BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc An TIÊU CHUẨN LOẠI MASSERA CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tiễn nói lĩnh vực ứng dụng : y khoa, xây dựng, điện tử, kiến trúc ,…, việc chứng minh tồn nghiệm yếu, nghiệm tuần hồn phương trình vi phân ,phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn nhà tốn học giới sử dụng nhiều phương pháp khác để chứng minh Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera phương pháp tìm lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với điều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng  x (t )  Ax (t )  F (t, xt ) , (1.3) x0    C  C ([r ,0]: X ) , Với A phần tử vi phân nhóm Compact tốn tử tuyến tính bị chặn Khơng gian Banach Mục đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) Đó lý tơi chọn đề tài “Tiêu chuẩn loại Massera cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa” Mục đích nghiên cứu Sử dụng tiêu chuẩn loại Massera tồn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa chứa hàm làm chậm bị chặn, chứa hàm làm chậm khơng bị chặn Đối tượng nội dung nghiên cứu Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tiêu chuẩn loại Massera cơng cụ mạnh để mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung phần kết luận Cụ thể : Phần mở đầu : Nêu lý chọn đề tài Phần nội dung : Chương : Giới thiệu chung kết nghiên cứu có liên quan đến đề tài, ký hiệu sử dụng đề tài ,các kết sử dụng Chương : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn Trong chương chứng minh tồn lời giải tuần hồn tốn giá trị đầu : d ( x(t )  G (t , xt ))  Ax  t   F (t , xt ) dt x0    C  C [r ,0]: X   2.1  2.2  Chương : Lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa có hàm làm chậm khơng bị chặn : Trong chương tập trung đến tồn lời giải  - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn có dạng : d  x  t   G  t , xt    Ax  t   F  t , xt  dt x    B  3.1  3.2  Với xt : (,0]  X , xt ( )  x(t   ) thuộc vào khơng gian pha B trừu tượng xác định trước F , G :  B  X hàm liên tục Chương 4: Ứng dụng Trong chương minh họa số kết việc sử dụng tiêu chuẩn loại Massera để tìm lời giải tuần hồn hàm trung hòa có hàm làm chậm bị chặn (hoặc hàm làm chậm khơng bị chặn) Phần kết luận : Đưa kết luận mà luận văn đạt được, chưa đạt đưa đề xuất (nếu có ) Chương GIỚI THIỆU CHUNG VỀ NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CĨ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ,CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG ĐỀ TÀI, CÁC KẾT QUẢ SẼ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1 Giới thiệu Bằng cách sử dụng tiêu chuẩn loại Massera chứng minh tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa d ( x (t )  G(t, xt ))  Ax(t )  F (t, xt ) , t  dt x0    D (1.1) (1.2) Với A phần tử vi phân nhóm Compact, giải tích tốn tử tuyến (T (t ))t 0 khơng gian Banach X Hàm chậm x t , x t ( )  x (t   ) thuộc khơng gian pha D thích hợp G, F :  D  X hàm liên tục Bài báo Massera [12], người khởi xướng việc nghiên cứu nhận thấy mối liên hệ lời giải bị chặn lời giải tuần hồn Trong [12] mối liên hệ giải thích phương trình vi phân thường