BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Duệ LIÊN THÔNG FINSLER Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS Khu Quốc Anh, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bước hướng dẫn, động viên giúp đỡ làm quen với “Liên thông Finsler” để bước tiến tới nắm vững lý thuyết “Liên thông Finsler” tự giải toán Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy tổ hình học, Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc đạt hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Tổ chức Hành Chánh, Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, Phòng Kế hoạch-Tài Trường Đại Học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn UBND Tỉnh Tây Ninh, Ban Giám Hiệu tập thể tổ toán Trường THPT Hoàng Văn Thụ tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.1 Không gian Tenxơ 11 1.1.1 Không gian vectơ thực n-chiều 11 1.1.2 Không gian tenxơ kiểu (r,s) Vsr 12 1.1.3 Trường vectơ tiếp xúc X đa tạp khả vi M 12 1.1.4 Trường vectơ song song S(u) 13 1.1.5 Mệnh đề 14 1.2 Nhóm tuyến tính tổng quát G  GL(n, ) 14 1.2.1 Phép tự đẳng cấu Lgg 14 1.2.2 Biểu diễn liên hợp g 15 1.2.3 Tích Lie trường vectơ tiếp xúc 15 1.2.4 Dạng vi phân đa tạp khả vi M 16 1.3 Tác động G lên Vsr 17 1.3.1 Tác động G lên không gian vectơ thực n-chiều 17 1.3.2 Tác động G lên không gian vectơ đối ngẫu 17 1.3.3 Tác động G lên Vsr 18 1.3.4 Trường vectơ V(A) Vsr 18 1.3.5 Tác động  L(G) lên Vsr 19 1.3.6 Tính chất 19 1.3.7 Ví dụ 19 1.4 Phân thớ mục tiêu L(M) 20 1.4.1 Định nghĩa phân thớ mục tiêu L(M) 20 1.4.2 Biểu thức tọa độ không gian toàn phần L 20 1.4.3 Không gian thẳng đứng Lvz 21 1.4.4 Trường vectơ Z(A) L 21 1.5 Phân thớ Tenxơ tiếp xúc 22 1.5.1 Phân thớ tenxơ tiếp xúc 22 1.5.2 Biểu thức tọa độ Tsr 23 1.5.3 Không gian thẳng đứng Tsr 23 1.5.4 Ánh xạ thừa nhận Ánh xạ liên kết 24 1.5.5 Nhận xét 24 1.6 Trường Tenxơ 25 1.6.1 Trường tenxơ đa đạp khả vi M 25 1.6.2 Dạng  L 27 1.6.3 Tính chất 27 1.7 Liên thông tuyến tính 28 1.7.1 Liên thông tuyến tính  đa tạp khả vi M 28 1.7.2 Dạng liên thông   29 1.7.3.Tính chất  29 1.7.4 Đường cong nằm ngang 29 1.7.5 Trường vectơ nằm ngang B(v) L 30 1.7.6 Tính chất B(v) 30 1.7.7 Vi phân thuận biến Đạo hàm thuận biến 31 1.7.8 Tích Lie trường vectơ tiếp xúc 31 1.7.9 Liên thông liên kết với  32 1.7.10 Tính chất liên thông liên kết 32 Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER 34 2.1 Phân thớ Finsler 34 2.1.1 Phân thớ Finsler F(M) 34 2.1.2 Không gian thẳng đứng Fuv Fu 35 2.1.3 Trường vectơ Z(A) F 35 2.1.4 Mệnh đề 36 2.1.5 Nhận xét 37 2.1.6 Không gian tựa thẳng đứng Fuq 37 2.1.7 Định nghĩa hàm  38 2.1.8 Mệnh đề 38 2.2 Các dạng Tenxơ Finsler 40 2.2.1 Trường tenxơ Finsler 40 2.2.2 Biểu thức tọa độ F 41 2.2.3 Định nghĩa 42 2.2.4 Tính chất 42 2.3 Liên thông thẳng đứng 42 2.3.1 Không gian thẳng đứng cảm sinh Fui 42 