MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính độc lập, độc lập đôi 1.2 Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi theo khối m-phụ thuộc theo khối 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.4 Một số khái niệm hội tụ biến ngẫu nhiên 1.5 Một số khái niệm luật số lớn 1.6 Một số bất đẳng thức Chương Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc 16 2.1 Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối 16 2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi theo khối 23 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Luật số lớn đóng vai trò quan trọng Lý thuyết Xác suất Luật số lớn J.Bernoulli công bố năm 1713 Về sau kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn E.Borel phát Kết Kolmogorov hoàn thiện năm 1926 Năm 1987, Moricz đưa khái niệm m-phụ thuộc dãy biến ngẫu nhiên Trong thời gian gần đây, có nhiều báo nghiên cứu Luật mạnh số lớn dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, nghiên cứu đề tài "Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc" Mục đích đề tài thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi theo khối cách sử dụng phương pháp tương tự số tài liệu tham khảo [4], [5], [6] Khóa luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, đưa khái niệm tính độc lập, độc lập đôi một, khái niệm m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi theo khối m-phụ thuộc theo khối, khái niệm bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm Luật số lớn Đồng thời đưa số bất đẳng thức bổ đề thường sử dụng để chứng minh Luật mạnh số lớn Chương Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc Đây nội dung khóa luận, bao gồm hai tiết Tiết 2.1 trình bày chi tiết lại Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối [5] Tiết 2.2 thiết lập Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi theo khối Kết tiết tổng quát Định lý [6] Khóa luận thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình Thạc sĩ Lê Văn Thành Nhân dịp cho phép tác giả bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới ThS Lê Văn Thành, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo Khoa Toán nhiệt tình giảng dạy, cuối tác giả cảm ơn tất bạn bè, đặc biệt bạn lớp 45B Toán động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy cô giáo góp ý bạn đọc Vinh, tháng 05 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn khóa luận ta giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất cố định 1.1 Tính độc lập, độc lập đôi 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X biến ngẫu nhiên, F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)} gọi σ-đại số sinh X Họ hữu hạn {Fi , ≤ i ≤ n} σ-đại số F gọi độc lập n n Ai P = i=1 P (Ai ), i=1 Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} σ-đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập họ σ-đại số sinh chúng {F(Xi ), i ∈ I} độc lập Họ biến cố {Ai , i ∈ I} gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập 1.1.2 Định nghĩa Tập biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} gọi độc lập đôi Xi Xj độc lập, với i = j, i, j ∈ I 1.2 Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi theo khối m-phụ thuộc theo khối Giả sử m số nguyên không âm 1.2.1 Định nghĩa Một họ biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi m-phụ thuộc n ≤ m + 1, n > m + họ {Xi , ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xi , l ≤ i ≤ n} l − k > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc họ {Xi , ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xn , n ≥ l} l − k > m 1.2.2 Định nghĩa Một họ biến ngẫu nhiên {Xi , ≤ i ≤ n} gọi m-phụ thuộc đôi n ≤ m + 1, n > m + hai biến ngẫu nhiên Xi Xj độc lập với j − i > m Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc đôi Xi Xj độc lập với j − i > m 1.2.3 Định nghĩa Một dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc đôi theo khối với số nguyên dương p họ {Xi , 2p−1 < i ≤ 2p } m-phụ thuộc đôi 1.2.4 Định nghĩa Giả sử {βk , k ≥ 1} dãy số nguyên dương tăng ngặt với β1 = 1, đặt Bk = [βk , βk+1 ) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc theo khối khối {Bk , k ≥ 1} với k ≥ 1, họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ Bk } m-phụ thuộc Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi m-phụ thuộc đôi theo khối khối {Bk , k ≥ 1} với k ≥ 1, họ biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ Bk } m-phụ thuộc đôi Đối với {βk , k ≥ 1} {Bk , k ≥ 1} nói đưa vào ký hiệu sau đây: B (l) = {k ∈ N : 2l ≤ k < 2l+1 }, l ≥ 0, (l) Bk = Bk ∩ B (l) , k ≥ 1, l ≥ 0, (l) Il = {k ≥ : Bk = ∅}, l ≥ 0, (l) (l) rk = min{r : r ∈ Bk }, k ∈ Il , l ≥ 0, cl = cardIl , l ≥ 0, (l) dl = max(cardBk ), l ≥ 0, k∈Il ∞ cl IB (l) (n), n ≥ 1, ϕ(n) = l=0 ∞ dl IB (l) (n), n ≥ 1, φ(n) = l=0 ψ(n) = max ϕ(k), n ≥ 1, với IB (l) hàm đặc trưng k≤n tập B (l) , l ≥ Với ký hiệu ta đưa nhận xét 1.2.5 Nhận xét (l) Bk = B (l) , l ≥ i) k∈Il (l) ii) Tồn k ∈ Il để rk = 2l , l ≥ iii) {ψ(n), n ≥ 1} dãy số nguyên dương, không giảm M (l) Bk = {k ∈ N : ≤ k < 2M +1 } iv) l=0 k∈Il (l) v) ≤ cardBk ≤ cardB (l) = 2l , k ∈ Il , l ≥ 1.2.6 Nhận xét i) Nếu βk = 2k−1 , k ≥ ψ(n) = ii) Nếu βk = [q k−1 ] với k đủ lớn q > ψ(n) = O(1) 1.3 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.3.1 Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số D < ∞ cho P (|Xn | > t) ≤ DP (|DX| > t), t ≥ 0, n ≥ 1.3.2 Nhận xét Nếu dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} phân phối bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X1 1.4 Một số khái niệm hội tụ biến ngẫu nhiên Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) 1.4.1 Sự hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) với ε > ta có lim P (|Xn − X| > ε) = n→∞ P Ký hiệu Xn −→ X 1.4.2 Sự hội tụ hầu chắn Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) P ω : lim Xn (ω) = X(ω) = n→∞ h.c.c Ký hiệu