tuần hồn hai chiều Kế tục Massera, số tác giả khác xem xét mối quan hệ tương tự, nhận thấy : Yoshizama cho phương trình vi phân n – chiều ; Lopes Hale cho phương trình thường n – chiều phương trình hàm với điều kiện làm chậm Yong [16] cho phương trình hàm vi phân Gần Ezzinbi [3], sử dụng tiêu chuẩn loại Massera, tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng  x (t )  Ax (t )  F (t, xt ) , x0    C  C ([r ,0]: X ) , (1.3) Với A phần tử vi phân nhóm Compact tốn tử tuyến tính bị chặn Khơng gian Banach Mục đích luận văn thiết lập kết tương tự kết [3], cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm ( 1.1) – (1.2) Những phương trình vi phân trung hòa phát triển nhiều lĩnh vực tốn ứng dụng phương trình mở rộng nhiều năm gần đây.Một tài liệu hướng dẫn hay phương trình vi phân hàm trung hòa với điều kiện làm chậm sách nhà tốn học Hale [8] với dẫn Làm việc với phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa với điều kiện làm chậm Hernandez Henriquez [9,10] Trong báo này, Họ chứng minh tồn lời giải yếu, mạnh lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa d ( x (t )  G(t, xt ))  Ax (t )  F (t, xt ) , dt x0    B (1.4) Với A phần tử vi phân nhóm giải tích tốn tử tuyến tính Khơng gian Banach B pha khơng gian xác định tiên đề Trong trường hợp tổng qt, kết suy từ định lý nhóm định lý điểm bất động Sadovskii Luận văn có năm chương Trong chương tập trung đến tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa xác định  C ([ r ,0]: X ) Trong chương 3, cách sử dụng kết chương 2, xét tồn lời giải tuần hồn cho phương trình trung hòa với với mơ hình làm chậm bị chặn  B ,với B pha khơng gian định nghĩa tiên đề Hale Kato [5] Chương chứa ví dụ minh họa Những kết có dựa tính chất nhóm giải tích ý tưởng, kỹ thuật chứng minh Harnandez Henriquez [9,10] Ezzinbi[3] 1.2 Ký hiệu Trong luận văn này, ta ký hiệu X Khơng gian Banach với chuẩn , A ký hiệu phần tử vi phân nhóm giải tích, Compact, (T (t ))t 0 ,của tốn tử tuyến tính X định nghĩa sau : T (t ) x  x   A : D( A)  X với D( A)   x  X : lim tồn  t 0 t   T (t ) x  x dT (t ) x  với x  D( A) t 0 t dt t 0 Ax  lim Dựa vào định lý C nhóm Pazy [13] Trong luận văn này, x (., ) ký hiệu lời giải (1.1) - (1.2) Hơn nữa, B r (x : Z ),(B r [x : Z ]) ký hiệu cầu mở, (quả cầu đóng) khơng gian Metric Z với tâm x bán kính r Với hàm bị chặn  :[a,b ]  [0, ) a t b a ,t  sup{ (s ) : s  [a,t ]} ký hiệu a ,t (1.6) Nếu D khơng gian pha Banach, chuẩn D ký hiệu D Để chứng minh kết luận văn ,chúng ta sử dụng kết sau 1.3 Một số kết sử dụng luận văn 1.3.1 Định lý 1.2 [5] Cho Y khơng gian Banach  : 1  y với 1 :Y Y tốn tử tuyến tính bị chặn y Y Nếu tồn x Y cho tập { n (x ) : n  } Compact tương đối Y,  có điểm bất động Y 1.3.2 Định lý 1.3 [4] Cho X khơng gian Banach M tập lồi, khác rỗng X  : M  X ánh xạ đa trị cho (i) Với x  M tập (x ) lồi, đóng khác rỗng (ii) Tập (M )   (x ) Compact tương đối x M (iii)  liên tục Thì  có điểm bất động M 1.3.3 Định lý Ascoli Tập M  C ( K , R n ) tập Compact tương đối M bị chặn đẳng liên tục 1.3.4 Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue Cho dãy hàm số { fn} hội