THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đào Quốc Tuấn THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình toán trung tâm giải tích phức hữu hạn chiều vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm giải vấn đề Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, … Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu toán này, tập trung nhà toán học Hà Huy Khoái, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái, … Cho đến thời điểm gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) với điều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H  r   X thác triển chỉnh hình tới  ,  r  H2 r   Với  z , z    2   : z1    z1, z2    : z1  1, z2   r     z   : z  1 Dạng 2: Thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kì dị cô lập, qua siêu mặt qua tập đa cực đóng Thác triển kiểu người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Trong đa số trường hợp thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ khó nhiều so với thác triển kiểu Hartogs, nhiên nghiên cứu toán thác triển kiểu Hartogs hi vọng cho phương pháp nhầm tiếp cận toán thác triển kiểu Riemann Trong năm gần đây, với phát triển lý thuyết vị, chẳng hạn toán thác triển biên dựa vào hàm đa điều hòa dưới, việc nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình có bước tiến mạnh mẽ Nhiều công trình nhà toán học Shiffman, Suzuki, Đỗ Đức Thái, … làm xuất đối tượng cho toán thác triển chỉnh hình Đó khảo sát việc thác triển qua tập đa cực tập có dung lượng Vào năm 80 kỉ trước, D Vogt đưa nhiều kết nghiên cứu bất biến tôpô Các bất biến mở nhiều ứng dụng cho giải tích phức Một ứng dụng nghiên cứu tính chỉnh hình ánh xạ chỉnh hình theo biến, toán đặt nhà toán học Hartogs vào năm 1906 Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần sở Schauder vài không gian hàm chỉnh hình dùng để giải toán thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến Từ phát đó, năm 1976, Zaharjuta nghiên cứu tính chỉnh hình hàm chỉnh hình theo biến tập có dạng đặc biệt  m n Các kết sau tổng quát hóa thực Nguyễn Thanh Vân Zeriahi từ năm 1983 Gần đồng thời, năm 1981, Siciak phương pháp tiếp cận khác sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận kết tương tự Phương pháp sau Siffmann vận dụng cách phát triển lý thuyết vị phức xây dựng Siciak để mở rộng kết nói vào năm 1989, ông cải thiện điều kiện L-chính quy Như vậy, phương hướng để nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình nghiên cứu toán thác triển kiểu Hartogs Công trình Hartogs công bố đầu kỉ 20 toán ánh xạ cần thác triển hàm số mà miền xác định tập mở  Tiếp nhà toán học Andreotti, Stoll, … phát triển mở rộng kết cách thay miền xác miền giá trị đa tạp phức khác Năm 1971, Siffmann đưa khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" dạng yếu gọi "điều kiện lồi – đĩa yếu", sau dùng điều kiện lồi – đĩa yếu ông chứng minh giả thuyết S.S.Chern đưa vào năm 1970 miền xác định lân cận siêu cầu đơn vị miền giá trị đa tạp phức trang bị metric Hermit đầy đủ có độ cong thiết diện không dương Cùng năm đó, độc lập với Siffmann, Griffiths chứng minh giả thuyết Chern Như vậy, kết Siffmann Griffiths giải giả thuyết Chern trường hợp hữu hạn chiều Mối chốt để giải toán điều kiện lồi – đĩa yếu Từ xuất toán tìm lớp không gian vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs Vào năm 80, công trình Siffmann, Ivashkovitch, … đặc trưng hình học cho phép nhận biết không gian kiểu thế, chẳng hạn vào năm 1987 Ivashkovitch [7] đa tạp Kahler lồi chỉnh hình không chứa đường cong hữu tỉ Kết sau mở rộng Đỗ Đức Thái sang trường hợp không gian phức Sau đó, năm 1994, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thị Lê Hương chứng minh X đa tạp Banach giả lồi có 1 phân hoạch đơn vị X không chứa đường thẳng phức X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Kết lại phát triển Đỗ Đức Thái Nguyễn Thái Sơn [30] cho đa tạp rộng hơn, lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi Dựa vào lịch sử vấn đề nêu trên, nhận thấy vai trò mấu chốt việc cần nghiên cứu cách cẩn thận toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs điểm khởi đầu cho việc nghiên cứu rộng cho lớp toán thác triển khác Do đó, toán đặt cho luận văn nghiên cứu chứng minh chi tiết công trình gần tác giả liên quan đến toán thác triển để tìm cách giải cho toán thác triển khác Và lý mà luận văn mang tên "Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs" Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Đối