TRNG THPT CHUYấN TNH THI NGUYấN CHUYấN TRI Hẩ HNG VNG NM 2015 S DNG DY NH PHN TRONG MT S BI TON M Mó: TO04 I M U Trong cỏc kỡ thi hc sinh gii v kỡ thi Quc gia Trung hc ph thụng, hc sinh gp nhiu bi toỏn m Cỏc em cú th dng cỏc nguyờn lớ m c bn, nguyờn lớ n ỏnh, nguyờn lớ song ỏnh, s dng h thc truy hi hay hm sinh vo gii quyt bi toỏn Phng phỏp s dng dóy nh phõn vo bi toỏn m l mt ni dung nh phng phỏp s dng nguyờn lớ song ỏnh v ớt c nhc n cỏc ti liu tham kho Tuy nhiờn, qua thc tin ging dy chỳng tụi nhn thy hc sinh rt thớch thỳ vi phng phỏp ny Do ú, chỳng tụi c gng su tm mt s bi cho cỏc em lm v t ú bc u rỳt mt s kinh nghim bn thõn v phng phỏp s dng dóy nh phõn mt s bi toỏn m II DY NH PHN V NHNG VN DNG CA DY NH PHN TRONG MT S BI TON M Mt s kin thc c bn v dóy nh phõn - Dóy nh phõn di n l mt dóy bao gm n phn t ú mi phn t ch nhn mt hai giỏ tr l hoc - S dóy nh phõn cú di n l 2n - S dóy nh phõn cú di n, mi dóy cú ỳng k thnh phn bng l: Cnk , (k , n * ) 2, Vn dng dóy nh phõn mt s bi toỏn m Bi 1: Cho mt li gm cỏc ụ vuụng Cỏc nỳt c ỏnh s t n m theo chiu t trỏi sang phi v t n n theo chiu t di lờn trờn Hi cú bao nhiờu ng i khỏc t nỳt (0, 0) n nỳt (m, n) nu ch cho phộp i trờn cnh cỏc ụ vuụng theo chiu t trỏi sang phi hoc t di lờn trờn Gii: n (m,n) m,n 0 1 0 (0,0) m Mt ng i nh th c xem gm (m + n) on (mi on l mt cnh ụ vuụng) Ti mi on ch c chn mt hai giỏ tr i lờn (ta mó hoỏ l 1) hay sang phi (ta mó hoỏ l 0) S on i lờn ỳng bng n v s on sang phi ỳng bng m Bi toỏn dn n vic tỡm xem cú bao nhiờu dóy nh phõn cú di (m + n) ú cú ỳng n thnh phn bng n Kt qu cn tỡm l C m + n Nhn xột: Trong bi toỏn ny chỳng ta quan tõm ti hng i ti mi thi im ch cú hai kh nng l i lờn hoc sang ngang T ú quy c mó húa a v dóy nh phõn Bi Mt rp chiu phim cú 15 mỏy iu hũa gn cỏc v trớ khỏc iu hũa c khụng khớ thỡ ti mi thi im phi cú ớt nht mt mỏy iu hũa hot ng Hi cú bao nhiờu cỏch hnh cỏc mỏy iu hũa ny khụng khớ rp luụn c iu hũa? Gii: Ta gi cỏc iu hũa ó cho l H1, H2, , H15 Ti mi thi im, iu hũa Hi bt ta mó húa bi s v nu nú tt ta mó húa bi s Khi ú mi cỏch hnh 15 mỏy iu hũa tng ng vi mt dóy nh cú di 15 Cỏch hnh tha yờu cu bi toỏn tng ng vi dóy nh phõn di 15, ú cú ớt nht mt thnh phn bng Cú nht mt dóy nh phõn di 15 m tt c cỏc phn t u l Do ú kt qu cn tỡm l 215 -1 = 32767 cỏch Nhn xột: Trong nhiu bi toỏn thc tin ta gp hai kh nng chớnh bi toỏn l hai quan h trỏi ngc nh: bt v tt; úng v m; thuc v khụng thuc; c v khụng c Khi gp nhng quan h nh th ta cú th ngh n vic a bi toỏn v bi toỏn liờn quan n dóy nh phõn Sau õy l mt s bi toỏn nh th Bi 3: Chng minh rng mt hp X cú n phn t thỡ X cú ỳng 2n hp vi n l s t nhiờn Gii: - Nu n = thỡ khng nh trờn hin nhiờn ỳng - Nu n l s nguyờn dng thỡ ta gi cỏc phn t ca X l a1, a2,, an Tng ng vi mt hp A bt kỡ ca X, ta xõy dng mt dóy nh phõn cú n phn t bng cỏch nu phn t th thuc A thỡ ta vit vo v trớ th i ca dóy nh