Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Trịnh Văn Tuyển Phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2015 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Trịnh Văn Tuyển Phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Quốc Thơ Nghệ An - 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số Lie 1.2 Nhóm Lie 1.3 Liên hệ nhóm Lie đại số Lie 11 Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp 14 2.1 Các khái niệm phép thu gọn đại số Lie 14 2.2 Các loại phép thu gọn 16 2.3 Các tiêu chuẩn cần cho phép thu gọn 19 2.4 Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp 23 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31  Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết tảng phép thu gọn liên tục đại số Lie có số chiều hữu hạn xây dựng phát triển vào năm cuối kỷ XX Đặc biệt có số chuẩn cần thiết phép thu gọn chọn lọc số chuẩn đưa Các đại lượng bất biến nửa bất biến cần thiết tính cho lớp rộng đại số Lie bao gồm đại số Lie có số chiều thấp Trên sở hai nhà toán học Maryana Nesterenko Roman Pôpvich giới thiệu thuật toán để tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Thuật toán dựa việc liệt kê hoàn toàn đại số Lie có số chiều cố định không đẳng cấu hệ thống chuẩn phép thu gọn đưa Việc xây dựng hệ thống chuẩn phép thu gọn làm cho việc ứng dụng thuật toán cách hiệu tính toán túy đại số Phương pháp đòi hỏi phải có lựa chọn sở thích hợp đại số Lie điều mang lại tính toán đơn giản Đầu tiên, Segal đưa khái niệm phép thu gọn dựa vào trình lấy giới hạn đại số Lie Đó ví dụ cho liên kết học tương đối học cổ điển thông qua nhóm đối xứng Pointcase Galilê Ông người xây dựng định nghĩa phép thu gọn theo thuật ngữ giới hạn Sau Segal, khái niệm phép thu gọn thông qua nhóm đối xứng xây dựng Inonu - Wigner gọi phép thu gọn Inonu - Wigner Sau đó, Saletan nghiên cứu lớp ghép thu gọn tham số tổng quát phần tử ma trận tương ứng với ma trận thứ tự ban đầu tham số thu gọn Ông đưa định nghĩa tổng quát phép thu gọn dựa trình lấy giới hạn móc Lie cho phép ta tránh phiền phức tồn trong định nghĩa Segal Phép thu gọn trường hợp ba chiều xét Inonu - Wigner, có số trường hợp bị bỏ qua sau Conatser mô tả triệt để Sử dụng việc phân loại đại số Lie có số chiều thấp, Huddleston xây dựng phép thu gọn đại số Lie bốn chiều Lauret giải toán theo thuật ngữ bao đóng quỹ đạo Tính phức tạp việc mô tả bao quỹ đạo đại số số chiều không gian vectơ tăng lên theo hàm mũ Do đó, cách làm đơn giản người ta xét lớp đóng đại số Lie (chẳng hạn đại số lũy linh) thay cho lớp đại số Lie với số chiều cố định Sự suy biến đại số Lie lũy linh nghiên cứu nhiều tài liệu với hạn chế số chiều 5,6,7 Tóm lại, việc nghiên cứu phép thu gọn đại số Lie thực hay phức vấn đề nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên việc tính phép thu gọn trường hợp đại số Lie có số chiều lớn vấn đề khó vấn đề mở, thu hút quan tâm nhà toán học Tất vấn đề nêu lý để chọn đề tài: Phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Nội dung nghiên cứu luận văn Dùng thuật toán nhà toán học Maryana Nesternko Roman Popovych đưa báo "Contractions tạp chí Math Inst Uni Heidelberg, of Low Dimenssional Lie Algebras 75 " đăng , - 24, năm 2012 để đọc hiểu trình bày lại cách có hệ thống cách tính phép thu gọn đại số Lie có số chiều 3, Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo Danh mục công trình liên quan đến luận văn, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương nhắc lại khái niệm nhóm Lie, đại số Lie đại số Lie có số chiều thấp Phần lại trình bày kiến thức cần thiết cần thiết liên quan đến việc tính toán phép thu gọn ! Chương 2: Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp Nội dung chương trình bày thuật toán để tính toán rõ phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Các kết đạt luận văn dựa tính toán túy đại số có trợ giúp máy tính Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích rõ ràng dùng lần đầu Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy Trong trình hoàn thành luận