1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Huỳnh Thị Như Ý PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN KHƠNG GIAN CHUẨN TẮC Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Hà Thanh Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu truyền đạt cho tơi kiến thức q báu suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS Lê Anh Vũ q thầy giảng dạy chúng tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn q thầy phòng Khoa học Cơng Nghệ Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực luận văn Trong q trình thực luận văn, chúng tơi vài lần liên hệ với nhà tốn học nước ngồi, đặc biệt giáo sư Dydak, thầy tận tình giải đáp thắc mắc vấn đề liên quan Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak Xin chân thành cảm ơn người thân gia đình ln động viên tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Sau cùng, tơi xin gởi lời cảm ơn đến bạn lớp học, trao đổi kiến thức, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả Huỳnh Thị Như Ý MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa……………………………………………………………… Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.2 Lực lượng tập hợp 1.3 Tập đếm Khơng gian mêtric 2.1 Khơng gian mêtric 2.2 Ví dụ 10 2.3 Khoảng cách 11 2.4 Khơng gian mêtric tích 12 Khơng gian tơpơ 12 3.1 Tơpơ Khơng gian tơpơ 12 3.2 Cở sở 13 3.3 Lân cận, sở lân cận 14 3.4 Phủ, phần bao đóng 15 3.5 Ánh xạ liên tục 16 3.6 Tiên đề tách 16 Sự mêtric hóa 20 4.1 Tơpơ sinh mêtric 20 4.2 Khơng gian mêtric hóa 21 4.3 Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc 21 4.4 Cái mịn 22 Tập sao, hình 22 Chương PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Phân hoạch đơn vị liên tục đồng bậc 24 1.1 Phân hoạch đơn vị 24 1.2 Liên tục đồng bậc 29 Tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị 37 2.1 Định nghĩa 37 2.2 Định lý 2.8 (sự tồn đạo hàm phân hoạch đơn vị) 38 2.3 Mệnh đề 2.9 (cái mịn phủ mở) 42 2.4 Bậc phân hoạch đơn vị 43 2.5 Mệnh đề 2.10 (tính tốn bậc phân hoạch đơn vị) 43 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ CHO TƠPƠ ĐẠI CƯƠNG Phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc 45 1.1 Định nghĩa khơng gian chuẩn tắc 45 1.2 Định lý thác triển Tietze khơng gian chuẩn tắc 45 1.3 Thác triển phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc 47 1.4 Định lý tồn phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc 51 Phân hoạch đơn vị mêtric hóa 53 2.1 Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa khơng gian) 53 2.2 Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa) 56 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Gần đây, nghiên cứu vấn đề tơpơ hình học, nhiều nhà tốn học Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking,… mạnh dạn dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại tính chất khơng gian tơpơ Theo nhiều nhà tốn học, tính chất tơpơ quan trọng tính chuẩn tắc, tính compact, tính paracompact vấn đề liên quan đến định lý thác triển Tietze Như biết, có hai cách tiếp cận nghiên cứu khơng gian thơng qua phủ mở hàm liên tục Bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị xây dựng định nghĩa chứng minh định lý, tác giả J.Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking,…đã thống hai cách tiếp cận Khi nghiên cứu phân hoạch đơn vị, chúng tơi tìm thấy nhiều áp dụng tơpơ, hình học Ngồi ra, đóng vai trò quan trọng việc xây dựng lý thuyết đồng ln Ban đầu, nghiên cứu, nhà tốn học chứng minh tồn phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ dừng lại việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm Khi đó, gặp nhiều khó khăn tìm hiểu áp dụng khó để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương phương pháp đại số, chí xây dựng phân hoạch đơn vị tùy ý khơng tránh khỏi trở ngại Vì vậy, việc xây dựng phân hoạch liên tục đồng bậc giải khó khăn này, đem lại nhiều thuận lợi nghiên cứu khơng gian tơpơ, đặc biệt khơng gian chuẩn tắc Vì lí đó, đề tài nghiên cứu chúng tơi “phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc” Mục đích nghiên cứu Sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh kết khơng gian chuẩn tắc cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Khơng gian chuẩn tắc Ý nghĩa khoa học thực tiễn Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải tốn tơpơ hình học cách đơn giản Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chúng tơi gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí chọn đề tài Phần nội dung: Chương 1: Nêu số kiến thức chuẩn bị tơpơ đại cương Gồm phần lý thuyết tập hợp, khơng gian mêtric khơng gian tơpơ Chương 2: Phần sở nội dung luận văn Ở đây, khái niệm phân hoạch đơn vị, liên tục đồng bậc, tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị định nghĩa, với định lý kèm chứng minh nêu lên làm sở cho việc trình bày chương Chương 3: Trình bày số áp dụng phân hoạch đơn vị cho tơpơ, hình học Nội dung chương gồm ba phần Thứ nhất, sử dụng phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze Thứ hai, trình bày số áp dụng phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc Thứ ba, tìm hiểu vấn đề mêtric hóa khơng gian chứng minh định lý mêtric hóa Phần kết luận: Đưa nhận xét nghiên cứu phân hoạch đơn vị Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương kiến thức tơpơ đại cương làm sở lý thuyết cho việc nghiên cứu chương sau Cụ thể sau: Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.1.1 Thứ tự phận Quan hệ R tập hợp X gọi thứ tự phận thỏa tính chất sau: (i) Phản xạ: xRx, ∀x ∈ X , (ii) Phản đối xứng: Nếu xRy yRx x=y, ∀x,y ∈ X , (iii) Bắc cầu: Nếu xRy yRz xRz, ∀x,y,z ∈ X Tập hợp X với thứ tự phận R gọi tập hợp phận ký hiệu (X, R) Thứ tự phận thường ký hiệu ≤ tập hợp phận ký hiệu ( X , ≤ ) 1.1.2 Phần tử bé nhất, lớn Cho ( X , ≤ ) tập hợp phận A ⊆ X Phần tử a ( a ∈ A ) gọi phần tử bé (phần tử đầu tiên) A a ∈ A a ≤ x , ∀x ∈ A Phần tử b ( b ∈ A ) gọi phần tử lớn (phần tử cuối cùng) A b ∈ A x ≤ b, ∀x ∈ A 1.1.3 Tập tốt: Tập phận ( X , ≤ ) gọi tốt tập hợp khơng rỗng X có phần tử bé 1.2 Lực lượng tập hợp Cho tập X Y Nếu tồn đơn ánh f : X → Y ta viết card ( X ) ≤ card (Y ) ; tồn song ánh f : X → Y ta viết card ( X ) = card (Y ) ; tồn đơn ánh f : X → Y khơng tồn song ánh từ X lên Y ta viết card ( X ) < card (Y ) Ta gọi card(X) lực lượng tập X Hiển nhiên X ⊂ Y card ( X ) ≤ card (Y ) 1.3 Tập đếm Một tập X tập đếm card ( X ) ≤ card (Y ) Như vậy, X tập đếm có đơn ánh f : X → Y có tồn