tụ theo độ đo đến hàm số f tập hợp A fn  g h.k.n A với n, g hàm số khả tích A lim  fn d    fd  n A A 1.3.5 Định lý điểm bất động Sadovskii 1.3.5.1 Định nghĩa độ đo phi compact Kuratovskii Cho X khơng gian Banach, A tập bị chặn Độ đo phi compact Kuratovski định :  (A) = inf {d > / A phủ số hữu hạn tập hợp A1, A2, An có đường kính  d} Tính chất : ( i )  (A)= (A)= (coA) (ii )  ( A)   A Compact tương đối (iii )  ( A  B)  max   ( A),  ( B) (iv )  ( A  B)   ( A)   ( B) (v )  (tA)  t  ( A) 1.3.5.2 Định nghĩa tốn tử đặc Ánh xạ f : D  X  X gọi k – đặc tồn k(0,1) cho:  ( f ( A))  k  ( A) với A bị chặn chứa D 1.3.5.3 Định lý điểm bất động Sadovskii Giả sử (i) Tốn tử T : M  X  M k – đặc, (ii) M khác rỗng, đóng, bị chặn tập lồi khơng gian Banach X Khi T có điểm bất động 1.3.6 Một số định lý C0 nhóm 1.3.6.1 Định nghĩa nhóm (định nghĩa 1.1) [13] Cho X khơng gian Banach Một họ tham biến T (t ),0  t   tốn tử tuyến tính từ X vào X nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn X nếu: (i) T (0) = I (I tốn tử đồng X) (ii) T ( t + s ) = T(t)T(s) với s, t  (Tính chất nhóm) 1.3.6.2 Định nghĩa C0 nhóm (định nghĩa 2.1) [13] Một nhóm T (t ),0  t   ,của tốn tử tuyến tính bị chặn X nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính bị chặn lim T (t ) x  x với x  X t 0 Nữa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính X gọi nhóm lớp C0 hay đơn giản C0 nhóm 1.3.6.3 Định lý 2.2 [13] Nếu T (t ) C0 nhóm Khi tồn số  M  cho T (t )  Met ,  t   1.3.6.3.1 Hệ 2.3 [13] Nếu T (t ) C0 nhóm với x  X , t  T (t ) x hàm liên tục từ  ( đường thẳng thực khơng âm ) vào X 1.3.6.4 Định lý 2.3 [13] Cho T (t ) C0 nhóm A phần tử vi phân Khi : a) Với x  X , lim h0 h th  T (s) xds  T (t) x t t t  b) Với x  X ,  T (s) xds  D( A) A   T (s) xds   T (t ) x  x 0  c) Với x  D(A) , T (t ) x  D(A) d T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax dt t t s s d) Với x  D(A) , T (t ) x  T (s) x   T ( ) Axd   AT ( ) xd 1.3.6.4.1 Hệ 2.5 [13] Nếu A phần tử vi phân C0 nhóm T (t ) , D (A), miền xác định A, trù mật X A tốn tử tuyến tính đóng 1.3.6.5 Định lý 3.2 [13, tr.48] Cho T (t ) C0 nhóm Nếu T (t ) compact với t  t0 T (t ) liên tục khơng gian tơ pơ tốn tử với t  t0 Nếu (T (t ))t 0 nhóm giải tích bị chặn cho   (A ) định nghĩa bậc hữu tỉ (A ) ,   (0,1] ,như tốn tử tuyến tính đóng miền xác định D( A) Hơn khơng gian D( A) trù mật X biểu thức x   ( A) x , x  D( A) , định nghĩa chuẩn D( A) Nếu X  biểu diễn khơng gian D( A) xác định chuẩn  , theo [11, tr.74] ta có tính chất sau : Chương ỨNG DỤNG Trong chương minh họa số kết sử dụng tiêu chuẩn loại Massera Cho X  L2 [0, ] A A x  x  với miền xác định D  A  :  f    L2 [0, ] : f     L2 [0, ] , f    f    0 Như ta biết A phần tử vi phân nhóm C , T t  t 0 X, Compact, tự liên hợp Hơn A có hàm phổ riêng, có giá trị riêng  2 n , n  , tương ứng với véc tơ riêng z n   :   sin  n  có   tính chất sau : (a) z n : n   sở trực chuẩn X  (b)Nếu f  D  A  A  f    n2 f , zn zn n 1 f , z n z n Trường hợp đặc biệt n 1 n   12 (c) Cho f  X ,  A  f   (d)Tốn tử  D   A  A   cho ta  A   A   f   n f , z n z n khơng gian n 1      f  X :  n f , zn zn  