án, tác giả nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Ngô Sĩ Tùng TS Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cá nhân Thầy Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô) giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Thầy (Cô) giáo Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học Mặc dù có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 19 tháng năm 2015 Tác giả " Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày lại cách có hệ thống khái niệm tính chất đại số Lie nhóm Lie Bên cạnh dẫn bất biến bán bất biến đại số Lie có số chiều ba, bốn Các kết phát biểu dạng Định nghĩa, Định lý, Hệ quả, 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa gian véctơ g Cho K trường gọi đại số Lie g không gian véctơ K hay K đại số Lie cho phép nhân gọi tích Lie: [., ] :g ì g g (x, y) [x, y] cho tiên đề sau thỏa mãn: (L1 ) Móc Lie toán tử song tuyến tính, tức là: [x + ày, z] = [x, z] + à[y, z], [x, y + àz] = [x, y] + à[x, z]; x, y, z g, , K (L2) Móc Lie phản xứng, tức là: [x, x] = 0, x g # K Không g (L3) Móc Lie thỏa mãn đẳng thức Jacôbi, tức là: [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, x, y, z g Chú ý: Nếu K trường có đặc số khác (L2) tương đương với (L2 ) : [x, y] = [y, x], x, y g [x, y] = 0, x, y g người ta nói móc Lie tầm tường đại số Lie giao Nếu hoán Số chiều đại số Lie số chiều không gian véctơ không gian hữu hạn chiều trường g Cho g K Giả sử số chiều g n Cấu trúc đại số g cho móc Lie cặp véc tơ thuộc sở {e1 , e2 , ã ã ã , en } Lie chọn trước g sau: [ei , ej ] := n ckij ek , i < j n, cij K k=1 hệ số cij gọi số cấu trúc đại số Lie Khi K trường số thực g R g gọi đại số Lie thực Nội dung luận văn đề cập nghiên cứu đại số Lie thực, nên không sợ nhầm lẫn ta dùng thuật ngữ đại số Lie để đại số Lie thực 1.1.2 Ví dụ Ví dụ nghĩa Cho A đại số (kết hợp) trường K Với cặp (x, y) A, ta định [x, y] = xy yx, A trở thành đại số Lie M at(n, K) ma trân vuông cấp n phần tử K Nói riêng ta có đại số môt đại số Lie với móc Lie [A, B] = AB BA, A, B M at(n, K) Ví dụ Khi Xét đại số toán tử tuyến tính End(V ) K không gian véctơ End(V ) trở thành đại số Lie, với móc Lie xác định sau: [f, g] = gf f g, f, g End(V ) $ V Cho Ví dụ A đại số trường K Toán tử tuyến tính : A A gọi toán tử vi phân A nếu: (x.y) = (x)y x(y) Ký hiệu Der(A) tập hợp tất toán tử vi phân thành đại số K A Khi Der(A) trở với phép nhân phép hợp thành ánh xạ trở thành đại số Lie K Der(A) với móc Lie định nghĩa là: [1 , ] = 1.1.3 Đồng cấu đẳng cấu đại số Lie Cho xạ f g1 g2 hai K đại số Lie f : g1 g2 ánh xạ Khi ánh đồng cấu đại số Lie nếu: (i) (ii) f Nếu trường ánh xạ f bảo tồn móc Lie, tức là: f K Ktuyến tính song ánh gọi đẳng cấu đại số Lie Các đại số Lie lập thành phạm trù với cấu xạ đồng cấu đại số Lie Mỗi đồng cấu đại số Lie f f ([x, y]) = [f (x), f (y)], x, y g1 f : g1 End(V ) gọi biểu diễn tuyến tính g1 không gian véctơ V, ký hiệu (f, V ) Nếu dim(V ) = n < , ta cố định sở V ta có f : g1 End(V ) M at(n, K) Để đơn giản người ta dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính" Khi f đơn ánh f gọi biểu diễn khớp 1.1.4.Biểu diễn quy đại số Lie Cho g đại số Lie Der(g) = {f : g g|f toán tử vi phân Lie Đồng cấu đại số Lie ad :g Der(g) End(g) x adx adx :g g y adx (y) = [x, y] % } đại số biểu diễn tuyến tính gian véctơ g) Biểu diễn gọi biểu diễn quy biểu diễn Ví dụ ad g g (adx toán tử tuyến tính không g Hạt nhân Ker(ad) = {x g|adx 0} tâm g Xét đại số Lie g = R3 , với móc Lie tích có hướng thông thường Khi đó, v = (a, b, c) g = R3 ta có biểu diễn quy g cho ma trận sau: c b adv = c a b a Dễ dàng thấy rằng, tâm Nói cách khác, đại số Lie g tầm thường, biểu diễn ad khớp g = R3 với móc Lie tích vô hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie ma trận phần tử thực, phản xứng cấp 1.1.5 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh Cho đại số Lie g gọi đại số g M không gian [M, M ] M M g Không gian iđêan g M [g, M ] M Trong ta ký hiệu [M, M ] = {[x, y]|x, y M }, [g, M ] = {[x, y]|x g, y M } Khi M iđêan g không gian thương g/M trở thành đại số Lie với móc Lie định nghĩa sau: g/M ì g/M g/M (g1 + M, g2 + M ) [g1 + M, g2 + M ] := [g1 , g2 ] + M Cho g K đại số Lie Đặt g1 := [g, g], g2 := [g1 , g1 ], , gn := [gn1 , gn1 ] (n 2) g1 := [g, g] = g1 , g2 := [g1 , g], , gn := [gn1 , g] (n 2) Mệnh đề (i) gk Với ký hiệu trên, ta có: gk iđêan g Riêng gk g với k = 1, 2, 3, & gọi iđêan dẫn xuất thứ k biến đổi thành ma trận chéo đặc biệt W U W = diag(1 + , , + , , , ) := D nhờ ma trận W , W số quy Giả thiết khám phá kiểm tra Inonu - Wigner [6] Không tính tổng quát, ta đặt ma trận D xác định phép thu gọn định móc Lie g đến g0 [x, y] = W [W xW y] ràng chúng đẳng cấu với g g0 Trong g, g0 v = 0, đại số Lie xác [x, y]0 = W [W xW y] Do ta giả sử U = D rõ nghĩa U = diag(1, , 1, , , ) Gọi s số phần tử đường chéo Khi số chiều khối n s Ta chia sở {e1 , e2 , , en } thành hai tập {e1 , e2 , , es } {es+1 , e2 , , en } tương ứng theo giá trị phần tử chéo Vì [ei1 , ej1 ] = cki11j1 ek1 + cki12j1 ek2 + O() cki11j1 ek1 + cki12j1 ek2 , +0 số i1 , j1 k1 chạy từ tới ; số i2 , j2 k2 chạy từ cki12j1 ek2 = Do sở {e1 , e2 , , es } sinh đại số s + tới n nên đại số ban đầu g Đây điều kiện để phép thu gọn tồn Tất số cấu trúc đại số thu gọn tính dễ dàng cki11j1 = cki11j1 , cki12j1 = cki12j1 = 0, cki11j2 = 0, cki12j2 = cki12j1 , cki21j2 = cki22j2 = Dựa vào tính chất phép IW - thu gọn [6], ta có đại số đại số g dùng để có phép IW - thu gọn Các đại số không chuẩn tương ứng với phép thu gọn không chuẩn ( ( = g) phép thu gọn tầm thường = {0}) Việc lựa chọn phần bù sở với sở tương đương g thay đại số ta đại số thu gọn đẳng cấu với Đại số thu gọn có cấu trúc tổng nửa trực tiếp a, a ideal giao hoán sinh phần bù sở chọn sở thương g0 /a Ngược lại, đại số g0 Đại số đẳng cấu với đại số IW - thu gọn đại số tồn ideal giao hoán a g0 % cho g với đại số g0 /a đẳng cấu với Mọi phép IW - thu gọn thỏa mãn hai giả thiết: 1) Ma trận thu gọn tuyến tính tham số thu gọn; 2) Tồn ma trận quy W,W làm chéo hóa ma trận thu gọn Các phép IW - thu gọn không vét hết tất phép thu gọn trường hợp ba chiều, ví dụ đại số so(3), phép thu gọn IW so(3) đến A03,5 phép thu gọn không tầm thường chuẩn Trong tồn phép thu gọn chuẩn từ so(3) đến đại số Heisenberg = A3,1 phép IW - thu gọn 2.2.2 Phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát Khi thay điều kiện tuyến tính tham số thu gọn phép IW - thu gọn điều kiện phần tử ma trận thu gọn chéo hóa lũy thừa nguyên tham số thu gọn ta nhận phép IW - thu gọn tổng quát Như vậy, ma trận thu gọn phép IW - thu gọn tổng quát có dạng với W,W U = W diag(1 , , , n )W , ma trận không suy biến , , , n R Tương tự IW - thu gọn đơn, dựa vào khả thay đại số Lie đại số Lie đẳng cấu, ta giả sử W = W = E, tức U = diag(1 , , , n ) Khi đó, số cấu trúc đại số g0 tính công thức ckij = lim i +j k ckij +0 Điều kiện i + j k ; i, j, k = 1, 2, , n ckij = cần thiết đủ cho tồn phép IW - thu gọn tổng quát với ma trận thu gọn U ckij = ckij i + j = k ; ckij = ngược lại Rõ ràng phép IW - thu gọn tạo thành lớp phép IW - thu gọn tổng quát với i {0, 1} Câu hỏi đặt có phải phép IW - thu gọn tổng quát khai triển thành dãy liên tiếp phép IW - thu gọn hay không? Phép IW - thu gọn tổng quát không tầm thường đại số Lie - chiều cho hai phép IW - thu gọn liên tiếp so(3) A03,5 A3,1 Inonu [5] Sharp & [6] khẳng định khai triển không luôn có Một kết [7] chứng tỏ tính khai triển phép IW - thu gọn tổng quát dẫn đến việc phải thêm vào điều kiện bắt buộc số cấu trúc đại số ban đầu Ta xây dựng số phép IW - thu gọn tổng quát đại số Lie bốn chiều, không khai triển thành dãy phép IW - thu gọn đơn Chẳng hạn, đại số A44 có hoán tử khác không [e1 , e4 ] = e1 , [e2 , e4 ] = e1 + e2 , [e3 , e4 ] = e2 + e3 thu gọn đại số quát với ma trận chéo A41 ([e2 , e4 ] = e1 , [e3 , e4 ] = e2 ) phép IW - thu gọn tổng diag(2 , , 1, ) Rõ ràng phép thu gọn minh họa cho phát biểu thu gọn trực tiếp, nghĩa đại số gọn A44 g g A41 g cho phép thu chuẩn Một ý, lũy thừa , , , n ma trận U () âm giới hạn U () +0 không tồn Các kết phần sau luận văn tìm phép thu gọn đại số Lie ba chiều bốn chiều tương đương yếu phép thu gọn ma giới hạn ma trận thu gọn tồn 2.3 Các tiêu chuẩn cần cho phép thu gọn Để việc nghiên cứu phép thu gọn đại số Lie thuận lợi, người ta thường sử dụng tiêu chuẩn cần dựa bất biến bán bất biến Các bất biến đại lượng (số) bảo toàn qua phép thu gọn Bán bất biến có nghĩa có bất đẳng thức đại lượng tính đại số ban đầu đại số thu gọn Vì phép thu gọn trình lấy giới hạn nên thuật ngữ bất biến bán bất biến thay tính liên tục bán liên tục Để thuận lợi cho việc nghiên cứu, tập hợp mối liên hệ đại lượng bất biến bán bất biến thành tiêu chuẩn cần cho phép thu gọn Kết thể Định lý Trong suốt luận văn này, dùng ký hiệu sau: Đại số vi phân Derg, quỹ đạo O(g) tác động nhóm GL(V ) đa tạp Ln đại số Lie n chiều, tâm Z(g), R(g), lũy linh N (g), chiều cực đại nA (g) đại số giao hoán, chiều cực đại nAi (g) iđêan giao hoán, dạng Killing ' , hạng rg (tức số chiều đại số Cartan), biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp biểu diễn phụ hợp adg ad g, adx phần tử x g hạng biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp tính toán sở cố định công thức rank(adg) = max(rank(ckij xj )) rank(ad g) = max (rank(ckij uk )) xV uV Ta nhắc lại định nghĩa ba dãy ideal đặc trưng g sau: Dãy tâm g0 g1 .gl Dãy đạo hàm g(0) g(1) .g(l) Dãy tâm g(0) g(1) .g(l) g0 = g, gl = [g, gl1 ], g(0) = g, g(l) = [g(l1) , g(l) ], g(0) = {0}, g(l) /g(l1) tâm g/g(l1) , l Z Đặc biệt g1 = g(1) = [g, g], g(1) = Z(g) Nếu g đại số Lie giải (lũy linh), ta ký hiệu rs số Lie = rs (g), (rn = rn (g)) hạng đại g giải (lũy linh), nghĩa số nhỏ l cho g(1) = {0}(g1 {0}) Giả sử tr(adpu ) = 0, tr(adqv ) = 0, tr(adpu adpv ) = 0, p, q Z; u, v g giá trị tr(adpu )tr(adqv ) , p, q Z tr(adpu adqv ) không phụ thuộc vào u, v Ký hiệu hạng phần tử dương (âm) dạng Killing g , nghĩa số phần tử đường chéo dương (âm) dạng chéo ma trận g , rank+ g (rank g ) Theo luật quán tính dạng toàn phương, rank g biến đổi sở rank+ g bất biến qua phép g Với Z, ta đưa dạng Killing bổ sung g = tr(adu adv ) + tr(adu adv ) dạng tương ứng rank+ g rank g Cho Ap phức có cấp tồn giới hạn phần dãy ma trận thực Ap , p , ký hiệu A0 Khi rank(Ap ) = r rank(A0 ) r 2.3.1 Định lý đại số Lie (xem [7]) Nếu đại số Lie g0 thu gọn (liên tục dãy) chuẩn g hệ thức sau dim Derg0 > dim Derg dim O(g0 ) < dim O(g);  nA (g0 ) nA (g); dim Z(g0 ) dim Z(g) dim(g(0(l)) dim(g(l) ), l Z; dim(g0l ) dim(g(l) ), l Z; dim(g0l ) dim(gl ), l Z; dim R(g0 ) dim R(g); dim N (g0 ) dim N (g); dim nAi (g0 ) dim nAi (g); r g0 r g ; 10 rank(adg0 ) rank(adg) rank(ad g0 ) rank(ad g); 11 rankg0 rankg ; 12 g0 unimodular u g, với u g0 13 14 Nếu Nếu ta có g unimodular, nghĩa tr(adu ) = với tr(adu ) = 0; g đại số Lie giải g0 g đại số Lie lũy linh g0 giải giải rs (g0 ) rs (g); rs (g0 ) rs (g) 2.3.2 Nhận xét Các tiêu chuẩn xây dựng theo thuật ngữ tập đóng đa tạp Ln đại số Lie n chiều Vì tập đại số Lie lũy linh, giải unimodular đóng Các tập {g Ên | dim gl r}, {g Ên | dim g(l) r} {g Ên | dim g(l) r} đóng với l r = 0, 1, , n Tập (hoặc chí tập con) tiêu chuẩn đưa Định lý đủ đại số Lie ba chiều bốn chiều theo nghĩa sau: chúng phân biệt tất cặp đại số Lie mà không chấp nhận phép thu gọn từ đại số đến đại số Câu hỏi tính đầy đủ tiêu chuẩn nêu áp dụng cho đại số Lie có số chiều cao câu hỏi mở Tập tiêu chuẩn nêu không tối tiểu Vài tiêu chuẩn kéo theo từ tiêu chuẩn khác Chẳng hạn tiêu chuẩn 4, kéo theo tiêu chuẩn 13, 14 Tính hiệu tiêu chuẩn khác Hai tiêu chuẩn 12 mạnh chúng dùng để loại trừ khả thu gọn hầu hết cặp đại số Lie có số chiều thấp  Có hai lớp đại số Lie đơn bao trùm đại số Lie có số chiều thấp Lớp thứ tạo đại số Lie hầu giao hoán có ideal đối chiều Lớp thứ hai gồm đại số Lie có ideal WH + A có đối chiều một, đẳng cấu với tổng trực tiếp đại số Weyl - Heisenberg = A3,1 đại số giao hoán đối chiều bốn Các đặc trưng đại số tìm thấy theo cách tương tự Các đại số chiều thấp lại nghiên cứu cách tách biệt n chiều thực phức mà có iđêan giao hoán n