ộ ụ t rờ ọ ị ệt ị ý ể t ộ ủ tr tr s rộ tr ó s rộ sỹ ọ ệ ộ ụ t rờ ọ ị ệt ị ý ể t ộ tr tr s rộ tr ó s rộ sỹ ọ tí số ộ ọ P r ệ ụ ụ r ụ ụ ó ị ý ể t ộ tr tr s rộ ệ ị ý ể t ộ tr tr s rộ ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ tr ó s rộ rộ ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ ết ệ t ó ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ỹ tt ết q q trọ t ể ế tr ý tết ể t ộ ý tr tr ủ ủ ợ ứ ột ì ề ứ ể t ộ t ò t r ệ tì ể t ộ ủ ột ề ó ề ứ ụ tr tí t ý tết trì trì r trì tí t tì rộ ý ề ề ệt t rộ tr r ệ ề tr ó t ổ t số tự tr ị ĩ tr ột ó ị tr ị t ũ ự ệ ề ộ tụ ủ tí ủ ủ ị ý ể t ộ ố t ợ ữ ết q s s tr tờ ũ t ợ ột số ứ ụ ủ tr ó tr tí tế tố ét ệ ứ trú ủ tr ó t út q t ủ ột số t ọ tr rs tệ ệ tr s rộ t tế t tứ t ủ ột tr ó t tứ ì ữ t t tì rộ ị ý ể t ộ ủ tr tr ó s rộ ể t ợt ứ ọ ú t tế ứ tì ể ết q ề ị ý ể t ộ tr tr s rộ tr ó s rộ r sở t ệ t ủ P r ú t tự ệ ề t ị ý ể t ộ tr tr s rộ tr ó s rộ ụ í ủ ứ ị ý ề ể t ộ ủ tr tr s rộ ị ý ể t ộ ủ tr tr ó s rộ ứ tết ệ ề ị ý ệ q tr t ệ t ứ ứ ò tt r ứ ột ét ết q ề ể t ộ ủ tr tr ó s rộ ề ị ý ể t ộ tr tr s rộ r ụ ú t tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ủ ộ tr tr s rộ tr s rộ ủ T qỹ ủ ỗ d rì ột số ị ý ề ể t ộ ủ tự tr tr ù trì ề s ụ ú t trì ột số ị ý ể t ộ ủ rộ ủ ú tr tr r rộ ứ tết ề ị ý ó r ò trì ệ q í ụ ọ ề ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ r ụ ú t tệ q ột số ế tứ sở ệ trì ộ ệ ó ó t ó í q ố q ệ ữ ó t ó í q tr ó tr ó s rộ tí t ủ tr ó tí t ủ tr ó s rộ ụ ú t tì rộ ột số ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ ứ tết ề ết q ó trì ột số í ụ ọ ợ t t rờ ọ t tì ủ t P r t tỏ ết s s tớ ị t ủ ệ ọ Pò t ọ qý t tr tổ í ọ rờ ọ t tì ú ỡ tr q trì ọ t t ố ù t t ệ trờ P ó tỉ ó ọ ọ í t rờ ọ ì ệ t ề ệ t ợ t ể ú t t tốt ệ ụ tr q trì ọ t ù tí ự t ó ề ố tr ứ tự ệ ề t s tr ỏ ữ s sót ợ ữ ý ế ó ó ủ qý ọ ể ợ tệ t ị ệt ị ý ể t ộ tr tr s rộ ệ P ú t tệ ế tứ sở ệ trì ị ý ề ể t ộ ủ tr tr ủ ị ĩ tr tr T qỹ ủ t ợ X d : X ì X R ợ ọ ột X ế tỏ ề ệ d(x, y) ọ x, y X d(x, y) = ế ỉ ế x = y d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X X ù ột tr d tr ó ợ ọ ột í ệ tr (X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x ế ể y ị ĩ tr (X, d) (Y, ) f : (X, d) (Y, ) ợ ọ ế tồ t [0, 1) s [f (x) , f (y)] d (x, y) , ị ý ủ ể ý f :X X x X từ s X ọ sử x, y X (X, d) tr í ó ó tồ t t f (x ) = x ể x X ó tí t f (x ) = x ợ ọ ể t ộ ủ f rộ ý P tt r t t ợ ết q s ị ý (X, d) ột tr ủ T : X X ột tự tỏ t tứ (d (T x, T y)) (d (x, y)) (d (x, y)) tr ó , : [0, +) [0, +) ị ĩ s ọ x, y X, tụ ệ (t) = (t) = ế ỉ ế t ó T ọ t ợ ó ột ể t ộ t X = d : X ì X [0, +) ột x, y X ọ ể ệt u, v X \ {x, y} t ó d(x, y) = ế ỉ ế x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) ó (X, d) ợ ọ ột tr s rộ ề ệ ợ ọ t tứ tứ ét sử (X, d) ột tr s rộ x X > t ý ệ B(x, ) = {y X : d(x, y) < } ó ọ B = {B(x, r) : x X, r > 0} t ột sở ủ ột t d tr X t ỳ {an } X s an a n t ó d(an , y) d(a, y) d(x, an ) d(x, a) n í ụ (X, d) ột tr ó ễ t r ì d ột tr ề ệ ủ tr s rộ ợ tỏ t ỳ x, y X t ỳ ể ệt z, w X s ỗ ể ó ề x y d tr ụ t tứ t t ó d(x, y) d(x, z) + d(z, y) d(x, z) + d(z, w) + d(w, y), ĩ ề ệ ủ tr s rộ ợ tỏ (X, d) ột tr s rộ í ụ ét X = R số X s = ị d : X ì X R tứ ế x = y, d(x, y) = ế x, y {1, 2} x = y, ế x, y tờ tộ{1, 2} x = y ó ễ tử t r (X, d) ột tr s rộ (X, d) tr ì t ó d(1, 2) = > + = d(1, 3) + d(3, 2) ị ĩ {xn } X ợ ọ s ọ ộ tụ (X, d) ột tr s rộ ề ể x X ế ọ > tồ t n0 N n n0 t ó d (xn , x) < ú ó t í ệ lim xn = x n+ xn x n + ị ĩ (X, d) ột tr s rộ {xn } X ó r {xn } tr s rộ d tr (X, d) ế ọ > tồ t n N s ọ n > m n t ó d(xn , xm ) < ủ ị ĩ tr s rộ ế ọ tr (X, d) ợ ọ (X, d) ề ộ tụ tr ó ị ĩ (X, d) ột tr s rộ T : X X ột từ X í ó ỗ số n N t í ệ O(x, n) = {x, T x, , T n x} ợ O(x, ) = {x, T x, , T n x, } ợ ọ qỹ ủ T t x tr s rộ X ợ ọ T qỹ ủ ế ỗ {xn } X {xn } O(x, ) x X tì xn z X õ r ột tr s rộ ủ t ỳ ột T qỹ ủ ề ợ ú ị ý (X, d) ột tr T : X X ột s (T x, T y) q(x, y), tr ó q [0, 1) ế X t ộ t tr X ọ T qỹ x, y X, ủ tì T ó ột ể ó min{d(T x, T x), d(x, T x)} (d(x, T x)), ọ x X ề é t d(T x, T x) (d(x, T x)) ọ x X ụ ị ý t s r tr X T ó ột ể t ộ ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ tr ó s rộ P ú t tệ ột số ế tứ ề tr ó tr ó s rộ í ụ ọ ị ĩ t ủ E ột tự P ột E P ợ ọ ột ó ế ỉ ế P t ó rỗ P = {0} a, b R, a, b 0, x, y P s r ax + by P ọ x, y X x P x P s r x = ó tr ỉ ế E ét q ệ tứ tự ị P s x y ế y x P ú t q x < y ế x y x = y ò x y ế y x intP intP tr ủ P ó t ó x y é t x K y , tr ó tr E ố t P ợ ọ t ế ó ột số K > s ọ x, y E K ỏ t tỏ ề ệ tr ợ ọ ủ số P t sử r E ột P ột ó tr E intP = q ệ tứ tự ộ ị P í ụ ét R t tờ ó P = {x R : x 0} ột ó tr R r ị R2 t P = {(x, y) R2 : x, y 0} ột ó ị ĩ X ột t rỗ E d : X ì X E ợ ọ ột tr ó ế tỏ ề ệ s d(x, y) ọ x, y X d(x, y) = ỉ x = y d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ọ x, y, z X ó (X, d) ợ ọ tr ó tr ó tổ qt ủ tr í ụ s ứ tỏ tr ó rộ tự ủ tr í ụ E = R2 P = {(x, y) E : x, y 0} X = R ét d : X ì X E ị d(x, y) = (|x y|, |x y|) ọ x, y X, tr ó số tự trớ ó ễ ể tr ợ (X, d) tr ó ị ĩ X ột t rỗ sử d : X ì X E tỏ ề ệ < d(x, y) ọ x, y X, x = y d(x, y) = ế x = y d(x, y) = d(y, x) ọ x, y X d(x, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) ọ x, y X tt ể ệt ó u, v X \ {x, y} d ợ ọ ột tr ó s rộ tr X (X, d) ột tr ó s rộ ét r t tự trờ ợ tr s rộ t ứ ợ ột tr ó t ỳ tr ó s rộ ề ợ ú í ụ E = R2 P = {(x, y) E | x, y 0} X = R d : X ì X E ị d(x, y) = tr ó (0, 0) ế x = y, (3, 3) ế x, y ù tộ tr {1, 2} x = y, (, 1) ế x, y tờ tộ{1, 2} x = y, > số ó P ột ó tr E (X, d) ột tr ó s rộ (X, d) tr ó ì d(1, 2) = (3, 3) > d(1, 3) + d(3, 2) = (2, 3) E = R2 P = {(x, y) E | x, y 0} ét X = {a, b, c, e} d : X ì X E d(x, x) = (0, 0), ọ x X, d(x, y) = d(y, x), ọ x, y X, d(a, b) = (3, ), d(a, c) = d(b, c) d(a, e) = d(b, e) tr ó = (1, ), = d(c, e) = (2, ), > số ó P ột ó tr E (X, d) ột tr ó s rộ ó tr ó ì t ó d(a, b) = (3, ) d(a, c) + d(c, b) = (2, 2) (3, ) (2, 2) s s ợ t q ệ tứ tự ộ ị ĩ (X, d) ột tr ó s rộ {xn } ột tr X x X ế ọ c E, c ọ n > N d(xn , x) ủ {xn } ú ó t ũ ết xn x n tồ t N s c tì ó {xn } ợ ọ ộ tụ tớ x x tự tr tr ó t ó ết q s ổ ề ó t tờ ế ỉ ế (X, d) ột tr ó s rộ P {xn } ột tr X ó xn x ột n d(xn , x) n ý r tr ứ r ế (X, d) tr ó {xn } ột ộ tụ tr X tì ủ ó t tr trờ ợ tr ó s rộ tí t ủ ó tỏ í ụ s ọ ét tr E = R P = {x R | x 0} sử {xn } í ụ tr Q a, b R \ Q a = b t X = {x1 , x2 , , xn , } {a, b} ét d : X ì X E d(x, x) = (0, 0), d(x, y) = d(y, x), d(x , x ) = 1, n m d(xn , b) = n1 , d(xn , a) = n1 , d(a, b) = ó ọ xX ọ x, y X ọ n, m N , n = m ọ n N ọ n N (X, d) tr ó ì t ó d(x2 , x3 ) = > d(x2 , a) + d(a, x3 ) = ễ ể tr ợ r ó s rộ ì tự t ó ì d(xn , a) = d(xn , b) = a = b ị ĩ n n 1 + = (X, d) ột tr n t ó xn a tr (X, d) n t ó xn b tr (X, d) (X, d) ột tr ó s rộ {xn } ột tr X ế t ỳ c E c ọ m, n > N, d(xm , xn ) tồ t N s c tì {xn } ợ ọ ột tr X tự trờ ợ tr ó t t ợ ết q s ổ ề ột ó t ế ỉ ế {xn } (X, d) ột tr ó s rộ ột tr d(xn , xm ) ó {xn } ột m, n t ết ế ét X P (X, d) ột tr ó {xn } ột ộ tụ tr X tì {xn } ột tr X ố tr ó s rộ ề ó ò ú ữ t tr í ụ t t r {xn } ộ tụ d(xn , xm ) n, m ì tế {xn } tr X ị ĩ ế ọ tr (X, d) ột tr ó s rộ X ề ộ tụ tì X ợ ọ tr ó s rộ ủ r trờ ợ r s tì tí t ủ ợ tỏ ủ P ệ ề (X, d) ột tr ó s rộ ột ó t số t tr X tồ t ột số k sử xn = xm xn , x ể ệt tr X ọ n > n0 xn , y n, m > n0 ọ n > n0 xn x xn y ể ệt tr ó t ó X n x = y ứ t ỳ tồ t số d(xn , x) ột n0 N s ọ {xn } c, c E c ì xn x xn y {xn } m0 s d(xn , y) c d(xn , xm ) c ọ n, m > m0 ó ọ n, m > max{n0 , m0 } t ó d(x, y) d(x, xn ) + d(xn , xm ) + d(xm , y) 3c ì ó P t từ t tứ tr t s r d(x, y) 3k c ì c tù ý từ t tứ ố t s r d(x, y) = x = y rộ ị ý ể t ộ tr tr ó s rộ ổ ề (X, d) ột ó t số t từ X K [0, 21 ) ó t ỳ xX n d(T x, T r= sử T :X X í ó tỏ ề ệ d(T x, T y) [d(T x, x) + d(T y, y)], tr ó P ột tr ó s rộ ủ ứ n+1 x) ọ x, y X n ột số t ó n d(x, T x) = rn d(x, T x), [0, 1) t ỳ x X ề ệ t ó d(T x, T x) [d(T x, x) + d(T x, T x)], ĩ [d(T x, x) + d(T x, T x)] d(T x, T x) P d(T x, x) (1 )d(T x, T x) P ị ĩ ó t s r (1 )1 d(T x, x) d(T x, T x) P, d(T x, T x) d(x, T x) ề ệ t ó d(T x, T x) [d(T x, T x) + d(T x, T x)] ý tr t s r d(T x, T x) ế tụ q trì tr d(T x, T x) ị ý ủ r= P X d(x, T x) = rn d(x, T x), [0, 1) [0, 12 ) (X, d) ột tr ó s rộ ó ột ể t ộ t tr t ỳ ứ ọ x, y X, [0, 21 ) ó tr ó T K sử T : X X í ó tỏ ề ệ d(T x, T y) [d(T x, x) + d(T y, y)], d(x, T x) n ột ó t số t từ n ột số t ỳ t ó d(T n x, T n+1 x) tr ó X x X {T n x} ộ tụ tớ ể t ộ ọ x, y X ì T : X X tỏ ề ệ t ó d(T x, T y) [d(T x, x) + d(T y, y)], tr ó [0, 12 ) ó n ột số t ổ ề t ó d(T n x, T n+1 x) tr ó r= n d(x, T x) = rn d(x, T x), [0, 1) t ét trờ ợ s rờ ợ r t số m, n N m = n s T m x = T n x sử m > n ó t ó T mn (T n x) = T n x ĩ T p y = y tr ó p = m n ý ệ y = T p x ì p t ó d(y, T y) = d(T p y, T p+1 y) rp d(y, T y) t tứ tr t s r ể t ó ĩ (1 rp )d(y, T y) = (rp 1)d(y, T y) P (1 rp )d(y, T y) P ị ĩ ó t s r d(y, T y) = T y = y rờ ợ sử T m x = T n x ọ m, n N m = n ó ổ ề t ó d(T n x, T n+1 x) rn d(x, T x) t ề ệ rn d(x, T x) 1r x = T n1 x y = T n x t t ợ d(T n x, T n+2 x) [d(T n1 x, T n x) + d(T n+1 x, T n+2 x)] [rn1 d(x, T x) + rn+1 d(x, T x)] rn d(x, T x) + rn+1 d(x, T x) rn d(x, T x) 1r ế m > số tì t ết m = 2l + 1, l sử ụ tết T p x = T r x p, r N, p = r t ó tể ễ ỉ r r d(T n x, T n+m x) d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T n+2 x) + + d(T n+2l x, T n+2l+1 x) rn d(x, T x) + rn+1 d(x, T x) + + rn+2l d(x, T x) rn d(x, T x) 1r ó ế m > số tì t ết m = 2l, l sử ụ ù ý tr t ợ d(T n x, T n+m x) d(T n x, T n+2 x) + d(T n+2 x, T n+3 x)) + + d(T n+2l1 x, T n+2l x) rn d(x, T x) + rn+2 d(x, T x) + + rn+2l1 d(x, T x) rn d(x, T x) 1r ết ợ tt ữ trờ ợ t ó d(T n x, T n+m x) ì rn d(x, T x), 1r ọ m, n N P ó t từ t tứ tr t ợ d(T n x, T n+m x) K rn d(x, T x) , 1r ọ m, n N n ì r d(x, T x) n + từ t tứ ố ù tr t K 1r s r {T n x} ột tí ủ ủ X tồ t x X s T n x x n + t ỉ r r sử T x = x t t tí tổ qt t