Xn −→ X, lim Xn = X h.c.c n→∞ 1.4.3 Định lý Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X với ε > bất kỳ, lim P n→∞ sup |Xk − X| > ε = k≥n h.c.c h.c.c 1.4.4 Định lý Cho Xn −→ X, Yn −→ Y Khi h.c.c Xn + Yn −→ X + Y Chứng minh Đặt A1 = ω : lim Xn (ω) = X(ω) , n→∞ A2 = ω : lim Yn (ω) = Y (ω) n→∞ Khi ta có P (A1 ) = P (A2 ) = 1, Ta suy P (A1 ∩ A2 ) = Nếu ω ∈ A1 ∩ A2 lim Xn (ω) = X(ω) n→∞ lim Yn (ω) = Y (ω) n→∞ Do lim (Xn (ω) + Yn (ω)) = X(ω) + Y (ω) n→∞ Chứng tỏ ta có ω ∈ ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) , n→∞ Nên ta có A1 ∩ A2 ⊂ ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) n→∞ Suy P ω : lim (Xn + Yn )(ω) = (X + Y )(ω) = n→∞ Vậy ta có h.c.c Xn + Yn −→ X + Y 1.5 Một số khái niệm luật số lớn Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P ) Đặt Sn = X1 + X2 + · · · + Xn 1.5.1 Luật yếu số lớn Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn Sn − ESn P −→ n 1.5.2 Luật yếu số lớn tổng quát Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn tổng quát tồn hai dãy số (an ), (bn ), < bn ↑ ∞ cho Sn − an P −→ bn 1.5.3 Luật mạnh số lớn Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn Sn − ESn h.c.c −→ n 1.5.4 Luật mạnh số lớn tổng quát Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát tồn hai dãy số (an ), (bn ), < bn ↑ ∞ cho Sn − an h.c.c −→ bn 1.6 Một số bất đẳng thức Bổ đề sau giúp ta chứng minh định lý chương 1.6.1 Bổ đề Toeplitz Cho ani , ≤ i ≤ n, n ≥ 1, xi , i ≥ số n |ani | ≤ C < ∞ Khi thực cho với i cố định, lim ani = với n, n→∞ i=1 n n đó, lim xn = lim n→∞ n lim n→∞ n→∞ ani xi = 0, lim n→∞ i=1 ani xi = x i=1 ani = 1, lim xn = x i=1 n→∞ Chứng minh Nếu lim xn = với ε > tồn nε cho n→∞ |xn | < C −1 ε, với n ≥ nε Do đó, với n ≥ nε ta có nε −1 n ani xi ≤ n |ani xi | |ani xi | + i=1 nε −1 i=1 ≤ i=nε |ani xi | + ε i=1 Theo giả thiết ta suy lim ani = 0, với i = 1, 2, , nε − n→∞ Do ta có n lim n→∞ ani xi = i=1 n Nếu lim n→∞ ani = 1, lim xn = x từ kết đẳng thức n→∞ i=1 n n ani xi = x i=1 n ani (xi − x), ani + i=1 i=1 n ta thu lim n→∞ ani xi = x i=1 Định lý sau kết tiếng có tên Bổ đề Kronecker, sử dụng nhiều chứng minh định lý dạng Luật mạnh số lớn ∞ 1.6.2 Bổ đề Kronecker Giả sử < bn ↑ ∞, chuỗi số Khi lim n→∞ bn n xk k=1 10 = xn hội tụ n=1 bn p j E max 1≤j≤n Xi n ≤ Cn p −1 i=1 E|Xi |p , p ≥ (2.3) i=1 Chứng minh Nếu n ≤ m + 1, Bổ đề 2.1.2 hiển nhiên Ta chứng minh Bổ đề 2.1.2 trường hợp n > m + Trong trường hợp p = 1, với n ≥ ta có j j E ≤E Xi max 1≤j≤n |Xi | max 1≤j≤n i=1 i=1 n |Xi | =E i=1 n E|Xi |, = i=1 (2.2) chứng minh Trong trường hợp p > 1, với n > m + ta có p j E max 1≤j≤n Xi  m+1 ≤E i=1 max j=1 p k 0≤k(m+1)≤n−j Xi(m+1)+j  i=0 m+1 ≤ (m + 1)p−1 E ≤C max 0≤k(m+1)≤n−j j=1 m+1 Xi(m+1)+j i=0 p  2  Xi(m+1)+j E j=1 p k (2.4) 0≤i(m+1)≤n−j (Do Bổ đề 2.1.1) Nếu < p ≤  m+1 m+1  ≤ Xi(m+1)+j E j=1 p j=1 0≤i(m+1)≤n−j   E |Xi(m+1)+j |p  0≤i(m+1)≤n−j (Do Định lý 1.6.6) n E|Xi |p = i=1 17 (2.5) Từ (2.4) (2.5) ta thu (2.2) Nếu p ≥ p  m+1 p  ≤ n −1 Xi(m+1)+j E j=1   E |Xi(m+1)+j |p  m+1 j=1 0≤i(m+1)≤n−j 0≤i(m+1)≤n−j n−j ≤ n, j = 1, 2, , m + m+1 n =n p −1 E|Xi |p (2.6) i=1 Từ (2.4) (2.6) ta thu (2.3) 2.1.3 Bổ đề Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên , giả sử {bn , n ≥ 1} dãy số dương không giảm, giả sử {kn , n ≥ 0} dãy số dương thỏa mãn bk bkn+1 > sup n+1 < ∞ n≥0 bkn n≥0 bkn inf Thì lim n→∞ bn (2.7) n Xi = h.c.c (2.8) i=1  lim  n→∞ bkn+1 − bkn k Xi  = h.c.c (2.9) max kn ≤k ta có < 1, ∀n ≥ n≥0 b2n b2n+1 Do tồn số C đủ nhỏ để 2.1.5 Nhận xét Từ điều kiện inf b2n ≤ − C, ∀n ≥ 0, b2n+1 18 hay b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1 , ∀n ≥ 2.1.6 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên với EXn = 0, n ≥ 1, giả sử p ≥ {bn , n ≥ 1} dãy số dương không giảm thỏa mãn b2n+1 >1 n≥0 b2n inf b2n+1 < ∞ n≥0 b2n sup (2.10) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối khối {Bk , k ≥ 1} ∞ n=1 E|Xn |2p b2p n (ϕ(n))2p−1 (φ(n))p−1 < ∞, lim n→∞ bn (2.11) n Xi = h.c.c (2.12) i=1 Chứng minh Đặt j (l) Tk (l) j∈Bk Tl = k ∈ Il , l ≥ 0, Xi , = max (l) i=rk b2l+1 (l) Tk , l ≥ k∈Il Với l ≥ 0, ta có E(Tl )2p ≤ (l) 2p−1 E(Tk )2p 2p cl b2l+1 k∈Il   ≤ (l) p−1 cardBk  C 2p c2p−1  l b2l+1 k∈Il  E|Xi |2p  (l) i∈Bk (Do Bổ đề 2.1.2) ≤C =C 2p−1 2p cl b2l+1 dp−1 l E|Xi |2p k∈Il i∈B (l) k 2p−1 p−1 dl 2p cl b2l+1 i∈ k∈Il 19 E|Xi |2p (l) Bk 2p−1 p−1 dl E|Xi |2p 2p cl b2l+1 i=2l 2l+1 −1 E|Xi |2p 2p−1 (φ(i))p−1 , C 2p (ϕ(i)) bi i=2l =C ≤ Do 2l+1 −1 ∞ ∞ ETl2p ≤C E|Xi |2p b2p i i=1 l=0 Từ (2.11) ta có (ϕ(i))2p−1 (φ(i))p−1 , ∞ ETl2p < ∞ l=0 Do lim Tl = h.c.c (Do Định lý 1.6.4) l→∞ Ta có b2l+1 − b2l k Xi ≤ max 2l ≤kx dx >x dx nr =2 nr ≤2 xP (|Xn | > x) dx Ta có ∞ n=1 log n n r ∞ EYn2 ≤ nr log n xP (|Xn | > x) dx nr n=1 ∞ ≤C log n jr n xP (|DX| > x) dx nr n=1 j=1 (j−1) r ∞ ∞ =C jr log n xP (|DX| > x) dx nr j=1 n=j (j−1) r jr ∞ ≤C j r−2 r log2 j j=1 xP (|DX| > x) dx (j−1) r ∞ log n (Vì n=j n r =O j r−2 r log2 j , j ≥ 2) jr ∞ log2 j ≤C j=1 xr−1 P (|DX| > x) dx (j−1) r ∞ log2 jP (|DX|r > j) ≤C j=1 ≤ CE(|X|r (log+ |X|)2 ) < ∞ 25 Với l ≥ ta có Eτl2 ≤ C 2(l+1) r ψ(2l ) ≤C (l) E(Tk )2 cl k∈Il (l) E|Yi − EYi |2 log(2cardBk ) 2(l+1) r k∈Il (l) i∈Bk (Do Bổ đề 2.2.1) ≤C =C 2(l+1) r k∈Il i∈B (l) k 2l+1 −1 i=2l (log 2i)2 i i=2l Do ta có E|Yi − EYi |2 (log 2l+1 )2 2l+1 −1 ≤C E|Yi − EYi |2 (log 2l+1 )2 2(l+1) r r EYi2 ∞ ∞ Eτl2 (log 2i)2 ≤C i i=2 ∞ l=1 r log2 i ≤C i i=2 r EYi2 EYi2 < ∞, Từ ta suy lim τl = h.c.c (Do Định lý 1.6.4) l→∞ Với n ≥ 1, giả sử M ≥ thỏa mãn 2M ≤ n < 2M +1 ta có j n (Yi − EYi ) i=1 1 n r ψ (n) maxM +1 ≤ ≤ 1≤j n r ) P (Xn = Yn ) = n=1 n=1 ∞ ≤D P (|DX| > n r ) n=1 ≤ CE|X|r < ∞ (2.22) Từ (2.21), (2.22) Bổ đề Borel-Cantelli ta có lim n→∞ n 1 (Xi − EYi ) = h.c.c n r ψ (n) (2.23) i=1 Với n ≥ ta có E(Xn − Yn ) ≤ E |Xn |I(|X n |>n r ) ∞ P |Xn |I(|X = n |>n r ) >x dx ∞ nr r P (|Xn | > n ) dx + = P (|Xn | > x) dx nr ∞ r r = n P (|Xn | > n ) + P (|Xn | > x) dx nr 27 Với r = ta có ∞ n=1 E(Xn − Yn ) ≤ n ∞ ∞ n=1 n ∞ P (|Xn | > n) P (|Xn | > x) dx + n=1 n ∞ ∞ ≤D n=1 ∞ n n=1 P (|DX| > n) P (|DX| > x) dx + D n=1 n ∞ i+1 n ≤C ∞ P (|DX| > x) dx + CE|X| i=n i i+1 i ∞ =C n=1 n=1 n P (DX| > x) dx + CE|X| i i+1 ∞ ≤C P (|DX| > x) dx + CE|X| (log i + 1) i=1 i i (Do n=1 = O(log i + 1), i ≥ 1) n ∞ ≤C (log i + 1)P (|DX| > i) + CE|X| i=1 ≤ C(E(|X| log+ |X|) + E|X|) < ∞ Với < r < ta có ∞ n=1 n r ∞ ∞ E(Xn − Yn ) ≤ n=1 n ≤D n=1 P (|Xn | > x) dx + r ∞ ∞ P (|Xn | > n r ) n=1 nr ∞ n ∞ P (|DX| > x) dx + D r P (|DX| > n r ) n=1 nr ∞ ≤C n=1 n r ∞ (i+1) r P (|DX| > x) dx + CE|X|r i=n ir ∞ i =C n=1 n=1 (i+1) r n P (|DX| > x) dx + CE|X|r r ir 28 (i+1) r ∞ ≤C i r−1 r P (|DX| > x) dx + CE|X|r i=1 ir i (Do n=1 n r = O(i r−1 r ), i ≥ 1) (i+1) r ∞ xr−1 P (|DX| > x) dx + CE|X|r ≤C i=1 ir ∞ xr−1 P (|DX| > x) dx + CE|X|r =C ≤ CE|X|r < ∞ ∞ n=1 nr Như với ≤ r < ta có E(Xn − Yn ) < ∞ Do đó, theo Bổ đề Kronecker ta có lim n→∞ n E(Xi − Yi ) = nr i=1 Do ta có lim n→∞ n 1 E(Xi − Yi ) = n r ψ (n) (2.24) i=1 Từ (2.23), (2.24) Định lý 1.4.4 ta có lim n→∞ n 1 (Xi − EXi ) = h.c.c n r ψ (n) i=1 Từ Nhận xét 1.2.6 ta có hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết Định lý 2.2.5 với βk = 2k , k ≥ (hoặc tổng quát với βk = [q k−1 ] với k đủ lớn q > 1), lim n→∞ n (Xi − EXi ) = h.c.c nr i=1 29 KẾT LUẬN Kết Khóa luận nghiên cứu Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc Khóa luận thiết lập Luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi theo khối khối {Bk , k ≥ 1} Đó Định lý 2.2.3, Hệ 2.2.4 Kết mở rộng Định lý [6] Hướng phát triển khóa luận Tìm ví dụ minh họa cho kết thu Thiết lập luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy biến ngẫu nhiên hiệu martingale theo khối 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2003 TIẾNG ANH [3] F Moricz, Strong limit theorems for blockwise m-dependent and blockwise quasiorthogonal sequences of random variables, Proc Amer Math Soc, 101(1987) 709-715 [4] Nguyen Van Quang and Le Van Thanh, Marcinkiewicz - Zygmund law of large numbers for blockwise adapted sequences, Bulletin of the Korean Mathematical Society, 43(2006), No 1, 213 - 223 [5] Le Van Thanh, On the Brunk-Chung type strong law of large numbers for sequences of blockwise m-dependent random variables, Esaim: PS, 10(2006) 258 - 268 [6] Le Van Thanh, Strong laws of large numbers for sequences of blockwise and pairwise m-dependent random variables, Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, 4(2005) 397-405 31 [...]