BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -oOo CAO TRẦN TỨ HẢI XÂY DỰNG CÁC L-HÀM p-ADIC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phốNĨI Hồ Chí Minh – 2009 LỜI ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU Mặc dù số p-adic xây dựng kỷ giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ trở thành chuyên ngành độc lập khoảng 40 năm trở lại Sự phát triển vượt bậc nhờ việc phát mối liên quan sâu sắc giải tích p-adic với vấn đề lớn số học hình học đại số Chẳng hạn, A.Wiles dùng biểu diễn L-hàm p-adic dạng modula công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn tiếng Vì việc nghiên cứu L-hàm, L-hàm p-adic đóng vai trò quan trọng then chốt lý thuyết số chọn đề tài “ Xây dựng Lhàm p-adic” Trong luận văn trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tính giá trị L-hàm p-adic s = số nguyên s  Về bố cục, luận văn chia làm ba chương Chương Đại số giải tích p-adic Trình bày bước xây dựng trường số p-adic p , nêu số tính chất đại số giải tích trường p-adic, khái niệm đại số hàm chỉnh hình p-adic, đại số hàm phân hình p-adic tập mở để làm tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic Chương Hệ số Bernoulli L-hàm phức Bao gồm hai § §1 trình bày hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với đặc trưng Dirichlet §2 đưa khái niệm hàm zeta L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet , nêu số tính chất L-hàm phức : phương trình đặc trưng Lhàm phức, thặng dư F ( z) z  n 1 z = 0, công thức L(1  n , )   B n , n với n  giá trị L-hàm s = Từ suy giá trị hệ số Bernoulli tổng quát tính chất hàm zeta Chương Xây dựng L-hàm p-adic Đây chương quan trọng luận văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet giá trị s = dựa theoIwasawa, đặc biệt chúng tơi tính giá trị L-hàm p-adic điểm nguyên dương cách sử dụng - biến đổi hàm số Cụ thể chương III gồm năm § §1 Phép nội suy hàm phân hình p-adic Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để dãy số p-adic p nội suy thành hàm phân hình p-adic §2 L-hàm p-adic Như ta biết L(1  n, )   Bn,  () số đại số n  nên ta xem chúng thuộc  p Một vấn đề đặt có tồn hàm phân hình p-adic f cho f(1  n)   Bn, n  L(1  n, ) , n  hay không ? Rất tiếc dãy  Bn,    khơng phải dãy nội suy p-adic Vì phải chỉnh sửa n   chút để có dãy nội suy p-adic Trong § chứng minh dãy  bn  n n 1    với b n  1   n (p)p B n , ,  n   dãy nội suy  n tồn hàm phân hình p-adic thoả L p (1  n,  )   p-adic Do bn gọi L- hàm p-adic n liên kết với đăc trưng  §3 Toán tử – biến đổi Xây dựng – biến đổi số tính chất – biến đổi xem “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị L – hàm p-adic điểm ngun dương §4 Cơng thức tính L p (1, ) Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet s = §5 Cơng thức tính giá trị L-ham p-adic điểm nguyên dương Xây dựng chi tiết cách tính giá trị L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại số nguyên s  Do khả trình độ có hạn, luận văn chắn cịn nhiều sai sót Rất mong cảm thơng, góp ý bảo quý thầy cô bạn đồng nghiệp Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang trực tiếp đề tài hướng dẫn cho ý kiến quí báu Tp.HCM, ngày 01/06/2009 Người thực Cao Trần Tứ Hải CHƯƠNG ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chương ny chng tơi trình by kiến thức đại số v giải tích p-adic để phục vụ cho phần luận văn (chương 3) §1 CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC 1.1.1 Trường số p-adic Cho trước số nguyên tố p, x   \ 0 phân tích dạng x  p p11 p2 pk k p,p1 ,p2 , ,p k số nguyên tố phân biệt , 1, ,  k    gọi số p-dic x, kí hiệu   ord p (x) Ta qui ước ord p (0)   Với x, y  dễ dàng chứng minh   ord p (xy)  ord p (x)  ord p (y) ord p (x  y)  ord p (x),ord p (y) Khi ánh xạ  xác định  pord p (x) x   x= 0 lập thành chuẩn phi Archimade  , nghĩa i) x  0, x  , x   x  x p  ord p (x) ii) xy  x y , x,y   iii) x  y  max  x , y  , x,y   Nguyên lý tam giác cân có vai trị quan trọng trường với chuẩn phi Archimade : “Nếu x  y x  y  max  x , y  ” Chú ý trường  với chuẩn không gian định chuẩn không đầy đủ Ta xây dựng trường bao đủ  p  , chuẩn  p mở rộng chuẩn  Mỗi phần tử  p biểu diễn dạng x  a m p m   a0  a1p   an pn  với   p  , i  - m, a m  gọi biểu diễn p-dic x, x  pm Trường  p có tính chất đặc trưng sau i)  p chứa  ii)  trù mật  p iii)  p đầy đủ Trường thoả ba tính chất xác đinh Trường  p gọi trường số p-adic  Trường  p khơng đóng đại số Vành  p  x   p : x    p gọi vành số nguyên p-adic Đây   vành địa phương với ideal tố đại p p  *p  x   p : x   p tập compact nên  p compact địa phương Các tập , ,m   m  p  1 trù mật  p với tôpô cảm sinh từ  p Trường k   p / p p   / p  Fp gọi trường thặng dư  p Tập   p*  x    x   p*  p r r   với phép nhân lập thành nhóm gọi nhóm giá trị  p Gọi  p bao đóng đại số  p , với    p , ta gọi x n  an 1x n 1   a0   p  x  đa thức tối tiểu  Khi  p với chuẩn xác định   a0 n không gian định chuẩn phi Archimade chứa  p Lúc  p lại không đầy đủ theo chuẩn Bao đủ  p không gian p-adic phức  p Đồng thời ta có  p khơng compact địa phương  p có trường thặng dư k *  p  x * x  p  bao đóng đại số k  Fp , nhóm giá trị    p r r   Dãy x n    p dãy Cauchy lim x n 1  x n  Nếu lim x n  x  tồn N > cho n  n  x  x n , n  N Cho K trường với chuẩn phi Archimade, M  số p-dic cho trước a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M a  b  M Kí hiệu a  b ( mod M ) Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo modulo M quan hệ tương đương Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=an x n + +a1x  a0 , với   p , i  0,n thoả mãn  (mod p) với  i  n  , an  (mod p), a0  (mod p2 ) Khi f(x) bất khả quy  p ” 1.1.2 Căn đơn vị đại diện Teichmuller Căn bậc n đơn vị trường F nghiệm đa thức x n  Tập bậc n đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n Căn đơn vị bậc n đơn vị với n