2.3.2 Trường vectơ cảm sinh Y(v) F 43 2.3.3 Mệnh đề 43 2.3.4 Mệnh đề 44 2.3.5 Phân thớ Finsler F(M) 45 2.3.6 Liên thông thẳng đứng  v F 46 2.3.7 Liên thông dẹt thẳng đứng 47 2.3.8 Trường vectơ v-cơ Bv (v)  v 47 2.3.9 Trường tenxơ Cartan C 48 2.4 Liên thông phân thớ Finsler 49 2.4.1 Liên thông  phân thớ Finsler 49 2.4.2 Liên thông thẳng đứng liên kết  v 50 2.4.3 Liên thông tầm thường t  F 50 2.4.4 Định lý 52 2.5 Liên thông phi tuyến V-liên thông 52 2.5.1 Liên thông phi tuyến N 52 2.5.2 Dạng v-cơ  v 53 2.5.3 V-liên thông  V 53 2.5.4 Dạng V-liên thông  V 54 2.5.5 Trường vectơ V-cơ B(v) (v1 ) L 55 2.5.6 Liên thông phi tuyến N* 56 2.5.7 Liên thông phi tuyến liên kết với  V 57 2.6 Liên thông Finsler 57 2.6.1 Liên thông Finsler 57 2.6.2 Phần v-nằm ngang h-nằm ngang  58   2.6.3 Cặp Finsler  h ,  v F(M) 59 2.6.4 Định lý 59 2.6.5 Trường vectơ h-cơ Bh (v) 61 2.6.6 Mệnh đề 62 2.6.7 Trường tenxơ lệch D liên thông Finsler F  63 2.6.8 V-liên thông liên kết  V F  63 2.6.9 Định nghĩa ba Finsler 64 2.6.10 Định lý 65 2.6.11 Dạng liên thông   67 2.6.12 Liên thông Finsler tầm thường t F 68 2.6.13 Định lý 68 2.7 Phép chuyển dời song song 70 2.7.1 Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) đa tạp khả vi 70 2.7.2 Định nghĩa 72 2.7.3 Mệnh đề 73 2.7.4 Định nghĩa 73 2.7.5 Định nghĩa 74 2.7.6 Định nghĩa 75 2.8 Các tham số liên thông 75 KẾT LUẬN 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học vi phân mặt không gian Ơclit ba chiều nghiên cứu từ nửa cuối kỷ XIX với công trình nghiên cứu Gauss, Christoffel Phép tính tenxơ nghiên cứu vào năm 1900 qua công trình Ricci Levi-Civita Để nghiên cứu biến thiên trường vectơ, trường tenxơ mặt nói riêng đa tạp nói chung người ta cần dựa vào phép tịnh tiến song song Trong không gian afin phép tịnh tiến song song định nghĩa cách trực quan dễ dàng Tuy nhiên, mặt nói riêng đa tạp khả vi nói chung việc định nghĩa phép chuyển dời song song không đơn giản Để giải vấn đề lý thuyết liên thông đời Người trình bày khái niệm chuyển dời song song mặt Levi-Civita (năm 1917) Đến năm 1918 qua công trình nghiên cứu mình, nhà toán học Đức Paul Finsler (18941970) cho đời “Hình học Finsler” theo quan điểm toán học cổ điển đến năm 1934 E.Cartan người nghiên cứu hình học Finsler theo quan điểm toán học đại Hình học Finsler xem mở rộng hình học Riemann Ngay từ đời, hình học Finsler nhiều nhà toán học quan tâm như: E Cartan, V Barthel, H Rund, S.S Chern, M.Matsumoto,…và trở thành hướng nghiên cứu quan trọng hình học vi phân đại phát triển mạnh mẽ ngày Trong năm gần đây, metric Finsler nghiên cứu sử dụng rộng rãi hình học vi phân mà giải tích phức đại, tôpô vi phân, lý thuyết số, Chọn đề tài liên thông Finsler, lĩnh vực hình học Finsler muốn tìm hiểu sâu hình học vi phân học đại học Mục đích Luận văn nghiên cứu chứng minh cách đầy đủ số định lý