B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Phan Lờ Thanh Huyn PHNG TRèNH VI TON T LI HOC LếM TRONG KHễNG GIAN Cể TH T Chuyờn ngnh : Toỏn gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN BCH HUY Thnh ph H Chớ Minh - 2008 LI CM N PGS.TS Nguyn Bớch Huy ó tn tỡnh giỳp em sut quỏ trỡnh thc hin lun ny Quớ thy cụ ca trng ó nhit tỡnh ging dy quỏ trỡnh em hc ti trng v ó to iu kin cho em hon thnh lun ny Tp.HCM, thỏng nm 2008 Hc viờn Phan Lờ Thanh Huyn M U Lý chn ti Lý thuyt phng trỡnh khụng gian cú th t c hỡnh thnh t nhng nm 1940 cỏc cụng trỡnh ca Krein, Rutman, Krasnoselskii, v tip tc c phỏt trin, hon thin cho n ngy Lý thuyt ny tỡm c cỏc ng dng rng rói nghiờn cu cỏc phng trỡnh xut phỏt t nhng lnh vc khoa hc khỏc nh Vt lý, Húa hc, Sinh hc v Kinh t Bng vic xột cỏc nún thớch hp ta cú th chng minh s tn ti cỏc nghim ca phng trỡnh cú cỏc tớnh cht t bit nh tớnh dng, tớnh n iu, tớnh li Trong lý thuyt phng trỡnh khụng gian cú th t thỡ lp phng trỡnh vi toỏn t li hoc lừm úng vai trũ c bit i vi lp phng trỡnh ny ta cú th chng minh s tn ti v nht ca nghim, tớnh gn ỳng nghim bng phng phỏp xp x liờn tip Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun l trỡnh by mt s kt qu c bn v lp phng trỡnh vi toỏn t li hoc lừm i tng, phm vi nghiờn cu im bt ng ca toỏn t li hoc lừm khụng gian cỏc th t í ngha khoa hc thc tin ca ti Gii phng trỡnh vi toỏn t li hoc lừm khụng gian cú th t/ Cu trỳc lun Lun cú chng Chng 1: trỡnh by mt s cỏc tớnh cht c trng ca ỏnh x li, tng t cỏc tớnh cht quen thuc ca hm li mt bin Chng 2: xột s tn ti v nht im bt ng ca ỏnh x cú liờn quan ti tớnh lừm Chng 3: kho sỏt s tn ti im bt ng ca ỏnh x cú tớnh cht lừm Vỡ kh nng v thi gian hn ch nờn bn lun chc cú th thiu sút, em rt mong nhn c s gúp ý ca quớ thy cụ v c gi CHNG NH X LI, CC IU KIN C TRNG CA NH X LI 1.1 NH X LI: nh ngha 1.1 : Cho X l khụng gian Banach thc 1) Tp K è X gi l mt nún nu K l úng, tha cỏc tớnh cht : i) K + K è K , lK è K "l ii) K ầ (-K ) = {q} 2) Nu K l mt nún thỡ th t X sinh bi K c nh ngha nh sau x, y ẻ X , x Ê y y - x ẻ K 3) Nu nún K cú IntK ặ thỡ ta nh ngha x y y - x ẻ IntK nh ngha 1.2 : Cho X l khụng gian Banach vi th t sinh bi nún K 1) K gi l nún chun nu tn ti s N > cho vi mi x, y ẻ K , Ê x Ê y x Ê N y 2) K gi l nún chớnh qui nu mi dóy n iu tng, b chn trờn thỡ hi t 3) K gi l nún hon ton chớnh qui nu mi dóy n iu tng, b chn theo chun thỡ hi t nh ngha 1.3 : Cho cỏc khụng gian Banach X , Y c sp bi cỏc