PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu1 (4 điểm) 2 1   − 0,25 +  0,4 − +  11 −  : 2013 a Thực phép tính: A =   1,4 − + 1 − 0,875 + 0,7  2014   11   9 9 + + + + b Tính B = + 19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 Câu (4 điểm) a Tìm các góc của một tam giác Biết rằng số đo của chúng tỷ lệ với 2, 3, a c a 2014 + b 2014  a − b  = b Chứng minh rằng: Nếu = thì 2014  b d c + d 2014  c − d  2014 c Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k ≠ 0) Chứng minh rằng f(x1 – x2) = f(x1) – f(x2) Câu (4 điểm) a Tìm x biết x − = x + b Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn x + xy + y = Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A Phân giác của B cắt cạnh AC tại điểm D Từ D kẻ DE vuông góc với BC (E ∈ BC) Tia ED và tia BA cắt tại F a So sánh DA và DC b Chứng minh BD ⊥ FC c Chứng minh AE // FC Câu (2 điểm) Cho M = a b c + + với a, b, c > a+b b+c c+a Chứng tỏ M số nguyên / Hết Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẤN CHẤM HUYỆN SƠN DƯƠNG THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN Câu Nội dung Điểm 2 1   − 0,25 +  0,4 − +  11 −  : 2013   1,4 − + 1 − 0,875 + 0,7  2014   11   a (2 điểm) A = Câu 2 2  − + A=  11 − 7−7+   11 1  − +   : 2013 7  2014 − +  10   1 1  1   2 − +  − +  11  −  : 2013  =  1   1   2014  − +   7 − +    11     2 7 0,5  2013 =0  2014 = −  : b.(2 điểm) Ta có B = = 0,5 9 9 + + + + + 19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 9 9 + + + + + 9.19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 0,25 1 1   + + + + +  1999.2009   9.19 19.29 29.39 39.49 0,25 = 10 10 10 10  10  + + + + +   1999.2009  10  9.19 19.29 29.39 39.49 0,5 = 2009 − 1999   19 − 29 − 19 39 − 29 49 − 39 + + + + +   19.29 29.39 39.49 1999.2009  10  9.19 0,5 = 1 1 1  1 + − + −  − + −  1999 2009  10  19 19 29 29 39 0,25 = 10 =   200 1  − =  2009  2009 0,25 Câu a (1 điểm) Gọi số đo độ của góc của tam giác là x, y, z đó ta có: x y z x+ y+z = = = = 20 ( Vì x+y+z = 1800 ) 0,25 x = 20 => x = 400 0,25 y = 20 => y = 600 0,25 z = 800 0,25 b (2 điểm) Từ a c 2014 =>   Từ a c a b a−b = = = => b d c d c−d b =  d  2014  a −b =  c−d  0,5 2014 a c a b a = => = =>   b d c d c 0,5 (1) 2014 b =  d  2014 = a 2014 + b 2014  a − b  = Từ (1) và (2) suy 2014  c + d 2014  c − d  Bài a 2014 + b 2014 (2) c 2014 + d 2014 0,5 2014 0,5 c (1 điểm) Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k ≠ 0) Ta có f(x1 – x2) = = k(x1 – x2) = kx1 – kx2 = f(x1) – f(x2) a (2 điểm) Tìm x biết x − = x + (1) 0,5 Xét với x < -2 ta có (1)  – 5x + + x = => x = 3/2 ( loại) 0,5 Xét với -2 ≤ x < 4/5 ta có (1)  – 5x – x – = => x = 1/3 0,5 Xét với 4/5≤ x ta có (1)  5x- – x – = => x = 3/2 0,5 Vậy x = 1/3 ; x = 3/2 b (2 điểm) Từ x + xy + y =  x(y + 1) + (y + 1) = 10 0,5  (y+1) (x+1) = 10 0,5 x+1 -1 -2 -5 -10 10 x -2 -3 -6 -11 y+1 -10 10 -5 -2 -1 y -11 -6 -1 -2 0,5 Vậy có các cặp (x,y) thỏa mãn là : (-2; -11); (0; 9); (-3; -6); (1; 4); (-6; Câu -1); (4; 1); (-11; -2); (9; 0); 0,5 Ghi GT và KL vẽ hình đúng 0,5 F M A D B E C a (2 điểm) Ta có ∆ABD = ∆EDB vì có AD chung và Bˆ1 = Bˆ cho ta DA = DE (1) 0,5 Trong tam giác vuông EDC thì DE < DC (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy DA < DC b ∆ABD= ∆EDB nên AB = BE ( hai cạnh tương ứng ) 0,5 Hai tam giác EFB và ACB có AB = EB và góc B chung, suy BF = BC => ∆FBC cân, đỉnh B Mà BM là phân giác của góc B nên cũng là đường cao, 0,5 suy BM ⊥ FC (3) hay BD ⊥ FC 0,5 c Ta dễ dàng thấy BD ⊥ AE (4) 0,5 Từ (3) và (4) suy AE // FC 0,5 a a b b c c > ; > ; > a +b a+b+c b+c a+b+c c+a a+b+c a b c a+b+c + + > =1 => M = a+b b+c c+a a+b+c 0,25 Vì a, b, c > nên: Do đó M > Bài (2 điểm) (1) b c   b c a   a + + + + Mà:  ÷+  ÷  a+b b+c c+a   a+b b+c a+c  b   b c   c a   a + + + =  ÷+  ÷+  ÷=3  a+b a+b  b+c b+c   c+a c+a  c a   b + + Vì  ÷>1  a+b b+c a+c  b c   a + + Suy ra: M =  (2) ÷<  a+b b+c c+a  Từ (1) (2) suy ra: 1< M < nên M số nguyên Chú ý : Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa./ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... CHẤM HUYỆN SƠN DƯƠNG THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN Câu Nội dung Điểm 2 1   − 0,25 +  0,4 − +  11 −  : 2013   1,4 − + 1 − 0, 875 + 0 ,7  2014   11  ... − + A=  11 − 7 7+   11 1  − +   : 2013 7  2014 − +  10   1 1  1   2 − +  − +  11  −  : 2013  =  1   1   2014  − +   7 − +    11     2 7 0,5  2013 =0... a + + Suy ra: M =  (2) ÷<  a+b b+c c+a  Từ (1) (2) suy ra: 1< M < nên M số nguyên Chú ý : Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa./ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25