tượng phạm vi nghiên cứu : Tôpô hình học giải tích phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs, từ sở tìm hiểu cách toàn diện toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Cấu trúc đề tài : Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Trình bày định nghĩa kết toán thác triển Hartogs Trong nội dung định lý mở rộng lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi mối quan hệ toán thác triển Hartogs toán thác triển siêu mặt Chương chương 3: Trình bày kết qua sâu sắc toán thác triển Hartogs, bao gồm kết liên quan đến điều kiện lồi – đĩa lồi – đĩa yếu cho toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs tập đa cực không gian Hyperbolic Vấn đề cuối đề cập định lý thác triển hội tụ dạng Noguchi cho  n, d  - tập Phần kết luận: đưa nhận xét vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tâm nghiêm khắc công việc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu bước hướng dẫn tác giả làm quen với kiến thức giải tích phức, hình học Hyperbolic, … để dần nắm bắt toán nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thầy tổ hình học, Khoa toán – tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng Khoa học công nghệ sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN SIÊU MẶT VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI THÁC TRIỂN HARTOGS VÔ HẠN CHIỀU Như phần mở đầu nói, hướng tiếp cận cho việc nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình thác triển lên bao chỉnh hình hay người ta gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Phần mở đầu chương chủ yếu nhắc lại số khái niệm liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, khái niệm điều kiện lồi - đĩa điều kiện lồi – đĩa yếu Shiffman sử dụng để chứng minh Giả thuyết Shiing – Shen Chern Phần sau trình bày số kết khác liên quan đến thác triển ánh xạ chỉnh hình siêu mặt hợp tăng miền giả lồi mà chứng minh chúng có sử dụng điều kiện lồi – đĩa yếu 1.1 Các định nghĩa kết biết Đầu tiên nhắc lại định nghĩa không gian phức (hữu hạn chiều) có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt HEP), đưa Ivashkovich [7] 1.1.1 Định nghĩa Một không gian phức X gọi có tính chất thác triển Hartogs ánh xạ chỉnh hình f từ  vào X với  miền Riemann  n thác triển   chỉnh hình đến bao chỉnh hình  Gọi H  r    z1 , z2    ; z1  r  z2   r    r  1 kí hiệu cho miền Hartogs chiều Theo biết [10] X có tính chất HEP ánh xạ chỉnh hình  f n   H  , X  thác triển chỉnh hình đến  Lớp không gian phức có tính chất HEP rộng Nó chứa không gian phức hằng, nhóm Lie phức, đa tạp phức Hermitian đầy đủ với đường cong chỉnh hình chiều không dương Đặc biệt, Ivashkovich [10] đa tạp Kahler lồi chỉnh hình có tính chất HEP chứa đường cong hữu tỉ Tính chất Đỗ Đức Thái tổng quát hóa cho trường hợp không gian Kahler lồi chỉnh hình Định nghĩa mở rộng cách tự nhiên cho trường hợp không gian Banach giải tích việc thay  n không gian Banach B Tuy nhiên, lý mang tính kĩ thuật nên ta cần thêm điều kiện miền giả lồi Riemann không gian Banach B tồn Ví dụ cho trường hợp không gian Banach có sở Schauder ( xem Mujica [18, Định lý 54.12, Trang 390]) Do đó, trường hợp vô hạn chiều ta có định nghĩa sau 1.1.2 Định nghĩa Một không gian Banach giải tích X gọi có tính chất thác triển Hartogs với ánh xạ chỉnh hình từ miền Riemann  không gian Banach B với   sở Schauder vào X thác triển chỉnh hình đến bao chỉnh hình  Về lịch sử, ví dụ Hartogs đưa đầu kỷ 20 ánh xạ chỉnh hình thác triển hàm số mà miền xác định tập mở  Cho đến nay, kết phát triển mở rộng cho nhiều ánh xạ chỉnh hình khác với miền xác định miền giá trị đa tạp phức có cấu trúc phức tạp 1.1.3 Giả thuyết Shiing – Chen Chern Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing – Chen Chern đưa giả thuyết sau: Cho X đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ có độ cong thiết diện chỉnh hình  2  không dương Gọi B  z   k : z1  zk  , k  U   k lân cận B Khi ánh xạ chỉnh hình f : U  X thác triển chỉnh hình lên B Giả thuyết nhiều nhà toán học giới quan tâm Năm 1971, Shiffman lần đưa khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" sau 1.1.4 Định nghĩa Với  r  1, s  kí hiệu  s   z   : z  s  , 1  ,  r1   z   : r  z  1 Một không gian Banach giải tích X gọi lồi – đĩa yếu  f n   Hol  , X  hội tụ Hol  , X  dãy  f  hội tụ Hol   n  r1 dãy r1 , X  với r  Ở Hol  X , Y  kí hiệu không gian ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y với tôpô compact mở Theo định lý