chiều Xét đại số Lie (đối chiều 1) Nó đại số giải Giả sử {e1 , e2 , , en1 } sở ideal, bổ sung thêm en ta sở đại số Khi móc Lie [., ] hoàn toàn xác định hoán tử khác không [ej , en ] = n1 ajk ek , j = 1, 2, n k=1 Ma trận vuông A = [ajk ] cấp n xác định hoàn toàn đại số xét Do ta ký hiệu đại số aA nghĩa aA := Ai (n 1)Ai Đại số aA aA cấu với ma trận A A đẳng khác số nhân Đẳng cấu thiết lập việc thay đổi sở ideal giao hoán tỉ lệ phần tử bổ sung sở Chính xác đến đẳng cấu đại số ma trận A giả định quy dạng chuẩn tắc ma trận Jordan giá trị riêng chuẩn hóa với số bội không triệt tiêu Cho đại số g bất kỳ, ckij số cấu trúc g sở cố định {e1 , e2 , , en } Khi ma trận adu (adu )ik = ckij ui Vì ma trận biểu diễn phụ hợp aA , ckij = n1 viết gọn [ i j cho công thức n, nên ta dễ dàng tính sau: adu adu = adu , u g ai1 a11 an1 un ui i n1 i a a n1 an1 n1 i=1 0 0 adu dạng: ] u A Au , u = (u1 , u2 , , un1 )T adu = n 0 = (0, 0, , 0) Vết ma trận không bị tác động phép biến đổi đồng dạng ma trận Nếu , , , n nghiệm đa thức đặc trưng A () ma trận A trường số thực R tr(Ap ) = + + + n1 , p N Đa thức đặc trưng adu () p adu hạng Ví dụ p p un A (), nghĩa với u aA aA cho trùng với nghiệm không đa thức Xét sở tắc un = quy A () so(3), tác động phụ hợp phần tử u so(3) có dạng adu v = u ì v với u, cột tọa độ u, v R3 ; ký hiệu tích vô hướng tích vectơ (hay tích có hướng) ì R3 Bằng quy nạp ta có: p ad2p v = (|u|2 )p u ì v, ad2p ((u.v)u |u|2 v) u u v = (|u| ) nghĩa 2.4 p tr(ad2p ) = 0, tr(ad2p u u ) = (|u| ) Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp 2.4.1 Thuật toán thu gọn 2.4.1.1 Thuật toán thu gọn Thuật toán đưa cho phép tính phép thu gọn tham số liên tục đại số Lie có số chiều thấp Thuật toán bao gồm bước sau: Liệt kê đại số Lie không đẳng cấu với số chiều cố định Đối với đại số Lie, ta tính bất biến bán bất biến liên quan đến tiêu chuẩn phép rút gọn Đối với cặp đại số từ liệt kê, kiểm tra tồn phép thu gọn dựa vào tiêu chuẩn cân bằng, cách so sánh bất biến bán bất biến tính Chúng ta không nghiên cứu cặp đại số Lie với với đại số giao hoán Xét đại số từ cặp đại số mà thỏa mãn tất tiêu chuẩn phép thu gọn Dựa vào định nghĩa tính toán trực tiếp, xây dựng ma trận thu gọn cách tường minh không tồn phép thu gọn ! Các bất biến bán bất biến cần thiết đại số Lie ba chiều bốn chiều trình bày tài liệu liên quan, luận văn tác giả trình bày lại cách có hệ thống Chương Hầu hết các phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp đại số thu gọn Inonu - Wigner đơn Phép thu gọn Inonu - Wigner đơn tương ứng với đại số đại số ban đầu dễ dàng tìm Phân loại đại số đại số Lie 3, chiều biết từ lâu (xem [5]) Tất phép thu gọn Inonu - Wigner đơn đại số Lie xây dựng (xem [5], [6]) Trong phần đưa biểu diễn ma trận thu gọn tương ứng Còn cặp có phép thu gọn Inonu - Wigner không đơn, ta xét có phải phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát hay không Bài toán tìm ma trận thu gọn chia thành hai bước: Xây dựng phép biến đổi với sở tắc đại số ban đầu đại số thu gọn mà không phụ thuộc vào tham số thu gọn Hằng số cấu trúc đại số thu gọn trùng với số cấu trúc đại số ban đầu Tìm ma trận chéo phụ thuộc vào tham số thu gọn Cụ thể, phần tử ma trận chéo lũy thừa nguyên thích hợp tham số thu gọn Nói chung, thường tránh đổi sở đại số thu gọn trường hợp 3, chiều, móc Lie chúng viết dạng đơn giản Do đó, ma trận thu gọn xem tích hai ma trận với I ma trận không suy biến U = IW (k1 , k2 , , kn ) W (k1 , k2 , , kn ) = diag(k1 , k2 , , kn ) với k1 , k2 , , kn Z 2.4.1.2 Ví dụ Ví dụ Xét dãy đại số Lie ba chiều Aa34 với a tham số thực thỏa mãn điều kiện a < 1, a = Đối với giá trị Ta thấy a cố định, kiểm tra tất khả thu gọn đại số Aa34 Aa34 đại số Lie giải được, không khai triển (tức bất khả phân), với hoán tử tắc khác không " [e1 , e3 ] = e1 , [e2 , e3 ] = ae2 Các đặc trưng Aa34 xác định sau: nD = 4, nZ = 0, nA = 2, k = (1 + a2 )x3 y3 , tr(ade3 ) = (1 + a)v3 , rS = 2, DS = [0, 2], CS = [2] Xét cặp đại số ba chiều với đại số ban đầu liệt kê, trừ Aa34 đại số sau