ệ ệ ử ổ t t ởt số ỡ s ổ t t ổ t ởt số t t tổổ t t tổ tổ tổ ữớ t t é rt ữủ ữợ ỳ ỳ t ữớ t tr ỹ rt ố tữủ ự õ t rt ts ữ r ởt ỹ t rt ỡ r r ự õ ởt ỳ tr Rn t ổ s r ởt t rt ồ õ trt t st t t q s t rt ị tữ s õ ữủ rs t tr sỷ ởt rở r õ ộ ỹ rở ỵ tữ ts tr õ õ ữợ ởt t ổ Rn ổ tr ổ tổổ rở ỳ t ổ t ự trú t rt sr ữớ t ự t t tổổ ữ tổ tổ ữớ tổ ữỡ ữ r ổ t trt t st ự sỹ tỗ t ụ ữ t t tổổ t t q t ữủ t q t ự t t ữủt ợ ự t ú tổ t ổ t t tổổ t t ỹ tr t t tr ởt õ tố t q ự tt sỹ tỗ t t t q ổ tr ổ tr ỗ tớ tr ự tt ởt số t t tổổ t t t ợ õ ữủ tr tr ữỡ ữỡ ổ t t r ữỡ ú tổ tr tự ỡ s ũ tr t ự tt sỹ tỗ t t t tr ổ tr ữỡ ởt số t t tổổ t t r ữỡ ú tổ tr ự tt t t tổổ t tổ tổ ữớ tổ ữỡ t t q ổ tr ổ tr ữủ tỹ t trữớ ữợ sỹ ữợ t t ổ ụ ỗ tọ ỏ t ỡ s s ổ t ỡ ỏ ữ t qỵ t ổ tr tờ t rữớ rữớ ỏ ú ù tr tớ t r t ỷ ỡ rữớ r ữỡ t t ủ tr sốt tớ t ố ũ ỡ tr ợ t ú ù tr sốt q tr t ự ũ õ ố s ổ tr ọ ỳ t sõt rt ữủ ỳ ỵ õ õ qỵ ổ ữủ t ỡ ỗ t ổ ì P P r ữỡ ú tổ tr tự ỡ s ũ tr t ự sỹ tỗ t t t q ổ ổ t ổ t ởt số ỡ s ởt t ủ rộ ởt d : X ì X R tọ d(x, y) ợ x, y X d(x, y) = x = y; d(x, y) = d(y, x) ợ x, y X d(x, z) d(x, y) + d(y, z) ợ x, y, z X ởt tr tr X (X, d) ữủ ổ tr õ d ữủ ởt (X, d) ởt ổ tr (xn) ởt tr X (xn ) ữủ > 0, n0 N s ợ n ỡ ợ n0 , p N t d(xn , xn+p ) < ổ tr (X, d) ữủ ỡ tr X tử X = , Ai iI t rộ X ữủ tổ ợ ộ i, j I, tỗ t (ik )k=1,n I s i1 = i, in = j Aik Aik+1 = ợ k {1, , n 1} ổ tr (X, d) ữủ tổ ữớ ợ ộ x, y X ổ tỗ t tử : [0, 1] X s (0) = x (1) = y ổ tr (X, d) ữủ tổ ữớ ữỡ ợ ộ x X ộ U x õ ởt t tổ ữớ tr U ồ Ai iI t rộ X ữủ ổ tổ tỗ t J, J I s J J = I; J, J = s Ai AJ , AJ AJ AJ = AJ AJ = , tr õ AJ = iJ õ AJ , AJ tữỡ ự Ai iI ữủ tổ õ ổ ổ tổ (X, d) ổ tr t rộ X Ai tổ iI ữủ Ai iI ổ J, J I : J J = I; J, J = , AJ AJ = Ai iI ữủ tổ õ ổ ổ tổ ú ỵ (X, d) ổ tr Ai iI t rộ X õ Ai iI ổ tổ t ụ ổ tổ Ai iI tổ t ụ tổ Ai iI tổ t ụ tổ ỗ t tổ ữ ổ tổ ỗ t tổ ữ ổ tổ (X, dX ), (Y, dY ) ổ tr f : X Y tử Ai iI t rộ X õ t õ Ai iI tổ t f (Ai) iI ụ tổ Ai iI tổ t f (Ai) iI ụ tổ ự J, J I : J J = I, J J = ; J, J = AJ AJ = AJ AJ = sỷ AJ AJ = a AJ AJ t f (a) f AJ AJ f Ai = iJ f (Ai ) f AJ f AJ f Ai f AJ f AJ = iJ tổ iI ự ữủ tỹ tữỡ tỹ ổ t t (X, d) ởt ổ tr x X, A X õ t tứ x t A sup d(a, b) ữủ ữớ A