400 tập toán (bồi dỡng học sinh giỏi) Phần thứ nhất: Đại số Chơng I: Số nguyên Đ Tập hợp Z số nguyên Tóm tắt lý thuyết: * Tập hợp Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; }gồm số tự nhiên 0; 1; 2; 3; số -1; -2; -3; gọi tập hợp số nguyên * Biểu diễn trục số: Điểm biểu diễn số nguyên a gọi điểm a * Các số -1 1; -2 2; -3 3; số đối Số đối số Các toán: Bài 1: Trong câu sau, câu đúng, câu sai: a) Mọi số tự nhiên số nguyên b) Mọi số nguyên số tự nhiên Bài 2: Đọc nhiệt độ thành phố dới đây: Hà Nội 180C Bắc Kinh -20C Huế 200C Matxcơva -70C TP Hồ Chí 250C Pari 00C Minh Bài 3: Viết tập hợp M số nguyên lẻ có chữ số Biểu diễn chúng trục số Bài 4: Một ốc sên vị trí gốc O cột cách mặt đất mét (hình 1) Ban ngày ốc sên bò lên đợc mét Ban đêm ta mệt "ngủ quên" nên bị tuột xuống dới: a) mét; b) mét Hỏi sáng hôm sau ốc sên cách O mét trờng hợp a, b? Đ Thứ tự Z Tóm tắt lý thuyết: * Cho a, b Z Đn a nhỏ b điểm a bên trái điểm b trục số * Giữa hai số nguyên a a + không tồn số nguyên * a < a số nguyên âm Đn a > a số nguyên dơng Số không số nguyên âm không số nguyên dơng * Giá trị tuyệt đối a kí hiệu |a| |a| = |-a| với a Các toán: Bài 5: Trong câu sau câu đúng, câu nà sai: a Số nguyên âm nhỏ số nguyên dơng b Số nguyên âm nhỏ số tự nhiên Đn c Số tự nhiên số nguyên dơng d Số tự nhiên số nguyên âm e Giá trị tuyệt đối số nguyên a số nguyên dơng g Giá trị tuyệt đối số nguyên a số tự nhiên h Giá trị tuyệt đối số nguyên a số không âm Bài 6: Cho biết a < b (a 0, b 0) Có tất trờng hợp xảy thứ tự ba số a, b, 0? Bài 7: Tìm tất số nguyên x cho: a -3 < x < b x < -3 x < c x < -3 x > d x < -3 x > Bài 8: Tìm số nguyên a biết: a |a| = 2000 b |a| = -2001 c |a| = 1999 (a < 0) Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000 Đ3 Phép cộng Z Tóm tắt lý thuyết: a) Cộng với số 0: a + = + a = a với a thuộc Z b) Cộng hai số dấu: Cộng hai số nguyên dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt dấu dấu chung chúng c) Cộng hai số khác dấu: - Tổng hai số đối - tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ đặt dấu số có giá trị tuyệt đối lớn trớc hiệu tìm đợc Các toán: Bài 10: Trong câu sau câu đúng, câu sai: a Tổng hai số dơng số dơng b Tổng hai số âm số âm c Tổng số âm số dơng số âm d Tổng số âm số dơng số dơng Bài 11: Tìm số nguyên x y cho: a |x +2| + |y + 5| = b ||y| + |x + 2|| + |x| = Bài 12: Tính: a |a| + a a b |a| + a a < Đ4 Tính chất phép cộng Tóm tắt lý thuyết: Giao hoán: a + b = b + a ; với a, b thuộc Z Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với a, b, c thuộc Z Cộng với 0: a + = + a = a ; với a thuộc Z Tính chất giao hoán kết hợp tổng quát: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b = Các toán: Bài 13: Tính: a + (-3) + + (-7) + + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19) b (-2) + + (-6) + + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20 Bài 14: Tính tổng số nguyên x, biết: a -10 < x < 10 b -10 < x 10 c -10 x 10 Bài 15: Hãy điền số nguyên vào ô trống (hình 2) cho tổng số ô liền theo cột dọc nh hàng ngang 12 Đ6 Phép trừ Z Tóm tắt lý thuyết: * Số đối số nguyên a ký hiệu -a Ta có: -(-a) = a |a| = a nếua a nếua < * Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b Z Các toán: Bài 16: Chứng minh số đối a - b b - a (a, b Z) Bài 17: Tìm x, biết: a |x| + = b |x| - = c - |x| = d |x + 3| = e |x - 3| = g |x + 5| = -3 Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhỏ nhất, biết rằng: 1996 < |x + 2| < 2000 Đ6 Quy tắc "dấu ngoặc" Tóm tắt lý thuyết: * Số đối tổng tổng số đối -(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b * Tổng đại số: Một dãy phép cộng trừ liên tiếp số nguyên đợc gọi tổng đại số Trong tổng đại số: a) Ta bỏ dấu ngoặc và: - Giữ nguyên dấu số hạng trớc dấu ngoặc có dấu cộng - Đổi dấu số hạng trớc dấu ngoặc có dấu - b) Ta thêm dấu ngoặc để nhóm số hạng tùy ý và: - Giữ nguyên dấu số hạng trớc dấu ngoặc có dấu + - Đổi dấu số hạng trớc dấu ngoặc có dấu - Các