BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Minh Hải CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC CHIỀU Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Phó Giáo sư Tiến sĩ Lê Anh Vũ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie để tiến tới nắm vững lý thuyết tự giải toán Chân thành cảm ơn thầy Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh; Ban Giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu Phan Thiết; thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện luận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Trần Minh Hải DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ V Aut(G) : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G : Trường số phức C (V) : Không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End(V) : Không gian đồng cấu không gian vectơ V Exp : Ánh xạ mũ exp G* : Không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n, Lie(G) Mat(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực : Đại số Lie nhóm Lie G ) : Tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực : Trường số thực TeG : Không gian tiếp xúc G điểm đơn vị e MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học Vật lí học Sự phân loại lớp đẳng cấu đại số với số chiều thấp tảng sở ban đầu để hình thành phương pháp tính bất biến đại số Lie phương pháp thay đổi hệ tọa độ, phương pháp không thiết áp dụng cho đại số Lie Các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych giới thiệu thuật toán hoàn toàn để tính toán bất biến (toán tử Casimir tổng quát) đại số Lie Thuật toán sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan kiến thức nhóm phép tự đẳng cấu đại số Lie Đặc biệt, thuật toán ứng dụng để tính toán bất biến đại số Lie thực có số chiều thấp Thuận lợi chủ yếu phương pháp tính toán túy đại số Khác với phương pháp thông thường, không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay vào việc giải hệ phương trình đại số Sự khai thác hiệu phương pháp bắt buộc phải có chọn lựa sở đại số Lie Việc lựa chọn sở tự động mang lại biểu thức đơn giản Điều thú bất biến độc lập đại số Lie thực số chiều thấp tìm cách vài thập niên Đó toán tử đa thức đại số Lie, gọi toán tử Casimir, toán tử đa thức gọi toán tử Casimir tổng quát Hiện việc xây dựng lý thuyết toán tử Casimir tổng quát trường hợp chung thực Tuy nhiên, có vài báo viết tính chất toán tử Việc áp dụng nhóm bất biến lớp đại số Lie khác xuất vấn đề Vật lý học Đặc biệt, sở hàm nhóm bất biến tính toán tất đại số Lie thực 3, 4, chiều đại số Lie thực lũy linh chiều Các vấn đề tương tự xét đại số Lie thực chiều với chiều nilradical Các nhóm nhóm Poincare với bất biến chúng tìm thấy Toán tử Casimir nhóm afin đơn modular SA(4, ) tìm với nhóm phủ đôi SA(4, ) nhóm đối xứng hàm phổ hạt lý thuyết gravity-related khác nhau, chúng áp dụng để xây dựng lý thuyết biểu diễn bất khả quy unita nhóm SA(4, ) Sự tồn sở bao gồm toàn toán tử Casimir (các bất biến đa thức) quan trọng cho lý thuyết toán tử Casimir tổng quát với ứng dụng chúng Nó trường hợp đại số Lie lũy linh đầy đủ Abellanas L Martinez Alonso L Đại số Lie A đầy đủ [A, A]  A Các tính chất toán tử Casimir vài đại số Lie đầy đủ nghiên cứu gần Các toán tử Casimir số chuỗi nhóm cổ điển không xây dựng cách rõ ràng Phương pháp áp dụng dựa cấu trúc không gian phân thớ vectơ đặc biệt quỹ đạo sinh biểu diễn đối phụ hợp tích nửa trực tiếp Năm 1962, Kirillov phát minh phương pháp quỹ đạo nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Phương pháp cho phép ta nhận tất biểu diễn bất khả quy unitar nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải từ K–quỹ đạo nguyên Trong khoảng thập niên 60 70 kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov nghiên cứu cải tiến, mở rộng áp dụng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie nhiều nhà toán học giới L Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,… Đóng vai trò then chốt phương pháp quỹ đạo K–quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp Do đó, việc nghiên cứu K–biểu diễn nhóm Lie, nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Các nhóm Lie đại số Lie giải có cấu trúc không phức tạp, nhiên việc phân loại chúng chưa giải triệt để Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải mà đơn giản phương diện phân tầng K–quỹ đạo Đó lớp MD–nhóm MD–đại số Một nhóm Lie thực giải mà K–quỹ đạo không chiều chiều cực đại gọi MD–nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD – nhóm Đại số Lie MD–nhóm (tương ứng, MD –nhóm) gọi MD– đại số (tương ứng, MD –đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt phân loại triệt để lớp MD –đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán n–chiều n (n  1) , đại số Lie 2–chiều aff đại số Lie 4–chiều aff Việc phân loại lớp MD–đại số đến toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp MD–nhóm MD–đại số theo số chiều Tức xét lớp MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm MD–nhóm (và MD– đại số) n–chiều Vì tất đại số Lie –chiều liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn–nhóm MDn–đại số với n  Năm 1984, Đào Văn Trà liệt kê toàn lớp MD4–đại số Đến năm 1990, lớp MD4–đại số Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Hiện tại, lớp MD5–đại số chưa liệt kê phân loại đầy đủ Tuy nhiên, lớp MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Lê Anh Vũ liệt kê phân loại năm 2006 Hiện chưa có giải vấn đề tính bất biến MD–đại số Bởi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu bất biến MD– đại số Cụ thể, muốn hệ thống lại khái niệm đại số Lie, lớp MD– đại số Lie Đồng thời sở thuật toán tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych đưa báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, cố gắng tính bất biến vài MD5–đại số Bởi vậy, đề tài mang tên: “Các bất biến lớp đại số Lie giải chiều” Mục đích Dùng thuật toán nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych đưa để nghiên cứu bất biến đại số Lie Đối tượng nội dung nghiên cứu Lớp MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán bất biến chúng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính tường minh sở bất biến lớp MD5– đại số với ideal dẫn xuất giao hoán Và áp dụng thuật toán để tính toán bất biến MD5–đại số lại, cho lớp MD6–đại số vài MDn (5 < n) đặc biệt Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương 1: Giới thiệu khái niệm đại số Lie, nhóm Lie lớp MD–nhóm, MD–đại số Phần trình bày kiến thức cần thiết liên quan đến toán xét Chương 2: Giới thiệu thuật toán nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera Roman Popovych nghiên cứu để tính toán bất biến đại số Lie Chương 3: Áp dụng thuật toán để tính bất biến lớp đại số Lie giải chiều Phần kết luận: Đưa nhận xét vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu Các nghiên cứu đạt dựa tính toán túy đại số với trợ giúp máy tính Nhiều kết nêu không chứng minh phương pháp chứng minh trình bày tài liệu trích dẫn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, dùng cách trích dẫn quen thuộc Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa xem định lý tài liệu [So-Vi] Chương ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau, giới thiệu đối tượng nghiên cứu lớp MD– nhóm lớp MD–đại số mà quan tâm Trước hết, ta nhắc lại khái niệm tính chất đại số Lie (thực) nhóm Lie Nhiều mệnh đề phát biểu không chứng minh Độc giả quan tâm đến chứng minh muốn tìm hiểu sâu khái niệm xin xem tài liệu [Ha-Sch], [Ki] 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa đại số Cho |K trường A không gian vectơ trường |K Ta bảo A đại số |K |K–đại số A cho phép nhân A A  A (x, y)  xy (Tích x y) cho tiên đề sau thỏa mãn  (M1) Phép nhân toán tử song tuyến tính Tức x, y, z  A ,  ,   IK ta có: ( x   y ) z   ( xz )   ( yz ) ; x( y   z )   ( xy )   ( xz )  (M2) Phép nhân kết hợp Tức (xy)z = x(yz), x, y, z A Nhận xét (i) Đôi (M2) không đòi hỏi A gọi đại số không kết hợp    a21 e1   B( )   a31   e1        5  1  e 5  0 e11 1 e 1 e1 e11 e1 0  1   e 1  1  e 1   1 e 1   1  e  Trong 1   a21  e1    3  12  12  135  13  1  , 2     a31  e1  3    12  1  15    Ta có hệ phương trình x1  x1  x2 a21  x3a31  x4e1   5  15   x5e1 , (1) x2  x2e1 , (2) x3   x2e11  x3e1 , (3) x4  x2e112  x3e11  x4e1 , (4) x5   x2e113  x3e112  x4e11  x5e1 (5) *Lấy (3) chia (2) vế theo vế ta  x  x   exp    exp  1  exp    x2   x2  x3 x  1  x2 x2  x  x x   exp    exp    x2  x2  x2    x  x  exp    exp   x2  x2  x2  x2  *Lấy (4) chia (2) vế theo vế ta x4 x3 x  1  1  x2 x2 x2 x x  x x  x  x x        3   x2  x2 x2  x2  x2 x2  x2 2 x  x  x  x  Do        (6) x2  x2  x2  x2  *Lấy (5) chia (2) vế theo vế ta x5 x 1 x x   13  12  1  x2 x2 x2 x2 x x  x x  x  x x  x  x x        3       x2  x2 x2  x2  x2 x2  x2  x2 x2  x2 3 x  x   x   x  x x x x x x              (7) x2  x2   x2   x2  x2 x2 x2 x2 x2 x2 Nhân hai vế (6) cho  x3 ta x2 x x  x  x x  x  x          (8) x2 x2  x2  x2 x2  x2  x2 Cộng (7) (8) vế theo vế ta có kết 3 x5 x4 x3  x3   x3   x3  x4 x3 x5       x2 x2 x2  x2   x2   x2  x2 x2 x2 3 x x x  x  x x x  x  Hay          x2 x2 x2  x2  x2 x2 x2  x2  Vậy G5,4,10 có ba bất biến X  X X X  X X 1 X  X 1 X  exp   ,    ,  3    X2  X2  X2  X2  X 2  X2  X2 (11) G5,4,11( 1 ,2 , ) : ad X1 Ta có  cos   sin       sin  cos  1 0 0   ;       2  0 [ X1, X2 ]  cos X2  sin  X3 , \ {0},   (0,  ) [ X1, X3 ]   sin  X2  cos X3 , [ X1, X4 ]  1X , [ X1, X5 ]  2 X5 ad X1 ad X 0  cos     sin   0 0    sin      cos       sin  cos  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1      cos     , ad X    sin       2   0 0 0   0    , ad X     0  1  0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 ,  0  0 0 0  0 ,  0  ad X          0 0 0 0 0 0  0  0  a22 a23 a32 a33 0 0 e 11 0 0 0 0 NG =   a21  a31 B( )       e 1 41  12 52 e        e12  0 Trong a21  e1 cos 3 sin   1 sin     cos   1 sin    , a31  e1 cos 2 sin   1 sin    3 cos   1 sin    , a22  a33  e1 cos cos 1 sin   , a23  a32  e1 cos sin 1 sin   Khi ta có hệ phương trình x1  x1  x2 a21  x3a31  x4e11 41  x5e12 52 , (1) x2  e1 cos  x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin    , (2) x3  e1 cos  x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin    , (3) x4  x4e11 , (4) x5  x5e12 (5) x51 x51 *Từ (4) (5) suy    x4 x4 *Lấy (3) chia (2) ta   x3 x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin   x   tan  arctan  1 sin   x2 x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin   x2   Đặt a  arctan x a  a x3 , a  arctan Khi ta có 1  (6) x2 x2 sin     *Thay (6) vào (4) ta có x4  x4 exp   a  a    sin          x4 exp  a   x4 exp  a   sin    sin   *Thay (6) vào (2) ta có x2  ecot  ( a a )  x2 cos a  a   x3 sin a  a    x2  ecot  ( a a ) x2  cos a  a   tan a.sin a  a    x2  ecot  ( a a ) x2  x2 cosa cosa cos a exp a.cot    x2 exp  a.cot   cos a Vậy G5,4,11( 1 ,2 , ) có ba bất biến X51 X 42    X  X  X2 , X4 exp  arctan  , exp  cot  arctan  X2  X2   X   sin   cos  arctan  X2   (12) G5,4,12(  , ) : ad X1  cos   sin       sin  cos  0 0  ;   0   0 \ {0},   (0,  ) Với cách tính hoàn toàn tương tự G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12( , ) có ba bất biến   X5 X  , X exp  arctan  , X4 X2   sin  (13) G5,4,13( , ) : ad