d(x, A) = inf d(x, a) ữủ d(A) = aA a,bA d(A, B) = sup d(x, B) ợ A, B X K (X) xA = {A : A X, A t A = }; P (X) = {A : A X, A = } (X, d) ổ tr h K (X) ì K (X) [0, +) (A, B) h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} ởt tr tr K(X) h P (X) ì P (X) [0, +) (A, B) h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} tr tr P (X) ự tr ởt tr ố ợ h ứ d(A, B) t õ h(A, B) ợ A, B K (X) h(A, B) = õ d(A, B) = d(B, A) A = B A, B K (X) h(A, B) = h(B, A) ự h(A, B) h(A, C) + h(C, B) ợ A, B, C K (X) rữợ t t ự d(A, B) d(A, C) + d(C, B) ợ A, B, C K (X) õ inf {d(a, c) + d(c, b)} ợ c C d(a, B) = inf d(a, b) bB bB =d(a, c) + d(c, B) ợ c C õ d(a, B) = inf d(a, b) bB inf d(a, c) + inf d(c, b) = d(a, c) + d(c, B), ợ c C bB t õ d(A, B) d(A, C) + d(C, B) d(B, A) d(B, C) + d(C, A) ữỡ tỹ t õ h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B))} max{d(A, C) + d(C, B), d(B, C) + d(C, A)} max{d(A, C), d(C, A)} + max{d(C, B), d(B, C)} = h(B, C) + h(A, C) h ởt tr ó r A = B t d(A, B) = d(B, A) = max{d(A, B), d(B, A)} = h(A, B) = h(A, A) = ợ A P (X) h(A, B) ợ A, B h(A, B) = h(B, A) ợ A, B P (X) ự h(A, B) h(A, C) + h(C, B) ợ A, B, C P (X) ữủ t tữỡ tỹ ữ tr tỗ t A P (X) A = A ữ h(A, A) = h ởt tr tr P (X) h ữủ ữ tr sr ữủ tr sr õ ữủ ữ (X, d) ổ tr h ữ õ t õ H, K X, H, K = t h(H, K) = h(H, K); Hi iI Ki iI t tr X rộ X t ữủ h(H, K) = h Hi , iI Ki iI sup h(Hi , Ki ); iI H, K = X f : X X st t h(f (K), f (H)) Lip(f ).h(H, K) ổ tr t (K (X), h) ổ tr (X, d) ổ tr t t (K(X), h) ụ ổ tr t (X, d) (X, d) ổ tr f : X X õ số st f x=y,x,yX Lip(f ) < + t f ữủ st Lip(f ) < t f ữủ Lip(f ) = d(f (x),f (y)) d(x,y) sup ữủ ỵ (X, d) ổ tr f : X X õ ổ tỗ t t x0 X f (x0) = x0 n lim f n (x) = x0 ợ t x X (X, dX ) (Y, dY ) ổ tr C(X, Y ) = {f : X Y |f tử } (fi )iI C(X, Y ) ữủ ợ ộ t A X fi (A) tr Y t t iI ởt ổ tr ổ tr X ởt (fi )iI , I t ổ tr X s sup Lip(fi ) < ỵ S = (X, (fi )iI ) iI I t ỳ t S = (X, (fi )iI ) = (X, (fi )i=1,n ) sỷ (X, d) ổ tr A t õ rộ tr X A õ ỹ ữủ ổ ợ ộ a A t fa : X X x fa (x) = a õ fa (fa )aA sup Lip(fa ) < õ aA S = X, (fa )aA sỷ X = R2 ợ d ợ ộ ữớ t d t t d : R2 d tr d ợ A, B t tr R2 AB ữớ t q A, B [A, B] t õ út A, B ỵ r ợ A, B, C R2 A = B ổ tỗ t t xC R d (C) = A + xC (B A) t B A ởt õ tồ tr ổ R2 (xB xA ; yB yA ) õ ợ A, B R2 , R t fA,B : R2 AB, ữủ A xC < 0; C fA,B (C) = A + xC .(B A) xC [0; 1); A + (B A) xC ) =| | ó r fA,B st ợ Lip(fA,B 1 2 ([A, B]) fB,A ([A, B]) = [A, B] = 12 t õ fA,B n1 1+(1) ; 2n fn ; f2 ; f1 : R2 t t An = (0; 1) ợ n N A1 = (0; 0), A2 = R2 ữủ (0, 0) = A1 xC < f1 (C) =fA1 ,A2 (C) = (0; 21 xc ) xC [0, 1) (0, 12 ) xC 1, (0, 1) xC < f2 (C) =fA2 ,A1 (C) = (0; 12 xC ) xC [0, 1) (0, 21 ) xC 1, fn (C) = f2k = fAk ,Ak+1 f2k+1 = fA2 k+1 ,Ak I = Ij ; jJ Bj tổ ợ Bj t t q Sj = (X, (fi )iIj ) ợ j J; Bj tổ jJ õ A tổ ợ A t t q S = (X, (fi)iI ) ự t C = Bj (Cn )n t X ữủ jJ C0 := C; Cn := Fs (Cn1 ) ợ n fi (A) ợ FS (A) = iI tỹ ự ỵ q ữợ Cn ữợ tự ữợ tự t t ự Cn Cn+1 A = n t s ự q r Cn tổ ợ n õ t t t t ủ tổ t õ A tổ õ Bj = FSj (Bj ) FS (Bj ) ợ ộ j J õ Fs (Bj ) Fs ( Bj C = C0 = jJ Bj ) = C1 jJ jJ C0 C1 q sỷ r Cn Cn+1 õ t õ Fs (Cj ) Fs (Cn+1 ) Cn+1 Cn+2 t ự ữủ Cn Cn+1 , n t D = Cn Cn = Fs (Cn1 ) ợ n t ỵ n t õ Cn A n0 N x Cn0 t (xn )n ợ ộ n n0 ữủ xn = x1 n0 t õ xn Cn Cn0 Cn õ tứ t x = lim xn lim Cn = A n n x tũ ỵ tr Cn0 t õ Cn0 A õ D = Cn A n D A = A A õ a A tứ t s r tỗ t (xn )n s Cn , n N xn a r xn Cn D = n Cn A õ A D A õ A = D ố ũ t r r Cn t tổ ợ t n s ự q õ C0 = C t tổ t tt sỷ r Cn tổ ợ ộ n > õ fi (Cn ) = C0 Cn+1 = [ iI fi (Cn )] iI õ ự Cn+1 tổ t ự C0 tổ õ t tổ tổ fi (Cn ) iI ự C0 fi (Cn ) = ợ i I Ij õ ổ tỗ t l(i) J s i Il(i) i I = jJ fi (A) C0 Cn õ ợ ộ i I t õ Bl(i) = A(Sl(i) ) = fi (Bl(i) ) fi (Cn ) iJl(i) ữ fi (Bl(i) ) FIl(i) (Bl(i) ) = Bl(i) C0 õ = fi (Bl(i) ) C0 fi (Cn ) ợ ộ i I C0 fi (Cn ) = Cn tổ fi tử fi (Cn ) tổ õ fi (Cn ) tổ Cn iI ( fi (Cn )) tổ t iI Cn+1 = Cn ( fi (Cn )) tổ iI ữ Cn Cn tổ ợ ộ n N t n Cn tổ A = D tổ õ ự D= n q (X, d) ổ tr S = (X, (fi )iI ) I = (Ij )jJ I s IJ jJ (Bj )jJ tổ õ t t S = (X, (fi)iI ) t tổ ự ứ tt t t õ Bj tổ jJ t õ tt tự ỵ tứ ỵ t õ t t tổ q (X, d) ổ tr S = (X, (fi )iI ) I = sỷ (Ij )jJ I s Ij jJ Ij t ỳ ợ ộ j J t (fi(Bj ))iI tổ ợ Bj t t q ỳ S = (X, (fi)iI ) ợ ộ j J (Bj )jJ tổ õ t t A q S = (X, (fi)iI ) t tổ j ự ợ ộ j J t t Ij ỳ õ S = (X, (fi )iI ) ỳ tứ tt t ỵ t õ Bj tổ õ tt q