... (2.16) 2.2 Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối Định lý 1 trong [6] thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối Trong tiết này chúng tôi thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} bằng cách mở rộng Định lý 1 trong [6] cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi... {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.2.5 với βk = 2k , k ≥ 1 (hoặc tổng quát hơn với βk = [q k−1 ] với k đủ lớn và q > 1), thì lim n→∞ 1 n (Xi − EXi ) = 0 h.c.c 1 nr i=1 29 KẾT LUẬN 1 Kết quả chính Khóa luận nghiên cứu về Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc Khóa luận thiết lập được Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một... dãy biến ngẫu nhiên độc lập và EXn = 0, n ≥ 1, thì với p ≥ 1 luôn tồn tại hằng số dương Ap , Bp phụ thuộc vào p thỏa mãn  1 2 n Xj2  Ap   n ≤ j=1 Xj j=1 p p n 1 2 Xj2  ≤ Bp  j=1 p 1.6.11 Bất đẳng thức Redemacher-Menshov Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên trực giao Khi đó với n ≥ 1 ta có k E max 1≤k≤n n Xi 2 2 EXi2 ≤ 4 log (n + 1) i=1 i=1 15 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN... 1≤k≤n n Xi 2 2 EXi2 ≤ 4 log (n + 1) i=1 i=1 15 CHƯƠNG 2 LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN m-PHỤ THUỘC Trong chương này, ký hiệu C chỉ một hằng số Hằng số đó không nhất thiết giống nhau giữa các dòng Ký hiệu log chỉ logarit cơ số 2 2.1 Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối Trong tiết này chúng tôi trình bày chi tiết hơn hai định lý trong [5] Định... max 2l ≤k 1, n ≥ 2, i) α j n j=n n 1 ≤ log n + 1, n ≥ 1, i=1 i n 1 1 iii) ≤ C , 0 < α < 1, n ≥ 1 α α−1 i n i=1 ii) 2.2.3 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} Giả sử {Xn , n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X Nếu E(|X|r (log+ |X|)2 ) < ∞, thì lim 1 (2.17) (Xj − EXj ) = 0 h.c.c (2.18) n 1 n→∞ (1 ≤ r < 2), 1 n r ψ 2 (n) j=1... được Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} Đó là Định lý 2.2.3, Hệ quả 2.2.4 Kết quả này mở rộng Định lý 1 trong [6] 2 Hướng phát triển khóa luận Tìm các ví dụ minh họa cho kết quả thu được Thiết lập luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu nhiên là hiệu martingale theo khối 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Quảng,... mọi dãy số nguyên dương {kn , n ≥ 0} thỏa mãn (2.7) Vì vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử kn = 2n , n ≥ 0 trong trình tự chứng minh luật mạnh số lớn (2.8) b2n+1 b 2n > 1 ta có < 1, ∀n ≥ 0 n≥0 b2n b2n+1 Do đó luôn tồn tại hằng số C đủ nhỏ để 2.1.5 Nhận xét Từ điều kiện inf b2n ≤ 1 − C, ∀n ≥ 0, b2n+1 18 hay b2n+1 − b2n ≥ C b2n+1 , ∀n ≥ 0 2.1.6 Định lý Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên. .. , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên , giả sử {bn , n ≥ 1} là một dãy số dương không giảm, và giả sử {kn , n ≥ 0} là dãy số dương thỏa mãn bk bkn+1 > 1 và sup n+1 < ∞ n≥0 bkn n≥0 bkn inf Thì 1 lim n→∞ bn (2.7) n Xi = 0 h.c.c (2.8) i=1 khi và chỉ khi  lim  n→∞ 1 bkn+1 − bkn k Xi  = 0 h.c.c (2.9) max kn ≤k1 n≥0 b2n inf b2n+1 < ∞ n≥0 b2n sup và (2.10) Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc theo khối đối với các khối {Bk , k ≥ 1} và nếu ∞ n=1 E|Xn |2p b2p n (ϕ(n))2p−1 (φ(n))p−1 < ∞, thì 1 lim n→∞ bn (2.11) n Xi = 0 h.c.c (2.12)