nún K x , K y , D è X l li nh x f : D Y gi l li nu: f [ x + t ( y - x) ] Ê f ( x) + t [ f ( y ) - f ( x)] vi "t ẻ (0,1) v "x, y ẻ D , x y v so sỏnh c vi (ngha l x Ê y hoc y Ê x ) 1.2 CC IU KIN C TRNG CA NH X LI: nh ngha 1.4 : Cho khụng gian Banach X vi nún K è X Tp D è X gi l K - lõn cn ca im x , nu $r > : B ( x, r ) ầ K è D Tp D gi l K -m nu nú l K - lõn cn ca mi im ca nú nh ngha 1.5 : Cho cỏc khụng gian Banach X , Y c sp bi cỏc nún K X , KY , D è X l K X -lõn cn ca im x0 v ỏnh x f : D Y nh x A ẻ L( X , Y ) gi l o hm (theo ngha Gateux ) theo nún hay o hm phi ca f ti im x0 nu A(h) = lim+ t f ( x0 + th) - f ( x0 ) t "h ẻ K X Khi ú ta kớ hiu A = f+ ( x0 ) nh lý 1.1 : Gi s D è X l li, K x m, f : D Y l ỏnh x liờn tc, kh vi theo nún ti mi x ẻ D Khi ú cỏc mnh sau l tng ng f l ỏnh x li Vi "x, y ẻ D , x Ê y ta cú: f+ ( x)( y - x) Ê f+ ( y )( y - x) Vi "x, y ẻ D , x y v so sỏnh c vi nhau, ta cú f ( y ) f ( x) + f+ ( x )( y - x) (trong ú f+ ( x) l o hm theo nún ca f ti x ) chng minh c nh lý ta cn s dng cỏc b sau: B 1.1 : Nu g : [ a, b ] l hm li thỡ g liờn tc trờn (a, b) Chng minh b 1.1 vi r , t , s ẻ (a, b), r < t < s , ta cú: t = g (t ) Ê s -t t -r r+ s s-r s-r s -t t -r g (r ) + g ( s ) (do g l hm li) (*) s-r s-r g (t ) - g (r ) g ( s ) - g (t ) (1) (do cng vo v bt (*) vi -tg (t ) ) Ê t -r s -t Ta s chng minh g liờn tc trờn mi khong (c, d ) è (a, b) Chn cÂ, d  tho c < c < d < d  Vi t1 , t2 ẻ (c, d ), t1 < t2 , ta cú (1) g (t2 ) - g (t1 ) g (d ) - g (t2 ) g (d Â) - g (d ) < Ê dÂ-d t2 - t1 d - t2 V g (t2 ) - g (t1 ) g (t1 ) - g (c ) g (c) - g (c Â) t2 - t1 t1 - c c - c Vy hm g tho iu kin lipshitz trờn (c, d ) nờn liờn tc B 1.2 : Gi s g : [ a, b) l hm li, cú o hm phi g+ (t ) ti mi t ẻ (a, b) ú g+ l hm tng Chng minh b 1.2 Tht vy, xột t1,t2 ẻ (a, b), t1 < t2 Vi t ẻ (t1 , t2 ) g (t ) - g (t1 ) g (t2 ) - g (t ) g (t ) - g (t1 ) cho t t1+ ta cú: g+ (t ) Ê Ê t - t1 t2 - t t2 - t1 (do tớnh liờn tc ca g (b 1) v s tn ti g+ (t1 ) Vi t > t2 > t1 ỏp dng (1) ta cú: g (t2 ) - g (t1 ) g (t ) - g (t2 ) g (t ) - g (t1 ) cho t t2+ ta cú: g+ (t2 ) Ê t2 - t1 t - t2 t2 - t1 Vy g + (t1 ) Ê g+ (t2 ) hay g+ l hm tng B : Nu f : [ a, b) liờn tc cú o hm phi f + (t ) , "t ẻ [ a, b) thỡ f l hm tng Chng minh b 1.3 Gi s: f+ (t ) > , "t ẻ [ a, b) Xột t1 , t2 ẻ (a, b) ; t1 < t2 t A = {t ẻ [t1 , t2 ] : f (t1 ) Ê f (t2 )} u tiờn ta chng minh : $d > : "t ẻ (t1 , d ) t Aạặ Ta cú f + (t1 ) > nờn f (t ) - f (t1 ) > hay f (t ) > f (t1 ), "t ẻ (t1 , d ) t - t1 t0 = sup A Ta nhn thy f (t0 ) f (t1 ) , tht vy ta luụn tỡm c dóy {tn } è A (do tớnh cht ca sup ) cho lim tn = t0 Qua gii hn bt nƠ ng thc f (tn ) f (t1 ) tớnh liờn tc ca f ta cú f (t0 ) f (t1 ) Ta s chng minh t0 = t2 Gi s ngc li t0 < t2 Do f+ (t0 ) > nờn lim t t f (t ) - f (t0 ) >0 t - t0 ộ f (t ) - f (t0 ) ự $d > : "t ẻ (t0 , t0 + d ) ầ [ a, b) - f+ (t0 )ỳ < f + (t0 ) ỳ t - t0 ỷ f (t ) - f (t1 ) f (t ) - f (t0 ) - f + (t0 ) > - f + (t0 ) , > , f (t ) - f (t0 ) > t - t0 t - t0 f (t ) > f (t0 ) f (t1 ) ,"t ẻ (t0 , t0 + d ) ầ [ a, b) iu ny mõu thun vi t0 = sup A Vy t0 = t2 v ú f (t1 ) Ê f (t2 ) theo chng minh trờn Nu f+ (t ) "t ẻ [ a, b) Cho e > , ta xột h (t ) = f (t ) + et1 , ta cú h (t ) = f  (t ) + e > Theo chng minh trờn ta cú h (t1 ) Ê h (t2 ) hay f (t1 ) + et1 Ê f (t2 ) + et2 Cho e ta cú: f (t ) Ê f (t2 ) Nh vy b ó c chng minh Chng minh nh lý 1.1 : 1) 2) : Ly tu ý: x, y ẻ D, x Ê y Ta s chng minh A ộở f+ ( x)( y - x)ựỷ Ê A ộở f+ ( y )( y - x)ựỷ , "A ẻ KY* Vỡ D l li, K X m nờn vi "x, y ẻ D , x Ê y, $e > cho x + t ( y - x) ẻ D , "t ẻ [0,1 + e) C nh A ẻ KY* , xột hm g : [0,1 + e) t g (t ) = A ộờ f ( x + t ( y - x))ựỳ ỷ Thỡ hm g nh vy l xỏc nh g liờn tc vỡ f , A u liờn tc g li vỡ A tuyn tớnh, f li Ta cú : g+ (t ) = lim s0+ g (t + s ) - g (t ) s = lim A ộờ f ( x + (t + s )( y - x))ựỳ - A ộờ f ( x + t ( y - x ))ựỳ ỷ ỷ s = lim A ộờ f ( x + (t + s )( y - x)) - f ( x + t ( y - x))ựỳ ỷ s s 0+ s 0+ = A ộờ f+ ( x + t ( y - x ))( y - x)ựỳ ỷ Hn na g+ l hm tng (do b 2) Do vy g+ (0) Ê g+ (1) Suy ra: A ộở f+ ( x)( y - x)ựỷ Ê A ộở f+ ( y )( y - x)ựỷ , "A ẻ KY* f + ( x)( y - x ) Ê f+ ( y )( y - x ) , "x, y ẻ D , x Ê y 2) 3): Ly tu ý x, y ẻ D, x Ê y c nh A ẻ KY* Xột hm h : [0,1] t h (t ) = A ộờ f ( x + t ( y - x)) - f+ ( x)( x + t ( y - x))ựỳ ỷ Vỡ D li, K X - m nờn x + t ( y - x) ẻ D, "x, y ẻ D, "t ẻ (0,1) Do ú hm h xỏc nh v f , f+ ( x) , A l liờn tc nờn hm h liờn tc trờn [0,1] , h cú o hm phi liờn tc trờn (0,1) , ta cú: h+ (t ) = lim+ s h (t + s ) - h (t ) s A ộờ f ( x + (t + s )( y - x )) - f+ ( x )( x + ( s + t )( y - x ))ựỳ ỷ = lim+ s0 s A ộờ f ( x + t ( y - x )) - f + ( x)( x + t ( y - x ))ựỳ ỷ - s = A ộờ f+ ( x + t ( y - x ))( y - x) - f + ( x )( y - x )ựỳ ỷ ( Do f+ ( x ) l tuyn tớnh, liờn tc) Mt khỏc x Ê x + t ( y - x), "x, y ẻ D, x Ê y, t ẻ (0,1) , nờn theo iu kin (2) ta suy ra: f + ( x )( y - x ) Ê f + ( x + t ( y - x))( y - x ), "x, y ẻ D, x Ê y, t ẻ (0,1) Do ú: A ộờở f+ ( x + t ( y - x))( y - x) - f+ ( x)( y - x)ựỳỷ Vy h+ (t ) , "t (0,1) Hay h tng trờn [0,1] Suy ra: h (0) Ê h (1) , tc l ta cú: A ộở f ( x) - f+ ( x )( x)ựỷ Ê A ộở f ( y ) - f+ ( x)( y )ựỷ A ộở f ( y ) - f+ ( x)( y ) - f ( x) + f + ( x)( x)ựỷ f ( y ) f ( x ) + f+ ( x )( y - x) "x , y ẻ D , x Ê y 3) 1): Vi "x, y ẻ D , x y v so sỏnh c vi v t (0,1), ta cú : x - ( x + t ( y - x )) = -t (1 - t ) -1 t xt = x + t ( y - x ) ( y -( x + t ( y - x))) Rừ rng x xt , y xt , x v xt , y v xt l so sỏnh c vi nhau, ú theo iu kin 3) Ta cú : f ( y ) f ( xt ) + f + ( xt )( y - xt ) V (1) f ( x) f ( xt ) + f + ( xt )( x - xt ) -1 f ( x) f ( xt ) - t (1- t ) f+ ( xt )( y - xt ) (2) Nhõn hai v (1) vi t (0,1) ta cú : tf ( y ) tf ( xt ) + tf+ ( xt )( y - xt ) (3) Nhõn hai v (2) vi (1 t ) > ta cú : (1- t ) f ( x) (1- t ) f ( xt ) - tf+ ( xt )( y - xt ) - f+ (t0 ) (4) Ly (3) cng (4) v theo v ta c : t ởộ f ( y ) - f ( x )ỷự f ( xt ) - f ( x ) f ( x + t ( y - x)) Ê f ( x) + t ộở f ( y ) - f ( x)ựỷ , t (0,1), "x, y ẻ D , x v y so sỏnh c vi Vy f l hm s li nh lý ó c chng minh nh lý 1.2 : Gi s ( E , P ), ( F , Q ) l cỏc khụng gian Banach vi th t sinh bi nún, D E l li v P m Gi s f : D F liờn tc, cú o hm phi f + : D L( E , F ) liờn tc v cú o hm phi cp f +ÂÂ( x ) , x D Khi ú f l li v ch f+ÂÂ( x) xỏc nh dng, ngha l f +ÂÂ( x) (h, h) , h P Chng minh nh lý 1.2: xột x, y D , x < y Do D li, P _ m nờn > cho x + t ( y - x) D t 0,1+) Do ú ỏnh x g : 0,1+) t g (t) = f+ ( x + t ( y - x))( y - x) xỏc nh liờn tc cú o hm phi v : t Do tớnh u -li ca toỏn t A nờn tn ti s h = h (t x, ) > , cho : 1 1- h h A (t x) Ê (1 - h ) At x Ax Ê At x , vỡ vy t d = > , ta luụn t t t 1- h cú At x ổ t h ửữ Ax = ỗỗ1 + ữ t Ax = (1 + d ) t Ax ỗố 1- h ứữữ 1- h B ó c chng minh B 3.3: Nu toỏn t A l u -li, thỡ t Ax0 Ê x0 , x0 > , y0 Ê Ay0 , y0 > suy rng x0 ly0 , ( l >1) (1) ; y0 Ê qx0 , ( q ẻ (0,1) ) (2) chng minh b 3.3 Ta chng minh bng phn chng : a Gi s ngc li, tc l vi mt s l >1 khụng cú bt ng thc (1) Khi ú s cú x0 ly0 , ký hiu l0 l s ln nht tho x0 l0 y0 l0 =maxL, vi L={ l ẻ (1, Ơ )/ x0 ly0 } Rừ rng l0 l >1 Vỡ Ay0 ẻ K (u ) ( A l u - o c ) nờn theo b tn ti s d = d ( x, t ) > , cho Al0 Ay0 (1 + d )l0 A2 y0 Vỡ A l toỏn t li nờn : vi ẻ (0,1), l0 y0 ẻ K \ {0} , ta cú : l0 1 Ay0 = A l0 y0 Ê Al0 y0 l0 Ay0 Ê Al0 y0 , vi l0 >1, y0 ẻ K \ {0} l0 l0 Lỳc ú ta cú : x0 Ax0 A2 x0 A2l0 y0 A(l0 Ay0 ) (1 + d )l0 A2 y0 (1 + d )l0 Ay0 (1 + d )l0 y0 ngha l $(1 + d )l0 > l0 : x0 (1 + d )l0 y0 , iu ny trỏi vi tớnh ln nht ca l0 Vy bt ng thc (1) ó c chng minh b Tng t ta cng chng minh c tớnh ỳng n ca bt ng thc (2), nh sau : Gi s ngc li vi mt s q ẻ (0,1) tho y0 Ê qx0 Ký hiu q0 l s nh nht tho y0 Ê q0 x0 , rừ rng < q0 Ê q < Vỡ phn t Ax0 ẻ K (u ) , nờn theo tớnh u -li ca toỏn t A tn ti s h >0, cho Aq0 Ax0 Ê (1- h )q0 A2 x0 Nhng ú ta cú : y0 Ê Ay0 Ê A2 y0 Ê A2 q0 x0 Ê A(q0 Ax0 ) Ê (1- h ) q0 A2 x0 Ê (1- h )q0 Ax0 Ê (1 - h ) q0 x0 tc l $(1- h )q0 < q0 : y0 Ê (1- h )q0 x0 , iu ny trỏi vi tớnh nh nht ca q0 Vy bt ng thc (2) ó c chng minh B ó c chng minh nh ngha 3.4 : Phn t x ẻ E c gi l phn t i trc (sau) ca toỏn t A , nu nh Ax x ( Ax Ê x ) B 3.4: Cho : a Toỏn t liờn tc A n iu trờn on nún x0 , Ơ , vi Ax0 Ê x0 b i vi mt s th t b tn ti nh hng ( xa )a xa-1 , Ax Â Ê x  ùù ùù lim ( xg ) g , Axg < xg ( g < a ) ( gi thit qui np ) theo b suy xg ly0 ( l > ), ú theo iu kin d) ca nh lý, tn ti s r > cho xg Ê r , ( g < a ), m nún K hon ton chinh qui nờn nh hng tng, b chn theo chun ( xg ) g 0 v Ax < x , thỡ tn ti phn t x ẻ K q (u ) , vi K q (u ) - mt s nún rutman cho x > x v Ax Â Ê x  Khi ú tn ti im bt ng dng x* > , cho Ax* = x* Chng minh nh lý 3.4 Theo b 11 tn ti s r > , cho t x ẻ M = { x ẻ K q (u ) \ {0} cho Ax Ê x} , suy x Ê r , vỡ vy ta gi s rng toỏn t A khụng cú im bt ng dng no, chỳng ta ỏp dnh cỏch chng minh nh ó chng minh nh lý 3.3, nhng s dng iu kin b) c nh lý ny, chng minh c rng, vi mi s th t b tn ti inh hng tng nghiờm ngt ( xa )a xa-1 , Ax < x , a S dng th nht ùù ùù lim ( xg ) , a S dng th hai g , cho t Ê x Ê y suy x Ê N y Cho x ẻ K u ,r Khi ú s tỡm thy s a = a ( x) , cho au Ê x Ê rau Do tớnh chun ca nún K s x Ê N u , suy a x x T ú suy Nr u u x ẻ (0,1] B ó c , cú ngha l x ẻ K u , vi q = q( ) Nr Nr u u chng minh T b 3.6 v nh lý 3.4 suy nh lý 3.5 : Cho a Tha cỏc iu kin a)-c) ca nh lý 3.3 ; b Nu nh x >0 v Ax < x , thỡ tn ti phn t x ẻ K u ,r , vi K u ,r - l mt s nún Krasnoselskii cho x > x v Ax Â Ê x  Khi ú tn ti im bt ng dng x* > , cho Ax* = x* Bõy gi chỳng ta i n nhng nh lý tng t ú s dng nhng phn t i trc ca toỏn t A B 3.7 : Cho a Toỏn t liờn tc A n iu trờn on nún -Ơ, y0 , vi Ay0 > y0 b i vi mt s th t b tn ti nh hng ( ya )a y  , a S dng th nht ù ù ù lim ( yg ) , a S dng th hai ù g ya bng phộp qui np siờu hn Gi s vi "g < a luụn cú bt ng thc Ayg yg Vỡ ya = lim( yg ) g y , thỡ tn ti phn t y  ẻ K \ : < y  < y cho Ay  y  ; Khi ú