Montel, không gian phức (hữu hạn chiều) lồi – đĩa hyperbolic Ngược lại không trường hợp tổng quát Một dạng yếu điều kiện lồi – đĩa mà ta gọi điều kiện lồi – đĩa yếu 1.1.5 Định nghĩa Một không gian phức X gọi lồi – đĩa yếu dãy  f n   Hol  , X  hội tụ Hol  , X  dãy  f   H  , X  n * * hội tụ  Hol * , X  Ở   *   \ 0 kí hiệu đĩa đơn vị đĩa đơn vị thủng  Dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, Shiffman chứng minh định lý sau 1.1.6 Định lý Cho X đa tạp phức sau cho đa tạp phủ phổ dụng có mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Gọi D tập mở đa tạp Stein M cho M bao chỉnh hình D Khi ánh xạ chỉnh hình f : D  X có thác triển chỉnh hình lên M Áp dụng định lý cách đặt D  U  B M  B , Shiffman chứng minh Giả thuyết Shiing – Chen Chern Ngoài ra, năm đó, Griffiths chứng minh cách độc lập Giả thuyết Shiing – Chen Chern Đó nội dung định lý sau 1.1.7 Định lý Cho M đa tạp phức có mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương Khi tượng Hartogs với M , nghĩa ánh xạ chỉnh hình f : N \ U  X có thác triển chỉnh hình lên N , N đa tạp phức liên thông U lân cận mở đủ nhỏ đa tạp S N Như vậy, xuất phát từ Giả thuyết Chern, Shiffman Griffiths đồng thời giải toán trường hợp hữu hạn chiều Trong để chứng minh Định lý 1.1.6 trên, Shiffman dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, từ điều kiện ông chứng minh kết tổng quát sau Cho X đa tạp thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu D tập đa tạp Stein M cho M bao chỉnh hình D Khi ánh xạ chỉnh hình f : D  X có thác triển chỉnh hình lên M 1.2 Tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs hợp tăng miền giả lồi 1.2.1 Định lý Cho X không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu Khi X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Chứng minh Gọi f :   X ánh xạ chỉnh hình,  miền Riemann không gian Banach B có sở Schauder Xét sơ đồ giao hoán sau: f  X e  p p B f f  f miền tồn f Trước hết ta chứng minh bổ đề sau 1.2.2 Bổ đề Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phương, tức với x  X tồn lân cận giả lồi V x X cho f 1 V  giả lồi Chứng minh Cho x  X Chọn lân cận V x X cho V đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach Xét ánh xạ hạn chế f g : ^ f 1 V   V thác triển chình f f 1V  f 1V  Gọi đến bao chỉnh hình ^ f 1 V  f 1 V  Vì  f miền tồn f nên dẫn tới ^ f 1 V    f Mặt khác, từ  ^   f 1 V   g ^  f 1 V   V ta có f 1 V   ^ f 1 V  Suy f :  f  X giả lồi địa phương Bây ta tiếp tục chứng minh định lý Vì B có sở Schauder nên để  f  ^  cần chứng minh p 1  E  giả lồi với không gian hữu hạn chiều B Muốn ta phải kiểm chứng p 1  E  thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu Thật vậy, gọi   k   Hol  , p 1  E    cho dãy Hol * , p 1  E  Vì X lồi – đĩa yếu nên dãy Hol  , X  Lưu ý  *   k * hội tụ   f   k   Hol  , X  hội tụ   f   Chọn lân cận giả lồi V    X cho V đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach f 1 V  giả lồi Vì f 1 V  miền Riemann giả lồi không gian Banach B với sở Schauder nên f 1 V  miền chỉnh hình Dể dàng thấy tồn số k0   cho f   k     V với k  k0      V ,     z   : z    Suy  k     f 1 V  với k  k0 Điều dẫn tới  k  Hol  , f 1 V        (xem [6, Định lý Bổ đề 6]) Do dãy  k  hội tụ Hol  , f 1  E  Đến định lý chứng minh hoàn toàn Vào năm 80 kỷ trước, công trình Shiffmann, Ivashkovitch, đặc trưng hình học cho phép nhận biết không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Chẳng hạn vào năm 1987, Ivashkovitch chứng minh đặc trưng hình học quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs đa tạp Kahler lồi chỉnh hình là: Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs X không chứa đường cong hữu tỉ Năm 1994, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thị Lê Hương chứng minh X đa tạp Banach lồi có 1 - phân hoạch đơn vị X không chứa đường thẳng phức X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs Năm 1998, Đỗ Đức Thái Nguyễn Thái Sơn [30] tiếp tục mở rộng kết cho lớp đa tạp rộng hơn, lớp đa tạp hợp tăng miền giả lồi 1.2.3 Định lý Cho X không gian Banach giải tích hợp tăng dần miền giả lồi Giả sử X không chứa đường thẳng phức Khi X có thác triển Hartogs Chứng minh: (i) Đầu tiên ta giả sử X giả lồi Gọi f :   X ánh xạ chỉnh hình Xét sơ đồ giao hoán sau: f  X e   f f  B  f miền tồn f với thác triển tắc f :  f  X e,  ,  ánh xạ tắc song chỉnh hình địa phương Chứng minh tương tự Bổ đề 1.2.2, ta có 1.2.4 Bổ đề Ánh xạ f :  f  X giả lồi địa phương Để  f  ^  cần kiểm tra  f thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu  Thật vậy, gọi  k   Hol ,  f  cho dãy   hội tụ  Hol   ,  f  k * * Và X giả lồi tập mở compact tương đối X không chứa đường thẳng phức nên X thỏa mãn điều kiện giả lồi – đĩa yếu (xem [29, Mệnh đề 2.3]) Do dãy  f   k   Hol  , X  hội tụ f   Hol  , X  Chọn lân cận giả lồi V f     đẳng cấu với tập giải tích cầu mở không gian Banach f 1 V  giả lồi Vì f 1 V  miền Riemann giả lồi không gian Banach B với sở Schauder, f 1 V  miền chỉnh hình Dể dàng thấy tồn số   k0 cho f   k     V với k  k0 f       V ,    z   : z    Suy  k     f 1 V  với k  k0 Điều dẫn tới dãy     k     Hol  , f 1 V  ( xem [6, Định lý Bổ đề 6]) Do dãy  k  hội tụ  Hol ,  f  (ii) Giả sử X   X n , X n miền giả lồi X  X  n1 Đặt  n  f 1  X n  với n  Theo (i), với n  ánh xạ f n  f ^ n thác triển tới ánh xạ chỉnh hình f n : ^   X n Dể dàng thấy với n  tồn ánh xạ chỉnh hình địa phương en : ^  n  ^  n1 cho sơ đồ sau giao hoán : ^ n n Và ^ en ^  n1  n 1 B miền Riemann f n1en  ^ f n với n  ,  n : ^   B xác định ^  n   B công thức   lim ind ^   X  :  B Do ta định nghĩa ánh xạ f :  n : f ^ n  fˆn với n   ^ n   n với n  Vì  n đồng phôi địa phương với n  nên  đồng phôi địa phương Hơn nữa, ta có d n  z   d n1  en  z   với z  ^ n n  , d n kí hiệu khoảng cách biên tương ứng  n : ^ n  B với n  Để trình bày chi tiết chứng minh định lý trên, cần thêm số định nghĩa tính chất sau 3.3.6 Định nghĩa Gọi X không gian phức Một hàm đa điều hòa X hàm  : X   ,   có tính chất sau Với x  X , tồn lân cận mở U với ánh xạ song chỉnh hình h : U  V không gian phức đóng miền G   m hàm đa điều hòa  : G   ,   cho  U    h (xem Peternell [20, trang 225]) Chú ý định nghĩa tính chất đa điều hòa không phụ thuộc vào cách chọn đồ địa phương Fornaess Narasimhan chứng minh [3] hàm nửa liên tục  : X   ,   không gian phức X đa điều hòa   f điều hòa với ánh xạ chỉnh hình f :   X 3.3.7 Tính chất Gọi i , i , , i   1,2, , n  i  i k S   ik ,1  k  n  1  n, d  tập  n  w  wi , wi , , wi  k k Giả sử cho   H n  k   d S w  Khi S w  n  k , d  - tập  n  k Thật vậy, điều suy dễ dàng nhờ tính chất sau:    z   Sw w nk  p    ;  w, z   S w  z   n  k  p ;  w, w, z   S  S  w, w  3.3.8 Tính chất Hợp đếm  n, d  - tập S j , j  1, 2,  n  n, d  - tập    n nhờ đẳng thức  S j j 1 w    S wj j 1 3.3.9 Tính chất Giả sử X không gian phức Dễ dàng thấy X có tính chất  n, d   EP ánh xạ hạn chế R : H  Z , X   H  Z \ S , X  đồng phôi với  n, d  - tập đóng S tập mở Z  n 3.3.10 Định nghĩa Giả sử X không gian phức K tập compact X Bao lồi đa điều hòa K (trong X ) tập: Kˆ PSH  X   { x  X ; u  x   sup u  K  với u  PSH  X  } Trong PSH  X  tập tất hàm đa điều hòa X Không gian phức X gọi giả lồi với tập compact K X , Kˆ PSH  X  compact X (xem [11])  Chứng minh Định lý 3.3.3 Để chứng minh Định lý 3.3.3 ta nhắc lại bổ đề sau 3.3.11 Bổ đề Giả sử X không gian phức Nếu X lồi – đĩa yếu X có tính chất HEP Trở lại với việc chứng minh Định lý 3.3.3  Giả sử S 1,d  - tập tập mở Z  Đặt Z  Z  n 1 S  S   n 1 Dễ dàng suy Z mở  n S  n, d  - tập Z Giả sử f : Z \ S  X ánh xạ chỉnh hình Xét ánh xạ chỉnh hình f : Z \ S  X cho công thức f  z1 , z2   f  z1  Theo giả thiết, f thác triển chỉnh hình tới F Z Đặt F  z1   F  z1 ,0  Suy F thác triển f Z Dễ dàng thấy dãy f   j j 1  H  Z \ S , X  hội tụ ánh xạ   f  H  Z \ S , X  H  Z \ S , X  dãy thác triển chỉnh hình Fj  j 1  H  Z , X  hội tụ thác triển chỉnh hình F0  H  Z , X  H  Z , X     (i) Đầu tiên ta thấy X lồi – đĩa yếu Theo Bổ đề 3.3.11, X có tính chất HEP (ii) Cho n  Vì toán mang tính chất địa phương nên không tính tổng quát ta giả sử Z   n 1   Với  n, d  - tập đóng S tập mở Z  n , đặt:    S   z   n 1 :  z    S S   w   :  n 1  w  S  Khi S  S  tập đóng  n 1  Ta chứng minh S   n  1, d  - tập  n 1 S  1, d  - tập  Thật vậy, từ giả thiết H 2 n 1   d  S    w   k 1  k  n   Vì: H 2n  2 d  S   H d  S    Do đó, S   S        n 1  S    S , 1,d  - tập suy  Cho  S  w   z   n 1 k :  w, z   S    z   n 1 k :  w, z     S   *   Nên ta có  S      S w Suy H n  k   d S w  w H 2 n  k 1   d  S    w Nếu S w   n  k từ (*) ta có  S     n  k 1 Do S   n  1, d  - tập w  n 1  Nói cách khác, S w  z   n 1 :  z , w   S   n  1, d  - tập đóng n1 với w   \ S  S z   z   :  z , w   S  1,d  - tập đóng  với z   n 1 \ S    (iii) Bây ta giả sử f ánh xạ chỉnh hình từ  n 1   \ S vào X Với w  S  , xét ánh xạ chỉnh hình f w :  n 1 \ S w  X cho công thức f w  z   f  z , w  với z   n 1 \ S w Theo giả thiết, f w thác triển tới ánh xạ   f