đại số 3A1 , Aa34 Theo Định lý 2.2 [7], ta có khẳng định sau: Thu gọn đại số xét đến A21 A1 ; A32 ; Aa34 , với a = a; Ab34 , với b 0; sl(2, R); so(3) tiêu chuẩn không thỏa mãn: nD (A32 ) = nD (A21 A1 ) = nD (Aa34 ) = nD (Ab35 ) = = nD (Aa34 ), nD (sl(2, R)) = nD (so(3)) < = nD (Aa34 ) mâu thuẫn, dim(Derg0 ) > dim(Derg) Thu gọn đại số xét A33 Định lý 2.3.1, pq (A33 ) không không thỏa mãn tiêu chuẩn 13 ap + aq = = + = pq (A34 ) p+q 1+a Thu gọn đại số A31 tiêu chuẩn thỏa mãn Thật vậy, ta kiểm tra cặp (Aa34 , A31 ) Các hoán tử tắc khác không sở tắc A31 [e2 , e3 ] = e1 Vì Aa34 , số cấu trúc e123 = nên ta tiến hành đổi sở e1 = (1 a)e1 , e2 = e1 + e2 , e3 = e3 Các hoán tử đẳng cấu có dạng [e1 , e2 ] = [(1 a)e1 , e1 + e2 ] = (1 a)[e1 , e2 ] = 0, [e1 , e3 ] = [(1 a)e1 , e3 ] = (1 a)[e1 , e3 ] = (1 a)e1 = e1 [e2 , e3 ] = [e1 + e2 , e3 ] = [e1 , e3 ] + [e2 , e3 ] = e1 + ae2 = e1 + ae2 Giả sử móc Lie mới, phép thu gọn cho ma trận chéo diag(k1 , k2 , k3 ) hoán tử chứa tham số là: [e1 , e2 ] = 0, [e1 , e3 ] = k3 e1 , [e2 , e3 ] = k2+k3 k1 e1 + k3 ae2 Cho +0 ta thu A31 Nếu k1 = 1, k2 = 0, k3 = 1, ta có thu gọn tương ứng đại số A31 : điều kiện k1 + k2 + k3 = 0, k3 > : [e1 , e2 ] = [e1 , e3 ] = e1 0, +0 [e2 , e3 ] = e1 + ae1 e1 , +0 # 1a 0 0 Ma trận thu gọn 0 0 Ví dụ Xét dãy đại số Lie bốn chiều sl(2, R) A1 khai triển được, không giải được, có hoán tử tắc khác không [e1 , e2 ] = e1 , [e2 , e3 ] = e3 , [e1 , e3 ] = 2e2 Các đặc trưng đại số nD = 4, nZ = 1, nA = 1, n[g,g] = 3, k = (2x3 y1 x2 y2 + 2x1 y3 ), tr (adv ) = , rg = , DS = [3 ], CS = [3 ] Khi Thu gọn đại số xét đại số A33 A1 , Aa33 A1 với |b| 1, b = Aa49 , A21 2A1 , 2A21 , A32 A1 , |a| < 1, a = 0, 1, Ab35 A1 với với b > 0, A43 , Ab48 , với a > tiêu chuẩn 12 không thỏa mãn Thu gọn đại số xét đại số so(3, R) A1 không được, tiêu chuẩn không thỏa mãn Thu gọn đại số xét đại số abc = 0; Aa,b 46 , với a > 0; A47 Ab42 , với b = 0; A44 ; Aabc 45 , với vàA410 không tiêu chuẩn không thỏa mãn Thu gọn đại số xét đại số A035 A1 ; A148 Ví dụ A049 A31 A1 ; A41 ; A1 34 2A1 ; tất tiêu chuẩn thỏa mãn Xét dãy đại số Lie bốn chiều A44 khai triển được, giải được, có hoán tử tắc là: [e1 , e4 ] = e1 , [e2 , e4 ] = e1 + e2 , [e3 , e4 ] = e2 + e3 Các đặc trưng đại số nD = 6, nZ = 0, nA = 3, nk = 3x4 y4 , tr(adv ) = 3v4 , rg = 1, rs = 2, DS = [3, 0], CS = [3] Khi đó, lập luận tương tự thu gọn đại số xét đại số A31 A1 , A111 45 A142 $ A41 , 2.4.2 Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp Trong phần trình bày lại cách có hệ thống cách xây dựng, xếp phân tích phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp Đối với đại số Lie chiều có đại số giao hoán nên tất phép thu gọn tầm thường không chuẩn Các đại số lie chiều không đẳng cấu cho đại số giao hoán đại số không giao hoán tương đương yếu đại số A21 A21 2A1 có hoán tử tắc 2A1 [e1 , e2 ] = e1 Phép thu gọn không tầm thường không chuẩn, phép thu gọn tầm thường không chuẩn Đối với đại số Lie 3, chiều phép thu gọn đại số Lie mô tả chi tiết phần 2.4.2.1 2.4.2.2 minh họa sơ đồ Các phép thu gọn ba chiều xét Weimar Wood mô tả hoàn toàn với chứng minh Lauret trình bày Phép thu gọn từ trực tiếp không tồn đại số cho g thu gọn g1 g1 g1 cho thu gọn g1 g0 (còn g g0 không đẳng cấu với gọi g, g0 gọi phép thu gọn lặp) Các ma trận thu gọn tương ứng mũi tên Ký hiệu phần tử ma trận chéo ma trận thu gọn phép thu gọn Inonu - Wigner - tổng quát là: W (k1 , k2 , , kn ) = diag(k1 , k2 , , kn ), k1 Z, i = 1, 2, , n; n số chiều không gian véctơ V Trong trường hợp phép thu gọn Inonu - Wigner đơn, ta thêm vào đại số kết hợp 2.4.2.1 Phép thu gọn đại số Lie có số chiều ba Sử dụng Thuật toán 2.4.1, tính toán kiểm tra trực tiếp ta thu bảng liệt kê phép thu gọn liên tục chuẩn không tầm thường đại số Lie ba chiều đây: A21 A1 : I1 W (1,1,0) A31 , < e1 , e2 > I7 W (1,0,1)orW (2,1,1) I6 W (0,1,0)orW (1,2,0) A32 : A31 , < e2 >; A33 , < e1 , e2 + e3 > Aa34 : I2 W (1,0,1) A31 , < e1 + e2 > % W (1,0,1) Ab35 : A31 , < e2 > I3 W (1,0,1) I4 W (1,0,0)orW (1,2,0) sl(2, R) : A31 , < e3 >; A1 34 , < e2 , e3 > W (2,1,1) W (1,1,0) so(3) : A31 ; A035 , < e3 > phần ma trận thu gọn là: 1 1a 0 1 0 , I3 = 0 , I4 = 0 I1 = , I2 = 0 0 1 0 1 0 0 0 , I6 = 1 , I7 = I5 = 0 0 1 Từ kết có dẫn đến kết luận, cặp đại số Lie ba chiều có hai khả sau: 1) Không có phép thu gọn dựa theo tiêu chuẩn cần 2) Tồn phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát Chỉ có phép thu gọn W (2,1,1) so(3) : A31 phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát Tất phép thu gọn lại đại số Lie thực ba chiều tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner đơn, phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát có dạng ma trận chéo, đơn giản Bởi ta có định lý sau Định lý (Xem [7]) Mọi phép thu gọn liên tục đại số Lie thực ba chiều tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát với lũy thừa không âm tham số thu gọn Hơn nữa, có phép thu gọn W (2,1,1) so(3) : A31 không tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner đơn 2.4.2.2 Phép thu gọn đại số Lie có số chiều bốn Tương tự, ta có kết phép thu gọn đại số Lie có số chiều bốn: 1) Tất phép IW - thu gọn tổng quát đại số Lie thực bốn chiều giải ab A32 A1 ; Aa34 A1 ; Ab35 A1 ; Ab42 ( với b = 1); A43 ; A44 ; Aab 45 ( với = a = b = 1); A46 A41 trực tiếp, biểu diễn dạng hợp thành thu gọn đơn & 2) Phát biểu tương tự với đại số Lie không giải sl(2, R) A1 ; so(3) A1 A049 3) Chỉ có ba phép IW - thu gọn tổng quát so(3) A1 A1 A41 , A44 A111 45 so(3) A1 A1 A1 , khai triển thành dãy phép thu gọn đơn Ngoài có bốn phép thu gọn không tương đương với phép thu gọn IW - tổng quát: U U U U A410 A32 A1 , 2A21 A32 A1 , A410 A41 , 2A21 A41 Trong U1 = 0 U3 = 0 0 0 0 0 0 , U2 = 0 1+ 1 0 0 , U4 = 0 ' Kết luận Nội dung luận văn là: Trình bày lại cách có hệ thống kiến thức lý thuyết nhóm Lie, đại số Lie Trình bày lại khái niệm phép thu gọn đại số Lie Các loại thu gọn tiêu chuẩn phép thu gọn Sử dụng kiến thức để tính toán phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp, cụ thể đại số Lie có số chiều ba, bốn ! Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đào Văn Trà (1984), Về lớp đại số Lie số chiều thấp, Tuyển tập báo cáo Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam lần thứ 12 Hà Nội [2] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết biểu diễn nhóm, Bài giảng Sau đại học, Viện toán học Việt Nam [3] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie, Bài giảng Sau đại học, Viện toán học Việt Nam Tiếng Anh [4] C.W Conatser (1972), Contractions of low - dimensional Lie algebras, J.Phys, , 196 - 203 13 [5] E.Inonu and E P Wigner (1953), On the contractions of groups and their representation, Proc Nat Acad Sci USA 39 , 510 - 524 [6] E.Inonu and E P Wigner (1954), On the particular type of convergence to a singular matrix, Proc Nat Acad Sci USA , 119 - 121 40 [7] N Maryana and R Popovych (2012), Contractions of Low Dimenssional Lie Algebras, Math Inst Uni Heidelberg, , - 24 75 [8] P L Huddleston (1978), Inonu - Wigner contractions of the real fourdimensional Lie algebras, J Math Phys , 1645 - 1649 19 [9] R Popovich, V Boyko, M Nesterenko and M Lutfulin (2003), Realizations of real low dimensional Lie algebras, J Math Phys ! 29 , 145 - 181 [...]... cách có hệ thống các kiến thức về lý thuyết nhóm Lie, đại số Lie 2 Trình bày lại các khái niệm về phép thu gọn đại số Lie Các loại thu gọn và tiêu chuẩn của phép thu gọn 3 Sử dụng các kiến thức ở trên để tính toán các phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp, cụ thể các đại số Lie có số chiều bằng ba, bốn ! Tài liệu tham khảo 1 Tiếng Việt [1] Đào Văn Trà (1984), Về một lớp các đại số Lie số chiều thấp, ... đại số Lie thực ba chiều đều tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát với các lũy thừa không âm của tham số thu gọn Hơn nữa, chỉ có phép thu gọn W (2,1,1) so(3) : A31 không tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner đơn 2.4.2.2 Phép thu gọn các đại số Lie có số chiều bằng bốn Tương tự, ta có kết quả về phép thu gọn các đại