số nguyên dương  gọi nguyên thuỷ bậc n đơn vị phần tử bậc n đơn vị không tồn số nguyên dương m < n cho  bậc m đơn vị, nói cách khác  có cấp n nhóm cyclic bậc n đơn vị hay  phần tử sinh Bổ đề Hensel : “Cho F(x)  c0  c1x   cn x n   p  x  Gọi F '(x)  c1  2c2   ncn x n 1   p  x  đa thức đạo hàm F(x).Cho a   p cho F(a)  (mod p) F '(a)  (mod p) Khi tồn b   p nghiệm đa thức F(x) b  a (mod p) ” Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy trường  p , phương trình x p  x  ln có p nghiệm phân biệt a0 ,a1, ,ap 1 thoả  i (mod p) Các nghiệm tương ứng gọi đại diện Teichmuller 0,1, ,p  Nhận xét đại diện Teichmuller 1,2, , p -1 bậc p -1 đơn vị Hơn p > đại diện Teichmuller 2,3, , p -1 không số hữu tỉ Với a   p , tồn đại diện Teichmuller cho  a (mod p) Kí hiệu (a)  ai0 gọi đại diện Teichmuller a Khi kiểm tra (ab)  (a)(b) (a  p)  (a) Đặt  U = *p  x   p  x  , D   q p p >2  p với q   , U nhóm nhân số nguyên p-dic khả nghịch p p=2  D nhóm U chứa tất phần tử dạng  qa , a   p Đặt V  1 p = 2, đặt V nhóm cyclic gồm tất bậc p -1 đơn vị p > Với a  U , ta dễ dàng chứng minh (a)  a (mod q)  (a)1 a  (mod q) Đặt  a  1   (a)  a   q p  D , a biểu diễn thành tích (a)  V  a  D Rõ ràng cách biểu diễn nên U  V  D Gọi    trường gồm tất số phức đại số  Do    p nên    p đơn vị  p đại số  nên nằm  Nhóm V   p đồng với nhóm nhân bậc p – đơn vị    p ( p > 2) đồng với nhóm nhân bậc hai đơn vị    p (nếu p = 2) Vì ta xem (a)   , (a) đại số   : a  (a) từ    gọi đăc trưng Teichmuller Khi ánh xạ Trên trường  p , p > bậc n đơn vị tồn n = p –1, nghĩa đơn vị  p đại diện Teichmuller khác không, p = đơn vị – Trên trường  p đóng đại số nên tập bậc n đơn vị gồm n số khác §2 CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC 1.2.1 Hàm chỉnh hình p-dic Trên trường K trường p-dic đóng đại số  p , xét chuỗi vô hạn nhận thấy  n hội tụ lim  n  x    an x n Ta gọi bán kính hội tụ f(x)  n0  r  lim  sup an n   n    Chuỗi  an x n  an x n (an   p ) số thực xác định hội tụ x  r , phân kỳ x  r Nếu n0 tồn x  K, x  r cho   n , ta   an x0n hội tụ ( phân kỳ ) chuỗi n0 hội tụ ( phân kỳ ) x  K, x  r n0 Xét chuỗi luỹ thừa f(x)    an x n (an  K) , với x cố định thoả x  r , n0 f(x) hội tụ f(x) có đạo hàm f '(x)    nan xn 1 , f’ f có bán n 1 kính hội tụ Từ suy hàm f(x) khả vi vơ hạn lần Vì lý ta gọi hàm f(x)    an x n n0  (an  K) BK (0, r)  x  K hàm  chỉnh hình cầu mở x  r Thương hai hàm chỉnh hình tập mở gọi hàm phân hình tập mở 1.2.2 Đại số Banach hàm chỉnh hình PK Gọi K trường mở rộng hữu hạn  p cho K   p Khi K trường compact địa phương với tơpơ cảm sinh chuẩn phi Archimade K Gọi K[[x]] đại số tất chuỗi hàm luỹ thừa hình thức x Với A  A(x)    an x n  K[[x]] ta định nghĩa A  sup an Đặt n0 n  PK  A  K[[x]]  A  Rõ ràng PK đại số K[[x]] K[x]  PK  K[[x]] , K[x] trù mật PK Với A    an x n  PK    p thoả mãn   ta có n0 n an n  A   n     Do A chỉnh hình cầu mở B(0,1)  x   p x  Nhưng