mệnh đề chủ yếu Liên thông Finsler Đối tượng nội dung nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu định nghĩa tương đương liên thông Finsler, số định lý mệnh đề chủ yếu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận văn tạo sở mở đầu để nghiên cứu Liên thông Finsler Thông qua đó, giúp ta tìm hiểu sâu hình học vi phân học đại học Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Giới thiệu khái niệm không gian tenxơ, nhóm tuyến tính tổng quát G  GL (n , ) , phân thớ mục tiêu L(M), phân thớ tenxơ tiếp xúc, trường tenxơ, liên thông tuyến tính đa tạp khả vi Chương 2: Liên thông Finsler Trình bày liên thông Finsler đến kết luận: có định nghĩa tương đương liên thông Finsler: + F   (, N )  + F    h , v   + F   V , N , v  θv N Do đó, xác định định lý (2.6.11) dạng liên thông  2.6.12 Liên thông Finsler tầm thường t F  Cho liên thông tuyến tính  L(M), liên thông tầm thường t  suy từ  liên thông liên kết 1 với  Khi đó, liên thông Finsler t F    ,  gọi liên thông Finsler tầm thường suy t  từ  Ta chứng minh phần v-nằm ngang t v dẹt tenxơ Cartan tC triệt tiêu Bây giờ, ta chứng minh định lý sau 2.6.13 Định lý Cho t F  liên thông Finsler tầm thường suy từ liên thông tuyến tính  , trường tenxơ lệch t D t F  triệt tiêu V-liên thông liên kết t F   ban đầu Do đó, t F     ,   =   , F    ,  , F   t t h i  i Chứng minh * Đầu tiên, ta chứng minh trường vectơ h-cơ t B h (v ) t F  xác định bởi: t    B (v ),0  B h (v )  L1 Trong đó, B (v ) trường vectơ  Thật vậy, gọi ω t ω  ω π2 dạng liên thông  t  , ta có t   ω (L1 ) (B (v ),0)  ω π2 (L1 )(B (v ),0)  ω B (v )  Suy (L1 ) (B (v ),0)  t  Mặt khác π1 L1  z nên ta có π1 (L1 )(B (v ),0)( z ,v )  α(B (v ),0)( z ,v )  αv1 B (v )z  αv1 l z (zv )  t l y (zv ), y  zv Ở đây, l z t l y phép nâng  1    B (v ),0  Do đó, t B h (v )  L1 * Tiếp theo ta chứng minh t V    Ta có: t u  X  Fu π2 X   z  , (v )z  π2 uh V  (v ) , v V  Gọi t lu nâng sinh t  Lấy v a  a = 1, 2, …, m sở V với z  L ta có zv a sở M x  T x M (ở x   L (z ) )   Do t B h (v a )u  t lu l y (zv a ) , a = 1,2,…,m hệ vectơ độc lập tuyến tính thuộc t uh  t u (ở u  ( y , z )  F , π1( y )  π2 (z )  x ) Suy ra: dim t u  m hay dim t V  m (1) Mặt khác t (v )z  π2 t uh nên dim t V  dim t  h Để ý T y  N y  T yv , t uh  t lu N y nên dim t  h  dim N y  dim M  m (2) Từ (1) (2), suy dim t V  m Dễ thấy dim   m t (v )z  π2 t uh   z nên t V   * Cuối ta cần chứng minh tenxơ lệch t D = Ta có: S  D (v )  ε B t t h (v )  ε.