toán: Bài 19: Tính tổng đại số sau: S = + - - + + - - + - 99 - 100 + 101 + 102 Bài 20: Đơn giản biểu thức sau bỏ dấu ngoặc: a (a + b) - (-c + a + b) b -(x + y) + (-z + x + y) c (m - n + p) + (-m + n + p) Bài 21: Tìm x, biết: a 15 - (3 + x) = b -11 - (19 - x) = 50 c (7 + x) - (21 - 13) = 32 d (7 - x) + (3 - 10) = Bài 22: Tìm số nguyên x, biết: a |x - 2| = b |x - 3| > c < |x| < Bài 23: Chứng minh đẳng thức sau: a (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d) b (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d Đ7 Phép nhân Z Tóm tắt lý thuyết: * Nhân số với 0: a.0 = 0.a = với a thuộc Z * Nhân hai số nguyên khác 0: |a | | b | nếua,b cùngdấu a.b = (với a, b thuộc Z) (|a | | b |) nếua,b khácdấu * Chú ý: + Nếu a.b = a = b = + Khi đổi dấu thừa số tích a.b tích đổi dấu (-a).b = a.(-b) = -a.b + Khi đổi dấu đồng thời hai thừa số tích a.b không đổi dấu: (-a) (-b) = a.b Các toán: Bài 24: Cho a số nguyên dơng Hỏi b số nguyên dơng hay nguyên âm nếu: a) a.b số nguyên dơng b) a.b số nguyên âm Bài 25: Không thực phép tính điền dấu > < vào ô trống: a) -105 48 b) -250 (-52) c) -17 (-159) (-575) 125 72 Bài 26: Tìm x, biết: a -x (x + 3) = b (x - 2)(3x - 9) = c (3 - x)(|x + 5|) = d (|x| + 1) (4 - 2x) = Bài 27: Cho 11 số nguyên viết vòng tròn tích hai số liền Tìm số Nếu viết 10 số nh kết sao? Đ8 Tính chất phép nhân Tóm tắt lý thuyết: a Giao hoán: a.b = b.a với a, b thuộc Z b Kết hợp: a(bc) = (ab)c với a, b, c thuộc Z c Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với a thuộc Z d Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca với a, b, c thuộc Z `* Chú ý: Khi thực phép nhân nhiều số, ta có: + Tích mang dấu "+" số thừa số âm chẵn + Tích mang dấu "-" số thừa số âm lẻ Các toán: Bài 28: Bỏ dấu ngoặc: a (-a) (b - c + d) a, b, c, d Z b (a + b) (1 + x + y) a, b, x, y Z c (a - b) (a + b) - (b - a)b a, b Z Bài 29: Chứng minh đẳng thức sau: a a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; a, b, c Z b a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ; a, b, c, d Z c (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b); a, b, c, d Z Bài 30: Tìm x, biết: a |2x + 1| = b 3|x + 1| + = 28 Đ9 Bội ớc số nguyên Tóm tắt lý thuyết: * a, b Z có q Z : a = bq Ta nói: a bội b Hoặc b ớc a a chia hết cho b (a b) b chia hết a (b\a) * Tính chất: a, b, c, m Z , b 0: + a b, b c => a c; + a c, b c => (a b) c + a b => am b Các toán: Bài 31: a Chứng minh tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng năm số nguyên liên tiếp chia hết cho b Tổng hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho không? Tổng bốn số nguyên liên tiếp có chia hết cho không? Có thể rút kết luận gì? Bài 32: Cho a, b, c số nguyên chứng minh a - b chia hết cho c có số nguyên t để a = b + ct ngợc lại Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho Chứng minh biểu thức sau chia hết cho a a + 5b; b a + 17b; c a - 13b Bài 34: Tìm số nguyên x y biết: a (x + 3)(y + 2) = b (2x - 5)(y - 6) = 17 c (x - 1)(x + y) = 33 Ôn tập chơng I Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + + + Hỏi tổng vế phải đẳng thức có số hạng số hạng cuối bao nhiêu? Bài 36: Cho số nguyên a 1, a2, a3, a4, a5 b1, b2, b3, b4, b5 hoán vị số cho Chứng minh tích (a - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hết cho Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng: a (x - 3)(x + 2) > b (2x - 4)(x + 4) < Bài 38: Tìm số nguyên x, y cho (x - 2)2 (y - 3) = -4 Bài 39: Tìm số nguyên x, y cho (x + 2)2 + 2((y - 3)2 < Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng: (3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = Chơng II: Số hữu tỷ Đ1 Phân số Tóm tắt lý thuyết a * b phân số với a, b Z; b a c *b =d * ad = bc a ma a : m = = b mb b : m (m 0, a m, b m) Các toán: Bài 41: a) Các phân số sau có không? 