hàm chỉnh hình cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc PK A(x),B(x)  PK ; A(x)    an xn , B(x)  n0   bn x n ta dễ dàng khẳng định n0 i) A  0, A   A  ii) A  B  max  A , B  iii) cA  c A , AB  A B Vậy (PK , ) đại số định chuẩn trường K 1.2.3 Mệnh đề ( PK , ) đại số Banach trường K Chứng minh Giả sử A k (x)  A k  dãy Cauchy  n (k)  a(k) n x , an  K n0 Ta có (PK , ) , (l) A k  A l  sup a(k) n  an  n  k dãy Cauchy K với n  nên k,l  Suy a(k) n đặt A  A(x)    an x n n0  K[[x]] ta chứng minh (PK , ) Thật vậy, A k  dãy Cauchy suy A k  lim a(k) n  an  K , n  hội tụ A (l)   , N  : sup a(k) n  an  , k,l  N n Cho l   ta sup a(k) n  an  , k  N Đặc biệt với k = N ta có n sup a(N) n  an   , n    an  max , A N , n Do  (N) an  max a(N) , n n  an , an mà  A n  max , A N nên  hay A n  PK Hơn từ sup a(k) n  an  , k  N suy A k  A  , k  N nên lim A k  A k  n PK Vậy PK đại số Banach 1.2.4 Hàm logarithm p-adic (1)n 1 n Chuỗi hàm luỹ thừa log(1  x)   x có bán kính hội tụ  p n n 1  Đặt D     p   -1  hàm số log : D   p xác định (1)n log  log 1  (  1)   (  1)n n 1 n  gọi hàm logarithm p-adic Sau tính chất hàm logarithm p-adic log(xy) = logx + logy ,  x,y  D  n x log ex  x, elogx  x ex   n! nn Bây ta thác triển hàm logarithm p-adic từ log : D   p thành * * log :  p   p mà đảm bảo tính chỉnh hình x   p , giả sử x  p r với a  , (a,b) = Ta gọi x p   p nghiệm đa thức x b  pa suy b b x   Ta có x1 =(x1 )  x1  x p  pa Khi x1 =   p     p xp r=     với (x1 ) đại diện Teichmuller tổng quát x1 ,  x1  nằm cầu mở B(1,1) = D Do x=x p(x1 )  x1  Đặt (1)n logx  log  x1   ( x1  1)n , n 1 n  logx khơng phụ thuộc vào cách chọn nghiệm x p hàm chỉnh hình *  p Đồng thời hàm có tính chất sau : i) logx  (1)n  n (x  1)n với x   n 1  * ii) log(xy) = logx + logy ,  x,y   p x iii) log e  x, e logx xn  x e   n! nn iv) logp = * v) log :  p   p toàn ánh x  Chứng minh Với  p  1,   ta có    p p 1 ( theo bổ đề 3.3.3.2), với A  QK , A(  1) xác định Do K[[x]] trù mật QK hai vế đẳng thức cần chứng minh phụ thuộc tuyến tính vào A nên ta cần chứng minh  m  cho A(x)  1  x  , m  đủ Ta có  A (s)   A (1  x)m = (m,s) suy 0  A (0)  (m,0)   1 mp (m,p) = 1   1 A(  1)    m    p p 1 p  p 1 1-0 = Ta lại có A(0) - mp (m,p) = Vậy mệnh đề chứng minh xong §4 CƠNG THỨC TÍNH L p (1,  ) Để xây dựng cơng thức tính giá trị L p (s, ) s =1, trước hết ta chứng minh bổ đề sau 3.4.1 Bổ đề Cho   e 2 i f     p nguyên thuỷ bậc f đơn vị, h(x) đa thức f  a h( a )  thoả deg(h)  f – Khi f z  a 1 f z   a h( z ) Chứng minh Đặt   j(z)  z f  f  a h( a )   f z  a  z   b a 1 b 1 f  f a a   h( )  z   b a 1 f b 1 f    f  a h( a )    a  f z    a 1   ba Lúc bổ đề tương đương với j(z) = h(z) Nhận xét h(z), j(z) đa thức có bậc  f – theo z nên ta cần chứng minh chúng f điểm phân biệt đủ Do  nguyên thủy bậc f nên f số ,  , ,  f đôi khác Với a0  1,2, ,f , ta có a0 f a a0 a0  a b j( )   h( )      h( ) f a 1 f