ữủ tọ q t s r A tổ ỵ sỷ (X, dX ) (Y, dY ) ổ tr tử (Ai)iI t rộ tr X (Ai)iI tổ t f (Ai) iI ụ tổ (Ai)iI tổ t f (Ai) iI ụ tổ f :XY ự J, J I s J J = I, J J = , J, J = (Ai )iI tổ t õ Ai AJ = AJ AJ = ợ AJ = Ai ổ t t tờ qt t sỷ AJ AJ = iJ õ tỗ t a AJ AJ õ f (a) f (AJ ) f (AJ ) f (AJ )f (AJ ) Ai ) f ( =f ( iJ = iJ Ai iJ Ai ) Ai iJ tỗ t J, J I, J J = I, J J =, J, J = f (Ai ) iJ õ f (Ai ) iI f (Ai ) = iJ tổ õ ự ự ữủ tỹ tữỡ tỹ sỷ (X, d) ổ tr ợ c = sup Lip(fi) < A ởt t t iI (Ai)iI = (fi(A))iI tổ t (A ) ợ p N tổ tr õ S = (X, (fi )iI ) p p = p (I) = { = p : , , p I} ự s ự q ợ p = t õ (A )1 = (Ai )iI t tt t õ ự ú p = sỷ r ự ú ợ p t t ự (A )p+1 tổ õ tỗ t J, J p+1 s J J = p+1 , J, J = AJ AJ = p t J = { J : []p = } J = { J : []p = } õ t õ J = J = t J J J J õ AJ AJ AJ AJ = (Ai )iI tổ t tt tứ t s r (A )J J = (A )p+1 = (f (Ai ))iI tổ õ tứ tổ t J = J = t L = {[]p : J}; L = {[]p : J } õ L L = ; L = ; L = ; L L = p AJ = AL AL AL = t (A )p+1 ổ tổ tr ợ tt õ t õ (A )p+1 tổ sỷ (X, d) ổ tr ợ c = sup Lip(fi) < A t t iI (Ai)iI = fi(AiI tổ A = fi(A) t S = (X, (fi )iI ) (Ai)iI tổ ự sỷ ữủ (Ai)iI ổ tổ õ tỗ t J J I J J = I, J, J = AJ AJ = AJ AJ = .() (Ai )iI tổ t õ AJ AJ = iI õ tỗ t x AJ AJ ữ AJ AJ = Ai = A(S) = iI Aj = AJ AJ fj (A(S)) = jI jI x AJ AJ tự x AJ x AJ t AJ AJ = AJ AJ = t ợ ự tọ (Ai ) tổ ỵ sỷ (X, d) ổ tr S = (X, (fi )iI ) ợ c = sup Lip(fi) < A t t iI õ A t tổ t (Ai)iI tổ ợ Ai = fi (A), i I; A tổ A = fi (A) t (Ai)iI tổ iI (Ai)iI tổ t A ổ t ữủ t t tổ ự A = Aw ợ w p p N t rộ sỷ ữủ (Ai )iI ổ tổ õ tỗ t J, J I s J J = I, J = , J = AJ AJ = Ai = , AJ AJ = A = Ai = AJ AJ iI t A ổ tổ r ợ tt t õ ự ứ t õ ự sỷ ữủ r A ổ t ữủ tỗ t t B, C s A = B C h(B, C) > A õ B, C õ = h(B, C) m số tỹ s C m d(A) < m = [logc d(A) ] t (A )m = (f (A))m t õ (d(A )) < cm d(A) < ợ ộ m ó r ổ t A B = A C = ợ ởt m õ ữ > d(A ) h(B, C) = ổ A A = B C h(B, C) = B, C õ B C = A B A C t J = { m : A B} J = { m : A C} t J J = m J = , J = AJ B AJ C A = AJ AJ = B C t s r AJ = B AJ = C õ (A )m ổ tổ r ợ ỵ t õ ự q (X, d) ổ tr S = ợ c = sup Lip(fi) < sỷ t t A q iI t t õ s tữỡ ữỡ (Ai)iI tổ ợ Ai = fi(A), i I; A tổ (X, (fi )iI ) ự ỵ õ t õ sỷ õ õ t ỵ t A ổ t ữủ tt