X1 Ta có  cos   sin       X  exp  cot  arctan  X2   X   cos  arctan  X2    sin  cos  0 X2 0  ;   1   0 [ X1, X2 ]  cos X2  sin  X3 , \ {0},   (0,  ) [ X1, X3 ]   sin  X2  cos X3 , [ X1, X4 ]   X4 , [ X1, X5 ]  X   X5 ad X1 0  cos     sin   0 0  ad X   sin      cos       sin  cos  0 0 0 0 0 0 0 0 0    cos     , ad X    sin     1   0    0 0    0   , ad X     0    0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 ,  0  0 0 0  0 ,  0  ad X       1    0 0 0 0 0 0 0 0  0  0  NG =   a21 a22  a31 a32 B( )       e 5    15    e 15  a23 a33 0 0 e  1 0      e 11   e 1  0 Trong a21  e1 cos 3 sin   1 sin     cos   1 sin    , a31  e1 cos 2 sin   1 sin    3 cos   1 sin    , a22  a33  e1 cos cos 1 sin   , a23  a32  e1 cos sin 1 sin   Khi ta có hệ phương trình x1  x1  x2 a21  x3a31  x4e1 5    15   x5 e 15 , (1) x2  e1 cos  x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin    , (2) x3  e1 cos  x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin    , (3) x4  x4e 1 , (4) x5   x4e 11  x5e 1 (5) *Lấy (5) chia (4) ta x5 x  1  (6) x4 x4  x   x   exp     exp  1  exp     x4   x4   x  x  x   exp     exp     x4  x4  x4    x   x  exp     exp    x4  x4  x4  x4  *Lấy (3) chia (2) ta   x3 x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin   x   tan  arctan  1 sin   x2 x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin   x2   Đặt a  arctan x a  a x3 , a  arctan Khi 1  (7) x2 x2 sin  Thay (7) vào (2) ta x2  ecot  ( a a )  x2 cos a  a   x3 sin a  a    x2  ecot  ( a a ) x2  cos a  a   tan a.sin a  a    x2  ecot  ( a a ) x2  x2 cosa exp a.cot    *Từ (6) (7) suy  cosa cos a x2 exp  a.cot   cos a a x5 x5 a    x4 x4 sin  sin  x5 a x a   5 x4 sin  x4 sin  Vậy G5,4,13( , ) có ba bất biến  X  exp    , X4  X4   X  X X exp  cot  arctan  ,  arctan  X2  X4 sin  X2 X   cos  arctan  X2   X2 (14) G5,4,14(  ,  , ) : ad X1 Ta có  cos   sin       sin  cos  0 0     ; ,        [ X1, X2 ]  cos X2  sin  X3 , \ {0},   0,   (0,  ) [ X1, X3 ]   sin  X2  cos X3 , [ X1, X4 ]   X4   X5 , [ X1, X5 ]    X   X5 ad X1 0  cos     sin   0 0  ad X   sin      cos      0 0 0 0 0 0 0 ad X           0 0 0 0 0 0  0  0  NG = 0 0 0  sin  cos  0 0        cos     , ad X    sin           0 0   0    , ad X     0       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 ,  0  0 0 0  0 ,  0   a  21 a22 B( )   a31 a32   a41   a51 0 a23 a33 0 0 cos  1  e  1  sin  1  e 1      sin  1  e 1   cos  1  e 1  0 Trong a21  e1 cos  cos 1 sin      3 sin 1 sin      , a31  e1 cos 3 cos 1 sin       sin 1 sin      , a41  sin  1  e 1  5     cos  1  e 1      , a51  cos  1  e 1  5     sin  1  e 1      , a22  a33  e1 cos cos 1 sin   , a23  a32  e1 cos sin 1 sin   Khi ta có hệ phương trình x1  x1  x2 a21  x3a31  x4 a41  x5a51, (1) x2  e1 cos  x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin    , (2) x3  e1 cos  x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin    , (3) x4  e 1  x4 cos  1   x5 sin  1   , (4) x5  e 1  x4 sin  1   x5 cos  1   (5) *Lấy (5) chia (4) ta   x5 x4 sin  1   x5 cos  1  x   tan  arctan  1  x4 x4 cos  1   x5 sin  1  x4   Đặt a  arctan x a  a x5 , a  arctan Khi 1  (6) x4 x4  Thay (6) vào (4) ta có x4  e  x4  e  x4  e    a  a     a  a     a  a    x4 cos a  a   x5 sin a  a   x4  cos a  a   tan a.sin a  a   x4 cosa cos a     x exp  a   exp  a  cosa    cos a   x4 *Lấy (3) chia (2) ta   x3 x2 sin 1 sin    x3 cos 1 sin   x   tan  arctan  1 sin   x2 x2 cos 1 sin    x3 sin 1 sin   x2   Đặt b  arctan b  b x x3  , b  arctan Khi 1  (7) x2 x2 sin  Thay (7) vào (2) ta x2  ecot  ( b  b )  x2 cos  b  b   x3 sin  b  b     x2  ecot  ( b  b ) x2  cos  b  b   tan b.sin  b  b      x2  ecot  ( b  b ) x2  x2 cos b cos b cos b exp  b.cot    *Từ (6) (7) suy