b 1 f a0   ba f f   a   b b 1 b  a0   Hơn lấy đạo hàm hai vế công thức z f    z   b ta fz f f f 1 b 1      z  b , a 1b 1 ba thay z   a0 vào ta   f   a0 f suy f   a0 a0 f 1  f   a  b b 1 b  a0  b b 1 b  a0   a0  f  a0 f   f 1      a0 f  Do j( a0 ) = h( a0 ), a0  1,2, ,f Vậy bổ đề chứng minh xong Cho  đặc trưng Dirichlet với conductor f  f Chúng ta áp dụng kết để tính giá trị L p (1, ) Nếu    L p (s, )  (s) có cực điểm s = 1, ta giả sử    f > Với số nguyên N  cố đinh cho (N,fp) =1, tập  / f biểu diễn theo hai cách a+f a=1,2, ,f aN +f a=1,2, ,f  Gọi   x   p f  N x  , tổng Gauss ()   (a) a với  i e f , K a 1 trường mở rộng hữu hạn  p  p cho K chứa số đại số  , (a) với a   Xét hàm số hữu tỉ f G(z)   Ta có t.et G(e t )   f (a)teat eft  (a)za 1 a 1  F (t)  zf    Bn, n0  K(z) tn n! ( xem công thức (2.5)) Đa thức g(z)   (a)za 1 có bậc  f – nên theo bổ đề 3.3.4.1 ta có a 1 f g(z) G(z)  f z 1 f f  Ta tính (b) ab  a 1 f f a f a   g( )   a a 1 f a 1 f z    f a b 1 z  a  (b)a(b1) b 1 z  a  (b) ab cách xét hai trường hợp sau b 1 + Nếu (a,f) = 1, f f f b 1 b 1 b 1  (b) ab  (a)  (ab) ab  (a)  (b) b  (a)() + Nếu d = (a,f) > 1, ý (a)  Theo bổ đề 2.1.3.2, tồn số nguyên f f c   x với x   cho (c)  Từ c   x suy d d cd  d (mod f)  ac  a (mod f) (vì a chia hết cho d)  abc  ab (mod f)   ab   abc Từ (c)  suy (c,f) = nên  / f biểu diễn hai cách b  f b  1,2, ,f bc  f b  1,2, ,f Do f (c)  (b) ab  b 1 f f  (bc) ab  b 1 f  (bc) abc  b 1 f  (b) ab b 1  ((c)  1)  (b) ab   f b 1  (b) ab   (a)() b 1 Kết hợp hai trường hợp lại, ta f  (b) ab  (a)() , a   b 1 Do công thức (3.16) suy 3.4.2 Bổ đề G(z)  () f (a)  f a 1 z   a (3.16) (3.17)  ( ) f f  (a)   z   a  N  (N )z N 1G(z N )  G(z) (3.18) a 1  1 Chứng minh Ta có z N   aN   (z   a ) , lấy đạo hàm hai vế ta Nz N 1   (z   '  a  )   '   Nz N 1 N z  Nz aN  N 1 N z  aN   (z   ' a )   '   (z  a )    z   a  () f (a)Nz N 1 () f  (a)  () f  (a)        z   a   f  zN   aN f a 1  f a 1  z   a   a 1    f  () f (a)  () N 1 (aN) N 1 Nz (N)  N Nz (N)     N a  aN f a 1 z    f a 1 z    () f  (a)  N 1 N     Nz (N)G(z ) (theo công thức (3.17)),  a f a 1  z    suy () f (a) () f (a) () f (a)      f a 1 1 z   a f a 1  z   a f a 1 z   a  Nz N 1(N)G(z N )  G(z) (lại theo công thức (3.17)) 3.4.3 Định lý Cho  đặc trưng Dirichlet ,    với conductor f  f  , số tự nhiên N  thoả (N,pf) = 1, (N)  1, A( x )   ( ) f f (1)n 1 n n 1     (a)  a 1  1   x   xn 1     xN  với (  )  a n f ,  e Khi với A(x)  QK s   p ta có p > p =   (a) a a 1 2 i f (1   (N )  N  s )L (1  s,  ) p   A (s)   s (1   (N )N )L p (1  s,  ) p Đặc biệt s = 0,  A (0)  (1   ( N ))L p (1,  ) Chứng minh Gọi m cấp  a (với   1,  a  f ), m1 cấp  với m1 > 1, m cấp  a Vì m1 N, m f (N,fp) = nên m  m1m (p,m1 )  nên  a đơn vị cấp m khơng luỹ thừa p Do đó, theo bổ đề 3.3.3.2,   a  suy (1)n 1 n n! 1    a n  (n  1)!  