(L1 ) (B (v ),0)  2.7 PHÉP CHUYỂN DỜI SONG SONG 2.7.1 Phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) đa tạp khả vi a) Định nghĩa Ta biết phân thớ Finsler F(M) định nghĩa giống phân thớ cảm sinh πT1L (M ) T(M) Bây giờ, phép chiếu πT :T  M lại cho phân thớ cảm sinh πT1T sr (M ) T(M) từ phân thớ tenxơ tiếp xúc kiểu (r,s) T sr (M ) Cấu trúc phân thớ πT1T sr (M )  Fsr (M ) viết dạng:  Fsr (M )  Fsr ,T , ρ1,V sr ,G  Khi đó, Fsr (M ) gọi phân thớ tenxơ Finsler kiểu (r,s) M Trong đó: * Không gian toàn thể Fsr đa tạp đóng tích T T sr cho:   Fsr  ( y , K ) T T Sr πT ( y )  πsr (K ) Ở đây, πsr :T sr  M phép chiếu T sr (M ) nghĩa là, điểm u  ( y , K )  Fsr cặp gồm vectơ tiếp xúc y  M x tenxơ tiếp xúc kiểu (r,s) K  (M x )sr * Phép chiếu ρ1 : Fsr  T hạn chế ánh xạ tắc T T sr  T , ( y , K )  y tới Fsr * G  GL (n , ) nhóm cấu trúc b) Nhận xét * Phân thớ tenxơ Finsler Fsr (M ) M xem phân thớ liên kết với phân thớ Finsler F(M) Nghĩa là, nhóm cấu trúc G F(M) nhóm Lie phép biến đổi không gian Vsr phép toán φ Vì thế, G xem nhóm Lie phép biến đổi tích F V sr cho (u ,w )  F V sr  (ug , g 1w ), g G Do đó, ta có không gian thương (F V sr ) G = Fsr phép chiếu tắc α : F V sr  Fsr , (u ,w )  uw  ( y , zw ) với u  ( y , z )  F Như vậy, α ánh xạ α : L V sr  T sr : α  ( y , z ),w    y , α(z ,w )  Ánh cảm xạ cố sinh từ định phải αw : F  Fsr , ( y , z )  ( y , zw ) gọi ánh xạ liên kết * Khi cho liên thông  F(M), ta có liên thông liên kết:    F  sr : u  Fsr  sr u r s u điểm u ) định nghĩa bởi:   (với Fsr u không gian tiếp xúc với Fsr   r s  α w u , u  uw u Nếu cho liên thông Finsler F   (, N )  ( h , v ) , liên thông liên kết sr biểu thị dạng tổng trực tiếp sau:           α  ,    sr r s u  sr h u w h u  sr h u r s v u v u  αw vu , u  uw Bây giờ, ta xét phép nâng đường cong C T tới F(M) Cho C :[0,1]  T , t  y (t ) đường cong T điểm u (0)  π11y (0) , phép nâng C tới F xuất phát từ u(0) đường cong lu (0)C :[0,1]  F , t  u (t ) phủ C, nghĩa u (t )   y (t ), z (t )  nằm ngang Hơn nữa, ta có lug C  τ g (luC ) 2.7.2 Định nghĩa * Cho C : t  u (t )   y (t ), z (t )  phép nâng đường cong C : t  y (t ) T tới F Khi đó, ta nói mục tiêu tuyến tính z (t )  π2u (t ) thu từ z(0) phép chuyển dời song song dọc theo đường cong C hay dọc theo đường cong C  πT C trường vectơ tiếp xúc y(t) dọc theo C * Đối với liên thông liên kết sr , ta thu phép nâng C tới Fsr Tức là, với việc cho điểm u (0)  ρ11y (0) phép nâng C tới Fsr xuất phát từ u (0) đường cong: l u (0)C :[0,1]  Fsr , t  u (t ) , đường cong phủ C nghĩa u (t )  ( y (t ), K (t )) nằm ngang V sr Sự tồn đường cong lu (0)C dẫn đến mệnh đề sau 2.7.3 Mệnh đề Cho đường cong C : t  y (t ) T điểm u (0)   y (0), K (0)   Fsr Khi đó, ta lấy điểm u (0)   y (0), z (0)  F w  z (0)1 K (0) V sr phép nâng lu (0)C C tới Fsr xuất phát từ u (0) xác định cách bởi:   l u (0)C  αw lu (0)C Do vậy, ta có: lu (0)C (t )  u (t )   y (t ), z (t )  F, l u (0)C (t )  u (t )   y (t ), z (t )w  , u (0)  u (0)w Fsr 2.7.4 Định nghĩa * Cho C * : t  u (t )   y (t ), K (t )  phép nâng đường cong C : t  y (t ) T tới Fsr liên thông liên kết sr Khi đó, tenxơ kiểu (r,s) K (t )  ρ2 u (t ) gọi thu từ K(0) phép chuyển dời song song