20 ; 10 20 14 ; 12 37 b) Cho a b hai số nguyên (b 0) Chứng minh phân số sau nhau: a b a b Bài 42: ; a b a b a) Viết phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng: 1999 2000 b) Viết tập hợp phân số bằng: ; ; 12 ; 22 33 Bài 43: a) Không cần tính toán khẳng định cặp phân số sau không nhau, sao? ; 13 và 17 ; b) Quy đồng mẫu phân số: 10 ; , 10 Đ2 Tập hợp Q số hữu tỉ Tóm tắt lý thuyết: * Các phân số có giá trị, giá trị gọi số hũu tỉ Mỗi số hữu tỉ viết dới dạng a b với b a, b Z * Biểu diễn số hữu tỉ trục số: - Chia đoạn đơn vị trục số thành b phần , phần b - Nếu a > số a b đợc biểu diễn điểm bên phải cách đoạn a lần b - Nếu a < số a b đợc biểu diễn điểm bên trái điểm cách đoạn |a| lần b Các toán: Bài 44: Điền ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (trong trờng hợp xét khả xảy ra) a 2000 b -2000 Bài 45: a Tìm |x| , biết: x = -7; x = b Tìm x, biết: |x| = 34 11 ; |x| = 0; |x| = Bài 46: Cho số hữu tỷ: x1 = 20 97 ; x2 = 11 ; 12 2020 9797 c x= ; |x| = ; x3 = d ;x=0 11 23 202020 ; 979797 x4 = 20202020 97979797 a Hãy so sánh số hữu tỷ b Viết tập hợp số hữu tỷ số hữu tỷ Đ3 Thứ tự Q Tóm tắt lý thuyết: * x, y Q; x = a m , y= b m (m > 0) x < y a < b x < y y > x Nếu x < y trục số điểm x bên trái điểm y * Số hữu tỷ lớn gọi số hữu tỷ dơng Số hữu tỷ nhỏ gọi số hữu tỷ âm Số không số hữu tỷ dơng không số hữu tỷ âm Các toán: Bài 47: a Sắp xếp số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần: 7 ; ; ; ; ; ; 12 6 b Sắp xếp số hữu tỷ sau theo thứ tự giảm dần: 13 ; ; ; 0; 4; 2; 10 5 Bài 48: Dựa vào tính chất bắc cầu thứ tự x < y; y < z => x < z (x, y, z Q) Hãy so sánh: 10 13 1998 1999 a 11 12 b 23 12 c 15 14 d 2001 2000 Bài 49: Cho hai số nguyên a, b a Chứng minh: a a +1 < b b +1 Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mời số hữu tỷ xen hai số hữu tỷ Bài 51: Phần nguyên số hữu tỷ x, ký hiệu [x] số nguyên lớn không vợt x, tức là: [x] x < [x] + Ví dụ: + Vì < 1,2 < + = nên [x] = [1,2] = + Vì < + = nên [x] = [3] = Hãy tìm ; ; [-4] ; [-4,75] ; Đ4 Phép cộng phép trừ Q Tóm tắt lý thuyết: * x, y Q; x = x+y= a m a m , y= + b m = b (m m a +b m > 0) * Mỗi số hữu tỷ x có số đối, ký hiệu -x, cho x + (-x) =0 * Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y) Các tập: ; ; ; ; 12 Bài 52: Tìm số đối của: Tính tổng số đối vừa tìm đợc Bài 53: a Chứng minh với số hữu tỷ x -(-x) = x b Chứng minh số đối số hữu tỷ dơng số hữu tỷ âm ngợc lại Bài 54: Tìm x, biết: a x - 12 = 13 12 b x - =0 c |x - 3| = Bài 55: Chứng minh rằng: a b a a a + = ; b b + b(b +1) a a a + = b +1 b b(b + 1) a, b Z , b > ; a, b Z , b > Bài 56: Tìm [x], biết: a x - < < xb x x+ 0, y < c x < 0, y > d x < 0, y < Bài 128: Tìm mặt phẳng tọa đô Oxy tất điểm có : a Hoành độ b Tung độ c Hoành độ d Tung độ -2 e Hoành độ số đối tung độ g Hoành độ tung độ Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy Tìm diện tích hình chữ nhật giới hạn hai trục tọa độ hai đờng thẳng chứa tất điểm có hoành độ tất điểm có tung độ Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C (6; 5); D (2; 5) Tính diện tích tứ giác biết khoảng chia trục số ứng với 0,5cm Bài 131: Tìm diện tích tam giác biết tọa độ ba đỉnh A (0; 4); B (4; 0) C ( 1; 1) Đ7 Đồ thị hàm số tóm tắt lý thuyết : * Định nghĩa : Đồ thị hàm số f : X ` Y tập hợp tất điểm có tọa độ (x, f(x)) với x X mặt phẳng tọa độ Oxy A ( x A , y A ) điểm đồ thị yA = f ( xA ) toán : Bài 132: Cho hàm số y = 2x + a Các điểm sau có nằm đồ thị không: A (2; 5); B (0; 1); C (3; 2) b Tìm tọa độ điểm D đồ thị biết xD =1 c Tìm tọa độ điểm E đồ thị biết yE = d Tìm tọa độ điểm F đồ thị biết y F = xF Bài 133: Cho hàm số f : X Q x 2x + X = {-1; ; 0; ; 1} a Liệt kê tất cặp số (x, f(x)) b Vẽ đồ thị hàm số f Đ8 Đồ thị hàm số y = ax tóm tắt lý thuyết : 20 * Đồ thị hàm số y = ax (a Q, a 0) tập hoẹp điểm nằm đờng thẳng qua gốc tọa độ * Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta cần xác định thêm điểm : lấy x1 y1 = ax1 Nối O (0, 0) M (x1, y1) ta đợc đờng thẳng chứa đồ thị hàm số y = ax y Các toán: A Bài 134: Cho hình vẽ bên (H 8) với x0, y0 Q y0 + Hãy tính tỉ số : x O -2 -1 x Hình Bài 135: a Vẽ đồ thị hàm số y= x b Gọi A điểm đồ thị Tìm tọa độ điểm A, biết yA = c Gọi B điểm đồ thị Tìm tọa độ điểm b , biết y B + 2xB = Bài 136: Cho hàm số y : Q R x f(x) thỏa mãn: a) f(0) = b) f ( x1 ) f ( x2 ) = với x1 , x2 khác x1 x2 Chứng minh f(x1) = ax với a số Đ9 Đồ thị hàm số y = a x Tóm tắt lý thuyết: * Đồ thị hàm số y = a x (a , a Q) điểm nằm đờng cong hypebol gồm hai nhánh nằm hai góc phần t mặt phẳng tọa độ - Nếu a > hai đờng cong nằm góc phần t thứ I III - Nếu a < hai đờng cong nằm góc phần t thứ II IV Các toán: Bài 137: Điểm A (2 ; điểm B (-3 ; ) thuộc đồ thị hàm số y = ); C(-1 ; ); D(4 ; a x Trong ) điểm thuộc đồ thị hàm số Vẽ đồ thị hàm số 21 Bài 138: Đờng cong chứa đồ thị y = B(n ; x qua điểm A( ; m) ) Hãy xác định m n Bài 139: Cho hàm số f : Q* Q* x f(x) f (x ) x thỏa mãn điều kiện : f ( x ) = x Với hai giá trị x1, x2 khác x Chứng minh f(x) = a x , với a số _ Chơng III Bài 140: a Cho hàm số f : Q Q x {x} (hàm phần lẻ) Tính f(-2,3); f(-1,5); f(1,35) Tìm tất ccs giá trị x cho f(x) = b cho hàm số f : Q Q x [x] (hàm phần nguyên) Tính f(-4,3); f( ); f(10) Với fía trj x f(x) = 5? Bài 141: a Cho hàm số f1 : Q Q x 2x2 + Chứng minh với x Q, ta có f1(-x) = f1(x) b cho hàm số f2 : Q Q x 2x3 - x Chứng minh với x Q, ta có f2(-x) = -f2(x) Bài 142: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng chúng , tử số chúng tỉ lệ theo3; 4; 5, mẫu chúng tỉ lệ theo 2; 3; Bài 143: Tìm tập xác định hàm số: a) y= x ; b) y = ; x +1 c) y= x x ; d) y= x +x Bài 144: Hàm số f(x) xác định với x Q Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với a, b f( ) = Hãy tính f(2000) Bài 145: Tìm số x, y, z Q, biết rằng: (x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = : : : 22 Bài 146: Cho hàm số y = - x Tìm đồ thị hàm số hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB) thỏa mãn điều kiện: xA - xB = yA - yB = -6 _ Chơng IV: Biểu thức Đại số Đ1 Biểu thức chứa chữ Tóm tắt lý thuyết: Một biểu thức đại số gồm số, chữ phép toán số chữ - Những chữ đại diện cho số tùy ý tập hợp số gọi biến số - Những chữ đại diện cho số xác định gọi hàm số Một biểu thức đại số không chứa biến mẫu gọi biểu thức nguyên Một biểu thức đại số chứa biến mẫu gọi biểu thức phân Các toán: Bài 147: Viết biểu thức đại số sau: a) Tổng bình phơng ba số hữu tỉ a, b, c b) Tổng nghịch đảo ba số hữu tỉ x, y, z c) Ba lần tổng ba số x, y, z trừ tổng tích ahi ba số d) Tỉ số hiệu với tích x, y với tổng x, y, z e) Thơng tổng hai số a b với bình phơng tích hai số Trong biểu thức biểu thức nguyên biểu thức phân? Bài 148: Trong biểu thức đại số sau đâu biểu thức nguyên, đâu biểu thức phân (với x, y biến; a, b hằng) a) 2x(y2 + 2) + x2 - y2 ; d) x 3x +1 5a + b) 4( x 2)( y +1) x ; c) x ( y +1) 3x + y 2by ; Bài 149: Hãy thay x = 2; y = -1 vào biểu thức đại số sau tính kết quả: a) 2( x +1)( y + 2) x ; b) y ( x 1) xy y _ Đ2 Giá trị biểu thức đại số Tóm tắt lý thuyết: 23 Khi thay biến biểu thức đại số số cho, ta đợc biểu thức số Kết nhận đợc thực phép tính biểu thức số gọi giá trị biểu thức đại số giá trị cho trớc biến Giá trị thích hợp biến tập hợp giá trị biến số cho phép tính biểu thức thực đợc Một biểu thức đại số nguyên xác định giá trị biến Một biểu thức phân không xác định giá trị biến làm cho mẫu Các toán: Bài 150: Tính giá trị biểu thức: a) A = b) B = x + 5x + với x = 1; x2 4x + x ( x + y )( x y )( x + y ) x16 + y16 với x = 4; y = ; c) C = (x2 - 1)(x2 - 2)(x2 - 3) (x2 - 2000) với x = 10 Bài 151: Với giá trị biến số biểu thức sau nghĩa: a) xy x + ( x +1)( y 2) ; b) ( x + x + 1)( x + 4) ; x2 + c) ( x 1)( x 2)( x 3) ( x 1999) Bài 152: Tìm giá ttrị nhỏ biểu thức: a) (x - 3)2 + ; b) (x - 1)2 + (y + 3)2 + Bài 153: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) - x2 ; b) ( x + 2) + Bài 154: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức: A= 10 x +15 x +1 nhận giá trị nguyên Đ3 Biểu thức đại số Tóm tắt lý thuyết: Hai biểu thức nguyên