w  H  n 1, X Tương tự, với z  S  , ánh xạ chỉnh hình f z :  \ S z  X cho công thức f z  w   f  z , w  , với w   \ S z , thác triển tới ánh xạ fz  H  , X  ta định nghĩa ánh xạ sau:   f1 :  n 1 \ S     X f1  z , w   fz  w  f :  n 1    \ S    X f1  z, w   f w  z    Ta chứng minh f1 liên tục  n 1 \ S    Thật vậy, giả sử  zk , wk    n1 \ S     zk , wk    z0 , w0    n1 \ S      z Đặt P    S k  k 1  z0   S P 1,d  - tập đóng  Vì dãy  fz H   \ P, X  , theo giả thiết quy nạp, ta suy dãy  f  hội tụ zk  f  hội tụ f zk z0 H  , X  Do đó, fz  wk   f1  zk , wk   fz  w0   f1  z0 , w0  Suy f1 liên tục k  n1 \ S    Tương tự f liên tục  n 1    \ S           Vì   n1    \ S trù mật  n 1 \ S     \ S   f1  f  n 1   \ S nên ta   có f1  f  n 1 \ S     \ S   Ta định nghĩa ánh xạ f  n1 \ S   f1 f  n 1   \ S    f :  n 1 \ S      n 1    \ S    X công thức  f Suy f chỉnh hình tách Nói cách khác, H 2n   S    H  S    , theo [20], ta có:       n 1 \ S      n 1 \ S    ^  n Từ suy f thác triển đến ánh xạ chỉnh hình fˆ :  n  X , tức fˆ thác triển chỉnh hình f  n (iv) Bây ta giả sử dãy   fk   H   n1    \ S , X    hội tụ     f  H  n 1   \ S , X Ta phải chứng minh fˆk  fˆ H  n 1  , X Đầu tiên, theo giả thiết quy nạp ta có:        H  , H   n Do ta cần chứng minh  fˆk   fˆ H    n  H  n 1 \ S   , X  H , H  n 1 \ S , X 1 Thật vậy, cho  zk   n1 \ S , wk      H  n , X  \ S    , X  1 ,X cho  zk   z0   n 1 \ S  wk   w0   Xét ánh xạ chỉnh hình sau: fk , z :  \ S k zk  X , w  f k  zk , w  f z :  \ S z  X , w  f  z , w  fˆk , z :   X , w  fˆk  zk , w  fˆz :   X , w  fˆ  z , w  k   z Đặt P    S k  k 1 Vì f  f k , zk H  , X  Do  z0   S , P 1,d  - tập đóng   z0 H   \ P, X  nên theo giả thiết quy nạp,  fˆ   fˆ k , zk z0  fˆ k , zk  wk   fˆk  zk , wk   fˆz  w0   fˆ  z0 , w0  Định lý chứng minh hoàn toàn  Chứng minh Định lý 3.3.4 (  ) Giả sử X có tính chất  n, d   EP ,   PSH  X    x   , x  X Ta cần chứng minh   X  có tính chất  n, d   EP (i) Giả sử f   f1 , f  : Z \ S    X  ánh xạ chỉnh hình , với S 1,d  - tập đóng tập mở Z  Theo giả thiết, f1 thác triển tới ánh xạ chỉnh hình fˆ1 : Z  X    a  fˆ1 Gọi x0  Z điểm Vì   fˆ1  x0    nên ta có e khả tích địa phương x0 với a  Ta nhắc lại kết quan trọng sau 3.3.12 Định lý [5, Định lý 1,  d  ] Giả sử S tập đóng tập mở Z   n f  Hol  Z \ S  Giả sử  p   p thỏa mãn tính chất 1 p   Nếu f  Lloc  Z  p p H n  p  S  hữu hạn địa phương f  Hol  Z  p2  d U lân cận x0 cho: p 1 Gọi p  cho U e p Từ bất đẳng thức f  x   e  p  fˆ1  x   p  fˆ1  x  dx   p với x U \ S ta có f  Lloc  Z  Nói cách khác, từ H 2 p  S   H p 2  S   định lý ánh xạ chỉnh hình f U \S thác triển chỉnh hình p 1 U Do f thác triển tới hàm chỉnh hình fˆ2 : Z   Ta định nghĩa ánh xạ chỉnh hình sau:   fˆ  fˆ1, fˆ2 : Z  X     Ta kiểm tra fˆ  Z     X  , tức kiểm tra log fˆ2  x    fˆ1  x   với x  Z Giả sử x0  S Xét hàm  :    0,   cho công thức   x   x  x Khi H d    S    C1.H d  S   Suy R \   S  trù mật R Gọi r  cho: x   : x  x  r Z \S   Áp dụng quy tắc cực đại cho hàm điều hòa log fˆ2   fˆ1 , ta có   log fˆ2  x0    fˆ1  x0   (ii) Gọi f  f k k   , f 2k  dãy  H Z \ S ,   X   hội tụ tới  f   f1, f   H Z \ S ,   X  Theo giả thiết, fˆ1k  fˆ1 H  Z , X  Giả sử x0  S Chọn lân cận Stein V fˆ1  x0  X lân cận compact tương đối x0 W fˆ1 V  Chọn k0 cho fˆ1k W   V với k  k0 Khi fˆ k W    1 W  với k  k0 ,  :   X   X phép chiếu tắc  ánh xạ riêng nên theo định lý Fornaess Narasimhan [3],  1 V  tập Stein Chọn lân cận W x0 W cho W  W W  S   Vì đồng thời dựa vào quy tắc cực đại suy   fˆ  fˆ  hội tụ k W k fˆ W W  hội tụ  fˆ  , Do  fˆ   fˆ W k  H Z ,   X     Giả sử   X  có tính chất  n, d   EP (i) Xét ánh xạ chỉnh hình  : X    X  xác định   x    x,0  với x  X Khi  song chỉnh hình từ X vào   X  Vì   X  không gian đóng   X  nên   X  có tính chất  n, d   EP Do X có tính chất  n, d   EP (ii) Nói cách khác,   X  có tính chất  n, d   EP , theo định lý 1,   X  có tính chất 1,d   EP Suy   X  có tính chất   EP Ở không gian phức M gọi có tính chất   EP với ánh xạ chỉnh hình f :   M thác triển chỉnh hình  Do   X  không chứa đường thẳng phức [27] Nếu   x0    với x0  X  x0     X  Điều mâu thuẫn, suy    X (iii) Bây ta  đa điều hòa X Thật vậy, theo định lý Fornaess Narasimhan [3], ta cần kiểm tra    điều hòa  với ánh xạ chỉnh hình  :   X Gọi g   g1, g  :       ánh xạ chỉnh hình bất kì,  :    Theo Định lý thác triển Riemann, g1 thác triển tới ánh xạ chỉnh hình gˆ1 :    Xét ánh xạ chỉnh hình f :   g1, g  :     X  Theo giả thiết, f thác triển tới