dọc theo C hay dọc theo C  πT C trường vectơ tiếp xúc y(t) dọc theo C * Chú ý: K(t) = z(t)w z(t) thu từ z(0) phép chuyển dời song song dọc theo C Do đó, ta nói trường song song tenxơ có thành phần số trường song song mục tiêu tuyến tính Tiếp theo, ta đưa vào khái niệm đường cong nằm ngang đường cong thẳng đứng T liên thông phi tuyến N Đầu tiên, ta xét đường cong nằm ngang C : t  y (t ) T Khi đó, C xem nâng phép chiếu πT C  C : t  x (t ) M N 2.7.5 Định nghĩa * Cho C : t  x (t ) đường cong M C : t  y (t ) phép nâng C tới T liên thông phi tuyến N Khi đó, vectơ tiếp xúc y (t )  M x (t ) gọi thu từ y (0)  M x (0) phép chuyển dời song song dọc theo C * Phép nâng lu (0)C đường cong nằm ngang C tới F xuất phát từ u (0)  π11y (0) tiếp xúc với phần h-nằm ngang  h , phép nâng   lu (0)C C tới Fsr xuất phát từ u (0)  ρ11y (0) tiếp xúc với sr h Kế đến, ta xét đường cong thẳng đứng C : t  y (t ) T Trong trường hợp này, phép chiếu C  πT C điểm đơn phép nâng   lu (0)C tiếp xúc với sr v Tóm lại, xét phân thớ tenxơ Finsler   F1 (M ) Một điểm u  y , y  F1 cặp gồm hai vectơ tiếp xúc y , y  M x Do đó, từ   đường cong C : u (t )  y (t ), y (t ) F1 ta thu hai đường cong T sau: ρ1C : t  y (t ), ρ2C : t  y (t ) Ở đây, ánh xạ cảm sinh ρ2 hạn chế ánh xạ tắc T T sr  T sr , ( y , K )  K tới Fsr 2.7.6 Định nghĩa Một đường cong C : t  y (t ) T gọi song song với đường   cong C : t  y (t ) T đường cong C * : t  u (t )  y (t ), y (t ) F1 phép nâng C Do đó, ta có ρ1C *  C , ρ2C *  C y (t ) thu từ y (0) phép chuyển dời song song dọc theo C 2.8 CÁC THAM SỐ LIÊN THÔNG   Gọi u = x i , y i , z tọa độ cảm sinh điểm u  F , ánh xạ   u τ biểu thị dạng u τ : g  g ba  ug   x i , y i ,  z g ba    i ,b     vi phân u τ u τ  :  i  Do đó, ta có:  z  a i g ba  z a,b b * Trường vectơ Z(A) F ứng với A  L (G ) xác định bởi: (1) Z (A )u   z A ba    , u  x i , y i , z , A   A ba Lba i z b * Dạng θ L biểu thị dạng: θ z   z 1ai dx i e a Khi đó, dạng h-cơ θ h xác định bởi: (2) θuh   z 1ai dx i e a * Vi phôi L : F  L V cho bởi:    L : u  x i , y i , z  (x i , z ), (z 1ai y i )  ảnh ngược L là:     L1 : (x i , z ),(v a )  x i , z aiv a , z Do đó, vi phân L1 biểu thị dạng:  L  : x 1 i        , v a i  i ,  z i i a v y i x z a y z a * Trường vectơ tiếp xúc Y(v) F với v V xác định bởi: (3) Y (v )u   z aiv a    , u  x i , y i , z , v  (v a ) i y i Tiếp theo, gọi C jk thành phần cổ điển tenxơ Cartan C liên thông thẳng đứng v , ta có:  i * (4) C u   z 1ai C jk z bj z ck Lba  e c      * (5) B v (v )u   z v a  i  z bk C kij , v  (v a )  j  y z b   Cho liên thông Finsler F  Đầu tiên, ta xét dạng liên thông  Nếu ta đặt ω   ωba Lba , ωba   ωbia dx i  ωba( i )dy i  ωbiac dz ci , ta có: ωbiac  δbc z 1ai (do (Z(A)) = A (1))   ωba( i )  z 1aj C kij (do ω B v (v )  (5))  kij  z aj ωbia (do ω.