phân gọi chúng nhận giá trị giá trị thích hợp chung biến Các toán: Bài 155: Cho hai biểu thức: A = 2xy (x + y)2 ; B = 2x3y + 4x2y2 + 2xy3 a) Tính giá trị A B với x= ; y= b) Chứng minh A = B Bài 156: Hãy chứng tỏ hai biểu thức sau không nhau: a) (x + 2)2 2x2 + ; b) 3x - 2y 3y - 2x ; c) (x + y)2 x2 2xy + y2 24 Bài 157: Các biểu thức sau tập hợp số nào? a) x ( x + 1) = 3x x +1 ; b) x3 y = x + xy + y xy c) x2 + y2 =(x + ; y)2 Bài 158: Chứng minh với a, b Q ta có: a) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2); b) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab c) a(a - b) - b(b - a) = a2 - b2 Bài 159: Cho hai biểu thức: A= 4x x B = 3x x + x ; a) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên b) Tìm giá trị nguyên x để hai biểu thức có giá trị nguyên Đ4 Đơn thức Tóm tắt lý thuyết: Một biểu thức đại số phép toán thực biến phép nhân lũy thừa gọi đơn thức Thu gọn đơn thức: - Dấu "+" đơn thức không chứa dâu "-" hay chứa số chẵn lần dấu "-"; dấu "-" trơngf hợp ngợc lại - Nhóm thừa số số cụ thể nhân chúng với - Nhóm các, xếp chúng theo thứ tự chữ dùng kí hiệu lũy thừa để viết tích chữ giống Các toán: Bài 160: Trong biểu thức sau đây: ax2yz3 ; a (xy2)2 ; 2a z x2y ; 5(a + 2)xy2z3 Biểu thức đơn thức nếu: a) a số; x, y, z biến số b) z số; a, x, y biến số Bài 161: Cho đơn thức với x, y, z biến; a, b số: 1 ax3yz2; 15x(-3xy2)(2xy3z); ( ax2y3)(- abx3y2); (3abx2y2)(- ax2y2z)(-3abx3yz3) a) Thu gọn đơn thức b) Xác định hệ số đơn thức Bài 162: Cho đơn thức a + x y a với a số (a 0) a) Tìm a để đơn thức luôn không âm với x, y b) Tìm a để đơn thức luôn không dơng với x, y 25 Bài 163: Tính giá trị đơn thức 0,07.a3b2c2000 , với a = -2; b = -3; c = -1 Bài 164: Quan sát dãy đơn thức : -x , 2x3, -3x4 , 4x5 , Hãy viết đơn thức thứ 2000, đơn thức thứ n _ Đ5 Bậc đơn thức Tóm tắt lý thuyết: Bậc đơn thức biến số mũ biến dạng thu gọn đơn thức Bậc đơn thức tập hợp biến, hay đơn giản bậc đơn thức, tổng bậc đơn thức biến Các toán: Bài 165: Xác định bậc đơn thức sau biến số tập hợp biến số ;(a, b số; x, y biến số) a) x2ya bx y ; b) ( bx y 3ay ) ; c) ax ( xy ) ( by ) Bài 166: Tính tích đơn thức sau: a) 2 x z xy z x y ; ( ) c a x m n y n bx n y m n y; b c b) m > n m, n Z Bài 167: Trong đơn thức sau, đơn thức có bậc? A= B= x y xy xy 1 x3 x x y.4 y y ( ; ); C= a xy.4a x y a D= x y z xy ; E= xy x y 10 10 a số ; Bài 168: Các đơn thức sau có giá trị dơng đợc không? a) -3xy2 2x3y2 ; b) x2y3 , - xy2 16x5y _ Đ6 Đơn thức đồng dạng Tóm tắt lý thuyết: Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức sau thu gọn có phần biến giống Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ hệ số giữ nguyên phần biến Các toán: Bài 169: Cho đơn thức: 26 ax2y ; -5ax2y4 ; - a2x2y Hãy xét xem đơn thức đồng dạng, nếu: a) a số; x, y biến số b) x số; a, y biến số c) y số; a, x biến số d) a, x số; y biến số e) a, y số; x biến số g) x, y số; a biến số Bài 170: Cho biểu thức: a x2y3 ; 2ax2y3 ; (a + 1)x2y3 ; 3a x y3 ; 2a y x2 a) Gọi a số; x, y biến số biểu thức trên, biểu thức đơn thức đơn thức có đồng dạng không? b) Cũng hỏi nh a, x số, y biến số; Nếu a, y số, x biến số Bài 171: Tính: a) (92x3y + 51x3y) - (105x3y - 7x3y) b) 3a xy2z3 + a xy2z3 - 6xy2z3 với a số khác Xác định a để kết thu đợc đồng với x, y, z Bài 172: Chứng minh đẳng thức sau: a) [-a5(-a)5]2 + [-a2(-a)2]5 = b) (-1)n an + k = (-a)n ak Đ7 Đa thức nhiều biến Tóm tắt lý thuyết: Đa thức nhiều biến x, y, , z biểu thức nguyên chữ x, y, , z biến Thu gọn đa thức: đa thức nhiều biến thu gọn thành tổng đại số nhiều đơn thức đôi không đồng dạng với Bậc đa thức đợc thu gọn: - Bậc đa thức biến bậc số hạng có bậc cao biến - Bậc đa thức tập hợp biến bậc số hạng có bậc cao tập hợp biến Các toán: Bài 173: Trong biểu thức đại số sau, biểu thức đa thức: a x - xy(x a +1 ab a b x y + + xy + a +b b a a) axy + + y) (a số; x, y biến số) b) (a, b số; x, y biến số) c) ab xy + a b + + x2 + y x y (a, b số; x, y biến