X  n 1    ( e ) Với f  X ,T t  f   e  n t f , z n z n Hơn nữa, cho ta n 1 T t   e t ,t   A  T t    t2  21 e t với t  2 1 4.1 Phương trình trung hòa với điều kiện làm chậm bị chặn Xét ví dụ Ezzinbi [1], mục nghiên cứu phương trình trung hòa :   d u  t,     a0  t  b  s, ,  u  t  s,  d ds  dt  r  = 2 u  t,   a1  t  u  t  r ,   a2  t  p  t, u  t  r ,    q  t,   u  t,0   u  t,   , t0 u  ,     ,  ,   [r ,0],0      4.1  4.2   4.3 (i) Hàm b   đo sup (ii) Hàm   b t , , dd    t [  r , ) 0  b  , ,  đo b  , ,   0,b  , ,0   N 1r        N :     b  , ,   d d  d    r  (iii) Hàm p ,q :  liên tục tuần hồn với chu kỳ  theo biến thứ (iv) Tốn tử g :  X  X ,f :  X xác định g t , x    p t , x    f t    q t ,  liên tục, tuần hồn với chu kỳ  tồn số k  cho g t , x   k x , t , x    X (v) Các hàm a1 ,a2 :  liên tục, tuần hồn với chu kỳ  có tồn số l cho 1  a1 t   a2 t  k  l ,t  (vi) Hàm a0 :   liên tục, khơng giảm, tuần hồn với chu kỳ    a0  t    e t với t   C , ta định nghĩa ánh xạ Trên khơng gian G t ,   : a0 t V t ,  , V t ,   :    b  s , ,   s , dds , r L t ,   : a1 t    r   , F1 t ,   : a2 t  g t ,   r      f t   Khi tốn (4.1)   d u t a t b s u t s d ds ,  ,  ,  ,                dt  r  = 2 u  t,   a1  t  u  t  r ,   a2  t  p  t, u  t  r ,    q  t,    4.1   d  u(t, )    a0  t  b  s, ,  ut  s,  d ds  dt  r  2  u  t,   a1  t  ut  r ,   a2  t  p  t, ut  r ,    q  t ,     d  u(t, )    a0  t  b  s, ,  ut  s,  d ds  dt  r   Au  t,   a1  t  ut  r    a2  t  p  t, ut  r     f  t    d u(t, )  G(t, ut ) dt  Au  t,   L  t, ut   F  t, ut  u(t, )   (t, ) với t  [r ,0] Vậy với ký hiệu trên, tốn giá trị đầu bị chặn(4.1) – (4.2) viết tốn Cauchy trừu tượng d  x  t   G  t, xt    Ax  t   L  t, xt   F1  t, xt  , t  dt x0   ,   C [r ,0]: X  : C  4.4   4.5 Ước lượng sau sử dụng (i) – (iv) hàm G , L F1 liên tục Hơn nữa, từ (d) (ii) suy G tốn tử tuyến tính bị chặn có giá trị X  A  G t ,.  a0 t  N 1r  với t  Kế tiếp chứng minh G thỏa mãn H Xét điều kiện (vi), cần chứng minh V thỏa điều kiện H Cho R  x C [ r ,T ]; X  cho x  r ,T Với t  , ta có :  V  t  h, xt  h     V  t, xt    0 0 =  b(s, , ) xt  h (s, )d ds   b(s, , ) xt (s, )d ds -r -r th  t    b(  t  h, , )x( , )d d    b(  t, , ) x( , )d d  r t  h  r t ( Do phương pháp đổi biến   t  h  s   t  s) =  r t    b   t  h, ,  x  ,  d d  r t  h t  +   b   t  h, ,   b   t, ,   x  ,  d d -r+t th  +   b  - t - h, ,  x  ,  d d t r t  V (t  h, xt  h )( )  V (t, xt )( ) b(  t  h, , ) x ( , )    d d  h h  r t  h t   (b(  t  h, , )  b(  t, , )) x ( , ) d d    h r t th   t b(  t  h, , ) x ( , ) d d h  Sử dung định lý giá trị trung bình (Lagrange ) ta có :  h  [r  t  h, r  t ]: r t b(  t  h, , ) x ( , ) d  b( h  t  h, , ) x ( h , )  h  r t  h  r t  b(  t  h, , ) x ( , ) d d    h0 h r t  h Suy : lim   0  lim  b(h  t  h, , ) x (h , )d   b(r , , ) x (r  t, )d h0 (1)  h  [t, t  h]: th  t b(  t  h, , ) x ( , ) d  b( h  t  h, , ) x ( h , ) h Suy : lim th   h0 t  b(  t  h, , ) x ( , ) d d   b(0, , ) x (t, )d 0 h Sử dụng định lý hội tụ bị chặn ,ta có : t  b(  t  h, , )  b(  t, , ) x ( , )d d h0   h r t lim t  b (  t   h, , )x ( , )d d h0    r t  lim = t  