A t t s r A tổ õ t s r õ ỹ t (Ai ) tổ t õ tổ t õ q s q (X, d) ổ tr S = (X, (fi )iI ) ợ c = sup Lip(fi) < sỷ A t t iI t t tọ A = fi (A) õ iI s tữỡ ữỡ (Ai)iI tổ ợ Ai = fi(A), i I; (Ai)iI tổ ợ Ai = fi(A), i I; A tổ ự ợ tt tr tứ q t õ tữỡ ữỡ ợ fi (A) t ỵ t õ õ tt A = (Ai ) tổ tự õ iI õ t õ t t ứ tr q ữủ ự q (X, d) ổ tr õ t t A A t (Ai)iI = (fi(A))iI tổ t A tổ S = (X, (fi )iI ) ự (Ai)iI tổ tổ q t A tổ t õ ự tổ ữớ ỵ A t t t A tổ ữớ (Ai )iI tổ A ữủ s t A tổ ữớ s ữủ tr ỵ s ỵ (X, d) ổ tr S = ợ c = sup Lip(fi) < A t t iI (Ai)iI = (fi(A))iI tổ A = fi(A) t A (X, (fi )iI ) tổ ữớ iI ự t t s N = {f : AìAì[0, 1] A : f (x, y, 0) = x, f (x, y, 1) = y ợ ộ (x, y) AìA} r N t ởt tr ữ s ợ f, g N t dN (f, g) = d(f (x, y, t), g(x, y, t)) sup (x,y,t)AìAì[0,1] ự dN ởt tr tr N t t tr t tr ứ dN t õ dN (f, g) ợ f, g N dN (f, g) = d(f (x, y, t), g(x, y, t)) = f (x, y, t) = g(x, y, t) ợ (x, y, t) A ì A ì [0, 1] õ f = g ó r dN (f, g) = dN (g, t) dN (f, g) = sup d(f (x, y, t), g(x, y, t)) (x,y,t)AìAì[0,1] sup d(f (x, y, t), h(x, y, t)) + (x,y,t)AìAì[0,1] sup d(h(x, y, t), g(x, y, t)) (x,y,t)AìAì[0,1] = dN (f, h) + dN (h, g), ợ h, f, g N A t ổ (N, dN ) ổ tr õ tỗ t n(x,y) I, {ikx,y }k=0,n(x,y) I {pkx,y }k=0,n(x,y) A n(x,y) , y Aix,y n(x, y) N , i0x,y , ix,y s x Aix,y n(x,y) n(x,y) , Px,y = x, Px,y =y k k+1 Px,y , Px,y Akix,y ợ ộ k {0, , n(x, y) 1} ố k k k k+1 qx,y fi1 (Px,y )rx,y fi1 k (Px,y ) ợ ộ k {0, , n(x, y) 1} x,y x,y ợ f N t Tf ữ s Tf :A ì A ì [0, 1] A k k (x, y, t) Tf (x, y, t) = fikx,y f (qx,y , rx,y , n(x, y)t k) , ợ ộ t õ k {0, , n(x, y) 1} k k+1 n(x,y); n(x,y) k k+1 k k+1 fikx,y [f (qx,y , rx,y , 1)] = fikx,y (rx,y ) = Px,y k+1 k+1 k k+1 fik+1 [f (qx,y , rx,y , 0)] = fikx,y (qx,y ) = Px,y x,y T m = T T T ủ m T (f ) = lim [ sup x,y(t,t+) d(f (x), f (y))] f ợ t [0, 1] t fx,y (t) = f (x, y, t) (Tf ) = (Tfx,y ) sup (x,y,t)AìAì[0,1] ữ ợ ộ f, h N (x, y, t) A ì A ì [0, 1] t õ k k d(Tf (x, y, t), Th (x, y, t)) = d[fikx,y (f (qx,y , rx,y , n(x, y)t k)), k k fikx,y (h(qx,y , rx,y , n(x, y)t k))] k k k k Lip(fikx,y )d(qx,y , rx,y , n(x, y)t k), h(qx,y , rx,y , n(x, y)t k) k k k k c.d((qx,y , rx,y , n(x, y)t k), h(qx,y , rx,y , n(x, y)t k)) c sup d(f (x, y, t), h(x, y, t)) (x,y,t)AìAì[0,1] = c.dN (f, h) õ sup Tf (x, y, t), Th (x, y, t)) c.dN (f, h) dN (Tf , Th ) c.dN (f, h) (x,y,t)AìAì[0,1] Tf (N, dN ) õ t ỵ ổ m tỗ t t N s T = Tfm ợ ộ f N ự x,y tử tr [0, 1] õ (Tf ) q sup Lip(fikx,y ).t fx,y (x,y,t)AìAì[0,1] t õ (Tfm ) cm (t) c(f ) m õ () = tử t t x,y tử ố x ợ y t t A tổ ữớ t t R ợ tr A =({0} ì [0, 1]) ([0, 1] ì {1}) ({1} ì [0, 1]) 1 1 k [ 2k+1 , 2k ] ì {0} k { 2k } ì [0, ] 2 2 1 k [ 2k+1 , 2k ] ì { } 2 t fn : A A ợ ộ n N ữủ y f0 (x, y) = (0; ); y+1 ); f1 (x, y) = (0; x f2 (x, y) = ( ; 1); x+1 ; 1); f3 (x, y) = ( y+1 f4 (x, y) = (1; ); y f5 (x, y) = (1; ); ợ n t õ 1 ( 22k2 ; 12 ), ( 22k3 ; 11 ) , 1 ( 22k2 ; 0), ( 2k2 ; 2) , fn (A) = 1 ( 2k2 ; 0), ( 22k3 ; 0) , 21 ( 22k1 ; 0), ( 22k1 ; 12 ) , r r (fn )n n = 4k + 3, k n = 4k + 2, k n = 4k + 2, k n = 4k + 3, k 1 tr A ỡ ỳ A t t S = (A, (fn )n ) A = fn (A) ó r An = fn (A) n t tổ õ tr õ tt ỵ t õ A t tổ ữớ t t õ 1 f0 (A) = (0, 0), (0, ) ; f1 (A) = (0, ), (0, 1) ; f2 (A) = (0, 1), ( , 1) ; 2 1 f3 (A) = ( , 1), (1, 1) ; f4 (A) = (1, ), (1, 1) ; f5 (A) = (1, ), (1, 1) 2 r R2 A = Q Mn tr õ Q n ổ t t tứ {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} Mn = { 21n ì [0, 1]} ợ n N t y y+1 f0 (x, y) = (0, ), g0 (x, y) = (0, ) 2 y+1 y ) f1 (x, y) = (1, ), g1 (x, y) = (1, 2 x x+1 f2 (x, y) = ( , 0), g2 (x, y) = ( , 0) 2 x x+1 f3 (x, y) = ( , 1), g3 (x, y) = ( ; 1) 2 y y+1 fn (x, y) = ( n3 , ), gn (x, y) = ( n3 , ), ợ n 2 2 t S = (A, {fn , gn }n ) t ự ữủ S tr A fn (A) gn (A) (An )n N tổ ợ A2n = fn (A) A= nN A2n+1 = gn (A) ợ ộ n N ỵ t A t tổ ữớ t t ữủ t q s r tự q tt ổ ự tt sỹ tỗ t t t q ổ tr ổ tr ự ởt số t q tr tr ữỡ ữỡ t ữ ự ự ỏ tt ỵ ỵ ỵ q ỵ r ởt số ởt số rt õ ởt số t t tổổ ữ tổ tổ ữớ tr rrts ttrtrs trt t sst t s stt r t rs trt t st tt s t ts rts s srt t st t r t tss t ttrtrs t trt t ssts tr t s t tr ttrtrs trt t s t r rt rst r t tt ttrtr trt t sst t r trts ssr st t r tt t ttrtr t trt t ssts t Prs rs s st rts rr Prss Prs trt t ssts t s tr tss t ttrtrs trt t ssts rst r rt r trts rt r tr rs t ttrtrs t trt t sst t s tr t tss rrts ttrtr trt t sst r rt rst rst