n  Do A(x)  QK Theo định nghĩa  () f (x)n 1 DA(x)  (1  x)log(1  x)   (a)  n f a 1 1 n 1   a   suy  () f   ex  DA(e  1)  e x   (a)    a   a  f a 1 1 n 1   x x   f  x ()  e x (a)   f a 1 1   a   ex 1    a   n 1   f   ex x () (a) x    f a 1 1 e   a      ex x N(N)e(N 1)x G(eNx )  G(ex ) (theo công thức (3.18))  (N)(Nx)eNx G(eNx )  ex xG(ex )  (N)F (Nx)  F (x)    Mà DA ex      n0  n (DA) n0  xn (N)N  Bn, n! n  xn (theo công thức (3.14)) nên n!  n (DA)  (N)N n  Bn, với n  Với s   p , chọn dãy n k  n   n  p-1 cho lim n k  s đối k  với chuẩn p-dic lim n k   chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường k  Theo mệnh đề 3.3.2.3 mệnh đề 3.3.3.1, ta có   s A (s)   DA (s)  lim (N)N n k  Bn k , k  Ta xét hai trường hợp Nếu p > 2, n k  p-1 nên theo định lý Fermat nhỏ ta có N n k  (mod p) Do N n k = n k suy     lim (N)N n k   lim (N)  N  n k 1  (N)  N s 1 k  Ta lại có Bn k ,n   k k  n k L p (1  n k , )   n k (p)pn k 1 (theo định lý 3.2.1) n k   (vì n k  p-1 ) nên ta lim Bn k ,  sL p (1  s, ) suy k    s A (s)   (N)  N s sL p (1  s, )   Nếu s   A (s)   (N)  N s L p (1  s, ) Do tính liên tục  A , L p    A (s)   (N)  N s L p (1  s, ), s   p suy Nếu p = 2, lập luận tương tự, ta    A (s)   (N)Ns L p (1  s, ), s   3.4.4 Tính giá trị L p (1, ) Cho A chuỗi hàm luỹ thừa giả thiết định lí 3.4.3, ta có  A (0)  (1  (N))L p (1, ) kết hợp với mệnh đề 3.3.3.3 suy (1  (N))L p (1, )    L p (1, )   A(  1) p  p 1 -1  A(  1) p(1  (N)) p 1 (3.19)  1 , 1 hoán vị nhau, suy Với a  cho (N,fp) = 1, ta có  p   p ap 1 , ap1 hoán vị Nên  1   pap    1   ap  1 1 (3.20) Ta thay z   a vào công thức  z p      z  suy  p 1     a    p ap  (3.21)  1 p Thay z   a vào công thức   z     zN -1 , ta  1    Theo bổ đề 3.3.3.2, ta có  a    aN  1   a (3.22)     suy      (1)n 1     log     a     a     n 1 n     nên  (1)n 1     () f A(  1)    (a)  n    a  f a 1 1   n 1 n  () f  1   (a)log     a  f a 1 1          a  () f  (a)log   a  f a 1 1      () f    a    (a)log    a  f a 1  1  Kết hợp với công thức (3.19) suy  1 () f    a  () L p (1, )   S (a)log      a   pf(1  (N)) p(1  (N))  p 1 f a 1    1  f     a   , ta biến đổi với S   (a)log    a   p   a 1   1 1    p ap  f  1   (áp dụng công thức (3.21)) S   (a)log   p a a 1  1      f f       (a)log     p ap   p  (a)log     a      a 1  1  a 1  1        f    (a)log     ap  a 1  1 f    a   p  (a)log       a 1  1  (áp dụng cơng thức (3.20)) Ta tiếp tục tính S cách xét hai trường hợp Nếu (p,f) = 1, f f     S  (p)  (ap)log     ap   p  (a)log     a      a 1  1  a 1  1  f    ((p)  p)  (a)log     a    a 1  1     a  f    ((p)  p)  (a)log    a     a 1   (a,f) 1   f    aN  (áp dụng công thức (3.22))  ((p)  p)  (a)log     a  a 1               (a,p)1  f f   ((p)  p) (N)  (aN)log   aN   (a)log   a  a 1 a 1 (a,p)1 (a,p)1    ((p)  p)((N)  1)    f              (a)log   a  a 1 (a,p)1  Do log   a  log   a  log  a  log   a f  (  bậc f đơn vị )   suy S  ((p)  p)((N)  1)  (a)log    a a 1 Nếu (p,f) >1 , f  p ,  có conductor f >1 nên theo bổ đề 2.1.3.2, f tồn số nguyên b = 1+x vi x ẻ cho c(b) Từ công thức p f b=1+x suy apb º ap ( mod f) với a Ỵ   apb   ap Từ p c(b) ¹ suy (b,f) =1 nên  / f biểu diễn theo hai cách a  f a=1,2, ,f  ab  f a=1,2, ,f Ta khẳng định f   S   ((p)  p)((N)  1)  (a)log   a a 1 Thật vậy, ta có f f    ap apb (a)log (ab)log                a 1  1  a 1  1 f    (b)  (a)log     ap    a 1  1  f   Vì c(b) ¹ suy  (a)log     ap     a 1  1  f   Tương tự ta có  (a)log     a     a 1  1               f  (a)log 1   a   a 1 Tóm lại hai trường hợp ta có f   S  ((p)  p)((N)  1)  (a)log   a , a 1 L p (1, )  f () ((p)  p)((N)  1)  (a)log   a pf(1  (N)) a 1    (p)  () f  (3.23) L p (1, )     (a)log   a   p  f a1  Công thức (3.23) xem tương tự p-dic giá trị L- hàm phức () f s =1 , L(1, )    (a)log   a f a 1     §5 GIÁ TRỊ CỦA L-HÀM p-ADIC TẠI CÁC ĐIỂM NGUN DƯƠNG Trong § trước ta tính L p (1, ) Một câu hỏi đặt : “ Có hay khơng cơng thức tương tự giá trị L p (r, ) với số nguyên r ≥ ? “ Sau khẳng định tồn chuỗi số đại số hội tụ L p (r, )  p   đồng thời hội tụ    r 1(p)p r L(r,   r 1 )  3.5.1 Các khái niệm n n! Với n   , ta định nghĩa    Xét  x  x(x  1) (x  n)  n  1 (n  1)!  x   x(x  1) (x  n)(x  n  1)   n! n! ,  x(x  1) (x  n) (x  1) (x  n)(x  n  1)  n  1  n   n   x    x    x  1        (3.24) Bổ đề n (1) j   n n  j với n ≥ x   x  j   j 0 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n với n = 1,  1 (1) j   1 1  j  x   x(x  1)  x  x    x  j   j n (1) j   j n , ta có Giả sử        x  j x  j n  n   n   n  1 j  (1) j  (1) n 1   j   j    j   x  j     x  j  j j n 1  (3.25) n  n  j j1 ( 1)     (1) n n 1  j j  1    j x  j j1 (x  1)  (j  1)  n   n   n  1      x   x  1  x  Với số nguyên r ≥ 2, hàm  log(1  x)r 1 x  log(1  x)r 1  ta khai triển x Đặt A r,n    cr,n xn (3.26) n0 (1)n cr,n A r (x)  khả vi vô hạn lần x = Do (r  1)! , (3.27)   A r,n (1  x)n n0 (3.28) r 1  1  log x  Suy A r (x)  cr,n (x  1)n   (r  1)! n  (r  1)! x  (3.29) 3.5.2 Giá trị L p (r, ) với số nguyên r ≥ Cho r ≥ 2,  đặc trưng Dirichlet nguyên thuỷ với conductor f, gọi g conductor đặc trưng  r 1   r 1 Trên trường p-adic phức  p , xét chuỗi hàm hình thức pg F(x)   a 1 (a,p) 1 n j pjg  a   (1) (1  x) j  -r+1(a)  A r,n    pjg a  n0 j n  Cũng ý tưởng cách tính L p (1, ) , ta tính L p (r, ) cách sử dụng “cơng cụ”   biến đổi F Ta có F '(x)   pg  n n  -r+1(a)  A r,n    (1) j (1  x)pjg  a 1 a 1 n0 j  j   (a,p) 1 pg  a 1 (a,p) 1  n  -r+1(a)  A r,n 1  (1  x)pg  (1  x)a 1   n0 pg   a 1 (a,p) 1 Suy DF(ex  1)  xex  -r+1(a)A r (1  x)pg (1  x)a 1   pg  a 1 (a,p) 1   Mà A r e pgx  (r  1)!    -r+1(a)A r e pgx e(a1)x  l og epgx  r 1 ( theo (3.29) ) e pgx  r 1 pg    ( theo (3.28)) x r 1 (r  1)! e pgx  DF(e nên x r 1 pg    1)  (r  1)! pg  a 1 (a,p) 1  -r+1(a)xeax e pgx 1 r 1 pg   pg  -r+1(a)xeax     (r  1)!  