BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thành Long Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy - người ñã bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài kinh nghiệm thực ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền ñạt kiến thức quí báu suốt trình thực luận văn Chân thành cám ơn quý thầy tổ Giải Tích, khoa Toán – Tin trường ðại học Sư Phạm ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ Sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu ñồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cám ơn bạn lớp với trao ñổi góp ý ñộng viên tác giả suốt trình thực luận văn TP HCM tháng năm 2008 Tác giả Bùi Công Sơn MỤC LỤC Trang Lời cám ơn Mục lục MỞ ðẦU Chương : CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu không gian hàm 1.2 Các công cụ thường sử dụng Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10 2.3 Sự tồn nghiệm 25 Chương : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 32 Chương : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN 48 Chương : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 64 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ðẦU Các toán phi tuyến xuất khoa học ña dạng, nguồn ñề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong luận văn muốn sử dụng công cụ giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với ñiều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban ñầu sau u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, (0.1) u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.2) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), (0.3) ñó λ, h , h1 số không âm cho trước; u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước thỏa mãn số ñiều kiện mà ta sau Trong [5], Ficken Fleishman ñã chứng minh tồn tại, nghiệm phương trình u xx − u tt − 2α1u t − α u = εu + b , với ε > bé (0.4) Rabinowitz [14] ñã chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình u xx − u tt + 2α1u t = f (x, t,u x ,u t ), (0.5) ñó ε tham số bé f hàm tuần hoàn theo thời gian Trong [2], Caughey Ellison ñã hợp xấp xỉ trường hợp trước ñây ñể bàn tồn tại, tính ổn ñịnh tiệm cận nghiệm cổ ñiển cho lớp hệ ñộng lực phi tuyến liên tục Trong [3], Alain Phạm ñã nghiên cứu tồn tại, dáng ñiệu tiệm cận ε → nghiệm yếu toán (0.1), (0.3) liên kết với ñiều kiện biên Dirichlet u(0,t) = u(1,t) = 0, (0.6) ñó số hạng phương trình (0.1) cho µ(t) ≡ 1, λ = 0, f = εf1 (t,u), f1 ∈ C1 ([0, ∞) ×ℝ ) (0.7) Bằng tổng quát hóa [3], Alain Phạm Long [4] ñã xét toán (0.1), (0.3), (0.6) với µ(t) ≡ số hạng phi tuyến có dạng f = εf1 (t,u,u t ) (0.8) Trong [7,8], Long Alain Phạm ñã nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với µ(t) ≡ , số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u,u t ) (0.9) Trong [7], tác giả xét với ñiều kiện biên hỗn hợp không u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), u(1, t) = 0, (0.10) ñó h > số dương cho trước [8] với ñiều kiện biên tổng quát t u x (0, t) = hu(0, t) + g(t) − ∫ k(t − s)u(0,s)ds, u(1, t) = (0.11) Trong [9], Long Diễm ñã nghiên cứu toán (0.1), (0.3) với ñiều kiện biên hỗn hợp u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.12) ñó h0, h1 số không âm cho trước với h0 + h1 > số hạng phi tuyến vế phải có dạng f = f (x, t,u,u x ,u t ) + εf1 (x, t, u,u x ,u t ) (0.13) Trong trường hợp f ∈ C ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ),f1 ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞) × ℝ ) tác giả ñã thu ñược khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε ñến cấp hai theo ε, với ε ñủ nhỏ Trong [12], Nguyễn Thành Long Lê Thị Phương Ngọc ñã nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tồn hội tụ dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận toán:       u tt − B u r u rr + u r  = f (u, r), < r < 1, < t < T,    r       lim+ ru(r, t) < ∞,u r (1, t) + hu(1, t) = 0, r →0     2   u(r,0) = u (r), u t (r,0) = u1 (r), u r = ∫ r u r (r, t) dr,     { ( ) ñó B, f, u0, u1 hàm cho trước, h > số Trong luận văn nghiên cứu tồn nghiệm ñịa phương toán (0.1) – (0.3) Chứng minh ñược dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với ñánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Chúng nghiên cứu tồn hội tụ dãy lặp cấp hai {u m } nghiệm yếu u toán (0.1) – (0.3) thỏa ñánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ , (0.14) ñó C, ρ số dương < ρ < Tiếp theo, khảo sát toán nhiễu sau ñây theo tham số bé ε :  u tt − µ ε (t)u xx + λuɺ t = Fε (x, t,u), < x < 1, < t < T,    u x (0, t) − h 0u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )    ɺ = u1 (x), u(x,0) = u (x), u(x,0)      Fε (x, t,u) = f (x, t,u) + εf1 (x, t,u), µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), ñó số h0, h1, λ cố ñịnh hàm số u0, u1, µ, µ1 , f , f1 cố ñịnh thỏa giả thiết thích hợp Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε, tức ta xấp xỉ nghiệm u ña thức theo ε N u(x, t) = ∑ U i (x, t)ε i , (0.15) i=0 theo nghĩa cần phải hàm Ui (x, t), i = 0,1, , N thiết lập ñánh giá: N ∂u ε ∂ Ui − ∑ εi ∂t ∂t i=0 N + u ε − ∑ εi Ui ∞ L (0,T;L ) i=0 ≤ CT ε ∞ N +1 , (0.16) L (0,T;H ) với tham số ε ñủ bé, số CT ñộc lập với tham số ε Luận văn ñược trình bày theo chương sau ñây: Phần mở ñầu: tổng quan toán khảo sát luận văn, ñiểm qua kết ñã có trước ñó, ñồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1: nhằm giới thiệu số kết chuẩn bị, kí hiệu không gian hàm thông dụng, số kết phép nhúng compact Chương 2: nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (0.1) – (0.3) Chương 3: nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai hội tụ Chương 4: nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε Chương 5: xét toán cụ thể ñể minh họa phương pháp tìm nghiệm toán Tiếp theo phần kết luận luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu không gian hàm Chúng ta bỏ qua ñịnh nghĩa không gian hàm thông dụng ñể cho tiện lợi, ta kí hiệu: Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T), T > 0, Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m = W m,2 , W m,p (Ω) = W m,p , , chuẩn tích vô hướng L2 Ta kí hiệu X chuẩn không gian Banach X Ta kí hiệu Lp (0,T;X), ≤ p ≤ ∞ không gian Banach hàm u : (0,T) → X ño ñược cho T p p  u Lp (0,T;X) =  ∫ u(t) Xdt  < +∞, (1 ≤ p < ∞),   u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) X , (p = ∞) 0 T > cho, với ε, ε ≤ 1, toán ( Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1 (M,T) thỏa mãn ñánh giá tiệm cận ñến cấp N + (4.51), ñó, hàm u0 , u1 , , u N nghiệm toán (P0 ), (Q1 ), , (Q N ), theo thứ tự 64 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ Trong chương này, xét ví dụ cụ thể khai triển tiệm cận cho toán ứng với f = 0, f1 = u , N = Gọi u ε ,u ,u1 ,u ,u nghiệm toán sau   uɺɺ − µ ε (t)∆u + λuɺ = εu , < x < 1, < t < T,    ∇u(0, t) − h 0u(0, t) = ∇u(1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )   ɺ = u1 (x), u(x,0) = u (x), u(x,0)      µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), uɺɺ − µ(t)∆u + λuɺ = 0, < x < 1, < t < T,    (P0 )  ∇u(0, t) − h u(0, t) = ∇u(1, t) + h1u(1, t) = 0,   ɺ = u1 (x),   u(x,0) = u (x), u(x,0)   uɺɺ1 − µ(t)∆u1 + λuɺ = µ1 (t)∆u + u 02 , < x < 1, < t < T,   (Q1 )  ∇u1 (0, t) − h u1 (0, t) = ∇u1 (1, t) + h1u1 (1, t) = 0,   ɺ   u1 (x,0) = 0, u1 (x,0) = 0, ɶ ], < x < 1, < t < T,   uɺɺ i − µ(t)∆u i + λuɺ i = F[u i i    (Qi ) ∇u i (0, t) − h u i (0, t) = ∇u i (1, t) + h1u i (1, t) = 0, , i = 2,   ɺ   u i (x,0) = 0, u i (x,0) = 0, ɶ ], i = 2, ñược tính toán tường minh sau ñó hàm F[u i i ɶ [u ] = µ (t)∆u + 2u u , F 2 1 ɶ [u ] = µ (t)∆u + 2u u + u F 3 2 Khi ñó v = u ε − ∑ ε i u i ≡ u ε − h nghiệm yếu toán i=0 65  ɺɺv − µ ε (t)∆v + λvɺ = ε(v + h) − εh + E ε (x, t), < x < 1, < t < T,     ∇v(0, t) − h v(0, t) = ∇v(1, t) + h1v(1, t) = 0,   ɺ = 0, v(x,0) = v(x,0)      µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t), ñó ɶ ] + µ (t)∑ ε i∆u E ε (x, t) = εh − ∑ ε F[u i i i−1 i i=1 i=1 Bằng cách ñánh giá tương tự bổ ñề 4.2 ta thu ñược Eε L∞ (0,T;L2 ) ɶε ≤K Tiếp theo cách xây dựng dãy hàm {v m } ñược xác ñịnh (4.38) thực ñánh giá tương tự cho dãy hàm {v m } Khi ñó ta có ñịnh lý sau ðịnh lý 5.1 Cho N = Giả sử (B1), (B2), (B3) (B5) ñịnh lý 4.2 ñúng Khi ñó tồn số M > T > cho, với ε, ε ≤ 1, toán (Pε ) có nghiệm yếu u ε ∈ W1 (M,T) thỏa mãn ñánh giá tiệm cận ñến cấp theo nghĩa uɺ ε − ∑ ε i uɺ i i=0 L∞ (0,T;L2 ) + u ε − ∑ εi u i i=0 ≤ CT ε , L∞ (0,T;H1 ) ñó CT số phụ thuộc vào C0 , µ, µ , µ1 , M, T hàm u , u1 , , u N nghiệm toán (P0 ), (Q1 ), (Q ), (Q3 ), theo thứ tự 66 KẾT LUẬN Trong luận văn này, sử dụng ñã sử dụng số công cụ Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ thuật ñánh giá tiên nghiệm, phương pháp compact yếu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính, phương pháp khai triển tiệm cận,…ñể khảo sát phương trình sóng phi tuyến với ñiều kiện biên hỗn hợp Phương pháp giúp chứng minh ñược tồn nghiệm, khai triển tiệm cận nghiệm trường hợp tổng quát theo tham số nhiễu ε, mà thân thiết lập nghiệm xấp xỉ tuyến tính hóa thuật toán giải tích số thích hợp Chúng ñã sử dụng nguyên lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Nội dung luận văn tập trung chương 2, 3, Trong luận văn này, nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, < t < T, u x (0, t) − h u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x), ñó λ, h , h1 số không âm cho trước, u , u1 , µ số hạng phi tuyến f hàm cho trước Ở chương 2, nghiên cứu thuật giải lặp ñơn Chúng thu ñược kết tồn dãy lặp {u m }, tồn nghiệm phương pháp nói với f ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞)×ℝ) Ở chương 3, nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai Chúng thu ñược kết tồn dãy lặp cấp hai {u m } thỏa ñánh giá u m − u ≤ C u m−1 − u , với u nghiệm yếu toán (2.1) – (2.3) 67 Chúng thu ñược kết hội tụ cấp hai dãy lặp {u m } nghiệm yếu u toán (2.1) – (2.3) thỏa ñánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ , với C, ρ số dương < ρ < Ở chương 4, µ (t), f (x, t,u) ñược thay µ(t) + εµ1 (t), f (x, t,u) +εf1 (x, t, u) thu ñược nghiệm tương ứng u ε có khai triển tiệm cận cấp theo ε (với ε ñủ nhỏ) theo nghĩa uε − u0 L∞ (0,T;H1 ) + uɺ ε − uɺ L∞ (0,T;L2 ) ≤C ε Nếu f ∈ C N+1 ([0,1]×[0, ∞)× ℝ ), f1 ∈ C N ([0,1]×[0, ∞)× ℝ ) thu ñược khai triển tiệm cận cấp N + theo tham số ε theo nghĩa N uɺ ε − ∑ ε uɺ i i= N i ∞ L (0,T;L ) + u ε − ∑ εiu i i=0 ≤ CT ε ∞ N +1 L (0,T;H ) Chương phần minh họa ví dụ cụ thể cho phần khai triển tiệm cận chương 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO H Brézis (1983), Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 Caughey T., Ellison J (1975), Existence uniqueness and stability of solution of a class of nonlinear differential, J Math Anal Appl 51 (1975) – 32 Alain Phạm Ngọc ðịnh (1983), Sur un problèmes hyperbolique faiblement nonlinéaire en dimension, Demonstratio Math 16 (1983) 269 -289 Alain Phạm Ngọc ðịnh, Nguyễn Thành Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math 19 (1986), 45 – 63 Ficken F., Fleishman B (1957), Initial value problem and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Communs Pure Appl Math 10 (1957) 331 – 356 J L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non–linéaires, Dunod; Gauthier–Villars, Paris, 1969 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh (1992), On the quasilinear wave equation: u tt −△u + f (t,u t ) = associated with a mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal 19 (7) (1992) 613 – 623 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (8) (1995) 1261 – 1279 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation u tt − u xx = f (x, t,u,u x ,u t ) associated with the homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (1997) 1217–1230 mixed 69 10 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc ðịnh, Trần Ngọc Diễm (2003), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003), 683-695 11 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2) (2005) 365–386 12 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff–Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365–392 13 Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods (accepted for publication) 14 Rabinowitz P.H (1967), Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Communs Pure Appl Math 20 (1967) 145 – 205 15 R.E Showalter (1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J Diff Equat Monograph 01, 1994 [...]... một không gian hàm thích hợp Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp {u m } bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Phần hai ñề cập ñến sự hội tụ của dãy lặp {u m } về nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.3) 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: (A1) u 0 ∈ H 2 (0,1), u1 ∈ H1 (0,1), (A2) f ∈ C1 ([0,1]×[0,... (2.19), (2.20) và (2.69) rằng uɺɺ m = µ(t)∆u m − λuɺ m + Fm ∈ L∞ (0,T;L2 ) , do ñó u m ∈ W1 (M,T) ðịnh lý 2.1 ñược chứng minh hoàn tất 2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ðịnh lý 2.2 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn tại M > 0 và T > 0 sao cho bài toán (2.1) – ( 2.3) có duy nhất nghiệm yếu u ∈ W1 (M,T) Mặt khác, dãy quy nạp tuyến tính {u m } xác ñịnh bởi (2.19), (2.20) hội tụ mạnh về nghiệm yếu u trong... n0 : S → S