phõn s 1, cũn nu khụng thuc A thỡ ta vit vo v trớ th i ca dóy nh phõn s Mi v trớ dóy nh phõn ch cú th nhn mt hai giỏ tr S dóy nh phõn nh th l 2n dóy Vy bi toỏn c chng minh Bi 4: Cú n chic ko ging chia cho m em (m, n nguyờn dng) Hi cú bao nhiờu cỏch chia ko? õy l mt bi toỏn hay cú tờn l bi toỏn chia ko ca Euler v cú nhiu ng dng gii toỏn t hp nhng bi trc hc sinh cú th d dng nhn hai quan h bi toỏn, t ú cú th mó húa a v bi toỏn ca dóy nh phõn Vn dng bi trờn ta cú th gii c bi nhiờn chỳng tụi trỡnh by mt phng phỏp hng dn hc sinh gii bi toỏn ny bng phng phỏp s dng dóy nh phõn Phng phỏp hng dn sau õy gi l k thut bc gin dng lý thuyt v vựng phỏt trin gn nht ca Vygotsky Sau õy l on hi thoi cú th din gia giỏo viờn v hc sinh Tỡnh hi thoi giỏo viờn tng tng v lờn k hoch thay i nu cn trc lờn lp Nhng cõu cú du ? l ca giỏo viờn, nhng cõu cú du ! l ca hc sinh ? Gi thit ca bi toỏn l gỡ? ! Cú n chic ko ging chia cho m em ? Yờu cu ca bi toỏn l gỡ? ! m xem cú bao nhiờu cỏch chia ko tha yờu cu bi toỏn? ? Theo em, bi toỏn cú bao nhiờu i tng chớnh? ! Cú hai i tng chớnh l em v ko ? iu ny cú gi ý cho em ý tng gỡ khụng? ! Em s a bi toỏn v bi toỏn liờn quan n dóy nh phõn ? Vy em phi quy c i tng no l 0, i tng no l 1? ! Em ngh hai i tng chớnh thỡ mt i tng l cũn i tng l Vớ d, em quy c mi em l mt s 0, mi chic ko l mt s ? Lm th no cú mi cỏch chia ko tng ng vi mt dóy nh phõn no ú? ! Em phi xp cỏc s v thnh mt hng ? Vy ý tng tip theo ca em l gỡ? ! Nu em c ko thỡ em ch vit: Nu em c nhn k chic ko thỡ em vit: 11 { k sậ Em s vit liờn tip t em th nht ti em th m to thnh dóy nh phõn cú m s v n s ? Em cú th minh ý ú rừ hn bng mt vớ d c th? ! Vớ d mt cỏch chia ko ging cho em vi em th c chic ko, em th khụng c nhn chic ko no cũn em th nhn chic ko Em vit 0111001111 ? Tt lm! Vy bi toỏn ban u em ó bit cỏch gii? ! Mi cỏch chia ko tng ng vi mt dóy nh phõn cú di (m+n); ú cú m thnh phn 0, n thnh phn v luụn cú mt thnh m1 phn ng u dóy Do ú kt qu cn tỡm l: C n+ m1 Bi Cho X l mt hp m s nguyờn dng Gi p1 , p2 , , pn l cỏc c nguyờn t ca cỏc s X Chng minh rng nu m > 2n thỡ tn ti hai s X m tớch ca chỳng l mt s chớnh phng Gii: Mi s M X mó húa bi mt dóy nh phõn ( x1 , x2 , , xn ) ú xi = nu s m ca pi phõn tớch tiờu chun ca M l chn; xi = nu s m ca pi phõn tớch tiờu chun ca M l l p dng nguyờn lớ Dirichlet, ta xỏc nh m th l m s X Cỏc chung l 2n dóy nh phõn cú di n Khi ú cú hai s cú tng ng cựng dóy nh phõn Tớch hai s ny l mt s chớnh phng Bi Mt dóy m s nguyờn dng cha chớnh xỏc n s hng phõn bit Chng minh rng: Nu 2n m thỡ tn ti nhng s hng liờn tip dóy m tớch ca chỳng l mt s chớnh phng Gii: Ly b1 , b2 , , bm l mt dóy ú bi {a1 , a2 , , an },1 i m Vi mi j m ta xột dóy nhng s hng liờn tip b1 , b2 , , b j ng vi mi dóy ny ta cú mt b K j (k1 , k2 , , kn ) , ú ki = nu xut hin s chn ln dóy trờn, trng hp cũn li ki = - Nu tn ti j m : K j (0, 0, , 0) thỡ tớch b1.b2 b j l s chớnh phng - Trng hp cũn li, ỏp dng nguyờn lớ Dirichlet, ta ly m th l m b K j vi j m Cú 2n chung th l s cỏc giỏ tr ca (k1 , k2 , , kn ) vi ki = hoc ki = vi i n Theo gi thit, cú hai b K j = K l , vi j l Khi ú dóy b j +1 , b j + , , bl , mi xut hin s chn ln Vy tớch b j +1.b j + .bl l mt s chớnh phng Bi [ Balkan 1997] Lấy m n số tự nhiên lớn Gọi S tập hợp có n phần tử Lấy A1, A2, A3,,Am tập S Giả sử rằng, phần tử x, y thuộc S có tập hợp Ai ( i = 1, m ) thỏa mãn điều kiện: x Ai y Ai x Ai y Ai Chứng minh rằng: n m Phõn tớch: Bi toỏn yờu cu chng minh mt bt ng thc nờn cú th s dng Nguyờn lớ n ỏnh Ta thy S cú n phn t nờn s tỡm mt n ỏnh t S ti mt T no ú Tp T phi cú m phn t Bi toỏn cú hai quan h thuc v khụng thuc nờn cú th a v bi toỏn dóy nh phõn M ta ó bit hp cỏc dóy nh phõn cú di m thỡ cú m phn t (do ti mi v trớ ch cú th chn l hoc 0) Tp T phi liờn quan n m nờu bi Ta cú cỏch xõy dng n ỏnh nh li gii sau: Giải: Mỗi phần tử x S ta cho tương ứng với dãy nhị phân f ( x ) = ( x1 , x2 , , xm ) , với xi = xi Ai xi = xi Ai Chúng ta có ánh xạ: f: S T = {( x , x , , x m ) xi {0;1}} Từ giả thiết ta có, x y f ( x) f ( y ) Vậy f đơn ánh S T Mỗi phần tử T dãy nhị phân có độ dài m nên T = m Vậy n m Bi Trong mt ca hng kem cú ba loi kem que: kem u xanh, kem cam v kem sa da Mt cu mun mua que kem ú Bit cỏc que kem cựng tờn ging ht v cú s lng ỏp ng cho mi s la chn ca cu Hi cu cú bao nhiờu cỏch la chn bit th t chn cỏc loi kem l khụng quan trng? Gii: Mó húa mi que kem bi mt s ri xp que c chn thnh mt dóy thng theo th t kem u xanh, kem cam v kem sa da Ngn cỏch cỏc loi kem vi bi s Vớ d : cu chn kem u xanh, kem cam v kem sa da thỡ ta vit 00101000; cu chn kem u xanh, kem cam v kem sa da thỡ ta vit 10000100 ; kem u xanh, kem cam v kem sa da thỡ ta vit 00110000 ; cu chn c kem cam thỡ ta vit 10000001 Vy mi cỏch chn tng ng vi mt dóy nh phõn cú di ú cú ỳng thnh phn bng Vy s cỏch chn cú th l : C8 cỏch Chỳ ý : Cú nhng bi toỏn ta khụng nht thit mó húa v s hoc s m ta cú th mó húa bi cỏc s khỏc Bi Để xem buổi biểu diễn xiếc, người phải mua vé vào giá USD Mỗi khán giả phép mua vé Mọi người đến mua vé đứng xếp thành hàng dọc trước cửa bán vé Mỗi người mang tờ USD tờ USD Người bán vé quên không mang theo tiền Giả sử có n người mang tờ USD m người mang tờ USD ( m n ) Tìm số cách xếp hàng cho người có tờ USD nhận vé, người có tờ USD đến lượt nhận vé tờ USD trả lại ? Giải : Mã hóa người có tờ USD số 1, người có tờ USD số Mỗi cách xếp hàng tương ứng với véc tơ có (m+n) thành phần n thành phần 1, m thành phần Thành phần thứ i tương ứng với người xếp hàng vị trí thứ i Số véc tơ m Cn + m Một véc tơ gọi tốt tương ứng với cách xếp hàng thỏa mãn yêu cầu toán Các véc tơ lại gọi véc tơ xấu Chúng ta đếm xem có véc tơ xấu cách xây dựng song ánh từ tập A véc tơ xấu đến tập B véc tơ có (m + n + 1) thành phần Mỗi véc tơ B có hai tính chất : i, Có m thành phần 2, (n+1) thành phần ii, Thành phần đứng vị trí m1 Ta có: B = Cm+n Cách xây dựng song ánh sau: r v - Giả sử véc tơ xấu, tức từ thành phần đến hết thành phần thứ (i-1) tương ứng với việc mua vé diễn suôn sẻ Đến thành phần thứ i tương ứng với người thứ i mua vé người bán vé tiền trả lại Vị trí i lúc ta gọi vị trí xấu Như vậy, từ thành phần tới hết (i-1) có số lượng thành phần số lượng thành phần Xây dựng véc tơ r v ' cách thực hai bước: r v - Bước 1: Thêm thành phần vào trước thành phần Khi đó, vị trí xấu ( i +1) - Bước 2: Từ vị trí véc tơ bước tới hết vị trí (i+1), thay giá trị giá trị Các thành phần từ vị trí (i+2) trở giữ nguyên giá trị cũ r Sau hai bước ta thu véc tơ v ' thuộc tập B ur - Xét véc tơ u ' thuộc B gọi j số tự nhiên bé thỏa mãn từ vị trí đến hết vị trí j thỏa mãn số thành phần số thành phần Thao tác ngược lại trên, từ vị trí tới hết vị trí j ta thay Các vị trí lại giữ nguyên cũ Bỏ số hành phần ta véc tơ xấu thuộc A Vậy có song ánh từ A đến B nên số véc tơ tốt bằng: Cnm+ m - Cmm+n1 Đây kết cần tìm toán Nhn xột: Nu thêm giả thiết Bi có có q người xếp hàng sẵn Mỗi người họ có tờ USD Hỏi có cách xếp hàng thỏa mãn? m n +1 Kt qu: Cn+mq Cm+nq Bi 10 Xột hp M gm 1985 s nguyờn dng phõn bit, cho khụng cú s no cú c s nguyờn t ln hn 23 Chng minh rng M cha mt gm phn t m tớch ca phn t ny l ly tha bc ca mt s nguyờn Hng dn: Vỡ ch cú s nguyờn t khụng ln hn 23 nờn mi mt phn t 1985 phn t k ca hp M cú th phõn tớch c thnh tha s nguyờn t ú cú nhiu nht l s nguyờn t phõn bit: k = p1 p2 p9 , (*) k k k ú ki v ki nguyờn Vi mi s hng ca M ta gỏn tng ng vi mt vector (x1; x2,x9) ú: xi = nu s m ki ca pi (*) l chn v xi = nu ki l l Nh th ta cú c 29 vector phõn bit Theo nguyờn lớ Dirichlet, mi hp ca 29 + phn t ca M cha ớt nht s nguyờn phõn bit, chng hn a1 v b1, vi cựng vect ly tha Suy tớch ca chỳng l mt s chớnh phng: a1b1 = C2 Khi ta ly i mt cp nh th t hp M thỡ cũn li 1985 - > 29 +1 s, ỏp dng ln na nguyờn lớ Dirichlet v tip tc ly i nhng cp nh th cho ti ớt nht cũn li 29+l s M Vỡ 1985 > 3(29 +1) = 1539 nờn ta cú th ly i 29 + cp , bi v s cú 1985 - 2(29 +1) = 959 > 29 +1 = 513 s cũn li M Bõy gi ta nhỡn li 29 + cp ly i v ly cn bc hai ca Ci (vi Ci l tớch a i b i , tc l Ci = bi ) S Ci khụng th cha cỏc tha s nguyờn t khỏc p1, p2 , ,p9, cho nờn ớt nht cú mt cp Ci, Cj vi cựng vect ly tha, v Ci Cj = d2, d l s nguyờn bt kỡ Suy ra, d = Ci2C 2j = aibi a j b j v i a i , b i , a j , b j bt kỡ M III KT LUN Trong bi vit ny chỳng tụi a nhng vớ d v vic dng dóy nh phõn vo cỏc bi toỏn m quen thuc Nhiu bi toỏn trờn cũn cú nhng cỏch gii khỏc, nhiờn chỳng tụi mun hc sinh thy c v p ca li gii bi toỏn s dng tớnh cht ca dóy nh phõn Trong quỏ trỡnh thc nghim chỳng tụi cm nhn c s thớch thỳ ca hc sinh qua tng bi toỏn bi dóy nh phõn cú cu trỳc n gin v nhng tớnh cht d nh Chỳng tụi mong