ánh xạ chỉnh hình   fˆ :   g1, gˆ :     X  Vì   g1    gˆ1  nên   g1    gˆ1  Khi đó: gˆ    e   g1        gˆ1      gˆ1     e e Suy gˆ   gˆ1, gˆ  :       thác triển chỉnh hình g Do     có tính chất *  EP Nhưng miền n có tính chất *  EP lại thoả mãn điều kiện lồi- đĩa yếu Do     đĩa lồi- yếu Theo Bổ đề 3.3.11,     có tính chất HEP Từ suy tính giả lồi     Định lý chứng minh hoàn toàn  Chứng minh Định lý 3.3.5 a) Theo Định lý 3.3.3, ta cần   X  có tính chất 1, d   EP , tức ánh xạ hạn chế     R : H Z ,   X   H Z \ S ,   X  đồng phôi với 1,d  - tập đóng tập mở Z  Cho   f   f1, f   H Z \ S ,   X  Theo giả thiết, f1 thác triển tới fˆ1  H  Z , X  Giống Định lý 2, ta cần chứng minh f thác triển tới hàm chỉnh hình Z Cho z0  S điểm Chọn lân cận Stein U fˆ1  z0  X cho U đẳng cấu với tập giải tích cầu mở m Không tính tổng quát ta giả sử U  m Theo định lý Fornaess Narasimhan [3],  1 U  tập Stein,  :   X   X phép chiếu tắc Đặt W  fˆ11 U  h  z  : fˆ1  z   fˆ1  z0  :  h1  z  , , hm  z   với z W , h j chỉnh hình W Giả sử h  z    z  z0  g  z  cho g chỉnh hình W g  z0   Gọi   p cho  p  p      Theo giả thiết, tồn   cho  log  x, fˆ1  z0     x   với x U mà    x, fˆ1  z0    , tức là:  x e      x, fˆ1  z0    với x U cho  x, fˆ1  z0      Chọn lân cận W1 z0 W cho:    fˆ1  z  , fˆ1  z0    , z W1 r  inf g  z   zW1 Với z W1 \ S , ta có: f2  z   e   fˆ1  z       fˆ1  z  , fˆ1  z0  C h1  z      C      max h j  z    j 1, m  C r  z  z0 p C số dương không phụ thuộc vào z W1 \ S Từ bất đẳng thức suy p2 f  Lloc W1  Cho p số thực thoả mãn 1 p   Khi  p   d p  p p 1 H  p  S   Theo định lý Harvey – Polking [5] đề cập f thác triển chỉnh hình tới W1 Suy f thác triển hàm chỉnh hình fˆ2 Z Cuối cùng, định lý 3.3.4,  f   f1, f   H Z \ S ,   X    f  f   H  Z \ S ,   X  hội tụ H  Z \ S ,   X    fˆ   fˆ k k k , f2 k  H Z ,   X  b) Đầu tiên ta chứng minh  có tính chất 1,d   EP , tức ánh xạ hạn chế R : H  ,    H   \ S ,   đồng phôi với 1,d  - tập đóng S  Thật vậy, cho f :  \ S   hàm chỉnh hình Giả sử f  u  iv với u v hàm điều hoà bị chặn  \ S Theo định lý điểm kì dị bỏ hàm điều    Vì chúng thuộc lớp  hoà u v thác triển tới hàm chỉnh hình uv thoả mãn phương trình Cauchy Riemann tập trù mật  nên chúng thoả mãn   phương trình điểm  Khi f  u  iv  H ,  Theo quy tắc cực đại, f  H  ,   Cho  fk   H   \ S ,   dãy cho  fk   f H   \ S ,   Ta  fk   f H  ,   Gọi x0  S Ta chọn lân cận V x0  cho V  S   Vì hội tụ f  từ quy tắc cực đại ta suy fk V V  hội tụ f V  fk V  Do  có tính chất 1,d  EP  Định lý 3.3.3,  có tính chất  n, d   EP Đặt zk  2 k , k  k 3 ,  k  e    u  z  :   k log  k2  z  zk k 1 k 2 k  xác định cho ta hàm SH    , SH    tập hàm điều hoà  Thật vậy, số hạn chuỗi điều hoà và:  log  k2  z  zk    log5  0,   k log5   k 1 Nên u  SH      giới hạn dãy giảm hàm điều hoà    k log   z  zk k 1  Vì u     k log  k2  zk k 2        k  log    k 1    2 log z Điều suy u  SH    Nói cách khác, với k  ta có: k k k    2log      nên u    k   k 1    u  zk    k log  k2    j log   2j  z j  zk j k 2    k    j log z j  zk jk     k    j  log k 1    jk    Gọi z  * cho z  zk với k  Khi đó:   u  z     k log  k2  z  zk k 1   2 log z  z k k k        k  log C      k 1  Ở C  inf z  zk  k 1 Suy u  SH    với u  z   , z   theo Định lý 3.3.4, u    có tính chất  n, d   EP Ta cần limsup   log z  u  z     với   đủ nhỏ z 0 Thật vậy, với k  ta có     log   u  zk    k log  k2  j k j j  z j  zk       k log  k2  k Do u  zk    log zk  u  zk     log  k  1   log  k suy ra:   lim  u  zk    log zk    với    0,  k   log  c) Đặt zk  2 k , k  k 2 ,  k  k u  z  :  k Ta định nghĩa hàm:   k log  k2  z  zk  k 2  với z   Tương tự phần b), u  SH      u  z    với z  * Suy u  SH    với u  z   , z  * Hơn nữa,  n   k log  k2  zk k 2   n  k 2 log k 2k  22k k 2  n   k 2 log 2.22k   log   k 2 n   log   k 2 k Do u     n    k log  k2  zk n k 2 2  2k  k2 k 2 n với n  k k 2   2log      Ta cần limsup   log z  u  z    với   z 0 Thật vậy, cho z   cho z  Ta có: u  z    k : z  zk  z Nếu z  z  zk    k log  k2  z  zk   k : z  zk  z   k log  k2  z  zk  1 1 zk z  zk  zk  z  zk , z  zk z  zk  z 2 2 zk Do đó:  k : z  zk  z   k log  k2  z  zk Vì zk  2 k nên  k : z  zk  z 2    k log k   k log  k2  z  zk  zk 16  có nhiều số hạng, số hạng bị chặn 2 k log  k , nên u  z   C1 k log  k  C2 Cuối cùng, z  zk  z suy z  zk z  zk , k  C3 log z  C4 Cách chọn  k có nghĩa  k log  k  log k ,   u  z   C1 log k  C2  C1 log log z  C2 Suy bất đẳng thức cần chứng minh Định lý chứng minh hoàn toàn