ánh g : X → Y Mọi tập hữu hạn đếm Ta kí hiệu card ( X ) = n card ( X ) = card ({1,2, , n}) card ( ∅ ) = Trong trường hợp ta hiểu card ( X ) số phần tử X Khơng gian mêtric 2.1 Khơng gian mêtric Cho X tập Một hàm d : X → mãn điều kiện sau: mêtric X thỏa 10 (i) d ( x, y ) ≥ 0; d ( x, y ) = ⇔ x = y; (ii) d ( x, y ) = d ( y , x ) ; (iii) d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian mêtric ( X , d ) tập X với mêtric d X Nếu ( X , d ) khơng gian mêtric x ∈ X gọi điểm với x, y ∈ X ta gọi d ( x, y ) khoảng cách từ x đến y 2.2 Ví dụ Với x = ( x1 , x2 , , xk ) , y = ( y1 , y2 , , yk ) ∈ R k , đặt 1 ⎞2 ⎛ n d ( x, y ) = ⎜ ∑ xi − y j ⎟ ⎝ i =1 ⎠ d mêtric R k Thật vậy, (i), (ii) hiển nhiên Với x = ( x1 , x2 , , xk ) , y = ( y1 , y2 , , yk ) , z = ( z1 , z2 , , zk ) ∈ R k sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: d k ( x, y ) = ∑ xi − zi k i =1 ≤∑ i =1 xi − yi k ≤∑ i =1 ( xi − yi + yi − zi ) k k i =1 i =1 + 2∑ xi − yi yi − zi + ∑ 2 yi − zi 2 k 2⎞ ⎛ k 2⎞ ⎛ ≤ ∑ x − y + 2⎜ ∑ x − y ⎟ ⎜ ∑ y − z ⎟ + ∑ y − z i i i i i i i i ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ k i =1 k i =1 50 Chứng minh Theo hệ 2.7 ta tìm U-small phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương {rs }s∈S X Ta tìm lân cận W A cho bao đóng W chứa V Chọn hàm liên tục u : X → [0, 1] cho u ( A) ⊆ {0} u ( X − W ) ⊆ {1} Với s ∈ S , đặt g s := (1 − u ) hs + f u.rs Khi : g s ( X − U s ) ⊆ {0}, ∀s ∈ S f = ∑ g s s∈ S Chứng minh định lý 3.3 Bước Ta coi hàm f nhận giá trị dương Vì X khơng gian chuẩn tắc nên với s ∈ S ta tìm hs : X → [0, ∞) thác triển f s hs thỏa hs ( X − U s ) ⊆ {0} Khi h := ∑ hs : X → xác định dương lân cận W f hs h với s ∈ S { ps }s∈S s∈ S A Trên W đặt ps = U ⎢W − small phân hoạch f ⎢W Áp dụng mệnh đề 3.5 ta xây dựng U - small phân hoạch { g s }s∈S f X Bước Đặt V = f −1 (0, ∞) V chuẩn tắc Khi { f ⎢V ∩ A} s s∈S có thác triển U ⎢V - small phân hoạch { ps }s∈S f ⎢V Áp dụng mệnh đề 3.4 { f s }s∈S có thác triển U - small phân hoạch { g s }s∈S f X 51 1.4 Định lý tồn phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc Định lý 3.6 Cho U = {U s } s∈S phủ mở khơng gian chuẩn tắc X Một U - small phân hoạch đơn vị X tồn có họ liên tục đồng bậc {f } t t∈T thỏa: Với x ∈ X , ∃t ∈ T cho f t ( x ) > Với t ∈ T có tập hữu hạn F S với tính chất f t ( x ) = 0, ∀x ∈ X \ ∪ U s s∈F Để chứng minh định lý 3.6 ta xét bổ đề 3.7 Mục đích tạo U - small phân hoạch liên tục đồng bậc hàm bị chặn Bổ đề 3.7 Cho {f s U = {U s } s∈S phủ mở khơng gian X, : X → [0,1]}s∈S U - small phân hoạch liên tục đồng bậc hàm xác định dương f : X → ( 0, ∞ ] Nếu S tốt hàm g s := max(0, f s − sup { f t | t < s}) cảm sinh U - small phân hoạch liên tục đồng bậc { g s }s∈S hàm xác định dương g : X → ( 0,1] Chứng minh Lấy phần tử a ∈ X , chọn t phần tử nhỏ tập { s ∈ S | f ( a ) > 0} s 52 Vì g t ( a ) = f t ( a ) nên ∑g s∈S s >0 Giả sử T tập hữu hạn S cho g s ( a ) > 0, s ∈ T Đếm tất phần tử T theo thứ tự tăng dần s (1) < s ( ) < < s ( k ) Khi g s(i ) ( a ) = f s(i ) ( a ) − sup { f t ( a ) / t < s ( i )} ⇒ g s(i ) ( a ) ≤ f s(i ) ( a ) − f s(i −1) ( a )( i = 2, k ) ( ) ( ) ⇒ ∑ g s ( a ) ≤ f s(1) ( a ) + f s( 2) ( a ) − f s(1) ( a ) + + f s( k ) ( a ) − f s( k −1) ( a ) s∈T ⇒ ∑ g s ( a ) ≤ f s( k ) ( a ) ≤ s∈T Đặt g = ∑ g s g ( a ) = ∑ g s ( a ) s∈S s∈S Ta có: < g ( a ) ≤ Vậy: g s cảm sinh U - small phân hoạch liên tục đồng bậc { g s }s∈S hàm xác định dương g : X → ( 0,1] Chứng minh định lý 3.6 Giả sử U = {U s } s∈S phủ mở khơng gian chuẩn tắc X {f } t t∈T phân hoạch liên tục đồng bậc hàm f (xác định dương) cho với t ∈T , tồn tập hữu hạn F(t), F (t ) ⊂ S có tính chất f t ( x ) = 0, ∀x ∈ X \ ∪ U s s ∈F ( t ) Bằng cách thay f t min(1, f t ) áp dụng 3.6 ta xem hàm f bị chặn Theo 2.6 ta giả sử phương {f } t t∈T phân hoạch đơn vị hữu hạn địa 53 Với tập hữu hạn F ⊆ S , đặt U F = ∪ U s , fT = ∑ f t { ft }t∈T s ∈F t∈T phân hoạch liên tục đồng bậc hàm fT giá ft ( { x ∈ X ⏐ ft ( x) ≠ 0} ) U F Theo hệ 2.7 có phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương { g F } F ⊆S mà bao đóng AF giá gF chứa UF với F Bây ta xét phủ mở { AF ∩ U s } s∈F AF chọn phân hoạch { } đơn vị hF , s s ∈F AF cho hF ,s ( AF \ U s ) ⊆ { 0} , s ∈ F Theo định lý 3.1 ta mở rộng hàm hF ,s X cho hF ,s ( X \ U s ) ⊆ { 0} , s ∈ F Khi đó, hF ,s g F , s ∈ F , F hữu hạn, F ⊆ S tạo thành phân hoạch đơn vị X Đặt ps := ∑h F ,s g F ps cảm sinh phân hoạch đơn vị X Đó U- F ⊆S small phân hoạch đơn vị Phân hoạch đơn vị mêtric hóa Phân hoạch đơn vị cung cấp tiêu chuẩn đơn giản cho mêtric hóa khơng gian X 2.1 Định lý 3.8 Một khơng gian Hausdorff X mêtric hố có phân hoạch đơn vị { f s }s∈S X cho { f s−1 (0,1]}s∈S sở lân cận mở X Để chứng minh định lý ta xét bổ đề sau đây: 2.1.2 Bổ đề 3.9 54 Cho X khơng gian mêtric, U = {U s }s∈S họ tập mở X Với s ∈ S , đặt f s ( x ) := dist ( x, X − U s ) , ∀x ∈ X họ F = { f s }s∈S liên tục đồng bậc Chứng minh Với z ∈ X ta xét g z : X → R với g z ( x ) = d ( x, z ) Khi g z ( x ) − g z ( y ) = d ( x, z ) − d ( y, z ) ≤ d ( x, y ) ∀x, y, z ∈ X Như với ∀ε > 0, a ∈ X ta chọn lân cận U chứa a cho d ( g z ( x ) − g z ( y ) ) < ε , ∀x, y ∈ U Do { g z }z∈X liên tục đồng bậc Theo mệnh { đề 2.6, { gT }T ⊆S họ } gT := inf g z ⎪ z ∈ T ) Đặt T := X − U s Khi { } = inf {d ( x, z ) ⎢z ∈ X − U } gT ( x ) = inf g z ( x ) ⎢z ∈ X − U s s = dist ( x, X − U s ) ⇒ gT ≡ f s Vậy: họ F = { f s }s∈S liên tục đồng bậc 2.1.2 Hệ 3.10 Mỗi khơng gian mêtric X paracompact Chứng minh liên tục đồng bậc (với 55 Giả sử {U s }s∈S phủ mở khơng gian mêtric X Ta chứng minh X có phân hoạch đơn vị {gs }s∈S cho gs ( X − U s ) ≡ 0, ∀s ∈ S Thật vậy, Với s ∈ S , xét fs : X → R với fs ( x ) = dist ( x , X − U s ) f s ( x ) = , ∀x ∈ X − U s Bây ta đặt f = ∑ f s g s = s∈S fs f Thì họ {gs }s∈S phân hoạch đơn vị X cho gs ( X − U s ) ≡ hay X khơng gian paracompact Chứng minh định lý 3.8 Chiều thuận Cho X khơng gian mêtric hóa d mêtric X Ta chứng minh tồn phân hoạch đơn vị {g (0,1⎤⎦} −1 s s∈S {gs }s∈S X cho sở lân cận mở X Thật vậy, X khơng gian mêtric hóa nên X khơng gian paracompact Với ⎛ ⎞ ⎧⎪ ⎫⎪ n ≥ (cho trước), B ⎜⎜ x , ⎟⎟⎟ := ⎨ y ∈ X ⎢d ( x , y) < ⎬ cầu mở tâm x bán ⎜⎝ n ⎠ ⎪⎩⎪ n ⎪⎭⎪ kính , họ n đơn vị ⎧⎪⎪ ⎛ ⎞⎫⎪⎪ ⎨B ⎜⎜⎜ x , ⎟⎟⎟⎬ phủ mở X Khi ta tìm phân hoạch ⎪⎩⎪ ⎝ n ⎠⎪⎭⎪n≥1 { f x ,n }x∈X paracompact) ⎛ ⎛ ⎞⎞ X cho f x ,n ⎜⎜ X \ B ⎜⎜ x , ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⊆ {0} (X khơng gian ⎜⎝ ⎝⎜ n ⎠⎠ 56 Đặt gx ,n := f x ,n với ( x , n) ∈ X × ` {gx ,n }( x ,n)∈X×` phân hoạch 2n đơn vị X Khi {g (0,1]}( −1 x ,n x ,n)∈ X×` với ( x , n) ∈ X × ` , ⎛ 1⎞ g−x ,1n (0,1] ⊆ B ⎜⎜ x , ⎟⎟⎟ ⎜⎝ n ⎠ sở lân cận mở X Chiều nghịch Cho X khơng gian Hausdorff X cho { f (0,1]} −1 s s∈S { fs }s∈S phân hoạch đơn vị sở lân cận mở X Ta chứng minh khơng gian X mêtric hóa Đặt d ( x , y) := ∑ fs ( x ) − fs ( y) , ∀x , y ∈ X d mêtric X Ta cần s∈S chứng minh tơpơ sinh mêtric d trùng với tơpơ X Thật vậy, Cho U tập mở, U ⊂ X x ∈ U Ta tìm t ∈ S cho x ∈ ft−1 (0,1] ⊂ U Đặt V := { y ∈ X ⎢d ( x , y) < ft ( x )} V tập mở chứa x Ta chứng minh V ⊂ U Bằng phương pháp phản chứng ta giả sử V ⊄ U Khi tồn y ∈ V \ U Vì y ∉ U nên ft ( y) = suy d ( x , y) ≥ ft ( x ) − ft ( y) = ft ( x ) (d ( x, y ) = ∑ f s ( x ) − f s ( y ) ) (mâu thuẫn) Do V ⊂ U s∈S Suy tơpơ sinh mêtric d trùng với tơpơ X Áp dụng tính chất phân hoạch đơn vị để chứng minh định lý mêtric hóa 2.2 Định lý 3.11 (Định lý mêtric hóa) 57 Đối với khơng gian tơpơ điều kiện sau tương đương : a Khơng gian mêtric hóa b Khơng gian qui có sở σ - hữu hạn địa phương mở c Khơng gian qui có sở σ - rời rạc mở Chứng minh (c ⇒ b) hiển nhiên họ rời rạc hữu hạn địa phương Ta cần chứng minh (b ⇒ a) (a ⇒ c) Chứng minh (b ⇒ a) Bước 1: Ta xét trường hợp X khơng gian chuẩn tắc X có sở σ - hữu hạn địa phương mở Ta chứng minh X mêtric hóa Giả sử {Us ,n }(s ,n)∈S×N sở mở X cho {Us,n } s∈S hữu hạn địa phương với n Ta giả sử {Us,n } s∈S phủ mở X với n ∈ ` Khi tập mở U hợp đếm tập Fn Ở Fn hợp bao đóng U s,n cho cl (U s ,n ) ⊂ U Vì (s, n) ∈ S × ` , U s,n = fs−,n1 (0,1] với fs ,n : X → [ 0,1] hàm số liên tục Bây ta đặt fn := ∑ fs,n fn hàm số liên tục từ khơng gian X s∈S vào [ 0,∞) 58 Bằng cách thay fs,n fs ,n ta giả sử fn ≡ Đặt gs,n = fs,n 2−n fn g s ,n cảm sinh phân hoạch đơn vị {gs,n }(s,n)∈S×` X U s,n = gs−,n1 (0,1], ∀ (s, n) ∈ S × ` tạo thành sở lân cận mở Theo định lý 3.8 khơng gian X mêtric hóa Bước Chứng minh X khơng gian chuẩn tắc Ta chứng minh với hai tập đóng A, B khơng giao X, tồn tập mở U V cho A ⊂ U , B ⊂ V U ∩ V = ∅ Thật vậy, A tập đóng khơng gian qui X nên X có họ đếm tập mở ( Un = ∞ {Un }n=1 phủ A cho B ∩ cl (Un ) = ∅ với n ∪ U s,n cho B ∩ cl (U s,n ) = ∅ ) (s ,n)∈S×` ∞ Tương tự X có họ đếm tập mở {Vn }n=1 phủ B cho A ∩ cl (Vn ) = ∅ với n ∞ Đặt U n' := U n \ ∪ cl (Vk ) , Vn' := Vn \ ∪ cl (Uk ) {Un' } k ≤n ∞ A, {Vn' } n=1 k ≤n n=1 phủ mở phủ mở B U n' ∩ Vm' = ∅ ∀m, n ∞ ∞ k =1 k =1 Cuối cùng, đặt U := Uk' , V := Vk' U ⊃ A,V ⊃ B U ∩ V = ∅ Vậy X khơng gian chuẩn tắc Chứng minh (a ⇒ c) Ta chứng minh khơng gian tơpơ mêtric hóa có sở σ rời rạc mở 59 Để chứng minh điều này, ta xét định lý sau đây, mục đích muốn phủ mở khơng gian mêtric hóa có mịn σ − rời rạc mở Định lý 3.12 Mỗi phủ mở khơng gian mêtric hố có mịn σ - rời rạc mở Định lý áp dụng đạo hàm phân hoạch đơn vị khơng gian mêtric hố Chứng minh Với phân hoạch đơn vị f = { f s }s∈S X, đặt U s := f s−1 (0,1] {U s }s∈S phủ mở X Ta chứng minh {U s }s∈S có mịn σ - rời rạc mở Cho { fT' }T ⊆S đạo hàm f Bằng cách xét tập T có lực lượng n UT := { x ∈ X ⎢ fT' ( x ) > 0} rời Gọi {U m,n } ⎧ ⎫⎪ ⎪ họ bao gồm tập UT ,m := ⎨ x ∈ X ⎢ fT' ( x ) > ⎬ với ⎪ m⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ T =n Khi {U m,n } hữu hạn địa phương bao đóng U m,n rời Suy họ {U m,n } σ - rời rạc mở U m,n chứa U s (s ∈ S ) Vậy {U m,n } mịn σ - rời rạc mở 60 Áp dụng định lý 3.12 ta suy khơng gian tơpơ mêtric hóa có sở σ - rời rạc mở, phủ gồm tất hình cầu mở bán kính ta tìm mịn σ − rời rạc mở Bn , hợp họ n Bn sở σ − rời rạc mở 61 KẾT LUẬN Trong phạm vi luận văn này, chúng tơi trình bày số khái niệm phân hoạch đơn vị áp dụng tính chất chúng nghiên cứu tơpơ, hình học Cụ thể sau: Trong chương hai, luận văn dành cho việc nghiên cứu khái niệm phân hoạch đơn vị Đó là: Tìm hiểu phân hoạch hàm số bất kì, phân hoạch hàm số liên tục, phân hoạch phụ thuộc vào phủ, Trên sở chứng minh tồn phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ “Cho U = {U n } n≥1 phủ mở đếm khơng gian X Một U - small phân hoạch đơn vị X tồn có hàm xác định dương f : X → ( 0, ∞ ] mà có U small phân hoạch” Tìm hiểu tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị với tính chất Từ áp dụng chúng việc tìm mịn phủ mở “Cho { f s }s∈S phân hoạch đơn vị X { fT' }T ⊆ S đạo hàm Nếu hai phủ mở U = {U T }T ⊆ S V = {υ s }s∈S X định nghĩa U T = ( fT' ) −1 ( 0,1] Vs = f s−1 ( 0,1] hình U điểm X làm mịn V ” việc tính tốn bậc phân hoạch đơn vị “Cho phân hoạch đơn vị khơng gian X Bậc {f } s s∈S {f } ' T T ⊆S {f } s s∈S đạo hàm tối đa n fT' ≡ 0, ∀T ⊆ S , T chứa tối thiểu n+2 phần tử” Ở chương ba, dựa sở định nghĩa, định lý trình bày chương hai, chúng tơi tìm hiểu số áp dụng phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc Cụ thể sau: 62 Định nghĩa khơng gian chuẩn tắc “Một khơng gian Haussdorff X chuẩn tắc phủ mở hữu hạn {U s }s∈S có U - small phân hoạch đơn vị X”, chứng minh định lý thác triển Tietze “Nếu X khơng gian chuẩn tắc A tập đóng X, hàm liên tục f : A → [0,1] có thác triển X” U -small phân hoạch đơn vị (phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ) Tìm hiểu thác triển U -small phân hoạch đơn vị khơng gian chuẩn tắc “Cho X khơng gian chuẩn tắc, A tập đóng X {U s }s∈S phủ mở hữu hạn X Bất kì U -small phân hoạch đơn vị hữu hạn { f s }s∈S A có thác triển U - small phân hoạch đơn vị hữu hạn { g s }s∈S { f s }s∈S X” Tổng qt hơn, chúng tơi nghiên cứu thác triển U -small phân hoạch hàm số liên tục khơng gian chuẩn tắc “Cho X khơng gian chuẩn tắc, f : X → [0, ∞) hàm số liên tục, A tập đóng X U = {U s }s∈S phủ mở hữu hạn X Bất kì U ⎢A - small phân hoạch { f s }s∈S f ⎢A có thác triển U - small phân hoạch { g s }s∈S f” Cũng chương này, nghiên cứu vấn đề mêtric hóa, sử dụng phân hoạch đơn vị, U -small phân hoạch đơn vị áp dụng tính liên tục đồng bậc cho ta tiêu chuẩn đơn giản cho mêtric hóa khơng gian, chẳng hạn đưa tiêu chuẩn để khơng gian Hausdorff mêtric hóa “Một khơng gian Hausdorff X mêtric hố có phân hoạch đơn vị { f s }s∈S X cho { f s−1 (0,1]}s∈S sở lân cận mở X” Từ đó, với việc vận dụng tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị chứng minh định lý mêtric hóa “Đối với khơng gian 63 tơpơ điều kiện sau tương đương: Khơng gian mêtric hóa được, khơng gian qui có sở σ - hữu hạn địa phương mở, khơng gian qui có sở σ - rời rạc mở” theo hướng Vai trò phân hoạch đơn vị khơng dừng lại điều mà luận văn chúng tơi trình