τ g  ad ( g 1 )ω ) với  kij hàm x s y s Do đó, ta có:   i dy k * (6) ωba  z 1ai dz bi  z bj  ijk dx k  z bj C jk Kế đến, ta xét dạng v-cơ θv Từ phương trình θv ( Z (A ))  0, θv (Y (v ))  v phương trình ta có: θv  θ (v )a e a , θ (v )a  θia dx i  z 1ai dy i Hơn nữa, từ phương trình θv τ g  g 1θv ta có: N ji  z θ aj với N i j hàm x s y s Do đó, ta có:  * (7) θ (v )a  z 1ai dx i  N ji dy j     k j   * (8) B h (v )u  z aiv a  i  N ij  z F , v  (v a ) ,  b ki j j  x y z b   Ở đây, ta đặt * (9) F jki   ijk  C jli N kl     Từ tính chất (8) ta có π2 B h (v )u  z aiv a  i  z bk Fkij j   x   z  b  Do đó, cho V V-liên thông phụ thuộc F  , ta gọi: * Fkij tham số liên thông V i tham số liên thông v * C jk * N ij tham số liên thông N  i Khi đó, tập F jki , N ji ,C jk  gồm hàm T gọi tham số liên thông liên thông Finsler F  Gọi D tenxơ lệch liên thông Finsler F  Khi đó, ta có: * (10) Du  z 1ai D ji z bj e ab , D ji  y k Fkji  N ji Vì vậy, y k Fkji  N i j thành phần tenxơ Finsler theo nghĩa cổ điển   Cho C : t  x i (t ), y i (t ) đường cong T, phép chuyển dịch song song tenxơ Finsler kiểu (1,0) K dọc theo C biểu thị phương trình vi phân sau đây: * (11) dK i K dt j k  i dx k i dy    C  jk   jk dt dt   Ở đây, K i thành phần cổ điển K Trong trường hợp đặc biệt, C nằm ngang ta có k dK i j i dx  K F jk 0 * (12) dt dt C thẳng đứng ta có k dK i j i dy  K C jk  * (13) dt dt KẾT LUẬN Trong trình thực luận văn, chứng minh cách đầy đủ số định lý mệnh đề chủ yếu sau đây: + Tồn phép tương ứng 1-1 tập hợp tất liên thông Finsler M tập hợp tất cặp Finsler F(M), nghĩa ta có:   (, N )   h , v : uh  lu N y , vu  luT yv , y   1(u )   ,    ( , N ) :  h v u  + Tập  , h , v  Z (A ), B h   uh  vu , N y   1uh , u   11 ( y ) vi phân 1-dạng F đối ngẫu với tập  (v ), B v (v ) trường vectơ tiếp xúc bảng sau: h v Z(A) A 0 B h (v ) v B v (v ) 0 v + Tồn phép tương ứng 1-1 tập hợp tất liên thông Finsler M tập tất ba Finsler M, nghĩa ta có:  , N     h , v    V , N , v  : (v )z  V     π2 uh , u  L1 (z ,v )  , N , v   , N    h , v :  uh  X  Fu π1 X  N y , π2 X  (v )z , u  ( y , z ), v  ε (u ) + Dạng liên thông liên thông Finsler F  biểu thị bởi: ω  ω(v ) π2  C (θv ) ω(v ) dạng liên thông ứng với (v ) + t F  liên thông Finsler tầm thường suy từ liên thông tuyến tính  , tenxơ lệch t D t F  triệt tiêu V-liên thông phụ thuộc t F   ban đầu Do đó, t F    ,   =   , F    ,  , F  t  t h i  i Trong trình thực luận văn, thân cố gắng tìm hiểu học hỏi Tuy nhiên, thời gian vốn kiến thức thân số hạn chế định nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành quý Thầy cô đọc giả Một lần xin chân thành cảm ơn Thầy cô tận tình hướng dẫn, bảo, góp ý cho luận văn hoàn thành TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thông hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Giải tích đa tạp thực phức (sách