KẾT LUẬN  Ta biết, tập S n gọi tập cực với điểm x0  S tồn lân cận mở U x0 n hàm điều hoà  : U   ,   cho    S  U     Chúng ta tập cực  n  n, d   tập hay không Nếu S tập cực theo kết cổ điển, H n2 d  S   (xem [14]) Tuy nhiên, chưa   H n  k   d S w  S w tập riêng n  k  Ta nói không gian X gọi có tính chất  n, d   EP mạnh    ánh xạ hạn chế R : H  n , X  H  n \ S , X  chỉnh hình với tập đóng S   n độ đo Hausdorff  2n   d  - chiều hữu hạn địa phương,  d  Chỉ cần thay đổi chút chứng minh, ta mở rộng Định lý 3.3.4 sang tính chất  n, d  -EP mạnh với  d  Tuy nhiên Định lý 3.3.3 có cho tính chất  n, d   EP mạnh với  d  hay không Cho đến nay, toán mở TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban P.K (1991), “Banach hyperbolicity and extension of holomorphic maps in infinite dimension”, Acta mathematica Vietnamica,16, n0 ,pp 187-201 Brody R (1978), “Compact manifolds and dyperbolicity”, Trans Amer Math Soc 235,pp.213-219 Fornaess J E.and Narasimhan R.(1980), “The Levi problem on complex spaces with singularities”, Math Ann.148,pp.47-72 Fujimoto H (1972), “On holomorphic maps into a taut complex space”, Nagoya Math 46,pp.49-61 Harvey R and Polking J (1975), “Extending analitic objects”,Comm Pure and Appl Math.28,pp.701-727 Hervier Ý.( 1974), “On the Weierstrass problem in Banach spaces”, proc On Infinite Dimensional Holomorphy, Lecture Notes in Math 364, pp 157-167 Ivashkovicz S.M (1987), “the Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifolds”, math USSR Izvestiya 29, pp 225-232 Jarvi P (1991), “Generalizations of picard’s theorem for Riemann surfaces”, Trans Amer.Math.Soc.2,pp 749-763 Joseph J E and Kwack M H (1995), “the topological nature of two Noguchi theorems on sequences of holomorphic mappings between complex spaces”, Canadian J Math 47,pp 1240-1252 10 Kiernan P (1972), “Extensions of holomorphic maps”, Trans Amer Math Soc 172, pp 347-355 11 Klimek M (1991), Pluripotential Theory, London Math Soc., Oxford Science Publications 12 Kobayashi S (1969), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings, N.Y Dekkr, New York 13 Kwack M (1969), “Generalizations of the big Picard theorem”,Ann Math.90,No 2, pp 9-22 14 Landkof N S (1972), Foundations of Mordern Potential Theory, Springer Verlag 15 Lang S (1987),Introduction to complex Hyperbolic Spaces, Springer  Verlag 16 Mattila p (1995), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Fractals and Rectifiability, Cambridge studies in advanced mathematics, vol.44 17 Mazet P (1987), Analytic Sets in Locally Convex Spaces, North Holland.Amstedam 18 Mujica J (1986), Complex Analysis in Banach Spaces, Math Studies, North – Holland, v.120 19 Noguchi J and Ochiai T (1990), Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Transl Math Monogr, vol.80,Amer.Math.Soc 20 Peternell Th., “Pseudoconvexity, the levi problem and vanishing Theorems”, Encyclopaedia of Math Sciences, “Several complex variables VII” 74,pp.223- 254 21 Range R,M.(1986), Homolophic Functions and Integral Representations in Several complex Variables , Springer verlag, Graduate Texts in Mathematics vol.108 22 Roysen H (1984), “the Picard theorem for Riemann surfaces”, Proceed Amer, Math Soc 90,pp.571-574 23 Shiffman B (1989), “ Separate analyticity and Hartogs theorem”, Indiana Univ Math J38, pp.943-957 24 Sibony N.(1975), “ Prolongement des fonctions holomorphes bornées et métrique de Caratheodory”, Invent.Math.29,pp.205-230 25 Suzuki M (1988), “Comportement des applications holomorphes autourd’un ensembles polaire II”, C.R.Acad.Sci.Paris Sér.I Math.306,pp.535-538 26 B.D.Ta (1991), “Extending holomorphic mapsin infinite dimension”, Ann Polon.Math.54,pp.241- 253 27 D.D.Thai (1991), “On the D*- extension and Hartogs extension”, Ann Della Scuo.Nor.Sup di Pisa, Sci.Fisi e Mate 418,pp.13-38 28 D.D Thai (1995), “ Extending holomorphic maps thorough pluripolar sets in high dimension”, Acta Math Vietnamica 20,pp.313-320 29 D.D Thai and N.T.L.Huong (1996), “On the disc- convexity of banach analytic manifolds” Ann.Polon.Math.69,pp.1-11 30 D.D Thai and N.T Son (1999), “ Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs extensios in infinite dimension”, pro Amer Math Soc (to appear) 31 D.D.Thai, N.T.T Mai and N.T Son, “Noguchi – type convergence - extension theorems for  n, d  - set” , prepint 1999 32 Torunczyk H (1973), “Smooth partitions of unity on some nono- separable Banach spaces”, Studia Math.66,pp.44-51 33 Urata T (1982), “The hyperbolicity of the complex analytic spaces”, Bull Aichi Edu.31,pp.65-75 34 Van N.T and Zriahi A (1983), “ familles de polynômes Presque partout bornées”, Bull.Sci Math.107,pp.81-91 35 Vesentini E.