x2 exp  b.cot   cos b b a  a b  b a a b Hay     sin    sin   sin  Vậy G5,4,14(  ,  , ) có ba bất biến  X  exp  arctan  , X4   X   cos  arctan  X4   X4  arctan X5 X arctan  X4 sin  X2  X  exp  cot  arctan  , X2   X   cos  arctan  X2   X2 KẾT LUẬN Qua phần trình bày, nắm phương pháp tính toán bất biến đại số Lie giải số chiều thấp, đồng thời qua tính bất biến MD5–đại số: G5,1 , G5,2,1 , G5,2,2(  ) , G5,3,1(1 ,2 ) , G5,3,2(  ) , G5,3,3(  ) , G5,3,4 , G5,3,5( ) , G5,3,6( ) , G5,3,7 , G5,3,8(  , ) , G5,4,1(1 ,2 ,3 ) , G5,4,2( 1 ,2 ) , G5,4,3(  ) , G5,4,4( ) , G5,4,5 , G5,4,6( 1 ,2 ) , G5,4,7( ) , G5,4,8(  ) , G5,4,9( ) , G5,4,10 , G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12( , ) , G5,4,13( , ) , G5,4,14(  ,  , ) Từ kết trên, cách tự nhiên gợi ý cho hướng mở cần nghiên cứu sau: Áp dụng thuật toán tính bất biến để tính toán bất biến MD5–đại số lại, cho lớp MD6–đại số vài MDn (n > 5) đặc biệt Do hạn chế nhiều mặt như: trình độ, thời gian, … Luận văn dừng lại khuôn khổ định mà thân tác giả tha thiết muốn tiếp tục nghiên cứu Tác giả hy vọng có dịp tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương lai Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, sai sót tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe cảm ơn độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [An-Tu] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thông hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [Do] Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [Ki] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York [Ab-Ma] Abellanas L and Martinez Alonso L (1975), A general setting for Casimir invariants, J Math Phys, V.16, 1580-1584 [Be-Bla] Beltrametti E G and Blasi A (1966), On the number of Casimir operators associated with any Lie group, Phys Lett., V.20, 62-64 [Fe-Olv1] Fels M and Olver P (1998), Moving coframes: I A practical algorithm, Acta Appl Math., V.51, 161-213 [Fe-Olv2] Fels M and Olver P (1999), Moving coframes: Regularization and theoretical foundations, Acta Appl Math., V.55, 127-208 [Vu] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimentional Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimentional Commutative Derived Ideal”, East – West Journal of Mathematics, Vol 7(1), pp 13 – 22, Bangkok, Thailand [Vu-Shu] Le Anh Vu, K.P Shum (2008), “On a Subclass of 5-dimentional Solvable Lie Algebras Which Have Commutative Derived Ideal”, Advances in Algebra and Combinatorics, World Scientific Publishing Co., pp 353 – 371 10 [Ha-Sch] M Hausner and J T Schwartz (1968), Lie Group – Lie Algebra, Gordon and Breach, Sci Publisher, New York – London – Paris 11 [Mo] Morozov V V (1958), Classification of nilpotent Lie algebras of sixth order, Izv Vys Ucheb Zaved Matematika, N4 (5), 161-171 12 [Mu] Mubarakzyanov G M (1963), On solvable Lie algebras, Izv Vys Ucheb Zaved Matematika, N1 (32), 114-124 13 [Pa-Pro] Pauri M and Prosperi G M (1966), On the construction of the invariants operators for any finite-parameter Lie group, Nuovo Cimento A, V.43, 533-537 14 [Pe] Pecina-Cruz J N (1944), An algorithm to calculate the invariants of any Lie algebra, J Math Phys, V.35, 3146-3162 15 [Tu] Turkowski P (1990), Solvable Lie algebras of dimention six, J Math Phys, V.31, 1344-1350 16 [Vy-Ji-Ro] Vyacheslav Boyko, Jiri Patera and Roman Popovych (2006), “Computation of Lie Algebras by Means of Moving frames”, arXiv: math-ph/0602046 v2 [...]