b    (  t, , ).x( , )d d (đònh lý Lagrange) (3)  r t Từ (1) ,(2), (3) Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có : d V (t , xt )  x(r  t ) dt X   b (r , , ) d d 2 0   x  r  t  b   (  (  t , , )) d d d  r t 4 x    b (0, , )d d 0 (2) d  b  V t , x t   C  ,b  Vì vậy, dt     4.6   b  với C  ,b   độc lập t  x với x     r ,T  R Điều dẫn   đến tập U  s  V  s, xs  : x  C [r ,T ]; X  , sup x    R  hồn tồn    r ,T    liên tục từ bên phải t  Tính hồn tồn liên tục U chứng minh tương tự Do đó, V thỏa điều kiện H 4.1.1 Mệnh đề 4.1 Giả sử điều kiện  1  l   N 1r     2e  2     f l    ,  4.7  Khi tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ  (4.1) – (4.3) Chứng minh Gọi v  B   0,CP    B   0,C  Từ định lý 2.1 điều kiện  A  G t ,.   N 1r   , ta biết có tồn lời giải yếu địa phương, x  ,  , d y  t   G  t, yt   Ay  t   L  t, yt   F1  t, vt  ,t  dt y0      4.8 Ta khẳng định x  ,  bị chặn  [0,a ) , với [0,a ) khoảng cực đại mà x  ,  xác định Giả sử khẳng định sai đặt   t0  inf t  : x  t    Rỏ ràng x t    Nếu t  , việc ước lượng Ezzinbi [1],pp.227, có :    x  t0     l  e to  a0  t0  V t0 , xto  t0 +a0  t0   AT  t0  s  V  s, xs  ds      l  e to  a0  t0   N1r    N r 2 +a0  t0      Nr +a0  t0          l 1-e -t  t0 1  e  e   t0  s  xs C xs C t0   t0  s  t0 1 ds ds   N1r   12  a0  t0   N1r    a0  t0     2e         1  e    12  e 1 Do đó, x t      l   N 1r        4.9  t Tương tự, t  (0,1]    t x t      l   N 1r      1e       4.10  Từ (4.7),(4.9) (4.10), ta có x t    trái giả thiết Bây ta chứng minh a   Giả sử a   đặt N số   N   a1   a2  k  f Với   , ta cố định     a cho T  s  x  T  s   x   , x T    B   N  0, X  , s  s    s , s    0,a  Đặt a  t  t  a Với a0 t   ước lượng bước chứng minh định lý 2.3, ta có   x t   x t     G t , x t  G t , x t   2 1 t    2 1  N r 2  N r 2 +4        t  t    t        +2N 2  N t  t  Mà từ (4.6), cho phép ta kết luận x   liên tục [ 2 ,a ) a Đặt x :   r ,a   X mở rộng liên tục x   Từ định lý 2.2, tồn lời giải yếu, y   , (4.4) với điều kiện đầu y a  xa Lời giải cho ta mở rộng x   , mà khẳng định sai Do vậy, x  ,  xác định Từ định lý 2.5, ta kết luận với v  B  [0,CP ] tồn lời giải tuần hồn u  ,v  với chu kỳ  (4.8) u  ,v   B  [0,CP ] Cuối cùng, Sự tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ  (4.4) suy từ định lý 2.6 Định lý chứng minh 4.2 Phương trình trung hòa với điều kiện làm chậm khơng bị chặn Tiếp theo ta xét tốn có giá trị khơng bị chặn  t t      u t ,  b s t ,  ,  u s ,  d  ds              4.11 t 2 = u t ,   a0  u t ,    a  s  t u  s ,  ds  a1 t ,  ,   u t ,0   u t ,   0,t  u  ,     ,  ,  0,0      4.12   4.13 nghiên cứu [10].Đặt B : Cr  L2  g; X  , r  khơng gian pha nghiên cứu ví dụ 3.1 Trong trường hợp này, 0 2 H  1, M (t )   (t ) K (t )     g ( )d   với t  Giả sử có  t  điều kiện (i) – (iii) ví dụ 3.1 [8], tốn viết lại sau d  x(t )  G(t, xt )  Ax(t )  F (t, xt )  f (t), dt x0    B , G (t , )( ) :    b (s , , ) (s , )dds ,  F (t , )( ) : a0 ( ) (0, )   a(s ) (s , )ds ,  f (t ) : a1 (t ,.) Thật vậy, cách đổi biến ta có :   t    a(s  t)u(s, )ds   a(s)u(s  t, )ds t       b(s  t, , )u(s, )d ds    b(s, , )u(s  t, )d ds Do :    (4.11)  u(t, )    b(s, , )ut (s, )ds  t    2  u(t, )  a0 ( )u(t, )   a(s)ut (s, )ds  a1 (t, )   d  x(t)  G(t, xt )  Ax(t )  F (t, xt )  f (t ) dt Với x0    B  Hơn nữa, F (t ,.) G (t ,.) tốn tử tuyến tính bị chặn, miền giá 1 trị G chứa X , (A ) G (t ,.)  