số) 27 d) a x axy + + y z + yz a +1 x e) ab2xy + a b + x y (y số; a, x, z biến số) + x2 + y2 (x, y số; a, b biến số) Bài 174: Hãy viết đa thức sau dới dạng tổng đơn thức Thu gọn trờng hợp có đơn thức đồng dạng: a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + - a (a số) b) xy(x2 + y2 + 1) - 3x3y + 3xy3 - 3y(x + y) c) 3x(x2y + xy2) -7xy(x2 - y2) + 2x2y2 - 3xy3 Bài 175: Tìm bậc đa thức sau biến x, y, z tập hợp biến: a) 6x7 - 15x2y3z5 - 2000xy3 - 7y6 + z8 b) xy3 - x4 + 3x2y4 + 12y5 - 9z8 - y2z5 c) 3x2y3 - 2xy2(x2 + y2) + xz2 Bài 176: Cho đa thức Q = 2(x + 1) - |x + 5| a) thu gọn đa thức Q b) Với giá trị x Q = 4? Bài 177: a) Tìm giá trị đa thức biết x + y = 3x2y + 3xy2 + 5x3y2 + 5x2y3 + b) Cho a, b, c số cho a + b + c = 2000 Tìm giá trị đa thức sau với x = 1; y = 1; z = axy3z2 + bx3z + cxyz _ Đ8 Cộng trừ đa thức Tóm tắt lý thuyết: Để cộng hai đa thức ta viết số hạng với dấu chúng kề thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có) Để tìm hiệu hai đa thức ta viết số hạng đa thức thứ với dấu chúng viết số hạng đa thức thứ hai với dấu ngợc lại dấu chúng sau thu gọn số hạng đồng dạng (nếu có) Các toán: Bài 178: Cho đa thức: M = 3x2 - 2y - ; N = x2 + 2y + ; P = - 4x2 Tính a) M + N + P ; b) M + N - P ; c) N - P Bài 179: Cho x + y - z = a - b x-y+z=b-c -x + y + z = c - a Chứng minh rằng: z + y + z = Bài 180: Cho hai đa thức : P = 3m2 + 2mn - 4n2 Q = -2m2 - 2mn + 5n2 28 Chứng minh không tồn giá trị m n để hai đa thức có giá trị âm Bài 181: Cho hai đa thức A = 5x + y + ; B = 3x - y + Chứng minh x = m; y = n với m Z, n N P = A.B số chẵn Bài 182: Chứng minh x + y + = giá trị đa thức sau số: a) M = x3 + x2y - x y2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + b) N = x3 + 2x2y + xy2 + x2 + xy + x + y + _ Đ9 Đa thức biến Tóm tắt lý thuyết: Đa thức biến đa thức có chứa chữ biến Đa thức biến sau thu gọn số hạng đồng dạng ta xếp theo hai cách: Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần biến Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần biến - Bậc đa thức f(x) bậc số hạng có bậc cao biến x - Một đa thức thu gọn, đơn thức có mặt đa thức không đồng dạng Hệ số đơn thức lũy thừa biến số đơn thức Hệ số nằm đơn thức có số mũ cao gọi hệ số cao Các toán: Bài 183: Thu gọn cho biết bậc đa thức sau: a) x5 - x + 7x3 - 2x + b) 3x2 - 10 + 5 x3 + 3x4 - x5 + x4 + 15 x3 + 7x - x2 + + 7x2 Bài 184: Cho đa thức f(x) = ax + b Tìm điều kiện số b để có: f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) với x1, x2 Q Bài 185: a) Cho đa thức ax2 + bx + c Tìm giá trị đa thức x = Có nhận xét gì? b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: (2 - 3x + x2)1999 (2 + 3x + x2)2000 Đ10 Cộng trừ đa thức biến Tóm tắt lý thuyết: Cộng trừ đa thức biến ta cộng trừ nh đa thức nhiều biến 29 Ngoài ta xếp đa thức theo lũy thừa giảm tăng biến đặt phép tính nh trờng hợp cộng trừ số Các toán: Bài 186: Tính tổng f(x) + g(x) xếp theo lũy thừa giảm: a) f(x) = + 4x + 6x3 + 8x5 + 10x7 g(x) = + 3x2 + 5x4 + 7x6 + 9x8 b) f(x) = anxn + an - 1xn - + + a1x + a0 ; g(x) = b0 + b1x + b2x2 + + bn - 1xn - + bnxn Bài 187: Tính hiệu f(x) - g(x) xếp theo lũy thừa tăng: a) f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 ; g(x) = 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + b) f(x) = a1x + a2x2 + a3x3 + + an - 1xn - + anxn ; g(x) =anx + an - 1x2 + an - 2x3 + + a2xn - + a1xn Bài 188: Cho đa thức P(x) đa thức bậc bốn: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 Sao cho P(1) = P(-1) P(2) = P(-2) Chứngminh P(x) = P(-x) với x Q Bài 189: Cho đa thức : f(x) = ax + bx + c, biết 13a + b + 2c = Chứng minh f(-2).f(3) Đ11 Nghiệm đa thức Tóm tắt lý thuyết: Nếu x = a đa thức f(x) có giá trị ta nói a nghiệm f(x) Một đa thức có nghiệm, hai nghiệm, nghiệm Số nghiệm đa thức khác không vợt bậc đa thức Các toán: Bài 190: tìm nghiệm đa thức: a) 3x2 - 2x + ; b) x3 -4x ; c) 2x2 + 2x + Bài 191: a Cho đa thức : f(x) = x2 - 4x + g(x) = 3x2 - 4x + h(x) = -x2 - 2x + Chứng minh x = nghiệm ba đa thức Hãy tìm nghiệm lại đa thức b Chứng minh đa thức f(x) = ax + bx + c có a + b + c = x = nghiệm đa thức Bài 192: Chứng minh đa thức ax2 + bx + c với a Không thể có ba nghiệm khác _ 30 Ôn chơng IV Bài 193: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c.Chứng minh số nguyên a, b, c làm cho f(x) x = 1998 x = 2000 Bài 194: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x a + x b (a < b) Bài 195: Chứng minh a = x3y; b = x2y2; c = xy3 với x, y ta có a ac + b2 - 2x4y4 = b ay2 + cx2 = 2xyb c abc + b3 Bài 196: Cho đa thức M = + x + x2 + + x1999 Chứng minh : Mx - M = x2000 - Bài 197: Cho đa thức : f(x) = x17 - 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 + + 2000x - Tính giá trị đa thức x = 1999 Bài 198: Cho f(x) đa thức xác định với x thỏa mãn : xf(x + 1) = (x2 - 4) f(x) Chứng minh đa thức f(x) có ba nghiệm Bài 199: Cho đa thức N = 2x (1 - x - y) - y2 + a Chứng minh N = - (x + y)2 - (x - 1)2 + b Với giá trị x, y N có giá trị lớn ? Tìm giá trị Bài 200: Chứng minh với giá trị cue x, y, z giá trị đa thức : A = xy + yz + zx không vợt giá trị đa thức B = x2 + y2 + z2 31 Phần thứ hai: Hình học Chơng I: Bổ sung đoạn thẳng, góc, tam giác Đ1 Trung điểm đoạn thẳng Tóm tắt lý thuyết: Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng (H A B M 1) Hình M trung điểm đạon thẳng AB MA = MB = AB MA + MB = AB MA = MB Trung tuyến tam giác đoạn thẳng có đầu đỉnh tam giác, đầu trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Các toán: Bài 201: Chứng minh có ba điểm A, I, B mà IA = IB = AB I trung điểm đoạn thẳng AB Bài 202: Chứng minh có ba điểm A, B, M thẳng hàng MA = MB M trung điểm đoạn thẳng AB Bài 203: Cho điểm C nằm đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng minh điểm C nằm hai điểm A I b) Tính độ dài đoạn thẳng AI AB = 10cm AC = 4cm Bài 204: Cho đoạn thẳng Ab điểm C đoạn thẳng Gọi I trung điểm đoạn thẳng AC K trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng minh điểm C nằm hai điểm I K b) Tính độ dài đoạn thẳng IK AB = 10cm, AC = 6cm Bài 205: Cho đoạn thẳng MN, P điểm nằm hai điểm M n, Q R lần lợt trung điểm đoạn thẳng MP PN Biết QR = 3,5cm Tính độ dài đoạn thẳng MN Bài 206: Cho điểmA, B, C, D theo thứ tự nằm đờng thẳng Giả sử AB = CD Chứng minh : a AC = BD b AD BC có chung trung điểm 32 Bài 207: Trên tia Ox lấy hai điểm A, B cho OA = a, OB = b (b > a) Gọi I trung điểm AB Tính OI Cho b = 3a Chứng minh A trung điểm OI Bài 208: Trên hình cho biết : AB = AC = a AM + MN + NA = 2a BN = CD Chứng minh : MN = MD Bài 209: Cho tam giác ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AB = AD, tia đối tia BC lấy điểm E cho BE = BC, tia đối tia CA lấy điểm F cho CA = CF a Tìm tam giác nhận cạnh tam giác ABC làm trung tuyến b Tìm tam giác có trung tuyến mà đầu điểm D; điểm E; điểm F Đ2 Tia phân giác góc tóm tắt lý thuyết : * Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh góc hai góc (H.9a) 33 [...]... y)n = xn : yn (y 0) 2 Các bài toán : Bài 76 : Tính : a (-2)3 + 22 + (-1)20 + (-2)0 b (32)2 - (-52)2 + [(-2)3]2 2 c 24 + 8 [(-2)2 : 1 2 ]0 - 2-2 4 + (-2)23 Bài 77 : Tìm x, biết : a x2 + 2x = 0 b (x - 3) + 2x2 - 6x = 0 c (x2 + 1) (x + 2000) = 0 Bài 78 : Tìm n, biết : a 1 9 27n = 3n b.32 3-5 3n = 311 c 2-1 2n + 2 2n = 5 25 Bài 79 : Tính : a (a - b) (a + b) b 1002 - 992 + 982 - 972 + + 22 - 12 c (202 + 182... 992 + 982 - 972 + + 22 - 12 c (202 + 182 + 162 + + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + + 32 + 12) Bài 80: So sánh : a 2300 và 3200 b 5300 và 3500 c 230 + 330 + 430 và 3.2410 Bài 81: Chứng minh rằng : a 76 + 75 - 74 chia hết cho 11 b 109 + 108 + 1 07 chia hết cho 222 c 8 17 - 279 - 913 chia hết cho 45 d 2454 5424 210 chia hết cho 72 63 Bài 82: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì : a 3n + 2 - 2n +... a d b = c a ; 2 Các bài toán: Bài 87: a) Thay tỉ số các số sau bằng tỉ số giữa các số nguyên: 7 4 : 5 3 ; 1 ,7 : 0,85 ; 1 : 0,5 5 ; 0,02 : 1,3 b) Các tỉ số sau có lập thành một tỉ lệ thức? 15 21 và 0,4 : 5 3 30 42 1 7 3 3 và 7 : 2 ; 0,25 : 1 ,75 và và 3 5 ; 0,25 : 1,5 Bài 88: a) Có thể lập đợc tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức đó : 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 b) Tìm... z z 2 Các bài toán: Bài 70 : Khai triển các tích: a (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b Q b a(a - b) - b(b - a) Với a, b Q 2 2 c (x + y)(x - xy + y ) Với x, y Q Bài 71 : Đặt thừa số chung : (a, b, c, d, e Q) a ab + bd - ac - cd b ad - bd - be + ce + cd + ae Bài 72 : Cho a, b, c, d Q Chứng minh rằng : a a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c b a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d) Bài 73 : Tìm x,... xn 16 2 các bài toán : Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lợng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị x1 và x2 của x có hiệu bằng 2 thì hai giá trị tơng ứng y1 và y2 có hiệu bằng -1 a Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y b Điền vào bảng giá trị dới đây : x -4 -2 -1 0 1 3 2 y 3 4 -1 Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số Số cây mỗi lớp trồng tỉ... của lớp 7A cộng với bốn lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 108 cây Tính số cây mỗi lớp trồng đợc Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5 Sau đó chia số a cũng thành ba phần A', B', C', nhng lại theo tỉ lệ 6; 5; 4 a Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm b Biết rằng có một phần tăng 1200 Tính số a và A', B', C' trong lần chia sau Bài. .. f(x) X là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f Y là tập đích của hàm số f x là biến (x X) y = f(x) là giá trị của f tại x 2 các bài toán : Bài 121: Trong các tơng ứng f1 , f 2 , f 3 , f 4 sau đây, tơng ứng nào xác định một hàm số chỉ rõ tập nguồn, tập đích và giá trị tơng ứng của hàm số X X Y X Y Y Y X 18 Bà 122: Bảng dới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu có hãy chỉ ra tập nguồn, tập đích... = a b c 2 Các bài toán : Bài 90:Tìm x, y biết : a b c x 7 = y 13 x y = 19 21 x2 y2 = 9 16 và x + y = - 60 và 2x - y = 34 và x2 + y2 = 100 Bài 91: Tìm các số x, y, z biết : a b y z = và 4x 2 3 x 1 y 2 z 3 = = 2 3 4 x= - 3y + 2z = 36 và x - 2y + 3z = 14 bài 92: Chứng minh rằng nếu: a 5a + 3b 5c + 3d = 5a 3b 5c 3d a c = b d ; thì : b 7 a 2 + 3ab 7c 2 + 3cd = 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 Bài 93: Chứng minh... 2 Các bài tập: Bài 66: Cho x, y Q, x 0; y 0 Chứng minh: a (x-1)-1 = x ; b (xy)-1 = x-1.y-1 ; c (xy-1)-1 = x-1 y Bài 67: Tìm x-1 , biết: a x = -0, 175 ; b x = 1 5 : 3 3 ; c x = 1 3 4 2 4 3 ; d x = 5 4 - (2 - 0 ,75 ) Bài 68: a Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng, nghịch đảo của một số âm là một số âm b Tìm tất cả các số nguyên sao cho nghịch đảo của nó cũng là số nguyên Bài 69:... biến số) Bài 174 : Hãy viết các đa thức sau đây dới dạng tổng các đơn thức Thu gọn trong trờng hợp có các đơn thức đồng dạng: a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a là hằng số) b) xy(x2 + y2 + 1) - 3x3y + 3xy3 - 3y(x + y) c) 3x(x2y + xy2) -7xy(x2 - y2) + 2x2y2 - 3xy3 Bài 175 : Tìm bậc của đa thức sau đối với mỗi biến x, y, z và đối với tập hợp các biến: a) 6x7 - 15x2y3z5 - 2000xy3 - 7y6 + z8 b) ... -1 Bài 110: Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia lao động trồng Số lớp trồng tỉ lệ với số Số lớp trồng tỉ lệ với số3; 5; hai lần số lớp 7A cộng với bốn lần số lớp 7B số lớp 7C 108 Tính số lớp trồng đợc Bài. .. = 0; |x| = Bài 46: Cho số hữu tỷ: x1 = 20 97 ; x2 = 11 ; 12 2020 979 7 c x= ; |x| = ; x3 = d ;x=0 11 23 202020 ; 979 7 97 x4 = 20202020 979 7 979 7 a Hãy so sánh số hữu tỷ b Viết tập hợp số hữu... + + 32 + 12) Bài 80: So sánh : a 2300 3200 b 5300 3500 c 230 + 330 + 430 3.2410 Bài 81: Chứng minh : a 76 + 75 - 74 chia hết cho 11 b 109 + 108 + 1 07 chia hết cho 222 c 8 17 - 279 - 913 chia