T r x = x T r x = T x t ỳ r N ó t ó d(x , T x ) d(x , T n x) + d(T n x, T n+1 x) + d(T n+1 x, T x ) d(x , T n x) + d(T n x, T n+1 x) + [d(T n x, T n+1 x) + d(x , T x )], ĩ [d(x , T n x) + (1 + )d(T n x, T n+1 x)] tí t ủ ó P t s r d(x , T x ) d(x , T x ) K ( d(x , T n x) + (1 + ) d(T n x, T n+1 x) ) n + ì t t ợ d(T x , x ) = ĩ x = T x ế y ể t ộ ủ T tì d(x , y ) = d(T x , T y ) (d(x , T x ) + d(y , T y )) = t tứ ố ù t s r d(x , y ) = 0, ĩ x = y ố ù ể ọ ị ý t trì í ụ s í ụ t tr E = C P = {x + iy | x, y R, x, y 0} ột ó E ó q ệ tứ tự ộ tr E t ỳ z1 = x1 + iy1 E z2 = x2 + iy2 E t ó z1 z2 ỉ x1 x2 y1 y2 ét t X = {1, 2, 3, 4} ị d : X ì X E d(x, x) = 0, ọ x X, d(1, 2) = d(2, 1) = + 9i, d(2, 3) = d(3, 2) = d(1, 3) = d(3, 1) = + 3i, d(1, 4) = d(4, 1) = d(2, 4) = d(4, 2) = d(3, 4) = d(4, 3) = + 12i ó ễ ể tr ợ r rộ ủ (X, d) ột tr ó s (X, d) tr ó ì t tứ t ú tr trờ ợ + 9i = d(1, 2) > d(1, 3) + d(3, 2) = + 6i t ị ĩ T : X X s Tx = ét r tr ế x = 4, ế x = T ột ố tr t tờ X ì t ó |T T 2| = = |4 2| T tỏ ề ệ d(T x, T y) [d(x, T x) + d(y, T y)], ớ ọ x, y X, = 31 ì ụ ị ý t s r r T ột ể t ộ t tr X ể t ộ ó x = ý r ì (X, d) tr ó t tể ụ ết q ề ể t ộ ết tr tr ó í ụ ệ q (X, d) ột tr ó s rộ ủ P ột ó t số t K sử T : X X từ í ó tỏ ề ệ d(T x, T y) d(x, y), tr ó T ọ x, y X, [0, 31 ) ó t ó ó ột ể t ộ t tr t ỳ X x X {T n x} ộ tụ tớ ể t ộ X ứ x, y X t ó d(T x, T y) d(x, y) [d(x, T x) + d(T x, T y) + d(y, T y)], ĩ [d(x, T x) + d(T x, T y) + d(y, T y)] d(T x, T y) P ó t ó [d(x, T x) + d(y, T y)] (1 )d(T x, T y) P r [d(x, T x) + d(y, T y)] d(T x, T y) P ì d(T x, T y) t = [d(x, T x) + d(y, T y)] [0, 12 ) ó T : X X tỏ ề ệ d(T x, T y) [d(x, T x) + d(y, T y)], ọ x, y X t r tt tết ủ ị ý ề ợ tỏ T ì tế ụ ị ý t s r T ó ột ể t ộ t tr X t ỳ x X {T n x} ộ tụ tớ ể t ộ ết tờ ứ t ề t ệ ề ề t ị ý ể t ộ tr tr s rộ tr ó s rộ t tì ủ t P r ú t t ợ ột số ết q s ệ tố ệ tí t í ụ ọ ề tr tr s rộ tr s rộ ủ tr T qỹ ủ ó ó t tr ó tr ó s rộ ể t ộ ứ tết ệ ề tí t ị ý ị ý ị ý ổ ề r ứ ết q ề ể t ộ ủ tr tr s rộ q ị ý ể t ộ ủ ó số tộ [0, 13 ) tr tr ó s rộ t ệ q tệ tết í ụ í ụ t ệ t ỗ t ọ ỹ tt rs tr ss sts t tr r r rr ss r tr ss t t r tttttt r P tr tr ss ts r t t r r strt t trs r r t st trts tr ss rt t rr t tr t sss r tr ss P t r r rt s trt r Pr r t P tt r r tr ss rt trt Pt r s rr r s rsts t tr r r tr ss t s t rtr tr ss s t tr r rsts ts tt t rs trt s t ss tr ss t t t t tr r tr r s s rrs rs ts trt rs r t s P tr trts r tr ss tr ts r (, , ) r