ệ ệ r ệ ệ ữỡ ởt số tự trủ ttr t ữỡ ỗ t tr ữỡ tr tr t ữỡ t ửt ợ t t õ t ửt s số r ỳ ữỡ tr r t út ữủ sỹ q t ự ổ sỷ ữỡ tr r ữủ ự t ổ ổ t t tr s t t ỵ õ õ s t t tr tr ữỡ tr t ữủ ự rở r ợ ữ ỵ ỹ sỹ tỗ t t t ữỡ số ữ ữỡ tỷ ỳ ữỡ s ỳ ụ ữủ t tr tr ởt số t ố t ởt tr tổ t ỳ ỳ số t ỗ ổ ữủ t ú t ú tứ ỳ s s ởt số t t ữủ ởt số ổ tr t ỹ t ữủ ổ tr r ổ ố tr õ ởt số ổ tr t ụ ữủ t sỹ t ởt t ữủ ợ số t tr ữỡ tr t ữ r ởt t qừ t t t t ữủ tớ ữỡ tr t t tớ õ ụ t ữỡ tr t t tớ ữỡ õ rr ữỡ ữỡ tr ữợ ự t ữủt ự ụ ữ ú t t t ữủ tr ữỡ tr t tr ỡ s t sr trt s qt trt t t tr t tt tts ú tổ ỹ t ỗ t tr ữỡ tr tr t ữỡ t ửt ữủ tỹ t rữớ ữợ sỹ ữợ t ự tọ ỏ t ỡ s s t t ỡ Pỏ t ỡ t ổ tr ổ t t t ú ù t tr sốt tớ t t ữỡ ố ũ t ỡ ỗ t tr ợ t t ú ù t tr sốt q tr t ự ũ õ ố ữ ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ t ì ẹ ữỡ tr ởt số tự q ữỡ ữủ ú tổ t tr t ttr t r t (z) = et tz1 dt ợ z tở ỷ t t ự z > t tử ợ z C tọ z > t ợ z C tọ z > t õ t z = x + iy ợ x, y R x > õ t õ (z) = (x + iy) = = = et tx1+iy dt et tx1 eiy ln t dt et tx1 (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) dt ữủ (cos(y ln t) + i sin(y ln t)) t r t tử ợ x > y R ỵ õ t t s (z + 1) = z(z), z C, z > (1) = (n + 1) = n!, n N 12 = n + 12 = 2(2n)! 2n n! ợ số tỹ x > t õ (x) = 2 et t2x1 dt ự 1) ợ z C, z > t õ (z + 1) = et tz dt t z = e t t= +z t=0 et tx1+iy dt = z(z) 2) õ (1) = et t0 dt = et t= = t=0 3) ỷ t t 1) 2) t õ t ự t t 3) ữỡ q 4) rữợ t t t t I = I=u x2 dx e u2 t2 e t x = ut, u > t õ dt ợ eu t tứ t ữủ I = e u2 = u 2 eu t dt du = eu (1+t2 ) dt = 1+t udu dt ổ tự tỹ t = u2 t s t ữủ õ I = x2 dx e = (z) = 2 eu u2z1 du t z = t ữủ =2 eu du = 2I = 5) ứ t t 1) t t 4) t õ n+ 1 n 2 3 = n n n 2 3 1 n ã ã ã = n 2 2 (2n)! = 2n n! = n 6) t õ (x) = et tx1 dt ỹ t = u2 ợ u t tứ t õ (x) = = et tx1 dt =2 =2 eu (u2 )x1 2udu eu u2x1 du et t2x1 dt ỵ ợ z C tọ z > t õ n!nz n z(z + 1) ã ã ã (z + n) (z) = lim ự ự ổ tự trữợ t ú t t n fn (z) = = n t n tz1 dt s õ sỷ t tứ ú t t n t ữủ (1 )n z1 d z fn (z) = n nz = z = ããã (1 )n1 z d n n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n 1) n!nz = z(z + 1) ã ã ã (z + n) z+n1 d ú ỵ r lim n n t n = et õ t t ú t ự tự n t lim fn (z) = lim n n n t = lim n n n tz1 dt n z1 t dt = et tz1 dt = (z) t ữủ ú t ữủ = (z) fn (z) = n = t e t n et tz1 dt fn (z) n z1 t dt + n et tz1 dt > tũ ỵ ứ sỹ tử t ợ z C tọ z > t s r tỗ t số tỹ n0 s ợ n N n0 t õ n t z1 e t et tx1 dt < , (x = z) dt n n ợ n N n > n0 t t t tờ t s N = e t n e N õ n e N t tz1 dt n t n t + n t n n t n z1 t dt + t n n n z1 et tz1 dt t e dt tx1 dt n N < et tx1 dt < , (x = z) n t t tự t t t tự tr s t 0 ỏ ú ợ z C z = 0, 1, 2, ã ã ã t tứ ổ tự ỵ t õ (z + m) z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) nz+m n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m) ã ã ã (z + m + n) nz n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nm ì lim n (z + n)(z + n + 1) ã ã ã (z + n + m) (z) = nz n! = lim z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) n (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) nz n! = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + m 1) (z + m)(z + m + 1) ã ã ã (z + n) n!nz = lim n z(z + 1) ã ã ã (z + n) ttr ởt t số E (z) = k=0 zk , > 0, z C (k + 1) ttr t số E, (z) = k=0 õ õ zk , > 0, > 0, z C (k + ) t ợ z C z = t õ zk = E (z), > 0, (k + 1) 1) E,1 (z) = k=0 2) E1,1 (z) = k=0 3) E1,2 (z) = k=0 zk = (k + 1) zk = (k + 2) 4) E2,1 (z ) = k=0 5) E2,2 (z ) = k=0 k=0 zk = ez , k! k=0 z 2k = (2k + 1) k=0 z 2k+1 sinh(z) = , (2k + 1) z zk 6) E1/2,1 (z) = k=0 k=0 z (k+1) ez = , (k + 1)! z z 2k = cosh(z), (2k)! k=0 z 2k = (2k + 2) z zk = (k + 1)! z z2 = e ( k2 + 1) 2 et dt = ez r(z) z ú t (, ) ( > 0, < ) ữớ ỗ t s arg = | | arg | | = arg = | | ữớ (, ) ( > 0, < ) t ự t t G (, ) G+ (, ) ữủt tr ữớ (, ) < < t G (, ) G+ (, ) ổ = t G (, ) tr t trỏ | | < ỵ < < số ự tũ ỵ số tỹ tọ < < min{, } ì Pì P Pì PP ệ ữỡ ú tổ tr t qừ tr ụ ữ t ự ởt t qừ ợ ợ t t t t tr t t u = uxx + f (x), < x < 1, < t < T, u(0, t) = u(1, t) = 0, t T, u(x, 0) = 0, x 1, tr õ t u t ố ợ t ữủ t u = (1 ) t u(x, s) ds , < < 1, s (t s) ợ (ã) t t t f (x) ữủ t ủ r ú tổ q t tợ t ỗ ữủ ữỡ tr ự t ỗ t ữ ữủ t f (x) ỹ ữỡ tr ởt tổ t s ữỡ tr t tớ t = T u(x, T ) = g(x), < x < r ự ử t ỳ g(x) ữủ ổ tr ọ s số õ t t g(x) t t ỳ g L2 (0, 1) tọ g g ợ ã , L2 ự s số > ữủ t t ữủ t ổ tự t z(t) = (1 ) t z (s) ds, (t s) 0 (k + ) ợ > t õ tự s t E,1 (t ) = E,1 (t ), t > 0, < < 1, d E,1 (t ) = t1 E, (t ), t > 0, > dt E,1 (t) ởt tọ dn (1) n E,1 (t) dt n = 0, 1, 2, ã ã ã õ t õ n ợ t = E,1 (0) > E,1 (t) > 0, t > ú ỵ r u(x, t) t õ t ữợ t u(x, t) = v(x, t; )d, tr õ v(x, t; ) t s t v(x, t; ) = vxx (x, t; ), (x, t) (0, 1) ì (, T ), v(x, t; ) |t= =0 D1 f (x), x 1, v(1, t; ) = v(0, t; ) = 0, t T ợ D1 ữủ t ổ tự ữỡ t sỷ ổ tự t õ 1E,1 (k (t ) )fk Xk D v(x, t; ) = k=1 tr õ {Xk = sin(kx), k = 1, 2, } ởt ỡ s trỹ tr L (0, 1) fk := (f, Xk ) = f (x) sin(kx)dx õ t ữủ t t t v(x, t; )d u(x, t) = t 1E,1 (k (t ) )d fk Xk D = k=1 t t t r t 1E,1 (k (t ) )d fk Xk D t (t )1 E. (k (t ) )d fk Xk = ỷ ổ tự t t ữủ u(x, t) = k=1 E,1 (k ) (f, Xk )Xk k22 t tỷ A : f g õ ú t õ Af (x) = k=1 E,1 (k ) (f, Xk )Xk = g(x) k22 t r A t tỷ t ợ tr ý {k } k=1 ữủ E,1 (k ) k = k22 E,1 (k ) (g, Xk ) = (f, Xk ) k22 õ t õ (f, Xk ) = (g, Xk ) k f (x) = A g(x) = k=1 k22 (g, Xk )Xk E,1 (k ) = O(k ) ữủ ổ k f k ữủ tt tở ổ L2 (0, 1) ỳ g ù O(k ) ỳ g õ ữủ q st ú t õ ữủ ỳ g L2 (0, 1) ợ g g ú t ổ r ỳ g ữ ỳ g tữỡ ự s ổ tở ổ L2 (0, 1) õ t t t ổ t ổ tở tử ỳ ữ ú t t ố ợ t ý ởt t t ổ ởt tt ợ t ố ợ ữủ t r ổ õ tt sỹ tử õ s ổ t ữủ tố ở tử õ t tũ ỵ r ú t tt ợ t ữ s f H p (0,1) E, p > 0, tr õ E số ữỡ ã ỵ tr ổ H p (0,1) H p (0, 1) ữủ f H p (0,1) (1 + k )p | fk |2 = k=1 ú t t ỵ õ t ỵ sỷ r f (x) t ỗ ữủ ữủ tọ t s ú p p+2 E,1 ( T ) f E p+2 p p+2 g ự ỷ t tự r t õ f = k=1 = k=1 = k=1 k=1 k=1 k=1 k22 E,1 (k T ) | gk | E,1 ( T ) p+2 p+2 p p+2 (| gk | p+2 | gk |2 gk 2p p+2 p+2 p E,1 (k T ) 2p | gk | p+2 | gk | p+2 k=1 E,1 (k T ) k22 | gk |2 p+2 2 p+2 k22 = k22 E,1 (k T ) k22 E,1 (k T ) = k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) | fk |2 gk p+2 (1 + k )p | fk |2 k=1 2p p+2 gk 2p p+2 2p p+2 ) p+2 p p p+2 2p p+2 E,1 ( T ) õ t õ f E p+2 g 2p p+2 E,1 ( T ) p p+2 E p+2 g p p+2 t f1(x) f2(x) t ỗ ữủ ợ ỳ g1 (x) g2 (x) tữỡ ự t s ú f1 (ã) f2 (ã) E,1 ( T ) p p+2 f1 (ã) f2 (ã) p+2 H p (0,1) g1 (ã) g2 (ã) p p+2 ó r r g1 (ã) g2 (ã) t f1 (ã) f2 (ã) t qừ õ ổ sỹ số tr t ợ ỳ õ t ửt s số ó r t ổ t k ợ tr ổ tự ởt tỹ ỷ tt t k ợ tr ổ tự õ t ửt ữ s K f,K = k=1 k22 (g , Xk )Xk , 2 E,1 (k T ) tr õ K số ữỡ õ trỏ õ r ú t t t t số t t số õ ữ r s số ữỡ t ú tổ tr t t số t ỵ s ỵ sỷ f,K (x) õ t ợ ỳ g (x) f (x) ợ ỳ g(x) r t tt t r ữủ tọ t số õ ữủ K = [] [] ỵ ợ E = p+2 t s ú f (ã) f,K (ã) 1+ E,1 ( T ) p E p+2 p+2 ự ứ t õ f (ã) f,K (ã) k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) = k=1 k=1 K + k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k=1 = k=K+1 K + k=1 K k22 (g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) k=1 K k=1 K k=1 k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) p p (1 + k ) (1 + k ) (f, Xk )Xk k=K+1 k22 + sup 2 k K E,1 (k T ) (K + 1)p E + K (g g , Xk )Xk k=1 k22 E,1 ( T ) K K + t t ữủ 22 E,1 ( T ) 2 p+2 p+2 1+ E E,1 ( T ) p E + f (ã) f,K (ã) = t ú t p = tt t ữủ t t f E t ú t t ữủ t ổ t ữủ sỹ tử ổ ợ tố õ p C p+2 C số ữ ỵ tr t r tỹ ữủ f H p (0,1) tữớ ổ ữủ t r trữớ ủ ú t = ( ) p+2 t s ú f (ã) f,K (ã) tr õ số D tở f p D p+2 , H p (0,1) p ữ t ỳ tr t t t t ú tổ tr t t số m (g , Xk )Xk Pm g = k=1 K = K(, g ) t (I PK )g (I PK1 )g , > sỷ ữủ tọ K t t õ s K E ( 1) p+2 ự ứ t õ PK1 g g = (PK1 I)g (I PK1 )(g g ) (PK1 I)g (I PK1 )(g g ) ( 1) t t õ PK1 g g = (g, Xk )Xk k=K = k=K = k=K E,1 (k T ) (f, Xk )Xk k22 E,1 (k T ) p p (1 + k ) (f, X )X (1 + k ) k k k22 E,1 (k T ) p sup (1 + k )2E 22 k k K E K p+2 ủ t t ữủ ( 1) E K p+2 t r K E ( 1) p+2 ữủ ự ỵ sỷ f,K (x) õ t ợ ỳ g (x) f (x) ợ ỳ g(x) r t tt t r ữủ tọ t số õ K ữủ t t õ s f (ã) f,K (ã) p CE p+2 p+2 , tr õ p 2 ( + 1) p+2 p+2 + C=( ) ( 1) E,1 ( T ) E,1 ( T ) ự ứ t tự t t õ f (ã) f,K (ã) f (ã) fK (ã) + fK (ã) f,K (ã) , k2 2 gk Xk ,1 (k T ) tr õ fk = K k=1 1E rữợ t t số tự t t r f (ã) fK (ã) H p (0,1) = f k Xk k=K+1 H p (0,1) (1 + k )p fk2 = E k=K+1 ỷ t tự t t õ Af AfK = (I PK )g (I PK )g + (I PK )(g g ) (I PK )g + (I PK )(g g ) ( + 1) t ủ ợ t õ f (ã) fK (ã) E,1 ( T ) p p+2 p E p+2 (( + 1)) p+2 t t số tự t õ K f (ã) f,K (ã) = k=1 k22 (g g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) sup k K k22 E,1 (k T ) k22 = E,1 (k T ) p 2 p+2 E p+2 p+2 ( 1) E,1 ( T ) ủ t t ữủ f (ã) f,K (ã) p CE p+2 p+2 , ợ p ( + 1) p+2 p+2 C=( ) + ( 1) E,1 ( T ) E,1 ( T ) ỵ ữủ ự ỵ sỷ f,K (x) õ t ợ ỳ g (x) f (x) ợ ỳ g(x) r t tt t r ữủ tọ f ln (1 + k ) | fk |2 = E1 k=1 t t số õ ữủ K = [] [] ỵ ợ = E1 t õ tỗ t số C(, , T ) s s ú f (ã) f,K (ã) 1+ E,1 ( T ) p E p+2 p+2 , tr õ C(, , T ) số tở , T ự ứ t õ f (ã) f,K (ã) = k=1 k=1 K + K k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k=1 K k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k=1 = k=K+1 K + k=1 k22 (g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) k=1 K k=1 k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) k22 (g, Xk )Xk E,1 (k T ) k22 (g g , Xk )Xk 2 E,1 (k T ) ln (1 + k ) ln (1 + k )(f, Xk )Xk k=K+1 k22 + sup 2 k K E,1 (k T ) ln (K + 1)E1 + K (g g , Xk )Xk k=1 K 22 E,1 ( T ) K 22 ln (K)E1 + E,1 ( T ) K = [1 ] [1 ] ỵ ợ = E1 t tỗ t số C(, , T ) s f (ã) f,K (ã) C(, , T ) ln E1 E1 + E1 t ú t = tt t ữủ t t f E t ú t t ữủ t ổ t ữủ sỹ tử ổ ợ tố õ C(, , T ) ln E1 1 E1 + E12 ữ ỵ tr t ú tổ t r tr ỵ ỡ s ợ tr ỵ t q t ữủ tr r t t ỡ ttr r t t ỡ t ợ t t ỗ t tr ữỡ tr tr t r ữỡ õ t ửt s số tr t ự ỵ ữ r t P ý t t ổ rs rs trt t t tt r rs Prs rr strt tt sr tr trt s qt t sr trt s qt trt t tts tt r P rt rt qts Prss