a 1 e pgx  r 1 pg    F  r 1 pg    (r  1)! r 1 pg    (r  1)! x r 1 g  -r+1(pa)xeapx  r 1  egpx   x  a 1   -r+1(p) F-r+1 (px) x r 1  -r+1 (x)   (r  1)!  p  r 1   pg   B x m  -r+1(p)  (px)m  r 1 B     m, -r+1  m,-r+1 m!  x (r  1)!  m  m! p m 0    1  -r+1(p)p m 1 m 0   n  r 1  x m  r 1 Bm, -r+1 m!   (n  r) (n  1)n   -r+1(p)pn  r Bn  r 1,-r+1 xn n! xn Do DF(e  1)   n (DF) n! n0 x nên n  r 1 pg   (DF)  (n  r) (n  1)n 1  -r+1(p)pn r  Bn r1, với n ≥ r -1 -r+1 (r  1)! Với s   p bất kỳ, chọn dãy n k  n   n  p-1 cho lim n k  s k  chuẩn p-dic lim n k   chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường k  Vì     -r+1(p)pn k  r n k  Bn k  r 1,-r+1 (r  1)! k   Bn k  r 1,n k -r+1 nk  r  nk  r   L p (1  (n k  r  1), )  L p (r  n k , ) r 1 pg   (DF)   (n   DF (s)  lim n k      n k -r+1(p)pn k  r k  r  1) (n k  1)n k L p (r  n k , ) r 1 pg   (s  r  1) (s  1)s.L (DF)   (r  1)! Mà  DF (s)  s F (s) nên  F Đặc biệt  F (0)  (1)r  pg  r 1 pg   (s  r  1) (s  1).L (s)   (r  1)! r 1 p (r  s, ) p (r  s, ) L p (r, ) (3.30) Mặt khác, theo định lí xây dựng tốn tử – biến đổi, ta có n j pg n   (1) (pjg  a,s)  j  F (s)    -r+1(a)  A r,n    , pjg a  a 1 n0 j (a,p) 1 suy  F (0)   pg  a 1 (a,p)1 pg n j n   (1)  j  -r+1(a)  A r,n    n0 j pjg  a pg  a 1 (a,p) 1 n j n   (1)  j  -r+1(a)  A r,n    a / pg j  n0 j Ap dụng công thức (3.25), ta pg   n   -r+1(a)  A r,n   F (0)    pg a1 a / pg   n0 ( 3.31 ) (a,p)1 Từ (3.30), (3.31) suy   L p (r, )      pg  r pg  a 1 (a,p) 1   n   -r+1(a)  A r,n   a / pg   n0 (3.32) Một điều lý thú mặt phẳng phức  , người ta chứng minh chuỗi      pg  r pg  a 1 (a,p) 1   n  hội tụ    r 1(p)p r L(r,   r 1 )  -r+1(a)  A r,n   a / pg  n0   TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Borevich,Z.I and Shafarevich,I.R (1966), Number Theory, Academic Press, New York and London [2] Fresnel,J., Fonctions Zeta p-adiques des corps de nombres abéliens reéls, Acta Arith [3] Hu, P.C and Yang, C.C.(2000), Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, HongKong [4] Iwasawa, Kenkichi (1969), On p-adic L-functions, Ann Math [5] Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University of Tokyo Press, Japan [6] Koblitz, Neal (1991), p-adic Number, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Springer- Verlag [7] Kubota, Y, und Leopoldt, H.W (1964), Eine p-adische Theorie de Zetawerte, Jour Reine und angew Math ... chốt lý thuyết số chọn đề tài “ Xây dựng Lhàm p-adic? ?? Trong luận văn trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tính giá trị L-hàm. .. L-hàm p-adic s = số nguyên s  Về bố cục, luận văn chia làm ba chương Chương Đại số giải tích p-adic Trình bày bước xây dựng trường số p-adic p , nêu số tính chất đại số giải tích trường p-adic, ... khái niệm đại số hàm chỉnh hình p-adic, đại số hàm phân hình p-adic tập mở để làm tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic Chương Hệ số Bernoulli L-hàm phức Bao gồm hai § §1 trình bày hệ số Bernoulli,