cửa khoảng thời gian cho muốn mô hình trình ngẫu nhiên {Xn , n = 0, 1, } chuỗi thời gian Trong mục xét toán dùng liệu để dự đoán giá trị tương lai chuỗi thời gian Cho {Xn , n ∈ Z} chuỗi thời gian Giả sử ta muốn dự báo giá trị Xn+j , với j = 1, 2, , dựa vào biến ngẫu nhiên quan sát Xn , Xn−1 , Ký hiệu Hn = {Xn , Xn−1 , }, tức Hn lịch sử trình thời điểm n Trong thực tế ta dùng vô hạn giá trị quan sát để dự báo Xn+j Do tập Hn sinh số hữu hạn quan sát, chẳng hạn {Xn , Xn−1 , , X1 } Tiếp theo ta ký hiệu g(Xn+j /Hn ) dự báo Xn+j với điều kiện Hn Để thu dự báo tốt ta cần số tiêu chuẩn Một tiêu chuẩn hay dùng tìm hàm g cho sai số trung bình bình phương (mean square error) sau bé nhất: M SE(g) := E[Xn+j − g(Xn+j /Hn )]2 Rõ ràng trường hợp kỳ vọng tồn dự báo tốt Xn+j với điều kiện Hn thông thường kỳ vọng có điều kiện g ∗ (Xn+j /Hn ) = E(Xn+j /Hn ) Nếu hàm dự báo tổ hợp tuyến tính phần tử Hn ta có dự báo tuyến tính Ví dụ 2.2.1 (Dự báo trình ARMA(p,q)) Xét trình ARM A(p, q) Xn cho p Xn = q αi Xn−i + εn + i=1 Ta có θj εn−j i=1 p Xn+1 = q αi Xn+1−i + εn+1 + i=1 θj εn+1−j i=1 Khi dự báo tốt cho Xn+1 dựa vào thời điểm n p E(Xn+1 /Hn ) = q αi Xn+1−i + i=1 θj εn+1−j i=1 35 Thật vậy, thời điểm n Xn+1−i εn+1−j biết với i, j = 1, 2, Theo tính chất độc lập ta có E(εn+1 /Hn ) = Eεn+1 = Mặt khác, với i ≥ E(Xn+1−i /Hn ) = Xn+1−i , E(εn+1−i /Hn ) = εn+1−i Do p E(Xn+1 /Hn ) = q αi Xn+1−i + i=1 Ta có θj εn+1−j i=1 p E[Xn+m /Hn ] = q αi Xn+m−i + εn+m + i=1 θj εn+m−j i=1 Với mô hình dự báo thời điểm n + m xa (m = 1, 2, ) xác định dựa vào tính chất sau E(Xn+m−i /Hn ) = Xn+m−i , m ≤ i, E(εn+m−j /Hn ) = εn+m−j m > j, m ≤ j Ví dụ 2.2.2 (Dự báo trình AR(2)) Xét trình AR(2) Khi yếu tố dự đoán tuyến tính tốt cho Xn+1 , dựa vào Xn g(Xn+1 /Xn ) = γ(1) Xn = ρ(1)Xn γ(0) Dựa vào biến ngẫu nhiên Xn Xn+1 , dự báo giá trị Xn+1 , ta xây dựng g(Xn+1 /Xn , Xn−1 ) = α1 Xn + α2 Xn−1 Khi đó, với l ∈ (1, , n − 1) ta tìm g(Xn+1 /Xn , Xn−1 , Xn−l ) = α1 Xn + α2 Xn−1 Nhận xét 2.2.3 Nói chung, {Xn , n ∈ Z} chuỗi thời gian AR(p) với E[Xn ] ≡ với n ∈ {p, p + 1, }, ta có g(Xn+1 /Xn , Xn−1 , , X1 ) = α1 Xn + α2 Xn−1 + + αp Xn−p+1 36 KẾT LUẬN CHUNG I Kết đạt Luận văn trình bày khái niệm chuỗi thời gian, khái niệm tính chất mô hình chuỗi thời gian cụ thể trình tự hồi qui, trình trung bình trượt, trình trung bình trượt tự hồi qui Dựa vào số liệu, liệu khứ, sử dụng mô hình chuỗi thời gian phù hợp để dự báo kết tương lai II Hướng phát triển luận văn Tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu sâu lý thuyết mô hình chuỗi thời gian thống kê, đặc biệt ứng dụng mô hình chuỗi thời gian để phân tích, dự báo số thực tế Từ làm sở để dự báo nghiên cứu Toán tài số lĩnh vực khác 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần II: Quá trình dừng ứng dụng, NXB Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [4] Box Jenkins (1991), Time series analysis: forecasting and control, Revised edition, Holden Day [5] Mario Lefebvre (2009), Basic Probability Theory with Applications, Springer [6] J D Hamilton (1994), Time series analysis, Princeton University Press [...]... MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN CỤ THỂ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Mô hình một số chuỗi thời gian cụ thể Trong mục này, giới thiệu một số quá trình ngẫu nhiên thường được dùng để thiết lập mô hình cho các chuỗi thời gian 2.1.1 Quá trình nhiễu trắng Định nghĩa 2.1.1 Quá trình ngẫu nhiên {εn , n ∈ Z.} được gọi là một quá trình nhiễu trắng (white noise process) nếu chúng không tương quan, cùng phân phối và Eεn = 0 và Dεn = σ... PI Ta chứng minh được họ này đối xứng nhất quán nên theo định lí tồn tại Kolmogorov, tồn tại quá trình ngẫu nhiên X nhận PI làm họ phân phối hưu hạn chiều Rõ ràng, đây là quá trình Gauss và quá trình này là dừng Hầu hết lý thuyết nghiên cứu về chuỗi thời gian liên quan đến chuỗi dừng Do đó lý thuyết phân tích chuỗi thời gian thường yêu cầu phân tích một chuỗi không dừng thành chuỗi dừng và một bộ... nhiên {Xn , n = 0, 1, } như một chuỗi thời gian Trong mục này xét bài toán dùng dữ liệu để dự đoán giá trị tương lai của một chuỗi thời gian Cho {Xn , n ∈ Z} là một chuỗi thời gian Giả sử ta muốn dự báo giá trị của Xn+j , với j = 1, 2, , dựa vào các biến ngẫu nhiên quan sát Xn , Xn−1 , Ký hiệu Hn = {Xn , Xn−1 , }, tức Hn là lịch sử của quá trình cho tới thời điểm n Trong thực tế ta không thể... 2.2 Ứng dụng Giả sử Xn là giá đóng cửa của chỉ số chứng khoán nào đó, chẳng hạn chỉ số Dow Jones, tại thời điểm n (trong một phiên giao dịch, giá sẽ biến động 34 tăng giảm liên tục, kết thúc phiên giao dịch chốt ở một mức giá cuối cùng nào thì đó được gọi là giá đóng cửa hôm đó: closing value) Giả sử chúng ta nhóm các quan sát x1 , x2 , , xN các giá đóng cửa trong một khoảng thời gian đã cho và muốn... dừng thành chuỗi dừng và một bộ phận nào đó để áp dụng lý thuyết này Quá trình dừng được dùng mô hình cho nhiều lĩnh vực trong kinh tế, thị trường chứng khoán, cơ học thống kê, khí tượng thủy văn, Khái niệm quá trình dừng do nhà toán học người Nga Khinchin đưa ra vào năm 1934 Ngày nay, nó đã trở thành một trong những lĩnh vực quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết xác suất 1.9 Hàm hệ số tự tương... du động ngẫu nhiên Xn = Xn − Xn−1 = εn , thì tạo thành nhiễu trắng và do đó là dừng Một ví dụ được biết đến nhiều nhất về chuỗi thời gian có tính chất như du động ngẫu nhiên là giá cổ phiếu trong một chuỗi ngày liên tục nào đó Mô hình thường được đưa ra một xấp xỉ tốt cho dữ liệu này là “Giá cổ phiếu tại thời điểm n= Giá cổ phiếu tại thời điểm (n − 1) + nhiễu ngẫu nhiên" 2.1.3 Quá trình tự hồi qui Định... tương quan của X và Y , ký hiệu ρ(X, Y ), được định nghĩa Cov(X, Y ) ρ(X, Y ) := √ DX DY Tính chất 1.6.4 Hệ số tương quan có các tính chất sau: 14 (i) |ρ(X, Y )| ≤ 1; (ii) |ρ(X, Y )| = 1 khi và chỉ khi X, Y phụ thuộc tuyến tính; Tức là tồn tại a, b ∈ R, a = 0, sao cho P(X = aY + b) = 1; (iii) Nếu X, Y độc lập thì ρ(X, Y ) = 0 Ngược lại không luôn đúng Chứng minh Ta chứng minh (i) và (ii) Xét hàm theo... σ2 0 nếu n = m, nếu n = m (2.1) Như vậy, nhiễu trắng là quá trình bậc hai dừng (ngặt) Quá trình này có được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật và đặc biệt dùng để xây dựng các quá trình ngẫu nhiên phức hợp khác (chẳng hạn quá trình trung bình trượt) Ta cũng có thể định nghĩa nhiễu trắng cho thời gian liên tục Đó là quá trình ngẫu nhiên {εt , t ∈ T } mà hàm tự tương quan cho bởi σ2 0 nếu t = s nếu t = s... sử Y khả tích và |Xn | < Y (h.c.c) Khi đó, nếu Xn → X (h.c.c) thì lim E(Xn |G) = E( lim (Xn |G) = E(X|G)(h.c.c) n→∞ n→∞ 12 Nếu E|XY | < ∞, E|X| < ∞, X ∈ G thì E(XY |G) = X E(X|G) (h.c.c); 13 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì E[ϕ(X)|G] ≥ ϕ[E(X|G](h.c.c) 12 1.6 Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 1.6.1 Hiệp phương sai giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y , ký hiệu... định trên các không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương yếu, nếu chúng có cùng họ phân phối hữu hạn chiều Định nghĩa 1.7.3 Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} và Y = {Y (t), t ≥ 0} là hai quá trình ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) Khi đó (i) Y được gọi là tương đương ngẫu nhiên của X nếu với mọi t ≥ 0 ta có: P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω)] = 1 (ii) X và Y được gọi là cùng ... HÌNH MỘT SỐ CHUỖI THỜI GIAN CỤ THỂ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Mô hình số chuỗi thời gian cụ thể Trong mục này, giới thiệu số trình ngẫu nhiên thường dùng để thiết lập mô hình cho chuỗi thời gian 2.1.1 Quá... khoảng thời gian cho muốn mô hình trình ngẫu nhiên {Xn , n = 0, 1, } chuỗi thời gian Trong mục xét toán dùng liệu để dự đoán giá trị tương lai chuỗi thời gian Cho {Xn , n ∈ Z} chuỗi thời gian. .. chuỗi thời gian, liệu có quan hệ mật thiết với liệu kinh tế Theo dõi dự liệu marketing để dự báo kênh quan trọng cho việc lập kế hoạch sản xuất Để hiểu sâu chuỗi thời gian mặt lý thuyết ứng dụng,