là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co H có ñiểm bất ñộng duy nhất trong S, tức là hệ (2.26) – (2.27) có duy nhất nghiệm (k) u (k) m (t) trên [0,Tm ] Bổ ñề 2.4 ñược chứng minh xong Các ñánh giá sau ñây cho phép ta lấy Tm(k) = T với mọi m và k Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với cɺ (k) mj (t) và lấy tổng theo j ta ñược: ) (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) uɺɺ (k m (t),u... ñiều kiện mà ta chỉ ra sau Trong chương này chúng tôi trình bày thuật giải lặp ñơn: uɺɺ m − µ(t)∆u m + λuɺ m = f (x, t, u m−1 ), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.4) ∇u m (0, t) − h 0 u m (0, t) = ∇u m (1, t) + h1u m (1, t) = 0, (2.5) u m (x,0) = u 0 (x), uɺ m (x,0) = u1 (x), (2.6) u 0 là bước lặp ban ñầu cho trước nằm trong một không gian hàm thích hợp Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp. ..9 Cho a : V × V → ℝ là dạng song tuyến tính ñối xứng, liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V (1.5) Chính xác hơn, ta gọi a là: j) Dạng song tuyến tính nếu u ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi v ∈ V , và v ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi u ∈ V jj) ðối xứng nếu a(u, v) = a(v,u), ∀u, v ∈ V, jjj) Liên tục nếu ∃M ≥ 0 : a(u, v)... 1 1− σ 10 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ñầu sau: u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.1) u x (0, t) − h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (2.2) u(x,0) = u 0 (x), u t (x,0) = u1 (x), (2.3) trong ñó λ, h 0 , h1 là các hằng số không âm cho trước; u 0 , u1 , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm... trong ñó Sự tồn tại của um cho bởi ñịnh lý sau ñây: ðịnh lý 2.1 Giả sử (A1) – (A4) ñúng Khi ñó tồn tại các hằng số M, T > 0 sao cho ñối với mọi u0 ∈ W1 (M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {u m } ⊂ W1 (M,T) xác ñịnh bởi (2.19) – (2.21) Chứng minh Gồm các bước dưới ñây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là cơ sở trực chuẩn của H1 như ( ) trong bổ ñề (2.3) w j = w j / λ j Dùng phương pháp... (2.92) Áp dụng bổ ñề Gronwall, từ (2.92) ta suy ra Z(t) = 0, nghĩa là u1 = u2 ðịnh lý 2.2 ñược chứng minh xong 32 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong chương này chúng ta xét bài toán biên và ban ñầu (2.1) với giả thiết sau: (A5) f ∈ C 2 (Ω ×ℝ ) Với f thỏa giả thiết (A5), với M > 0, ta ñặt: K 0 = K 0 (M,f ) = sup f (x,u) ,  ∂f ∂f  + K1 = K1 (M,f ) = sup  (x,u),  ∂x ∂u   ∂ 2f ∂ 2f K 2... toán (2.19), (2.20) với Fm (x, t) = f m (x, t,u m ) = f (x,u m−1 ) + (u m − u m−1 ) với f m (x, t,u) = f (x,u m−1 ) + (u − u m−1 ) ∂f (x, u m−1 ), ∂u (3.2) ∂f (x, u m−1 ) ∂u Ta có ñịnh lý sau: ðịnh lý 3.1 Giả sử (A1), (A2), (A4), (A5) ñúng Khi ñó tồn tại M > 0 và T > 0 sao cho với mỗi u 0 ∈ W1 (M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {u m } ⊂ W1 (M,T) xác ñịnh bởi (2.19), (2.20) và (3.2) Chứng minh:... 0k (2.58) Từ (A1) và (2.25), (2.26) ta suy ra tồn tại M > 0 ( ñộc lập k và m) sao cho M2 X (0) + Y (0) ≤ , với mọi m, k 2 (k) m (k) m (2.59) Chú ý rằng với giả thiết (A2) ta suy ra từ (2.13), (2.14): lim TK i (M,T,f ) = 0, i = 0,1 (2.60) T→ 0+ Khi ñó từ (2.56), (2.57) và (2.60) ta luôn chọn ñược hằng số T > 0 sao cho  2   M + d (M,T) exp (Td (M)) ≤ M 2 , 1 2   2 (2.61) và  /   2 2K1T