bày, nhà tốn học sử dụng phân hoạch đơn vị xây dựng số chiều phủ khơng gian, cụ thể dùng phân hoạch đơn vị hữu hạn khơng gian chuẩn tắc phân hoạch đơn vị tùy ý khơng gian paracompact Vì lí đó, tác giả tha thiết đề nghị đọc giả (nếu có quan tâm) tiếp tục nghiên cứu phân hoạch đơn vị Sau cùng, có nhiều cố gắng hạn chế thời gian khả nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót định Chúng tơi tha thiết mong nhận góp ý q thầy bạn luận văn Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp, Tơpơ đại cương, Nhà xuất Giáo dục Đậu Thế Cấp (2003), Giải Tích Hàm, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Xn Liêm (1994), Tơpơ đại cương – Độ đo Tích phân, Nhà xuất Giáo dục Hồng Xn Sính – Đồn Quỳnh, Tơpơ gì?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Đỗ Đức Thái (2002), Bài tập Tơpơ đại cương – Độ đo Tích phân, Nhà xuất Đại học Sư Phạm J.L Keli (1973), Tơpơ đại cương, Nhà xuất Đại học Trung học chun nghiệp Tiếng Anh J Dydak, Extension theory: The interface between set – theoretic and algebraic topology, Topology Appl 74 (1996), 225 – 258 J Dydak, Cohomological dimension and metrizable space II, Trans Amer.Math Soc 348 (1996), 1674 – 1661 J Dydak and N.Feldman, Major theorems on compactness: A unified approach, American Mathematical Monthly 99 (1992),220-227 J Dydak and J Segal, Shape theory: An introduction, Springer Verlag (1978) Http: //en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity Http: //en.wikipedia.org/wiki/Normal_space Http: //en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function Http: // planetmath Org/encyclopedia/PartitionOfUnity Html [...]... tất cả các phần tử của họ U chứa điểm x 24 Chương 2 PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về phân hoạch đơn vị, sự liên tục đồng bậc cùng với tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị 1 Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc 1.1 Phân hoạch đơn vị 1.1.1 Định nghĩa 1 Cho { f s }s∈S là một họ các hàm từ khơng gian X vào [ 0, ∞ ) Ta định nghĩa hàm số f như sau: f... } n≥1 là một phủ mở đếm được của khơng gian X Một U small phân hoạch đơn vị trên X tồn tại nếu và chỉ nếu có một hàm xác định dương f : X → ( 0, ∞ ] mà có một U -small phân hoạch Chứng minh Chiều thuận (hiển nhiên) Chiều nghịch 29 Giả sử F = { f n } n≥1 là một U - small phân hoạch của f : X → ( 0, ∞ ] Ta cần chứng minh tồn tại một U -small phân hoạch đơn vị trên X Thật vậy, Đặt g n = min ( f n ,2−... ∞)}s∈S là một phân hoạch của f : X → [0, ∞] và U = {U s }s∈S là một phủ mở của X F là một U - small phân hoạch của hàm f (phân hoạch phụ thuộc vào phủ U ) nếu f s ( X − U s ) ⊆ {0} với mỗi s ∈ S Nói cách khác, giá của f s được chứa trong U s với mỗi s ∈ S Ví dụ 26 ⎧ ⎛θ ⎞ ⎛ θ ⎞⎫ Họ F = ⎨ sin 2 ⎜ ⎟ , cos2 ⎜ ⎟ ⎬ là một phân hoạch đơn vị đối với đường ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠⎭ ⎩ tròn S1 Đây là phân hoạch đơn vị phụ thuộc... thì họ { f s }s∈S được gọi là phân hoạch của hàm f Ta có định nghĩa phân hoạch của hàm f : X → [ 0; ∞ ] như sau: 1.1.2 Định nghĩa 2 Một họ các hàm F = { f s : X → [0, ∞)}s∈S được gọi là một phân hoạch của hàm f : X → [0, ∞] nếu f s liên tục với mỗi s ∈ S và ∑f s =f s ∈S Đặc biệt: Nếu ∑f s∈S s = 1 thì F được gọi là một phân hoạch đơn vị 25 F được gọi là một phân hoạch đơn vị hữu hạn nếu f s ≡ 0 khắp... với mọi y ∈ F Khơng gian hồn tồn chính qui gọi là khơng gian Tikhonov 17 Khơng gian tơpơ X gọi là T4 - khơng gian ( hay khơng gian chuẩn tắc) nếu X là T1- khơng gian và hai tập con đóng A, B bất kì khơng giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A ⊂ U , B ⊂ V và U ∩ V = ∅ Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách 3 2 3.6.2 Tính chất của khơng gian chuẩn tắc 3.6.2-1 Bổ đề Urysohn... hữu hạn nếu f s ≡ 0 khắp nơi trừ hữu hạn s ∈ S F được gọi là một phân hoạch hữu hạn điểm nếu F | { x} là một phân hoạch hữu hạn của f | { x} với ∀x ∈ X F được gọi là một phân hoạch hữu hạn địa phương nếu với mỗi x ∈ X có một lân cận U của x trong X sao cho F U là một phân hoạch hữu hạn của f ⎢U Sau đây chúng ta xét đến khái niệm phân hoạch { f s }s∈S phụ thuộc vào một phủ cho trước Trước tiên ta xét... Hệ quả 2.7 Mỗi phân hoạch liên tục đồng bậc { f s }s∈S của hàm f : X → (0, ∞) (hữu hạn xác định dương) có một xấp xỉ hữu hạn địa phương { g s }s∈S sao cho bao đóng của giá của g s chứa trong giá của f s với mỗi s ∈ S { } (có nghĩa là cl { x ∈ X | g s ( x ) ≠ 0} ⊂ x ∈ X ⏐ f s ( x ) ≠ 0 ) Chứng minh Trước tiên ta xét khái niệm xấp xỉ Một phân hoạch đơn vị { g s }s∈S trên X là xấp xỉ phân hoạch { f } của... U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = ∅ Khơng gian tơpơ X gọi là T3 - khơng gian (hay khơng gian chính qui) nếu X là T1- khơng gian và với mọi tập con đóng F của X khơng chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x ∈U , F ⊂ V và U ∩ V = ∅ Khơng gian tơpơ X gọi là T 1 - khơng gian (hay khơng gian hồn tồn 3 2 chính qui) nếu X là T1 - khơng gian và với mọi x ∈ X , mọi tập con đóng F của X khơng... ⎡ 1⎤ g1 : X → ⎢0, ⎥ sao cho g1 = 0 trên B và g1 = trên C 3 ⎣ 3⎦ Từ đó 0 ≤ f − g1 ≤ 2 trên A Giả sử đã xây dựng được g1 , , g n −1 có tính 3 n −1 2n−2 ⎛2⎞ chất 0 ≤ g n−1 ≤ n −1 trên X và 0 ≤ f − ∑ g j ≤ ⎜ ⎟ 3 j =1 ⎝3⎠ n −1 trên A ⎡ 2n −1 ⎤ Bằng phương pháp trên, ta có g n : X → ⎢0, n ⎥ sao cho g n = 0 trên tập ⎣ 3 ⎦ có n n 2n −1 2n −1 ⎛2⎞ f − ∑ g j ≥ n và g n = n trên tập có f − ∑ g j ≥ ⎜ ⎟ Dễ thấy... 2) Từ (1) và ( 2): g liên tục ( theo định lý 2.1) Suy ra {gn }n≥1 là phân hoạch của hàm liên tục g Khi đó họ { g n / g }n≥1 là U- small phân hoạch đơn vị trên X Nhận xét Từ định lý 2.1 ta thấy: Nếu họ { f s }s∈S có tính chất mỗi x ∈ X và mỗi ε > 0 có một lân cận U của x trong X và một tập con hữu hạn T của S sao cho giá trị của ∑ f s trên U nhỏ hơn ε thì ta nói {max(0, f s − ε)}s∈S hữu hạn địa s∈S \T ... cho T ( i ) tồn ( M ∞ ) M Với số ngun i ≤ M ta đặt vi = ∑ fT' ( k ) / T ( k ) vi dãy giảm k =i nghiêm ngặt số i > (v1 ⊃ v2 ⊃ vi ⊃ vi+ 1 ⊃ ) vi +1 = f s ( x ) , s ∈ T ( i + 1) T (i ) i ≥ M Ta... ( i − 1) ( s ∈ T (1) i = ) Khi f s ( x ) = vi giá trị nhỏ tất f t ( x ) , t ∈ T , vi +1 ( vi +1 = i=M) giá trị lớn ft ( x ) , t ∈ S T M Do vi − vi +1 = ∑ k =i fT' ( k ) ( x ) T (k ) − M ∑... tồn đơn ánh f : X → Y ta vi t card ( X ) ≤ card (Y ) ; tồn song ánh f : X → Y ta vi t card ( X ) = card (Y ) ; tồn đơn ánh f : X → Y khơng tồn song ánh từ X lên Y ta vi t card ( X ) < card (Y