rng cú th cựng cỏc bn ng nghip nghiờn cu sõu hn ni dung ny v ỏp dng c phng phỏp ó nờu vo nhng bi toỏn phc hn TI LIU THAM KHO Andreescu, T., & Feng, Z (2003), A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies, Springer Balakrishnan, V K (1995), Schaum's outline of theory and problems of combinatorics:[including concepts of graph theory], McGraw-Hill Búna, M (2011), A walk through combinatorics: an introduction to enumeration and graph theory, World Scientific Chuan-Chong, C., & Koh, K M (1992), Principles and techniques in combinatorics, World Scientific [...]... chúng tôi đưa ra những ví dụ về việc vận dụng dãy nhị phân vào trong các bài toán đếm quen thuộc Nhiều bài toán ở trên còn có những cách giải khác, tuy nhiên chúng tôi muốn học sinh thấy được vẻ đẹp của lời giải bài toán khi sử dụng tính chất của dãy nhị phân Trong quá trình thực nghiệm chúng tôi cảm nhận được sự thích thú của học sinh qua từng bài toán bởi dãy nhị phân có cấu trúc đơn giản và những tính... phân biệt Theo nguyên lí Dirichlet, mọi tập hợp con của 29 + 1 phần tử của M chứa ít nhất 2 số nguyên phân biệt, chẳng hạn a1  và b1, với cùng vectơ lũy thừa Suy ra tích của chúng là một số chính phương: a1b1 = C2 Khi ta lấy đi một cặp như thế từ tập hợp M thì còn lại 1985 - 2 > 29 +1 số, áp dụng lần nữa nguyên lí Dirichlet và tiếp tục lấy đi những cặp như thế cho tới khi ít nhất còn lại 29+l số trong. .. +1 = 513 số còn lại trong M Bây giờ ta nhìn lại 29 + 1 cặp lấy đi và lấy căn bậc hai của Ci (với Ci là tích a i b i , tức là Ci = ai bi ) Số Ci không thể chứa các thừa số nguyên tố khác p1, p2 , ,p9, cho nên ít nhất có một cặp Ci, Cj với cùng vectơ lũy thừa, và Ci Cj = d2, d là số nguyên bất kì Suy ra, d 4 = Ci2C 2j = aibi a j b j v ới a i , b i , a j , b j bất kì trong M III KẾT LUẬN Trong bài viết... học sinh qua từng bài toán bởi dãy nhị phân có cấu trúc đơn giản và những tính chất dễ nhớ Chúng tôi mong rằng có thể cùng các bạn đồng nghiệp nghiên cứu sâu hơn nội dung này và áp dụng được phương pháp đã nêu vào những bài toán phức tạp hơn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Andreescu, T., & Feng, Z (2003), A Path to Combinatorics for Undergraduates: Counting Strategies, Springer 2 Balakrishnan, V K (1995), Schaum's ... giả thiết ta có, x y f ( x) f ( y ) Vậy f đơn ánh S T Mỗi phần tử T dãy nhị phân có độ dài m nên T = m Vậy n m Bi Trong mt ca hng kem cú ba loi kem que: kem u xanh, kem cam v kem sa da... gọi j số tự nhiên bé thỏa mãn từ vị trí đến hết vị trí j thỏa mãn số thành phần số thành phần Thao tác ngược lại trên, từ vị trí tới hết vị trí j ta thay Các vị trí lại giữ nguyên cũ Bỏ số hành... Giả sử có n người mang tờ USD m người mang tờ USD ( m n ) Tìm số cách xếp hàng cho người có tờ USD nhận vé, người có tờ USD đến lượt nhận vé tờ USD trả lại ? Giải : Mã hóa người có tờ USD số