BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH NGA MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH NGA MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert 1.2 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp chỉnh hóa Chương Một số kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.1 Tổng quan kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 14 2.2 Các kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 18 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, ta cần xác định nhiệt độ thời điểm khứ qua nhiệt độ đo đạc thời điểm Bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm toán tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện toán Trong thực hành, kiện có dựa đo đạc vật lý mà phép đo tránh khỏi sai số Do tính đặt không chỉnh, sai số nhỏ kiện gây sai lệch lớn nghiệm toán Điều gây khó khăn lớn việc giải số với kiện bị nhiễu Để vượt qua khó khăn này, cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa cho toán Cho tới có nhiều báo viết phương trình parabolic ngược thời gian Tuy nhiên, hầu hết báo dành cho phương trình tuyến tính Rất báo dành cho phương trình phi tuyến Đặc biệt, báo dành cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu việc chỉnh hóa phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian, sở báo [5], [3] [4], lựa chọn đề tài cho Luận văn : "Một số kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian" Mục đích luận văn đề xuất phương pháp chỉnh hóa bao gồm đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp sở tìm hiểu phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian công bố Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày không gian Banach, không gian Hilbert, lý thuyết chuỗi không gian Banach, khái niệm toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa số ví dụ minh họa Chương 2: Trình bày tổng quan kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Trên sở đó, đề xuất kết tốt kết có Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, khoa Sư Phạm Toán học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành đề cương, luận văn Cuối cùng, tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1] [2] 1.1 Không gian Banach, không gian Hilbert Cho X không gian tuyến tính thực 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ : X → R gọi chuẩn (i) u 0, ∀u ∈ X ; (ii) u = u = 0; (iii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R; (iv) u + v u + v , ∀u, v ∈ X Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Không gian Banach X không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 1.1.2 Định lý Ánh xạ chuẩn x → x hàm liên tục từ X vào R 1.1.3 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi ánh xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X (λ, x) → λx từ K × X vào X liên tục 1.1.4 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ X , ánh xạ x → a + x phép đồng phôi đẳng cự (tức bảo toàn khoảng cách) từ X lên X 1.1.5 Định nghĩa Một tập A không gian định chuẩn X gọi toàn vẹn tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn A trù mật X Ta nói dãy {an } ⊂ X toàn vẹn tập tất phần tử dãy toàn vẹn 1.1.6 Định nghĩa Cho H không gian tuyến tính thực Ánh xạ ·, · : H × H → R gọi tích vô hướng (i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H ; (ii) Ánh xạ u → u, v tuyến tính với v ∈ H ; (iii) u, u 0; (iv) u, u = u = Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng Hai phần tử u, v ∈ H trực giao u, v = Khi ta ký hiệu u ⊥ v 1.1.7 Định nghĩa Một hệ trực giao không gian Hilbert H tập A vectơ khác H cho hai vectơ khác A trực giao với 1.1.8 Định nghĩa Giả sử M tập không gian Hilbert H Vectơ x ∈ H gọi trực giao với M x ⊥ y với y ∈ M , trường hợp ta kí hiệu x ⊥ M Nếu N tập E cho x ⊥ M với x ∈ N N gọi trực giao với M kí hiệu N ⊥ M Rõ ràng N ⊥ M M ⊥ N Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } gọi phần bù trực giao M 1.1.9 Bổ đề Một hệ trực giao không gian Hilbert độc lập tuyến tính 1.1.10 Bổ đề Nếu M tập tùy ý không gian Hilbert H M ⊥ không gian đóng E 1.1.11 Định lý Giả sử F không gian Hilbert không gian Hilbert H Khi với x ∈ H tồn y ∈ F (gọi hình chiếu trực giao x F ) cho x − y = d(x, F ) = inf x − y y∈F Điểm y hình chiếu trực giao x không gian F thường kí hiệu PF (x) Do tính y nên ta có ánh xạ PF : H → F , ánh xạ gọi phép chiếu trực giao H lên không gian Hilbert F 1.1.12 Định lý Giả sử F không gian Hilbert không gian Hilbert H Khi H = F ⊕ F ⊥ phép chiếu trực giao PF : H → F ánh xạ tuyến tính, liên tục 1.1.13 Định nghĩa Một hệ trực giao A gọi hệ trực chuẩn x = với x ∈ A x : x ∈ A hệ trực chuẩn x Hệ B gọi trực chuẩn hóa hệ A Nếu hệ A toàn vẹn hệ B toàn Nếu A hệ trực giao hệ B = vẹn Một hệ trực chuẩn toàn vẹn không gian Hilbert H gọi hệ trực chuẩn đầy đủ sở trực chuẩn H 1.1.14 Bổ đề Giả sử {ei } dãy trực chuẩn không gian Hilbert H Khi ∞ a) | x, ei |2 ≤ x i=1 với x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel); b) ∞ Với (λi ) ∈ l2 chuỗi λi ei hội tụ H i=1 1.1.15 Định lý Giả sử không gian Hilbert H có sở trực chuẩn đếm {en } Khi ∞ x, ei ei với x ∈ H (chuỗi Fourier) a) x = i=1 ∞ x, ei y, ei với x ∈ H, y ∈ H (Đẳng thức Parse- b) x, y = i=1 nal) 1.1.16 Định lý Nếu {en } dãy trực chuẩn không gian Hlbert H điều kiện sau tương đương : a) Dãy {en } đầy đủ; ∞ x, ei ei với x ∈ H ; b) x = i=1 ∞ x, ei y, ei với x, y ∈ H ; c) x, y = d) x i=1 ∞ | x, ei |2 với x ∈ H = i=1 1.1.17 Định lý Trong không gian Hilbert H vô hạn chiều, điều kiện sau tương đương a) H khả li; b) H có dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính; c) H có sở trực chuẩn đếm được; d) H đẳng cấu với l2 1.2 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp chỉnh hóa 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Xét ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn tính chất sau đây: i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = x = y , ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X , iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi d gọi mêtric X không gian (X, d) gọi không gian mêtric 1.2.2 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y