toỏn t A cú ớt nht mt im bt ng dng y* > , cho Ay* = y* Chng minh nh lý 3.6 Theo iu kin c) ca nh lý, nu nh Ay0 = y0 , thỡ nh lý ó c chng minh, vy khụng mt tớnh tng quỏt ta cho rng Ay0 > y0 Gi s, toỏn t A khụng cú im bt ng dng no y* > T õy ta s chng minh rng, vi mi s th t b tn ti nh hng gim nghiờm ngt ( ya )a y  , a S dng th nht ù ù ù lim ( yg ) , a S dng th hai ù g ya v < ya < xg ( g < a ) Nu a l s dng th hai, thỡ t yg > , Ayg > yg ( g < a ) ( gi thit qui np ) theo b / qx0 ( q ẻ (0,1) ), ú theo iu kin d) ca nh lý, tn 3.3 suy yg Ê ti s r  > cho yg r  , ( g < a ), m nún K hon ton chinh qui nờn nh hng gim nghiờm ngt b chn theo chun ( ya )a yg , ( g < a ), v lim( yg ) g 0, nờn t tớnh liờn tc ca toỏn t A v Aya > ya ( ng thc khụng cú c vỡ theo gi thit toỏn t A khụng cú im bt ng dng no) Vy s tn ti nh hng gim nghiờm ngt cn tỡm ( ya )a cho anu Ê xn Ê ranu ( n ẻ ) (5) / thỡ khụng mt tớnh tng quỏt cú th cho Dóy an Tht vy, nu an rng, tn ti s g > , cho an g ( n ẻ ) Nhng ú < gu Ê anu Ê xn ( n ẻ ), tỡm thy s a > , cho xn a > ( n ẻ ), iu ny trỏi ngc vi (4) Nh vy, an Bi vỡ theo (5) i vi mi s m > tn ti s n , cho xn Ê mu (6) Tip theo vỡ Ax0 ẻ K (u ) , nờn tn ti s a > , cho Ax0 au Vỡ theo b 3.3, xn Ê / qx0 ( q ẻ (0,1) ) v Ax0 Ê x0 , nờn xn Ê / qau ( n ẻ ) / mu , iu ny trỏi vi (6) Vy b Nhng ú t m = qa chỳng ta cú xn Ê ó c chng minh T nh lý 3.6 v b 3.8 suy nh lý 3.7: Cho a Trong khụng gian Banach thc E nún K hon ton chớnh qui, b Toỏn t liờn tc A l u -li ; c Tn ti nhng phn t x0 > , y0 > cho Ax0 Ê x0 , y0 Ê Ay0 ; d Nu nh y > v Ay > y , thỡ tn ti phn t y  ẻ K u ,r | , vi K u ,r - l mt s nún krasnoselskii cho y  < y v Ay  y  ; Khi ú toỏn t A cú ớt nht mt im bt ng dng y* > , cho Ay* = y* Chng minh nh lý 3.7 Theo b 3.8 tn ti s r  > , cho t x ẻ w = { x ẻ K u ,r |0 \Ax x} Suy x r  Vỡ vy, gi s rng toỏn t A khụng cú im bt ng dng, chỳng ta chng minh nh lý ny ỏp dng cỏch chng minh nh lý 3.4, nhng s dng iu kin d) ca nh lý ny, chng minh c i vi mi s th t b luụn tn ti nh hng gim nghiờm ngt ( ya )a y  , a S dng th nht ù ù ù lim ( yg ) , a S dng th hai ù g[...]... (t + s ) - g (t ) s = lim f+ ( x + (t + s )( y - x))( y - x) - f + ( x + t ( y - x))( y - x) s s 0+ = f +ÂÂ( x + t ( y - x))( y - x)( y - x ) Nu f+ÂÂ( x ) xỏc nh dng x D thỡ ta cú g+ (t ) 0 (theo b 3), nờn g l hm tng trờn 0,1+) T g(0) g(1) ta cú : f+ ( x)( y - x) Ê f+ ( y )( y - x) nờn theo nh lý 1 f l ỏnh x li Nu f l hm li thỡ theo nh lý 1, ta cú : vi s < t, h P f + ( x + sh)((t - s ) h)... ) Ê x1 Hn na vỡ f tng mnh nờn 0 < x0 x1 x1 - x0 ẻ int P , khi ú ta cú r > 0 : B ( x1 - x0 , r ) è P , tc l vi x1 ẻ D ta cú x1 - x0 - ổ r r ửữ ữữ x1 - x0 ẻ P , gi x1 ẻ P = P ( vỡ P úng ) ỗỗỗ1 ỗố x1 x1 ứữ t l s dng nh nht, tho món t x1 - x0 ẻ P thỡ ta cú t x1 - x0 ẻ ảP (*) vỡ nu t x1 - x0 ẻ int P thỡ ta tỡm c e > 0 sao cho t x1 - x0 - e x1 = (t - e) x1 - x0 ẻ P , iu ny mõu thun vi tớnh nh nht ca t... f ( x0 + x) - f ( x0 ) l tuyn tớnh trờn mnh chng minh b 3.1 Vi "x ẻ P ầ ( D - x0 ) ta cú : x0 + tx = t ( x0 + x) + ( 1- t ) x0 , "t ẻ (0,1) , x0 ẻ D Do f l li mnh nờn : f ( x0 + tx) tf ( x0 + x) + ( 1- t ) f ( x0 ) , "x, x0 ẻ D ( x ạ x0 ), ( do ta ly x ẻ P ầ ( D - x0 ) ) Ta cú f x (tx) = f ( x0 + tx) - f ( x0 ) tf ( x0 + x) + (1 - t ) f ( x0 ) - f ( x0 ) 0 f x0 (tx) t [ f ( x + x0 ) - f ( x0 )]... ta cú : x0 + tx = t ( x0 + x) + (1 - t ) x0 , "t ẻ (0,1) , x0 ẻ D Do f l lừm mnh nờn : f ( x0 + tx) tf ( x0 + x) + ( 1- t ) f ( x0 ) , "x, x0 ẻ D ( x ạ x0 ), (do ta ly x ẻ P ầ ( D - x0 ) ) Ta cú f x (tx) = f ( x0 + tx) - f ( x0 ) tf ( x0 + x) + (1 - t ) f ( x0 ) - f ( x0 ) 0 f x0 (tx) t [ f ( x + x0 ) - f ( x0 ) ] = tf x0 ( x) , "t ẻ (0,1) v f x0 (0) = f ( x0 + 0) - f ( x0 ) = 0 Vy f x l tuyn tớnh... ta cú : x0 - r x1 ẻ P = P , t l s ln nht tha món iu x1 kin x0 - tx1 ẻ P , ta cú x0 - tx1 ẻ ảP (*), vỡ nu x0 - tx1 ẻ int P , thỡ ta tỡm c s e > 0 , sao cho x0 - tx1 - ex1 ẻ P x0 - (t + e) x1 ẻ P , vi t + e > t , iu ny mõu thun vi tớnh cht ln nht ca Ta cú : t < 1 vỡ x1 Ê / x0 Mt khỏc theo gi thit f l tuyn tớnh di mnh v tng mnh nờn : x0 = f ( x0 ) f (tx1 ) tf ( x1 ) tx1 x0 tx1 x0 - tx1 ẻ int... toỏn t u0 - lừm u 3) $a , b > 0 : au0 Ê A(au0 ) ; A(bu0 ) Ê bu0 Khi ú A cú duy nht trong au0 , bu0 im bt ng v vi mi x0 ẻ au0 , bu0 , dóy lp { An ( x0 )} hi t v im bt ng Chng minh nh lý 2.4 t Y = au0 , bu0 thỡ Y l tp úng trong ( Ku0 , d ) nờn ( Y ,d) cng l khụng gian metric y Ta s chng minh rng toỏn t A l ỏnh x cO theo ngha Krasnoselskii Vi 0 0 , ta tỡm c n0 sao... q0 l s nh nht tho món y0 Ê q0 x0 , rừ rng 0 < q0 Ê q < 1 Vỡ phn t Ax0 ẻ K (u ) , nờn theo tớnh u -li ca toỏn t A tn ti s h >0, sao cho Aq0 Ax0 Ê ( 1- h )q0 A2 x0 Nhng khi ú ta cú : y0 Ê Ay0 Ê A2 y0 Ê A2 q0 x0 Ê A(q0 Ax0 ) Ê ( 1- h ) q0 A2 x0 Ê ( 1- h )q0 Ax0 Ê (1 - h ) q0 x0 tc l $( 1- h )q0 < q0 : y0 Ê ( 1- h )q0 x0 , iu ny trỏi vi tớnh nh nht ca q0 Vy bt ng thc (2) ó c chng minh B ó c chng minh nh