N 12 F (t ,.)  N 2      N :    b (s , , )  d dsd  ,  g (s )       N : max  a0   a ( )   d ( )   ,    g  ( )     Tiếp theo ta giả sử hàm g (.) thỏa điều kiện : ( g i ) ln( g ) liên tục ( g ii ) k   g ( )d   ,  ( g iii ) Hàm  (.) bị chặn (,0] Với điều kiện đó, hàm K (.), M (.) bị chặn Trong kết ta dùng ký hiệu K cho sup K (s ) s 0 4.2.1 Định lý 4.2 Giả sử điều kiện   2N  12 N  2s  12 K N  e  e s ds N  2 1  2    4.14  Nếu f liên tục tuần hồn với chu kỳ  , Thì tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ  (4.11) Chứng minh Cho R > x  Cb ((, T ]: X ) cho sup x ( )  R Với t  , ta  [  ,T ] có : G(t  h, xt  h )( )  G(t, xt )( )      b(s, , ) x th   (s, )d ds     b(s, , ) x (s, )d ds t  th  t      b(  t  h, , ) x( , )d ds    b(  t, , ) x( , )d ds th  t  t    b(  t  h, , )x( , )d ds    [b(  t  h, , )  b(  t, , )]x( , )d ds  G(t  h, xt  h )( )  G(t, xt )( )  h th  b(  t  h, , )   x ( , )d ds  h t suy : t  b(  t  h, , )  b(  t, , ) x ( , )d ds h    Áp dụng định lý giá trị trung bình ,ta có : h  [t, t  h]: th  t b(  t  h, , ) x ( , ) d  b(h  t  h, , ) x (h , ) h Suy : lim h0 th   t  b(  t  h, , ) x( , ) d d   b(0, , ) x (t, )d 0 h (1') Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ,ta có : t  b(  t  h, , )  b(  t, , ) x ( , )d d  h0   h  lim t  t  b b  lim   (  t   h, , ) x ( , )d d    (  t, , ) x ( , )d d h0     Áp dụng bất đẳng thức Holder ,ta có : d b G(t, xt )  C ( , b) với dt  X C( b , b) độc lập với t  x với sup x  R   [- ,T]   Điều dẫn đến, tập U  s  G(t, xt ) : x  Cb ((,T ], X ), sup x ( )  R   ( ;T ]   hồn tồn liên tục bên phải t > 0.Tính hồn tồn liên tục U chứng minh tương tự Vậy G thỏa mãn H7, áp dụng cách chứng minh mệnh đề 4.1 với   ( N1r )2 K , l  (1  N2 K )r ta tốn 4.11 có nghiệm yếu [0, ) Từ bổ đề 3.1, 3.2 mệnh đề 3.4 [10] ta biết lời giải yếu (4.11) bị chặn [0, ) Theo định lý 3.3 tốn (4.11) – (4.12)(4.13) tồn lời giải tuần hồn với chu kỳ  Định lý chứng minh KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề tồn lời giải tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với điều kiện làm chậm bị chặn dạng d (x (t )  G (t , x t ))  A x (t )  F (t , x t ), dt x o   C  C ([ r ,0]: X )  2.1  2.2  Luận văn chứng minh tồn lời giải  - tuần hồn cho phương trình đạo hàm riêng hàm trung hòa với mơ hình làm chậm khơng bị chặn có dạng : d  x  t   G  t , xt    Ax  t   F  t , xt  dt x    B  3.1  3.2  Với xt : (,0]  X , xt ( )  x(t   ) thuộc vào khơng gian pha B trừu tượng xác định trước F , G :  B  X hàm liên tục số ứng dụng tiêu chuẩn Massera việc giải tốn cụ thể Thơng qua luận văn này, Tơi nhận thấy tiêu chuẩn loại Massera có ứng dụng mạnh việc tìm lời giải tuần hồn phương trình đạo hàm riêng trung hòa có chứa hàm làm chậm bị chặn, khơng bị chặn Tuy nhiên hạn chế mặt thời gian khả nên tác giả chưa mở rộng luận văn thêm Sau luận văn khơng tránh khỏi sai sót ,Tơi mong góp ý, giúp đỡ q thầy, bạn để luận văn hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xn Liêm (1996), Tơ pơ đại cương, Độ đo tích phân, Nhà xuất giáo dục Lê Hồn Hóa, (2005), Tài liệu Giải tích phi tuyến I dành cho học viên cao học Giải tích Tiếng Anh Benkhalti, R.; Ezzinbi, K (2000), A Massera type criterion for some partial functional differential equations Dynam, Systems Appl 9, no 2, 221- 228 Bohnenblust, H F.; Karlin, S (1950), On a theorem of Ville Contributions to the Theory of Games, 155-160 Annals of Mathematics Studies, no 24.Princeton University Press, Princeton, N J Hale, Jack K (1988), Asymptotic behavior of dissipative systems Mathematical Surveys and Monographs, 25, American Mathematical Society, Providence,RI Hale, Jack K.; Kato, Junji (1978), Phase space for retarded equations with infinite delay Funkcial Ekvac 21, no 1, 11- 41 Hale, Jack K.; Lopes, Orlando (1973), Fixed point theorems and dissipative processes.J Differential Equations 13, 391- 402 Hale, Jack K.; Verduyn Lunel, Sjoerd M (1993), Introduction to Functional differential equations Applied Mathematical Sciences, 99 Springer-Verlag,New York Hernandez, Eduardo; Henriquez, Hernan R (1998), Existence results for partial neutral functional differential equations with unbounded delay J Math.Anal Appl 221, no 2, 452- 475 10 Hernandez, Eduardo; Henriquez, Hernan R (1998), Existence of periodic solutions of partial neutral functional differential equations with unbounded delay.J Math Anal Appl 221, no 2, 499 - 522 11 Hino, Yoshiyuki; Murakami, Satoru; Naito, Toshiki (1991), Functional differential equations with infinite delay Lecture Notes in Mathematics, 1473 Springer-Verlag, Berlin 12 Massera, Jose L (1950), The existence of periodic solutions of systems of differential equations Duke Math J 17, 457 - 475 13 Pazy, A (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations Applied Mathematical Sciences, 44 Springer-Verlag, New York-Berlin 14 B N Sadovskii (1967), On a fixed point principle Funct Anal Appl 1,74-76 15 Yoshizawa (1966), Taro Stability theory by Liapunov's second method Publications of the Mathematical Society of Japan, No Tokyo 16 Yong, Li; Zhenghua, Lin; Zhaoxing, Li (1996), A Massera type criterion for linear functional-differential equations with advance and delay J Math Anal.Appl 200, no 3, 717- 725 [...]... 1.3 tốn tử  có điểm bất động Điểm bất động này chính là lời giải tuần hồn với chu kỳ  của (2.1) Định lý được chứng minh Chương 3 LỜI GIẢI TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA CHỨA HÀM LÀM CHẬM KHƠNG BỊ CHẶN Trong mục này chúng ta xét sự tồn tại lời giải tuần hồn với chu kỳ  cho phương trình đạo hàm riêng của hàm trung hòa có chứa mơ hình làm chậm khơng bị chặn dạng d  x  t ... Định nghĩa Hàm x : X là lời giải tuần hồn với chu kỳ  của phương trình (2.1) nếu : x ( ) là lời giải yếu của (2.1) và x t     x t  với mỗi t  Sử dụng những ý tưởng và kỹ thuật trong [10], ta có thể thiết lập đầy đủ những điều kiện cho sự tồn tại lời giải tồn cục của phương trình (2.1) Trong phần sau, chúng ta ln giả sử rằng lời giải yếu được xác định trên [0, ) 2.6 Định lý 2.5 Cho các điều... 0 và với mọi T  0 , tập những hàm số {s  G (s , x s ) : x C ((,T ]: X ), sup x ( )  } đẳng liên tục  [  r ,T ] trên đoạn [0,T] H7: Với mỗi R  0 và với mọi T  0 , tập những hàm số {s  G (s , x s ) : x C b ((,T ]: X ), sup x ( )  } đẳng liên tục  [  ,T ] trên đoạn [0,T] Chương 2 LỜI GIẢI TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM TRUNG HỊA CHỨA HÀM LÀM CHẬM BỊ CHẶN Trong chương... các điều kiện H 2 , H 4 , H 6 được thỏa mãn Nếu phương trình (2.1) có lời giải yếu bị chặn, thì tồn tại lời giải tuần hồn với chu kỳ  của (2.1) Chứng minh Để lời giải yếu x    x  ,  , chúng ta đưa vào sự khai triển x    v    z   với v   là lời giải yếu của d u t  V t ,ut    A u t   L t ,ut  , dt u0   và z (.) là lời giải yếu của d u t  V t ,ut   h t    A u t... ta có thể chọn dãy con của x  nk  k , mà nó có thể được chỉ ra bởi những chỉ số tương tự, hội tụ đều trên tập con Compact của (,0] đến hàm x C b  (,0]: X  Vì B thỏa tiên đề (C2) dẫn đến x  B và x nk   x trong B Do đó, U là Compact tương đối trong B 3.3 Định nghĩa Hàm x :  X là lời giải tuần hồn với chu kỳ  của phương trình (3.1) nếu : x   là lời giải yếu của (3.1) và x t   ... Chúng ta chỉ chú ý rằng tính liên tục của   x   ,  đã được chỉ ra trong [10] 3.4 Định lý 3.3 Cho các điều kiện H 2 , H 4 , H 7 thỏa mãn Nếu phương trình (3.1) có lời giải yếu, bị chặn thì nó có lời giải tuần hồn với chu kỳ  của (3.1) Chứng minh Để lời giải yếu x    x  ,  , chúng ta đưa vào sự khai triển x    v    z   với v   là lời giải yếu của d u t  V t ,ut    A u t... kết quả chính của luận văn 2.7 Định lý 2.6 Cho các điều kiện H 3 , H 5 , H 6 thỏa mãn và giả sử rằng các điều kiện sau đây là đầy đủ (a) Các hàm  A   V ,   A  G1 , L và F1 biến những tập bị chặn thành  những tập bị chặn (b) Có số   0 sao cho với mỗi v  B  [0,CP ] phương trình trung hòa d  x (t ) V (t , x t )  G1(t ,v t )  A x (t )  L (t , x t )  F1(t ,v t ) dt có lời giải tuần hồn... minh sự tồn tại của lời giải tuần hồn của bài tốn giá trị đầu d (x (t )  G (t , x t ))  A x (t )  F (t , x t ), dt x o   C  C ([ r ,0]: X )  2.1  2.2  2.1 Định nghĩa Hàm x :[ r ,T ]  X là lời giải yếu của bài tốn Cauchy trừu tượng (2.1) – (2.2) nếu : x 0   ; thu hẹp của x   trên đoạn [0,T] liên tục ; với mỗi 0  t  T hàm AT  t  s  G  s, xs  , s  [0, t ), khả tích và t x t ... trong C Điểm bất động này chính là lời giải tuần hồn với chu kỳ  của (3.1) Định lý được chứng minh 3.5 Định lý 3.4 Cho các điều kiện H 3 , H 5 , H 7 thỏa mãn và giả sử rằng những điều kiện sau đây là đầy đủ (a) Hàm  A   V ,   A  G1 , L và F1 biến những tập bị chặn thành những  tập bị chặn (b) Có số   0 sao cho với mỗi v  B [0,CP ] phương trình trung hòa d  x t  V t , x t   G1 t... zn  X  n 1    ( e ) Với mỗi f  X ,T t  f   e  n t f , z n z n Hơn nữa, nó cho ta 2 n 1 T t   e t ,t  0 và 1 2  A  T t   1  t2  21 e t với t  0 2 1 2 1 4.1 Phương trình trung hòa với điều kiện làm chậm bị chặn Xét ví dụ trong Ezzinbi [1], trong mục này chúng ta nghiên cứu phương trình trung hòa : 0   d u  t,     a0  t  b  s, ,  u  t  s,  d ds  dt  r