số Lie có số chiều bằng bốn: 1) Tất cả các phép IW - thu gọn tổng... trừ khả năng thu gọn của hầu hết các cặp đại số Lie có số chiều thấp hơn  Có hai lớp đại số Lie đơn bao trùm hầu như các đại số Lie có số chiều thấp Lớp thứ nhất được tạo bởi các đại số Lie hầu giao hoán có các ideal đối chiều một Lớp thứ hai gồm các đại số Lie có các ideal WH + A có đối chiều một, đẳng cấu với tổng trực tiếp của đại số Weyl - Heisenberg 3 = A3,1 và đại số giao hoán đối chiều bốn Các... bày lại một cách có hệ thống ở trong Chương 1 Hầu hết các các phép thu gọn đại số Lie có số chiều thấp đều là đại số thu gọn Inonu - Wigner đơn Phép thu gọn Inonu - Wigner đơn bất kỳ tương ứng với đại số con của đại số ban đầu và do đó dễ dàng tìm được Phân loại đại số con của đại số Lie 3, 4 chiều đã được biết từ lâu (xem [5]) Tất cả các phép thu gọn Inonu - Wigner đơn của các đại số Lie này đã được... móc Lie được gọi là (cái) thu gọn dãy của đại số Lie {gp = (V, [., ]p )}pV 2.2 Các loại phép thu gọn Các phép thu gọn Inonu - Wigner thể hiện quá trình lấy giới hạn giữa các đại số Lie với ma trận thu gọn thu c các loại đơn giản nhất Hầu hết các phép thu gọn của đại số Lie có số chiều thấp đều tương đương với các phép thu gọn như thế Đối với các phép thu gọn kiểu đó, chúng ta sẽ thảo luận về các tính... tính chất của các phép IW - thu gọn [6], ta có mỗi đại số con đại số g được dùng để có phép IW - thu gọn Các đại số con không chuẩn tương ứng với các phép thu gọn không chuẩn ( ( = g) hoặc các phép thu gọn tầm thường = {0}) Việc lựa chọn phần bù cơ sở với cơ sở của con tương đương của g hoặc thay bởi một đại số thì ta cũng được các đại số thu gọn đẳng cấu với nhau Đại số thu gọn có cấu trúc tổng nửa... )kk ckij ckij =: +0 trong cơ sở là các hằng số cấu trúc của đại số Lie tồn tại g0 Đại số Lie g0 = (V, [., ]0 ) được gọi là (cái) thu gọn liên tục một tham số hoặc đơn giản là (cái) thu gọn của đại số Lie Tham số và hàm ma trận U = U () tương ứng được gọi là tham số thu gọn và ma trận thu gọn gọn g Quá trình biến đổi đại số Lie g về đại số Lie g0 gọi là phép thu g về g0 Hai định nghĩa trên tương đương... ma trận thu gọn tương ứng Còn đối với cặp có các phép thu gọn Inonu - Wigner không đơn, ta xét nó có phải là phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát hay không Bài toán đi tìm ma trận thu gọn có thể chia thành hai bước: 1 Xây dựng phép biến đổi với cơ sở chính tắc của đại số ban đầu và đại số thu gọn mà không phụ thu c vào tham số thu gọn Hằng số cấu trúc mới của đại số thu gọn trùng với hằng số cấu trúc... tại phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát Chỉ có phép thu gọn W (2,1,1) so(3) : A31 là phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát Tất cả các phép thu gọn còn lại của đại số Lie thực ba chiều đều tương đương với phép thu gọn Inonu - Wigner đơn, mặc dù đôi khi phép thu gọn Inonu - Wigner tổng quát có dạng ma trận chéo, đơn giản hơn Bởi vậy ta có định lý sau Định lý (Xem [7]) Mọi phép thu gọn liên tục của đại. .. lại, đại số g0 Đại số con đẳng cấu với đại số là cái IW - thu gọn của đại số nếu và chỉ nếu tồn tại ideal giao hoán a g0 % sao cho g với đại số con g0 /a đẳng cấu với Mọi phép IW - thu gọn đều thỏa mãn hai giả thiết: 1) Ma trận thu gọn tuyến tính đối với tham số thu gọn; 2) Tồn tại các ma trận hằng chính quy W,W làm chéo hóa ma trận thu gọn Các phép IW - thu gọn không vét hết tất cả các phép thu gọn ... (|u| ) Phép thu gọn đại số Lie có chiều thấp 2.4.1 Thu t toán thu gọn 2.4.1.1 Thu t toán thu gọn Thu t toán đưa cho phép tính phép thu gọn tham số liên tục đại số Lie có số chiều thấp Thu t toán... khả thu gọn hầu hết cặp đại số Lie có số chiều thấp  Có hai lớp đại số Lie đơn bao trùm đại số Lie có số chiều thấp Lớp thứ tạo đại số Lie hầu giao hoán có ideal đối chiều Lớp thứ hai gồm đại số. .. với phép thu gọn Inonu - Wigner đơn 2.4.2.2 Phép thu gọn đại số Lie có số chiều bốn Tương tự, ta có kết phép thu gọn đại số Lie có số chiều bốn: 1) Tất phép IW - thu gọn tổng quát đại số Lie thực