(1982), “Invariant distances and anvariant differential metric in locally convex spaces”, Spectral theory Banach centre Publication U.8 P.W.N Polish Sci Publisher Warsawa,pp.483-512 [...]...      với mọi   * Suy ra f k0    có thể thác triển chỉnh hình được đến  Điều này là không thể vì pk  0   0 Do đó X không giả lồi 0 1.3 Thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt Chúng ta xét bài toán ánh xạ thác triển chỉnh hình trên các siêu mặt và bài toán thác triển đến bao chỉnh hình, tức là bài toán thác triển chỉnh hình Hartogs Cả hai bài toán đều có mối tương quan với nhau... hướng được mở rộng hơn Trong đó bài toán thác triển chỉnh hình trên siêu mặt cũng đã được nghiên cứu Do đó việc mở rộng kết quả của kwack trong trường hợp vô hạn chiều là thực sự cần thiết và tạo cơ sở để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình trong trường hợp vô hạn chiều Trong phần này chúng ta sẽ xét bài toán khi nào thì một ánh xạ chỉnh hình có thể được thác triển trên siêu mặt trong đa tạp Banach... chúng tôi sẽ trình bày bài toán thác triển chỉnh hình trên tập đa cực nhiều chiều Cho S là một tập đa cực trong một đa tạp phức Z và X là không gian phức Nếu f : Z \ S  X là ánh xạ chỉnh hình, câu hỏi đặt ra là khi nào có thể tìm ra được thác triển chỉnh hình f : Z  X của ánh xạ f Bài toán này đã được nhà toán học nghiên cứu (xem [8], [24], [25], [34],…) 2.1 Các định nghĩa và kết quả chính 2.1.1 Định... tính chất 1- thác triển chỉnh hình chặt trên tập cực Khi đó X sẽ có tính chất n- thác triển chỉnh hình chặt trên các tập đa cực với n  2 Chứng minh (i) Đầu tiên quan sát thấy rằng giả thiết X thỏa mãn điều kiện đĩa yếu Nghĩa là nếu  f n  H  , X  , trong đó H  , X  là đĩa đơn vị mở trong  , hội tụ về f trong H  * , X  với *   \ 0 thì f có thể thác triển chỉnh hình đến  và f n  f... dẫn tới H  Z \ S , X   H  X  với mọi đa tạp phức Z và mọi tập cực S trong Z 2.2.2.Định lý Cho M là đa tạp compact phức sao cho: (i) M có một phủ phổ dụng  song chỉnh hình đến một miền có biên trong  n (ii) Mọi song chỉnh hình của phủ phổ dụng   M có thể thác triển chỉnh hình đến một lân cận của  Khi đó M có tính chất n -thác triển chỉnh hình chặt trên các đa tạp cực với mọi n  1 Chứng minh... có tính chất n - thác triển chỉnh hình trên các tập đa cực nếu với mọi đa tạp phức Z n - chiều, ánh xạ hạn chế R : H  Z , X   H  Z \ S , X  là toàn ánh với mọi tập đa cực đóng S trong Z Ở đây H  Z , X  là kí hiệu của không gian các ánh xạ chỉnh hình từ Z vào X được trang bị tôpô compact- mở Nếu ánh xạ hạn chế R là một đồng phôi thì ta nói X có tính chất n - thác triển chỉnh hình chặt Khi đó... e   j X  k C2 g  là bao chỉnh hình địa phương Trong đó    2 \ 0 , f :   X là ánh xạ chính tắc và  của f trên  2 , f bao chỉnh hình của  2 \ 0 , g :  2  CP1 là thác triển phân hình của  f và e, j , k là các ánh xạ chính tắc   CP1 là giả Dễ dàng thấy rằng f :   X là giả lồi địa phương Theo giả thiết,  f :  lồi địa phương  và f :   X được thác triển đồng Vì X là compact thuần... rằng 0  D và   0 với mọi   I Từ (ii) ta có:  ker x*  0  và suy ra g k W \ S  fk W \ S với mọi k  1 Do đó f k được thác triển đồng luân đến z0  S Vì z0 được chọn bất kì nên f k được thác triển đến hàm chỉnh hình fˆk trên Z Hơn nửa fˆk  f k trong H  Z , B  Ta kiểm tra fˆ     D Thực vậy, từ z0 ở trên và W ta có f  W   D và suy ra Re x* f  W     với  I Dựa vào quy... rằng nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị bị đâm thủng * vào một đa tạp hyperbolic X sao cho với một dãy thích hợp các điểm zk  * hội tụ về gốc tọa độ, f  zk  hội tụ về điểm p0  X thì f mở rộng đến ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị  vào X Cũng từ kết quả đó, Kwack đã đưa ra một quy tắc tổng quát và hiệu quả thúc đẩ việc nghiên cứu bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình Từ đó có nhiều hướng...  Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ chỉnh hình: f1 : U \ S   X , f1  z, w   f z  w  Và f 2 : U  W \ S   X , f 2  z , w   f w  z  Đầu tiên ta chỉ ra rằng f1 và f 2 là chỉnh hình Theo Shiffman [23] và khả năng thác triển chỉnh hình của X thì đủ để kiểm tra rằng f1 ( tương ứng f 2 ) là chỉnh hình trong z U \ S  (tương ứng w W \ S  ) Ta chứng minh phát biểu đúng cho f1 , còn trong