... của mỗi đại số Lie Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp Nhưng trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu thế nào là các bất biến của một đại số Lie? 2.1 Khái niệm các bất biến của một đại số Lie Xét đại số Lie G có số chiều dimG = n <  trên trường hoặc , nhóm Lie liên thông tương ứng G và không gian đối ngẫu G* của không gian vectơ G Bất kỳ cơ sở... ) Vì vậy tập các SymFl(e1, e2, …, en), l = 1, …, NG được gọi là cơ sở của Inv(G) Nếu đại số Lie G được phân tích thành tổng trực tiếp của các đại số Lie G1 và G2 thì hợp của các cơ sở của Inv(G1) và Inv(G2) là một cơ sở của Inv(G) Do đó, việc phân loại các bất biến của đại số Lie từ một lớp đã cho thật sự là đủ để cho chúng ta mô tả các bất biến của các đại số không phân tích được từ lớp này 2.2 Thuật... MD –nhóm) được gọi là MD đại số (tương ứng, MD đại số) Thuật ngữ MD–nhóm, MD đại số, MD –nhóm, MD đại số được dùng đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980 Ngay sau đó lớp các MD đại số và MD – đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982 Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp MD đại số: các MD đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng... cấu đại số Lie) các MD4– đại số đó Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4 đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn Hiện tại, lớp các MD5 đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ Tuy nhiên, lớp con các MD5 đại số với ideal dẫn xuất giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006 Trong chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu các kết quả này đồng thời tính toán các bất biến. .. Các MD–nhóm và MD đại số Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD–nhóm nếu các K–quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có số chiều cực đại Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay còn gọi là MD –nhóm Đại số Lie thực giải được G ứng với MD–nhóm... |K đại số Lie, trong đó: Ob: các |K đại số Lie Mor(G1, G2) = {  : G1  G2 /  là đồng cấu đại số Lie} (ii) Phạm trù các |K–không gian vectơ là phạm trù con của phạm trù các |K đại số Lie Mỗi đồng cấu đại số Lie  : G1  G2 còn được gọi là biểu diễn của G1 trong G2 Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie  : G1  End(V) được gọi... Mỗi đại số Lie đều là một đại số (không kết hợp) nhưng ngược lại, mỗi đại số nói chung không chắc là đại số Lie (iii) Nếu [., ] = 0 tức là [x, y] = 0, x, y G thì ta bảo móc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hoán Như vậy, mỗi không gian vectơ luôn có thể xem là đại số Lie giao hoán Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường |K Giả sử số chiều của G là n Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được. .. tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A Khi đó Der(A) trở thành một đại số kết hợp trên |K Der(A) sẽ trở thành một đại số Lie trên |K với móc Lie được định nghĩa là: [f1, f2] = f1of2 – f2of1 1.1.4 Đại số Lie con và Ideal Cho G là một |K đại số Lie, h là tập con của G * h gọi là đại số Lie con của G nếu h ổn định đối với móc Lie Tức là [ x, y ]  h ; x  h , y  h * h gọi là ideal của G nếu [ h... đây các hằng số c1, …, c được chọn sao cho nằm trong khoảng biến thiên của các giá trị  j1 , ,  j Sau khi thay thế các nghiệm tìm được bằng các bất biến nâng khác, chúng ta được NG = n –  các bất biến thông thường F l  x1, , xn  Do đó, chúng ta thấy rằng các bất biến của đại số Lie G cho bởi nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng (1) được thay thế bởi việc xây dựng ma trận B   của các. .. thấy mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất Ngược lại thì ta có định lý sau: Định lý 1.6 (i) Cho G là đại số Lie thực bất kỳ Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G (ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại  sao cho G = G nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G D Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng,