BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN KHẢI HOÀN MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CÁM ƠN  Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy hướng dẫn , PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY ,khoa Toán-Tin trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh , tận tình hướng dẫn suốt trình học tập , nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán –Tin , Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập tìm tòi tài liệu cho việc nghiên cứu Vì kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu xót , mong bảo chân thành thầy , bạn MỞ ĐẦU  Trong luận văn , chúng tơi nghiên cứu phương trình logistic có dạng sau: u  m(x)u  eu    u  (0.1) Phương trình xuất phát từ tốn sinh học mơ tả phát triển lồi tự nhiên nhiều nhà tốn học nghiên cứu theo hướng khác từ năm 1980 tận ngày  Phương trình (0.1) dạng biến đổi phương trình sau : (vn )  m(x)v  v q    v  n  (0.2) , q  hàm trọng m(x) thuộc khơng gian hàm cụ thể Trường hợp n  m(x) bị chặn , tồn nghiệm cổ điển nghiên cứu Amann Crandal [3] Trường hợp n  m(x)  Ls () với s   , tồn nghiệm yếu (0.2) nghiên cứu Hernández J ,Drabek [17,18] Nguyễn Bích Huy [24] Các nghiên cứu tính qui nghiệm yếu phụ thuộc vào độ lớn s : s  N nghiệm yếu thuộc lớp C1 () , s  nghiệm yếu thuộc W01,2 ()  L () Trường hợp n  s  Nq 2(q  1) N nghiên cứu [17].Trong luận văn , chương , chúng tơi xét trường hợp n  s nhỏ N Bằng phép biến đổi u  v n , tốn (0.2) trở thành : u  m(x)u  u  u    (0.3)   với s  N (N  3) miền mở ,bị chặn với biên trơn , m(x) Ls () 2N(q  1) ,    ,    , giả thiết bị chặn 2(q  1)  N(q   2r) m(x) ,chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu cực trị (0.3) khoảng  u ,   với u định nghĩa chương  Trong chương , , chúng tơi nghiên cứu điều khiển tối ưu mùa thu hoạch lồi mơ hình hóa phương trình logistic suy biến sau : u  (a  f)u  eu    u    N (0.4) (N  3) miền mở ,bị chặn với biên trơn Ở , a , f ,e hàm bị chặn , a  f , a , e  : f  L () | f L  0 ,      Phương trình (0.4) xuất phương trình : w m  (a  f)w  ew2    w  ta thực phép đổi biến u  w m ,   (0.5) ,  m m Phương trình (0.5) áp dụng mơ hình phát triển giống lồi Gurtin MacCamy [15] , mơ tả phát triển lồi cư ngụ  mật độ w(x) Điều kiện biên Dirichlet hiểu lồi w khơng thể sống  ; , chẳng hạn biên  sơng , hồ , hay mơi trường bao quanh  nguy hiểm , khơng thể sống Hàm dương e(x) mơ tả mức lớn cho phép ảnh hưởng đám đơng lồi hàm a(x) tượng trưng cho tốc độ sinh trưởng lồi Hàm f(x) đóng vai trò điều khiển sinh trưởng lồi Tốn tử  khuyếch tán lồi , nghĩa tốc độ di chuyển lồi từ vùng có mật độ cao đến vùng có mật độ thấp Trong luận văn , chúng tơi xét m  , gọi khuyếch tán phi tuyến chậm , nghĩa khuyếch tán chậm trường hợp m  Điều kiện mơ tả xác thực sinh học Với giả thiết cho , chúng tơi chứng tỏ , với f , tồn nghiệm dương (0.5) kí hiệu u f Khi đem bán sản phẩm , thu lợi nhuận biểu thị cơng thức sau : J(f )   (h(f )u f  k(f ))  Trong h  C1 (  ,  ) , k  C2 (  ,  )   tham số Hàm J biểu thị mức chênh lệch thu nhập tính  u f h(f ) phí tổn tính   k(f ) Ở ,  mơ tả tỉ số giá lồi phí tổn Mục tiêu chúng  tơi cho lợi nhuận lớn , nghĩa hàm J đạt giá trị lớn Trong trường hợp m  , nghĩa   ,   h(t)  t , k(t)  t , tốn nghiên cứu [6],[22],[23] Còn luận văn , chúng tơi xét m > 1, h  C1 (  ,  ) , k  C2 (  ,  ) có số giả thiết khác  Nội dung luận văn chủ yếu dựa vào ba báo [11],[12],[24] bao gồm :  CHƯƠNG : Sự tồn nghiệm yếu khơng bị chặn Trong chương , chúng tơi đưa tốn (0.3) tốn tìm điểm bất động ánh xạ tăng từ chứng minh tồn nghiệm yếu cực trị nằm Lq 1  CHƯƠNG : Phương trình logistic suy biến Trong §1 , chúng tơi giới thiệu số khái niệm số kết tồn giá trị riêng , nghiệm tốn elliptic tuyến tính với hàm khơng bị chặn Trong §2 , chúng tơi chứng minh tồn nghiệm dương (0.4)  CHƯƠNG : Sự tồn hàm điều khiển tối ưu Trong chương , chúng tơi chứng minh với  đủ nhỏ tồn hàm điều khiển tối ưu CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU KHƠNG BỊ CHẶN §1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QỦA ĐƯỢC SỬ DỤNG A.Khơng gian Banach có thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian Banach thực X Tập K  X gọi nón X : i) K tập đóng , K   , ii) K  K  K ,  t   tK  K iii) K  (  K)    Nếu K  X nón thứ tự X sinh nón K định nghĩa sau: x  y y  x  K Định nghĩa 1.1.2 Cho X khơng gian Banach thực , có thứ tự sinh nón K Khi ta nói :  K nón sinh K  K  X  K nón chuẩn N  , x,y  K , x  y  x  N y  K nón qui dãy đơn điệu tăng , bị chặn hội tụ  K nón hồn tồn qui dãy đơn điệu tăng , bị chặn theo chuẩn hội tụ Ta dễ dàng kiểm tra :  Nón hàm khơng âm h.k.n Lp (X, ) ,  p < + nón sinh , nón hồn tồn qui B.Điểm bất động ánh xạ tăng Giả sử X khơng gian Banach thực , có thứ tự sinh nón Ta kí hiệu  u,  tập x  X | x  u  Ta nói tập M  X có hướng x1 , x  M x  M , x1  x , x  x  Ánh xạ T : M  X  X gọi ánh xạ tăng x, y  M, x  y  T(x)  T(y) Trong chương ta sử dụng định lý điểm bất động ánh xạ tăng để chứng minh tồn nghiệm cực trị tốn tìm nghiệm yếu phương trình Logistic Mệnh đề 1.1.3 [ ],[ 24 ] Cho X khơng gian Banach thực có thứ tự sinh nón , M  X tập đóng T : M  M ánh xạ tăng thỏa mãn điều kiện sau : i) M  u  M | u  Tu , M   , M có hướng ii) Với dãy tăng u n   M dãy Tu n  hội tụ Khi , với u M ánh xạ T có M   u,  điểm bất động lớn u  điểm bất động nhỏ u  , nghĩa v  M   u,   điểm bất động T u   v  u  Ghi 1.1.4 Ta áp dụng mệnh đề 1.1.3 cho ánh xạ T tác động khơng gian X  Lp () ,  p   , Lp () khơng gian Banach có thứ tự sinh nón hàm khơng âm h.k.n  Như để chứng minh dãy tăng Tu n  hội tụ , ta cần chứng minh bị chặn theo chuẩn C.Khơng gian Sobolev Giả sử   N miền Với  p   m  0,1,2,… ta định nghĩa :  W m,p () khơng gian hàm u , u  Lp () có đạo hàm suy rộng đến bậc m D  u  Lp () với  ,   m Với m  ,ta đặt W 0,p ()  Lp () Trong W m,p () ta xét chuẩn : u m,p    m D u , p chuẩn Lp () p m ,p  W0 () bao đóng Cc () W m,p () ( Cc () khơng gian hàm có giá compắc  có đạo hàm hạng liên tục  ) 1,p 1,p Ta thường xét khơng gian W0 () , W0 () ta xét chuẩn : u 1,p  u p Chuẩn tương đương với chuẩn : u p  u p Khơng gian W1,2 () kí hiệu H1 () 1,p  Khơng gian liên hợp W0 () W 1,p  () với 1,p  1   W () p p định nghĩa [14] Mệnh đề 1.1.5 [8],[14]  1) Khi 1< p < N , phép nhúng W1,p ()Lp () liên tục ,với p  Np ta Np  p  ()  W 1,p () , s số liên hợp với s theo nghĩa có : L  1   s s 2) Nếu u,v W1,p () max(u,v) , min(u,v) thuộc W1,p () ta có: D u(x) ,nếu u(x)  v(x) D i (max(u,v))(x)   i , D v(x) ,nế u v(x) u(x)   i D u(x) ,nếu u(x)  v(x) D i (min(u,v))(x)   i , Di v(x) ,nếu v(x)  u(x) Di u đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi hàm u Nói riêng ta có : D u(x) , u(x)  D i u (x)   i , , nế u u(x)   D u(x) , u(x)  D i u  (x)   i ,nế u u(x)    Bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg + Với u  W m,p ()  Lq ()    m  , ta có : D u  C u r  m,p u 1 q 1 m   định :        (1  ) r N q p N + Với   0, m  , ta có : u r  C u  1,p u 1 q §2 NGHIỆM YẾU CỰC TRỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC Trong mục , ta xét phương trình Logistic dạng sau: u  m(x)u r  u q   u=0 trê n   (1.1) Ta xét tồn nghiệm yếu cực trị (1.1) với giả thiết :  N (N  3) miền mở , bị chặn với biên trơn ,  tham số dương , m(x)  Ls () ,  r  , r  q Định nghĩa 1.2.1 Xét phương trình : u  f(x,u)    u  với :  N f :  ( N  ) tập mở , bị chặn , có biên trơn ,  hàm thỏa điều kiện Caratheodory (1.2) 1)Ta nói hàm u  H10 () nghiệm yếu (1.2) 2N N2 f (x, u)  L () ,  udx   f (x, u)dx    H10 ()  2) Ta nói hàm u  H1 () nghiệm (1.2) 2N N2 f (x, u)  L () , u   ,  udx   f (x, u)dx    H10 () ,   h.k.n   Mệnh đề 1.2.2 [5] Giả sử hàm g :    thỏa điều kiện Caratheodory điều kiện sau : i) Với x  g(x,0)  hàm u  g(x, u) tăng , ii) Với t > , tồn hàm h t  L1 () cho   u  t  h t (x) sup g(x, u) Khi với h  H 1 () tốn biên : u  g(x,u)  h  u    có nghiệm yếu u H10 () thỏa mãn điều kiện ug(x,u) L1 ()  Giả sử kiện tốn (1.1) thỏa mãn điều kiện sau : (H1) m(x) Ls () với s  2N(q  1) , r  q ,0  r  2(q  1)  N(q   2r) (H2) m(x)  h.k.n  tồn số m  , tập  có biên trơn cho    ; m(x)  m , x   Gọi u1 hàm riêng ứng với giá trị riêng thứ tốn biên : u  u  u    u0 hàm  \  , cu1  với c > đủ nhỏ (1.3) Nhận xét 3.2.5 (a) Xem mệnh đề 1.7 [1] ta có : int(P)   P nón sinh (b) Xem ví dụ 1.11 [1] ta có : L () khơng gian Banach có thứ tự sinh nón P  L () Ngồi , ta có int( L () )   nên L () nón sinh Chứng minh mệnh đề 3.2.1 Trước hết , ta tính đạo hàm Gateaux J nón , kí hiệu DG,P J Cho g  L () , f    cho f  g   Ta tính giới hạn sau : J(f  g)  J(f )  0  lim  uf  u u (h(f  g)  h(f )) k(f )  k(f  g)   lim    f g  h(f  g)   f  (3.17) 0      Theo bổ đề 2.2.7 ta có u f g  u f   f ,g yếu H10 ()   Ở f ,g nghiệm tốn (3.14)  Ta chứng minh : lim  0  u f g  u f  h(f  g)   f ,g h(f )  Thật , ta có :  u f g  u f      h(f g) h(f )   f ,g      uf u  uf u     f g  f ,g h(f )   f g  h(f  g)  h(f )       Do u f g  u f  (3.18)  f ,g yếu H10 () nên lập luận tương tự (2.38) ta có :  u f g  u f      f ,g h(f )    (3.19) Ta có :   u f g  u f   h(f  g)  h(f )   u f g  u f  h(f  g)  h(f ) (3.20) Do u f g  u f  u f g  u f  f ,g yếu H10 () nên  bị chặn Theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có : h(f  g)  h(f )  (3.21) Từ (3.18) , (3.19) , (3.20) , (3.21) ta có : lim  0 u f g  u f   h(f  g)   f ,g h(f ) (3.22)   Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có : lim  u f (h(f  g)  h(f ))   h(f )u f g 0    (3.23) k(f )  k(f  g)   ( k(f ))g 0    (3.24) lim  Từ (3.17) , (3.22) , (3.23) , (3.24) ta có : lim 0 J(f  g)  J(f )    f ,g h(f )  h(f )u f g  k(f )g    (3.25) Bởi f ,g , Pf thỏa tốn (3.13) (3.14) nên ta có :  h(f ) f ,g    gu f Pf  (3.26)  Từ (3.25) (3.26) ta có : J(f  g)  J(f )    h(f )u f  u f Pf  k(f ) g 0   lim Ta có ánh xạ sau tuyến tính liên tục : L ()  định : g    h(f )u f  u f Pf  k(f ) g  Suy , J có đạo hàm Gateaux nón f   DG,P J(f )(g)    h(f )u f  u f Pf  k(f ) g  g  L ()  Ta chứng minh DG,P J liên tục DG,P J :  L(L+ (), ) định : DG,P J(f )(g)    h(f )u f  u f Pf  k(f ) g ,  f  , g  L ()  Cho f  , dãy f n n   cho f n  f L () Ta chứng minh : DG,P J(f n )  DG,P J(f )  L(L (), ) Nghĩa , ta phải chứng minh : sup D G,P J(f n )(g)  D G,P J(f )(g)  g  1 Thật : Do f n  f L () nên theo định lý 2.2.5 bổ đề 3.2.3 ta có : u fn  u f C1 () , Pfn  Pf C1 () (3.27) DG,P J(f n )(g)  D G,P J(f )(g)   (h (f n )u fn  h(f )u f )g   (u fn Pfn  u f Pf )g +   +   k(f n )  k(f )  g   sup DG,P J(f n )(g)  D G,P J(f )(g)   (h(f n )u fn  h(f )u f )   (u fn Pfn  u f Pf ) + g  1   +   k(f n )  k(f )  (3.28)  Từ (3.27) , (3.28) định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có : sup DG,P J(f n )(g)  D G,P J(f )(g)  g  1 Vậy DG,P J liên tục Áp dụng bổ đề 3.2.4 , ta có đạo hàm Gateaux trùng với đạo hàm Fréchet J C1 Vậy J C1 J(f )(g)   (h(f )u f  u f Pf  k(f ))g ,f  ,g  L ()  Bổ đề 3.2.6 Giả sử (H3)  (H5) Khi tồn  > cho     ánh xạ f   0,T   L2 ()  u f , Pf , u f Pf  L2 () sau Lipschitz liên tục L2 () : Chứng minh Cho f , g   0,T  Bởi định lý 2.2.6 ta có :  u T  u f , u g  u ,   1 ( 1 xác định bổ đề 3.1.1 ) Lấy   1 Bởi định lý giá trị trung bình ta có : u f  u g  1 (f ,g)(u f  u g ) ; u f  u g  1 (f ,g)(u f  u g )  u T  u f , u g   (f ,g), (f ,g)  max u f , u g   u (3.29) Đặt w : u f  u g Khi , w thỏa mãn tốn sau :     N(f,g)  w  (g  f)ug  ,   w  (3.30) N(f,g) : (a  f)1 (f,g)  e1 (f,g) Do f  ,      (3.29) nên ta có : 1 N(f,g)  a1 (f,g)  e1 (f,g)  au T   eu T : m  (3.31) 1 1  Ta chứng minh: lim  (au  eu T   eu T )   (au 0 ) ,  H ()    1 ,   H10 () + Ta chứng minh : lim  au T    au     1  1 Thật vậy:  a(u T u )   a(u T  u T u )      C T1 uT  uT u u T  C T1 uT  uT u    d   d    2,  T định nghĩa 2.11 với b  a  T Do u T  u0 C1 ()   nên lập luận tương tự (2.28) ta có : uT  u T u   0  1 lim  au ,   H10 () T    au  Suy :   (3.32)  + Do   theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có : 1 lim  eu ,   H10 () T    eu    (3.33)  Từ (3.32) (3.33) ta có : 1 1 lim  (au  eu T   eu T )   (au 0 ) ,  H ()   (3.34)  Theo định lý 2.1.1 , (3.31) (3.34) ta có : 1 1 (  N(f,g))  1 (  m  )  1 (  au  eu (3.35) 0 )  Bởi (3.31) , (3.35) ,   T tăng , f  uf giảm nên tồn   cho N(f ,g)  m 2 , (3.36) 1 1 (  N(f ,g))  1 (   au  T  e u T )  2 (3.37)  Chứng minh f  u f Lipschitz liên tục L2 () Theo định lý 2.1.4(a) ta có : w  w1 , w1 nghiệm tốn sau :     N(f,g)  w  g  f ug   w trê  n   Mặt khác , theo định lý 2.1.4(b) ta có : w1  w , w2 nghiệm tốn sau :      m  w  g  f ug    w  Ta có :  w nghiệm tốn sau :     N(f,g)  w  (f  g)u f  ,    w trê n  N(f,g) : (a  g)1 (f,g)  e1 (f,g) Lập luận tương tự (3.36) , (3.37) , ta có : tồn   cho : N(f ,g)  m 3 , 1 1 (  N(f ,g))  1 (   au  T  e u T )  3 Theo định lý 2.1.4(a) ta có :  w  w1 ,trong w1 nghiệm tốn:     N(f,g)  w  f  g u f    w  Mặt khác , theo định lý 2.1.4(b) ta có : w1  w , w nghiệm      m  w  f  g uf   w trê n    tốn sau : Suy : w  w , w :  w nghiệm tốn sau :      m  w   f  g uf    w  Do u f , u g bị chặn độc lập với f , g định lý 2.1.4 ta có : w2 W 2,2 (  )  C f g ; w3 W 2,2 (  )  C f g (3.38) Do w  w w  w nên w  w  w Suy : w  w2  w3 (3.39) Từ (3.38) (3.39) ta có : w  uf  ug  C f  g (3.40)  Chứng minh f  Pf Lipschitz liên tục L2 ()  Trước hết ta chứng minh  Pf    ,   C10 () độc lập với f Lấy   1 ,  ,  3 , f  I :  0,T  Khi ta có : 1 M f  au T  eu  với M f : (a  f)u  eu T f f Pf  C10 () nghiệm tốn (3.13)   C10 () nghiệm tốn sau : 1 u  (au T2  e u T2 )u  T     u  , Tˆ : max max h(f(x)) f 0,T2  x Theo định lý 2.1.3 ta có , Pf    Mặt khác , h(f)  1 (  M f )  nên theo định lý 2.1.1(c) ta có Pf   Lấy f , g   0,T  đặt z : Pf  Pg Khi , z thỏa tốn sau : z  M f z  T(f,g)    z  ,trong : 1 1  T(f,g)  h(f)  h(g)  Pg (a  f)(u  ug1 )  e(u  u f f g )   (g  f)Pg u g Áp dụng định lý giá trị trung bình ta có :  u  ug1  (  1)2 (f,g)(uf  ug ) f  1 1   u f  ug  (  1) (f,g)(u f  ug )  0  u T  u f , ug   (f,g), (f,g)  max u f , ug   u (3.41) Do : T(f,g)  h(f)  h(g)  Pg (  1)2 (f,g)  (  1)e2 (f,g) (u f  ug )  (g  f)Pg u g (3.42) Lập luận tương tự (3.40) ta có : Pf  Pg  C T(f,g) (3.43) +Do   C10 ()  Pf   , f  I , nên ta có : (f  g)Pg ug1  C f  g  C f g Pg u T d      C f  g k11 d   C1 (  )  C f g  (3.44) +Do h Lipschitz  0,T  nên h(f)  h(g)  C f  g (3.45) + Ta có : (  1)(a  f)Pg2 (u f  ug )  C 2 (uf  ug ) 2  C d   (u f  u g )  Cˆ  C1 (  ) d  2 u f  ug d  (3.46) Theo bất đẳng thức Hardy ta có : u f  ug  C1 uf  ug d H10 (  ) (3.47) ( C1 độc lập với f g ) Bây , ta chứng minh tồn C2  cho : u f  ug H10 (  )  C2 f  g (3.48) Thật , w  uf  ug nghiệm tốn (3.30) nên ta có :   w    N(f ,g)w    g  f  u g w  Ta có : N(f ,g)  m 2 Khi theo bổ đề 2.1.2 ta có :   w      N(f ,g)w   w  m 2 w  C0  w  Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Cauchy : ab  2 2   g  f  u w   w  C3 22  (f  g)  g  f  u   g w  C  w w  C4 w (  C0  )  2 a  b ta có : 2  g Ta có : 2 (3.49) (3.50)  H10 (  ) (3.51) Từ (3.49) , (3.50) , (3.51) ta có :  2  2  C0  C   w  C5  (f  g)    Vậy với  nhỏ ta có (3.48) Từ (3.46) , (3.47) , (3.48) ta có : (  1)(a  f)Pg2 (u f  ug )  C f  g + (  1)ePg2 (u f  ug )  C 2 (u f  ug ) 2 (3.52)   C d  (u f  ug ) C  1 C1 (  ) d  u f  ug  C f g (3.53) Từ (3.42) , (3.43) , (3.44) , (3.45) , (3.52) , ( 3.53) ta có : Pf  Pg  C f g Vậy f  Pf Lipschitz liên tục L2 ()  Ta chứng minh f  u f Pf Lipschitz liên tục L2 () Cho f , g   0,T  Ta có : u f Pf  u g Pg  (u f  u g )Pf  u g (Pf  Pg ) (3.54) Theo định lý giá trị trung bình ta có : (u f  u g )Pf  1Pf (u f  u g )  C  C1 (  ) f g  C f g Bởi (3.54) ,(3.55) f  Pf Lipschitz liên tục L2 () nên ta có : u f Pf  u g Pg  C f g Vậy ta chọn   1 ,  ,  3 Bổ đề chứng minh (3.55) Định lý 3.2.7 Giả sử (H3)  (H5) Khi tồn  cho với    tồn hàm điều khiển tối ưu Chứng minh Lấy    , I   , ta có sup J(g)  sup J(g) Ta chứng minh : J : I  gI g hàm lõm ngặt Nghĩa , ta cần chứng minh:  J(f )  J(g)  f  g   Theo mệnh đề 3.2.1 ta có : f , g  I , f  g  J(f )  J(g)  f  g     (h(f )u f  h(g)u g )  (u g Pg  u f Pf )  (k(f )  k(g))  (f  g) (3.56)  Ta chứng minh f  h(f )u f Lipschitz liên tục L2 () h(f )u f  h(g)u g Thật vậy:  h(f )u f  h(g)u f  h(g)(u f  u g ) (3.57) Từ (3.57) , h Lipschitz , f  u f Lipschitz liên tục L2 () suy : f  h(f )u f Lipschitz liên tục L2 () (3.58)  Từ (3.58) bổ đề 3.2.6, suy :   h(f )u f  h(g)u g   f  g   h(f )u f  h(g)u g   u P  u f Pf   f  g   u g Pg  u f Pf  g g   Do k(s)  0  nên f  g  L  (f  g) , (3.59)  f  g  L  (f  g)    k(f )  k(g)  f  g     (f  g)  (3.60) (3.61)  Từ (3.56) , (3.59) , (3.60) , (3.61) ta có :  J(f )  J(g)  f  g     L  0   f  g   với       Ta chọn  : ,  với    , ta có J hàm lõm ngặt  L Do đó, tồn hàm điều khiển tối ưu 0 L KẾT LUẬN Qua q trình thực luận văn , chúng tơi có kết sau :  Trong chương , việc áp dụng định lí điểm bất động ánh xạ tăng , chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu cực trị phương trình logistic suy biến , hồn tồn khác với tác giả Dancer-Sweers [13] , CarlHeikkila[9] làm Cái khác chúng tơi thay điều kiện tồn nghiệm yếu điều kiện bị chặn tập nghiệm yếu  Trong chương , phương pháp nghiệm –trên , ngun tắc maximum ,chúng tơi chứng minh tốn (2.6) có nghiệm dương ngặt Ngồi , định lí hàm ẩn , chúng tơi chứng minh ánh xạ b  u b C1  Trong chương , chúng tơi tập trung nghiên cứu tồn hàm điều khiển tối ưu  Trong [11] , chứng minh tồn , chúng tơi thấy tác giả khẳng định khơng chứng minh : Do f n  f yếu L2 () nên h(f n )  h(f ) yếu L2 () Ban đầu , chúng tơi chứng minh điều khơng thành cơng Sau , chúng tơi tìm cách khác khắc phục cách sử dụng bổ đề 3.1.3,và bổ đề 3.1.4  Khi      việc tính đạo hàm f  J(f ) khó nhiều trường hợp   1,   [6] Bởi , liên quan đến tốn elliptic tuyến tính (2.4) giá trị riêng (2.1) với hàm khơng bị chặn Những khó khăn khắc phục cách sử dụng kết [4],[16],[19] Từ báo , cho phép chúng tơi suy đạo hàm Frechet từ đạo hàm Gateaux nón  Trong [11] , chứng minh hàm điều khiển tối ưu , chúng tơi phát lỗi nhỏ tác giả: chứng minh (J(f )  J(g))(f  g)  dùng kết : f  u f ,f  Pf ,f  u f Pf Lipschitz liên tục L () Sau , chúng tơi viết thư cho tác giả Suarez A tác giả tận tình hướng dẫn chỉnh sửa cách chứng minh ánh xạ : f  u f ,f  Pf ,f  u f Pf Lipschitz liên tục L2 () (bổ đề 3.2.6)  Luận văn phát triển theo hướng :  Nghiên cứu xấp xỉ hàm điều khiển tối ưu  Nghiên cứu điều khiển tối ưu hàm  a  f  khơng bị chặn TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH Amann H ,(1976), Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces ,SIAM Rev 18,620-709 Aronson D.G,Peletier L.A ,(1981), Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains ,J.Diff.Eqs.,39,378-412 Amann H , Crandall M.G , (1978) , On some existence theorems for semilinear elliptic equations ,Indiana University Math J.,27, 779-790 Bertsch M, Rostamian R ,(1985), The principle of linearized stability for a class of degenerate diffusion equations,J Diff.Eqs,57,373-405 Brezis H,Browder F, (1982), Some properties of higher order Sobolev spaces, J.Math.Pures Appl.,61,245-259 Canada A , Gámez J.L , Montero J.A ,(1998), Study of an optimal control problem for diffusive nonlinear elliptic equations of logistic type,SIAM J Control Optim 36,1171-1189 Carl S,Heikkila S,(1999), Operator and differential equations in ordered spaces, ,J.Math.Anal.Appl.,234,31-54 Carl S,Heikkila S ,(2000), Nonlinear differential equations in ordered spaces, Chapman & Hall/CRC Carl S , Heikkila S , (1992) , On extremal solution of an elliptic boundary value problem involving discontinuous nonlinearities , Diff Int , Equation,5,581-589 10 Cantrell R.S ,Cosner C,Hutson V,(1993), Permanence in ecological systems with spatial heterogeneity,Proc.Royal Soc.Edin,123A,533-559 11 Delgado M, Montero J.A, Srez A,(2002), Optimal control for the degenerate elliptic logistic equation ,Appl.Math.Optim.,45,325-345 12 Delgado M, Montero J.A, Srez A,(2003), Study of the optimal harvesting control and the optimality system for an elliptic problem, SIAM J Control Optim 42,1559-1577 13 Dancer E N , Sweers G , (1989), On the existence of a maximal weak solution for a semilinear elliptic equation , Diff , Int , Equation , 2, 533-540 14 Gilbarg D,Trudinger N.S,(1983), Elliptic partial differential equations of second order,Springer-Verlag,Berlin 15 Gurtin ME , MacCamy RC (1977), On the diffusion of biological populations Math Biosci 33 , 35-49 16 Hernández J,Mancebo F,Vega J.M,(2002), On the linearization of some singular nonlinear elliptic problems and applications , Ann.I.H.Poincaré-AN,19, 777-813 17 Hernández J , (1998) , Positive solutions for the logistic equation with unbounded weights , in : G.Caristi , E.Mitidieri (Eds), Reaction Diffusion Systems ,Marcel-Dekker , New York ,183-197 18 Hernández J , Drabek P , (2001), Existence and uniqueness of positive solutions for some quasilinear elliptic problems , Nonlinear , Anal , 44 , 189-204 19 Krasnoselskii M.A,(1964) , Positive solutions of operator equations, Noordhoff,Groningen 20 Kurner A,(1980), Weighted sobolev spaces ,Text zur mathematic 31,Teubner ,Leipzig 21 Li L and Logan R ,(1991), Positive solutions to general elliptic competition models ,Differential integral equations ,4,817-834 22 Leung AW (1995) , Optimal harvesting – coefficient control of steady-state prey-predator diffusive Volterra-Lotka systems , Appl Math Optim 31, 219-241 23 Leung AW, Stojanovic S (1993), Optimal Control for elliptic Volterra-Lotka type equations ,J Math Anal Appl 173 , 603-619 24 Nguyen Bich Huy ,(2002), Positive weak solutions for some semilinear elliptic equations ,Nonlinear Anal.,48,939-945 25 Orsina L,Boccardo L,(1994), Sublinear elliptic equations in Ls , Houston Math , J.,20,99-114 26 Zeidler E,(1984), Nonlinear Functional Analysis and its applications II/B, ,Springer-Verlag,Berlin TIẾNG PHÁP 27 Kavian O,(1993) , Introduction la théorie des points critiques et applications aux problèmes elliptiques , Springer-Verlag , Paris [...]... u đạt giá trị nhỏ nhất không dương trong  thì u là hằng số §2 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY BIẾN Ta xét phương trình logistic suy biến sau đây: u  bu  eu trong   treân  u  0 (2.6) ,thỏa điều kiện : (H2) 0<  0 , e , trong đó  : f  L () | f L  0 Để nghiên cứu bài toán (2.6) , ta xét phương trình porous medium sau: w  w trong   treân  w... Beppo – Levi ta có Ty  y Vậy y là một điểm bất động của T Cũng từ bất đẳng thức trên ta suy ra : lim u n  y trong H10 () n  Ta chứng minh y là điểm bất động nhỏ nhất của T trên  u 0 ,  Thật vậy , nếu y1   u 0 ,   là một điểm bất động của T thì dùng qui nạp ta chứng minh được u n  y1 (n  ) và do đó y  y1 Định lý được chứng minh CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC SUY BIẾN §1 CÁC KHÁI NIỆM...Định lý 1.2.3 Giả sử các điều kiện (H1),(H2) được thỏa mãn và hàm u0 được định nghĩa như trên Khi đó phương trình (1.1) có nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất trong  u 0 ,  Chứng minh  Ta chứng minh hàm u0 là một nghiệm dưới của (1.1) Gọi 1 là giá trị riêng đầu của bài toán biên (1.3) và đặt ,x   u (x) u(x)   1 0 ,x   \  thì theo [25] ta có u... Giả sử các giả thiết của định lý 1.2.3 được thỏa mãn Gọi un là nghiệm yếu (duy nhất) của bài toán : u n  u qn  m(x)u rn 1 trong  , u n  0 trên  ( n  ) Khi đó dãy u n  hội tụ trong H10 () về nghiệm yếu nhỏ nhất của bài toán (1.1) trên  u 0 ,  Chứng minh Áp dụng mệnh đề 1.2.2 và lập luận như ở phần đầu bước 2 trong chứng minh định lý 1.2.3 ta có hàm un được xác định duy nhất theo un-1... (x)    0 , x     khi c  0 đủ nhỏ vì q  r  0,1  r  0 và u1(x) bị chặn trên  Như vậy , ta có thể chọn c đủ nhỏ để (1.4) đúng hay u 0  cu là nghiệm dưới của (1.1)  Ta đưa bài toán (1.1) về bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ tăng Với mỗi u  Lq 1 () ta xét bài toán tìm nghiệm yếu của bài toán : z  z q  m(x)u r  z  0 trong  treân  (1.5) Ta áp dụng mệnh đề 1.2.2 cho bài... u  0 ,trong đó : (H1) M  Lloc () thỏa M(x)d  (x)  L () , d  (x) : dist(x, ) (2.1) Định lý 2.1.1[4],[16] Giả sử rằng M thỏa mãn (H1) Khi đó tồn tại duy nhất giá trị riêng chính (nghĩa là một giá trị thực tương ứng với hàm riêng 1 (   M) trong int(P)), ta kí hiệu là 1 (   M) ,  u 2  M(x)u 2       1 (  M)  inf   2 uH10 (  )\{0} u       Ngoài ra ta có : (a)... M)  0   v  0, v  M(x)v  0 h.k.n trong    v  int(P)    v  0 treân      Bổ đề 2.1.2 Giả sử Mn , M đều thỏa (H1) với mọi n , 1 (   M) >0 và thỏa (2.2) Khi đó tồn tại hằng số dương C00 (độc lập với f ) sao cho: u W 2,2  K f 2 Ngoài ra ta có : (a) Giả sử f1 , f2  L2 () , f1  f 2 và u1, u2 là các nghiệm của (2.4) Khi đó u1  u 2 (b) Giả sử M1 , M2 thỏa (H1) , 1 (  M1 )... của mệnh đề 1.2.2 được thỏa mãn và bài toán (1.5) có duy nhất nghiệm yếu z  H10 () sao cho z q 1  L1 () Xét ánh xạ T đặt tương ứng mỗi u Lq 1 () với nghiệm duy nhất z của (1.5) thì ta có T là một ánh xạ từ Lq 1 () vào Lq 1 () và u là nghiệm yếu của (1.1) khi và chỉ khi u là điểm bất động của ánh xạ T  Ta chứng minh T là ánh xạ tăng Giả sử u , v  Lq 1 () và u  v Với   H10 () ,