A ánh xạ đơn ánh từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y Phần tử x0 ∈ X gọi nghiệm phương trình A(x) = f A(x0 ) = f Đặt R(A) = {y ∈ Y : tồn x ∈ X thỏa mãn A(x) = y} Khi tồn ánh xạ R : R(A) −→ X xác định công thức R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A) Khi việc tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f dựa vào kiện ban đầu f ∈ Y thường xem xét dạng phương trình x = R(f ) 1.2.3 Định nghĩa Cho (X, dX ), (Y, dY ) hai không gian mêtric Bài toán tìm nghiệm x = R(f ) phương trình A(x) = f gọi ổn định cặp không gian (X, Y ) (hay gọi liên tục theo kiện toán) ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε 1.2.4 Định nghĩa Bài toán tìm nghiệm x ∈ X phương trình A(x) = f theo kiện f ∈ Y gọi toán đặt chỉnh cặp không gian mêtric (X, Y ) i) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X ; ii) Nghiệm x nhất; iii) Bài toán ổn định cặp không gian (X, Y ) Nếu ba điều kiện không thỏa mãn toán tìm nghiệm gọi toán đặt không chỉnh Đôi người ta gọi toán đặt không quy toán thiết lập không đắn 1.2.5 Ví dụ 1) Xét chuỗi Fourier ∞ f1 (t) = an cos(nt), n=0 với hệ số (a0 , a1 , , an , ) ∈ l2 cho xấp xỉ cn = an + nε , n ≥ c0 = a0 Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f2 (t) = cn cos(nt), n=0 có hệ số (c0 , c1 , , cn , ) ∈ l2 Và khoảng cách chúng ∞ (cn − an )2 ε1 = n=0 ∞ =ε n=1 n2 =ε π2 19 f hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (x, t, w1 ) − f (x, t, w2 )| ≤ L1 |w1 − w2 | + L2 (|w1x − w2x | + |w1xx − w2xx |) Định nghĩa phép biến đổi Fourier F : L2 (R) → L2 (R) F (υ)(ξ) := υ(ξ) = √ 2π e−iξx υ(x)dx R phép biến đổi Fourier ngược F −1 : L2 (R) → L2 (R) F −1 (υ)(ξ) := υˇ(ξ) = √ 2π eiξx υ(x)dx R Chúng giả sử limx→∞ a(x, t) = k(t) đặt b(x, t) = a(x, t) − k(t) Khi |b(x, t)| ≤ 2q Bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier Fourier ngược ta thấy nghiệm toán (2.7) có dạng u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u) (2.9) ∞ P (x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) F (u(·, T ))(ξ)eiξx dξ −∞ ∞ K(x, t, u) = √ 2π T eξ (η(s)−η(t)) F (ϕ(u))(ξ, s)dseiξx dξ t −∞ với t ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u), η(t) = k(s)ds 2.2.1 Định nghĩa Hàm Dν (x) = sinνx gọi nhân Dirichlet x Nhân Dirichlet có tính chất Dν = π [−ν, ν], đoạn [−ν, ν] 20 2.2.2 Định nghĩa Nếu υ ∈ H s (R), s ≥ 0, chuẩn υ định nghĩa υ H s ( R) |υ(ξ)|2 (1 + ξ )s dξ := < +∞ R Trong phần chỉnh hóa toán (2.7) toán đặt chỉnh uν (x, t) = Pν (x, t) − Kν (x, t, u) (2.10) ∞ Pν (x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) F (Sν (φ)(ξ)eiξx dξ, −∞ ∞ Kν (x, t, u) = √ 2π T eξ −∞ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(uν )))(ξ, s)dseiξx dξ t với Sν (f )(x) = 1 Dν ∗ f = π π Dν (y)f (x − y)dy R 2.2.3 Bổ đề Bài toán (2.10) có nghiệm uν ∈ C([0, T ]; H (R)) Chứng minh Đặt G(w)(x, t) = Pν (x, t) − Kν (x, t, w) Với u, v ∈ C([0, T ]; H (R)) k ≥ ta có Gk (u) − Gk (v) H (R) ≤ (8C)k (1 + ν )2k T k (T − t)k e2kν k! qT | u − v |2 C = max{8q ; 6L2 } | · | chuẩn không gian C([0, T ]; H (R)) (2.11) 21 Chúng ta chứng minh (2.11) quy nạp Với k = 1, ta có G(u) − G(v) H (R) T (1 + ξ )2 = eξ (η(s)−η(t)) (F (Sν (ϕ(u))) − F (Sν (ϕ(v)))) ds dξ t R Chú ý [−ν, ν] đoạn [−ν, ν] f F (Sν (f )) = (2.12) Ta đạt G(u) − G(v) H (R) T 2 e (1 + ξ ) = |ξ|≤ν ξ (η(s)−η(t)) T 2 ≤ ν η(s) e (1 + ν ) |ξ|≤ν (F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ t (1 + ν )s eν ≤ (F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ t 2 T η(T ) (F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) ds dξ |ξ|≤ν t T 2 2ν qT ≤ (1 + ν ) e (T − t) |ξ|≤ν 2 2ν qT ≤ (1 + ν ) e |(F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v)))|2 dsdξ t T (F ((ϕ(u)) − F ((ϕ(v))) (Tt ) t 2 2ν qT = (1 + ν ) e T (T − t) (ϕ(u) − ϕ(v)) t L2 (R) ds L2 (R) ds Từ ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u) áp dụng bất đẳng thức (a + b)2 ≤ 22 2a2 + 2b2 (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ), ta có H (R) 2 2ν qT G(u) − G(v) = (1 + ν ) e (T − t) T | (b(x, s)(uxx − vxx ) + (f (x, s, u) − f (x, s, v)) |2 dxds × t R 2 2ν qT ≤ 2(1 + ν ) e T |b(x, s)(uxx − vxx )|2 dxds (T − t) t + 2(1 + ν )2 e2ν R T qT |(f (x, s, u) − f (x, s, v))|2 dxds (T − t) t R 23 T 2 2ν qT ≤ 8(1 + ν ) e |(uxx − vxx )|2 dxds q (T − t) t + 2L2 (1 + ν )2 e2ν qT R (T − t)× T (|u − v| + |ux − vx | + |uxx − vxx |)2 dxds × t R T 2 2ν qT ≤ 8(1 + ν ) e |(uxx − vxx )|2 dxds q (T − t) t 2 2ν qT + 6L (1 + ν ) e R (T − t)× T (|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds × t R ≤ 2C(1 + ν )2 e2ν qT (T − t)× T (|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds × t R = 2C(1 + ν )2 e2ν qT (T − t) T × u−v t = 2C(1 + ν )2 e2ν L2 (R) qT + ux − vx L2 (R) + uxx − vxx L2 (R) ds (T − t) T × F (u − v) t L2 (R) 2 2ν qT = 2C(1 + ν ) e + F (ux − vx ) (1 + ξ + ξ )|u − v| (T − t) qT ds dξds R (1 + ξ )2 |u − v|2 dξds (T − t) R T qT (T − t) u−v t 2 2ν qT ≤ 8C(1 + ν ) e 2 L2 (R) T t ≤ 8C(1 + ν )2 e2ν + F (uxx − vxx ) T t ≤ 8C(1 + ν )2 e2ν L2 (R) H (R) ds (T − t)T | u − v |2 Vậy với k = (2.11) Giả sử (2.11) với k = m, ta chứng minh (2.11) với k = m + Ta có Gm+1 (u) − Gm+1 (v) H ( R) = G(Gm (u)) − G(Gm (v)) H (R) 24 T 2 2ν qT Gm (u) − Gm (v) ≤ 8CT (1 + ν ) e t 2 2ν qT ≤ 8CT (1 + ν ) e H (R) ds 2m 2mν qT m (8CT ) (1 + ν ) e T | u−v | t ≤ − t)k e2kν qT (8C)k (1 + ν )2k T k (T k! (T − s)m ds m! | u − v |2 Do ta có k k G (u) − G (v) H ( R) (8C)k (1 + ν )2k T k (T − t)k e2kν ≤ k! qT | u − v |2 Điều kéo theo k k k G (u) − G (v) H (R) Ta có (8C) (1 + ν )k T k ekν √ ≤ k! k lim k→∞ (8C) (1 + ν )k T k ekν √ k! 2 qT | u − v | qT = Do đó, tồn số nguyên dương k0 cho Gk0 ánh xạ co Điều dẫn đến phương trình Gk0 (u) = u có nghiệm v ∈ C([0, T ], H (R) Ta chứng minh G(v) = v Thật vậy, ta có G(Gk0 (v)) = G(v) Do Gk0 (G(v)) = G(v) Do tính nghiệm Gk0 , ta có G(v) = v Nghĩa phương trình G(v) = v có nghiệm v ∈ C([0, T ], H (R) Bổ đề chứng minh 2.2.4 Bổ đề Giả u, v hai nghiệm (2.10) tương ứng với điều kiện cuối ϕ1 , ϕ2 u(·, t) − v(·, t) H (R) ≤ C ϕ1 − ϕ2 L2 (R) exp 8(4q + 3L2 + q )T (2T − t)ν 8T C1 số bị chặn phụ thuộc vào q, L, T 25 Chứng minh Ta có H (R) u(·, t) − v(·, t) (1 + ξ )2 |u − v|2 dξ = R (1 + ξ )2 eξ ≤2 (η(T )−η(t)) F (Sν (φ1 ) − Sν (φ2 )) dξ R T 2 +2 (1 + ξ ) ξ (η(s)−η(t)) e F (Sν (ϕ(u)) − Sν (ϕ(v)))ds dξ t R (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta có u(·, t) − v(·, t) H (R) (1 + ξ )2 eξ ≤2 (η(T )−η(t)) F (φ1 − φ2 ) dξ |ξ|≤ν T 2 +2 e (1 + ξ ) |ξ|≤ν ξ (η(s)−η(t)) F (ϕ(u) − ϕ(v))ds dξ t ≤ 2(1 + ν )2 e2ν (η(T )−η(t)) |φ1 − φ2 |2 dξ |ξ|≤ν T 2 e + 2(1 + ν ) |ξ|≤ν ≤ 2(1 + ν )2 e2ν 2ν (η(s)−η(t)) t (η(T )−η(t)) |φ1 − φ2 |2 dξ |ξ|≤ν T + 2(T − t)(1 + ν )2 e2ν |ξ|≤ν 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e T 2 e2ν + 2T (1 + ν ) (η(s)−η(t)) |F (ϕ(u) − ϕ(v))|2 dsdξ t φ1 − φ2 |ξ|≤ν F (ϕ(u) − ϕ(v))ds dξ 2 L2 (R) (η(s)−η(t)) |F (ϕ(u) − ϕ(v))|2 dsdξ t Từ ϕ(u) = b(x, t)uxx + f (x, t, u), ta có 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e φ1 − φ2 2L2 (R) H ( R) T 2 + 4T (1 + ν ) e2ν (η(s)−η(t)) (F (b(uxx − vxx ))(ξ, s))2 dξds t |ξ|≤ν u(·, t) − v(·, t) 26 T 2 e2ν + 4T (1 + ν ) |ξ|≤ν φ1 − φ2 2L2 (R) t 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e T 2 + 4T (1 + ν ) | (F (f (·, s, u) − f (·, s, v))(ξ))2 dξds (η(s)−η(t)) e2ν (η(s)−η(t)) b(·, s)(uxx − vxx ) e2ν (η(s)−η(t)) f (·, s, u) − f (·, s, v) t T 2 + 4T (1 + ν ) t 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e T e2ν 2 + 4T (1 + ν ) φ1 − φ2 |b(x, s)(uxx − vxx )|2 dxds R T + 4T (1 + ν )2 e2ν (η(s)−η(t)) t 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e φ1 − T 2 L2 (R) dξds L2 (R) (η(s)−η(t)) t L2 (R) dξds 2 e2ν + 16q T (1 + ν ) t T + 4L2 T (1 + ν )2 |f (x, s, u) − f (x, s, v)|2 dxds R φ2 2L2 (R) (η(s)−η(t)) |uxx − vxx |2 dxds R e2ν (η(s)−η(t)) t (|u − v| + |ux − vx | + |uxx − vxx |)2 dxds × R ≤ 2(1 + ν )2 e2ν (η(T )−η(t)) φ1 − φ2 L2 (R) + 4(4q + 3L2 )T (1 + ν )2 T e2ν × t (η(s)−η(t)) (|u − v|2 + |ux − vx |2 + |uxx − vxx |2 )dxds R 2 2ν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν ) e φ1 − φ2 T 2 2 e2ν + 8(4q + 3L )T (1 + ν ) L2 (R) (η(s)−η(t)) t ≤ 2(1 + ν )2 e2ν (η(T )−η(t)) R φ1 − φ2 T 2 2 e2ν + 8(4q + 3L )T (1 + ν ) t (1 + ξ )2 |u − v|2 dξds L2 (R) (η(s)−η(t)) u(·, s) − v(·, s) H (R) ds 27 Suy e2ν η(t) u(·, t) − v(·, t) H ( R) ≤ 2(1 + ν )2 e2ν T 2 2 e2ν + 8(4q + 3L )T (1 + ν ) η(s) η(T ) φ1 − φ2 u(·, s) − v(·, s) t L2 (R) H (R) ds Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có e2ν η(t) u(·, t) − v(·, t) ≤ 2(1 + ν )2 e2ν η(T ) H (R) 2 L2 (R) exp(8(4q φ1 − φ2 + 3L2 )T (T − t)(1 + ν )2 ) Do ta đạt u(·, t) − v(·, t) H (R) ≤ 2(1 + ν )eν (η(T )−η(t)) ≤ 2(1 + ν )eν q(T −t) φ1 − φ2 L2 (R) exp(4(4q + 3L2 )T (T − t)(1 + ν )2 ) + 3L2 )T (T − t)(1 + ν )2 ) q ≤ 2(1 + ν ) φ1 − φ2 L2 (R) exp(4(4q + 3L2 + )T (T − t)(1 + ν )2 ) 8T Do tồn số C1 cho φ1 − φ2 u(·, t) − v(·, t) ≤ C1 φ1 − φ2 L2 (R) exp(4(4q H (R) 8(4q + 3L2 + L2 (R) exp q )T (2T − t)ν 8T Bổ đề chứng minh Đặt ∞ w(x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) F (Sν (u(·, T ))(ξ)eiξx dξ −∞ ∞ −√ 2π T eξ −∞ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)))(ξ, s)dseiξx dξ t 2.2.5 Bổ đề Bất đẳng thức sau uν (·, t) − w(·, t) H ( R) ≤ C1 ε exp 8(4q + 3L2 + q )T (2T − t)ν 8T 28 Chứng minh Sử dung Bổ đề 2.2.4 với φ1 − φ2 thay u(x, T ) − φ ta thu bất đẳng thức q 2.2.6 Bổ đề Đặt C2 = 32(4q + 3L2 + 8T )T + qT + 2T Nếu e3C2 ξ |u(ξ, t)|2 dξ ≤ E , t ∈ [0, T ] R bất đẳng thức sau u(·, t) − w(·, t) H (R) ≤ C3 e−32(4q q +3L2 + 8T )ν E Chứng minh Ta có u(·, t) − w(·, t) H (R) (1 + ξ )2 |F (u(·, t) − w(·, t))(ξ)|2 dξ = R (1 + ξ )2 |u − w|2 dξ + = |ξ|≤ν (1 + ξ )2 |u − w|2 dξ (2.14) |ξ|≥ν Mặt khác ∞ w(x, t) = √ 2π eξ (η(T )−η(t)) F (Sν (u(·, T ))(ξ)eiξx dξ −∞ ∞ −√ 2π −√ 2π T eξ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(u)))(ξ, s)dseiξx dξ eξ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)dseiξx dξ t −∞ ∞ T t −∞ Do w(ξ, t) =eξ (η(T )−η(t)) T − F (Sν (u(·, T ))(ξ) eξ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds eξ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds t T − t (2.15) 29 Từ (2.12) (2.15) ta có đánh giá sau với ξ ∈ [−ν, ν] w(ξ, t) = eξ T − (η(T )−η(t)) F (u(·, T ))(ξ) eξ (η(s)−η(t)) F (ϕ(u))(ξ, s)ds eξ (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds t T − t T eξ = u(ξ, t) − (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds (2.16) t T eξ w(ξ, t) = − (η(s)−η(t)) F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds t = 0, ∀ξ ∈ (−∞, −ν) ∪ (ν, ∞) (2.17) Từ (2.14), (2.16) (2.17) ta có u(·, t) − w(·, t) H ( R) |ξ|≥ν T 2 + ξ (η(s)−η(t)) e (1 + ξ ) |ξ|≤ν (1 + ξ )2 |u|2 dξ = F (Sν (ϕ(w)) − Sν (ϕ(u)))(ξ, s)ds dξ t (1 + ξ )2 |u|2 dξ = |ξ|≥ν T (1 + ξ )2 + |ξ|≤ν eξ (η(s)−η(t)) F (ϕ(w) − ϕ(u))(ξ, s)ds dξ t 4 (1 + ξ )2 e−3C2 ξ e3C2 ξ |u|2 dξ ≤ |ξ|≥ν T 2 eξ (1 + ν ) (T − t) + |ξ|≤ν (η(s)−η(t)) F (ϕ(w) − ϕ(u))(ξ, s) dsdξ t 4 (1 + ξ )2 e−3C2 ξ e3C2 ξ |u|2 dξ ≤ |ξ|≥ν T 2 e2ν (1 + ν ) (T − t) + |ξ|≤ν t (η(s)−η(t)) (1 + ξ )2 |u − w|2 dsdξ 30 Do tồn số C3 cho u(·, t) − w(·, t) H (R) 4 e−2C2 ξ e3C2 ξ |u|2 dξ ≤ C3 |ξ|≥ν T 2 e2ν + (1 + ν ) T (η(s)−η(t)) u(·, s) − w(·, s) t H (R) dsdξ Điều kéo theo e2ν η(t) u(·, t) − w(·, t) ≤ C3 e2ν H (R) 4 e−2C2 ν e3C2 ξ |u|2 dξ η(t) |ξ|≥ν T + (1 + ν )2 T e2ν t (2qT −2C2 )ν ≤ C3 e e2ν + (1 + ν ) T η(s) u(·, s) − w(·, s) H (R) dsdξ η(s) u(·, s) − w(·, s) H (R) dsdξ E2 T 2 t Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta có u(·, t) − w(·, t) H (R) ≤ C3 e(qT −C2 )ν Ee (1+ν ≤ C3 e(qT +2T ≤ C3 e−32(4q 2 −C2 )ν 2 ) T (T −t) E q +3L2 + 8T )ν E Bổ đề chứng minh 2.2.7 Định lý Bài toán (2.10) đặt chỉnh Hơn nữa, u(x, t) nghiệm toán (2.7) thỏa mãn e3C2 ξ |u(ξ, t)|2 dξ ≤ E , t ∈ [0, T ] R C2 Bổ đề 2.2.6, uν (x, t) nghiệm toán (2.10) với ν = q 32(4q +3L2 + 8T u(·, t) − uν (·, t) )T ln 1ε 1/4 tồn số C4 cho H ( R) t ≤ C4 Eε + ε + 4T , ∀t ∈ [0, T ] 31 Chứng minh Tính đặt chỉnh toán (2.10) suy từ Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 Sử dụng Bổ đề 2.2.5 Bổ đề 2.2.6 ta có u(·, t) − uν (·, t) H (R) C3 e−32(4q ≤ q +3L2 + 8T )ν E + C1 ε exp 8(4q + 3L2 + Với ν = q 32(4q +3L2 + 8T )T u(·, t) − uν (·, t) ln ε 1/4 tồn số C4 cho H (R) q )T (2T − t)ν 8T t ≤ C4 Eε + ε + 4T , ∀t ∈ [0, T ] 2.2.8 Nhận xét Trong Định li 2.2.7 t = ta có u(·, 0) − uν (·, 0) H (R) ≤ C4 Eε + ε 2.2.9 Nhận xét Kết Định lý 2.2.7 tốt Định lý 2.3 Định lý 2.4 tác giả [4] Trong [4] tác giả đòi hỏi điều kiện e2β|ξ| (4+α) |u(ξ, t)|2 dξ ≤ E , t ∈ [0, T ] R Còn cần diều kiện e3C2 ξ |u(ξ, t)|2 dξ ≤ E , t ∈ [0, T ] R Hơn nữa, tốc độ dạng H¨older Còn Định lý 2.3 Định lý 2.4 tác giả [4] có trường hợp họ đạt tốc độ hội tụ dạng Logarithm 32 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert tính chất chúng Trình bày khái niệm toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa ví dụ minh họa Trình bày tổng quan kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Đề xuất chứng minh Bổ đề 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 2.2.6 Đề xuất chứng minh Định lý 2.2.7 Đưa Nhận xét 2.2.8, 2.2.9 để khẳng định kết tốt số kết [4] 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2007), Bài toán đặt không chỉnh, ĐHQG Hà Nội [2] Đậu Thế Cấp (2000) ), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [3] P H Quan, L M Triet and D D Trong (2012), A regularization of the backward problem for nonlinear parabolic equation with timedependent coefficient, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol 2012, pp 1–20 [4] Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong and Le Minh Triet (2013), On the backward problem for nonlinear parabolic equation with time and space dependent thermal conductivity: Regularization and error estimates, J Inverse Ill-Posed Probl 20 (2013), no 5-6, 745–763 [5] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, Le Minh Triet,"On a backward heat problem with time-dependent coefficient: Regularization and error estimates", Applied Mathematics and Computation, 219(2013), 6066–6073 [...]... CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN Chương này trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả mới tốt hơn một số kết quả đã được công bố 2.1 Tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính. .. tuyến ngược thời gian với hệ số hằng, các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian vẫn còn ít Đặc biệt các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian là rất hiếm 15 Vào năm 2012, các tác giả P H Quan, L M Triet và D D Trong ([3]) đã đề xuất kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic phi tuyến ngược. .. tụ dạng Logarithm 32 KẾT LUẬN Kết quả đạt được trong Luận văn này là 1 Trình bày khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert và các tính chất cơ bản của chúng 2 Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh, phương pháp chỉnh hóa và các ví dụ minh họa 3 Trình bày tổng quan các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 4 Đề xuất và chứng... ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Xét bài toán tìm một hàm u : [0, T ] → H sao cho ut + A(t)u = f (u), u(T ) − f ε, 0 < t < T, (2.1) với A(t) là toán tử tuyến tính không bị chặn tự liên hợp xác định dương trên không gian Hilbert H và f thuộc H Mặc dù đã có rất nhiều kết quả đánh giá ổn định nghiệm, cũng như các kết quả chỉnh hóa cho phương trình parabolic tuyến tính hay parabolic phi tuyến. .. phần (ii) của Định lí 2.1.2 có dạng Logarithm chứ không phải dạng H¨older 2.2 Các kết quả mới về chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Giả sử ϕ ∈ L2 (0, π) và ε > 0 Xét bài toán ut = a(x, t)uxx + f (x, t, u), (x, t) ∈ R × [0, T ), u(·, T ) − φ(·) L2 (0,π) ε (2.7) với a(x, t) là hàm thỏa mãn 0 < p ≤ a(x, t) ≤ q, ∀(x, t) ∈ R × [0, T ] (2.8) 19... tử chỉnh hóa có dạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử chỉnh hóa, nếu: i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi 0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY (f, f0 ) ≤ δ ; ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ dY (fδ , f0 ) ≤ δ ≤ δ0 ta có dX (xδ , x0 ) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ , δ) 14 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CHỈNH HÓA CHO. .. a2 a2 Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không ổn định 1.2.6 Định nghĩa Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một toán tử từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y , nằm trong một tập compăc M của X và f0 ∈ Y Gọi x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f0 Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử chỉnh hóa cho phương trình. .. so sánh tốc độ với trường hợp a(t) là hàm hằng Vào năm 2013, các tác giả P H Quan, D D Trong va L M Triet ([4]) cũng đưa ra một phương pháp chỉnh hóa cho bài toán phi tuyến ngược thời gian với hệ số phụ thuộc cả thời gian và không gian Cụ thể trong [4], 17 các tác giả đã chỉnh hóa bài toán ut (x, t) + a(x, t)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), (x, t) ∈ R × [0, T ), u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (2.5) trong... ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Họ đã xét bài toán  ut − a(t)uxx = f (x, t, u), x ∈ [o, π] 0 < t ≤ T, u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],  u(x, T ) = g(x), x ∈ [0, π], (2.2) với a(t) là hệ số truyền nhiệt sao cho tồn tại các hằng số p, q > 0 thỏa mãn 0 < p ≤ a(t) ≤ q, với mọi t ∈ [0, T ] và f là hàm thỏa mãn điều kiện f (x, t, w1 ) − f (x, t, w2 ) ≤ L|w1 − w2 | Các tác giả trên đã chỉnh. .. đòi hỏi tính đơn trị của toán tử R(f, α) Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) được gọi là nghiệm chỉnh hóa của phương trình A(x) = f0 , ở đây α = α(fδ , δ) = α(δ) được gọi là 11 tham số chỉnh hóa Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước i) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, ... tuyến tính hay parabolic phi tuyến ngược thời gian với hệ số hằng, kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Đặc biệt kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic. .. ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.1 Tổng quan kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 14 2.2 Các kết chỉnh hóa. .. TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN Chương trình bày tổng quan kết chỉnh hóa cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Trên sở đó,