dịch), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh X Chen, Zhongmin Shen, David Dai-Wai Bao (1995), Finsler Geometry: Joint Summer Research Conference on Finsler Geometry, July 16-20, 1995 X Chen, Zhongmin Shen, Riemann – Finsler geometry, Vol.6, Publications World Scientific S Kobayashi, K Nomizu (1963), Foundations of differential geometry, Publications New York S Kobayashi, K Nomizu (1969), Foundations of differential geometry, V.2, Interscience Publisher, John Wiley & Sons M Matsumoto (1970), The theory of Finsler connection, Publications of the study group of geometry Vol M Matsumoto (1986), Foundations of Finsler geometry and special Finsler spaces, Kaiseisha, Japan [...]...  0 1.7.9 Liên thông liên kết với  Cho một liên thông tuyến tính  trong L(M) và ánh xạ liên kết w : L  T sr , z  zw r Khi đó, ta thu được một phân bố r s : K T sr  (s )K  (T sr )K trong T sr , được xác định bởi r (s )K  w ( z ), K  zw Đây là định nghĩa tốt, không phụ thuộc vào sự lựa chọn cách biểu diễn zw hay (zg )( g 1w ) của K r Khi đó, phân bố s được gọi là liên thông liên kết... theo C đối với liên thông tuyến tính Chương 2: LIÊN THÔNG FINSLER 2.1 PHÂN THỚ FINSLER 2.1.1 Phân thớ Finsler F(M) a) Định nghĩa Cho phân thớ các mục tiêu L(M) và phân thớ tiếp xúc T(M) trên M, khi đó, phép chiếu T :T (M )  M là một ánh xạ khả vi Theo lý thuyết về các phân thớ vectơ, ta thu được một phân thớ cảm sinh T1(L (M )) từ L(M) bởi T , ký hiệu là F(M) và được gọi là phân thớ Finsler của... cấu tuyến tính và  L 1z = đồng nhất Vectơ tiếp xúc 1z ( X ) gọi là cái nâng của X  M x tới điểm z  L 1.7.2 Dạng liên thông  của  Bây giờ, ta định nghĩa 1-dạng  trên L lấy giá trị trong L(G) như sau: Với trường vectơ cơ bản Z (A ) trên L, 1-dạng  được xác định bởi:  Z (A )  A ,    0 Khi đó,  được gọi là dạng liên thông của  1.7.3 Tính chất của  Dạng liên thông  của liên thông  thỏa... các tính chất sau đây: *  Z (A )  A ,    0 *   g  ad ( g 1 ) , ở đây ad là biểu diễn liên hợp của G trong L(G) Ngược lại, nếu cho 1-dạng  trên L lấy giá trị trong L(G) thỏa mãn  Z (A )  A , khi đó tồn tại duy nhất một liên thông tuyến tính  trên L sao cho dạng liên thông của nó là  và liên thông tuyến tính  này được xác định bởi:  z  X  L z  X  0 1.7.4 Đường cong nằm ngang Nếu... : L  U là một trường tenxơ, khi đó ta có  Z (A )  K  A K Ở đây, Z (A ) là một trường vectơ cơ bản ứng với A  L (G ) và A K   (A , K ) là tác động của A  L (G ) trên K U 1.7 LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH 1.7.1 Liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi M a) Định nghĩa Một liên thông tuyến tính  trên đa tạp khả vi n-chiều M hay trong phân thớ các mục tiêu L(M) trên M là một phân bố trong không gian... Khi đó, phân bố s được gọi là liên thông liên kết với  r 1.7.10 Các tính chất của liên thông liên kết s r * (T sr )K  (s )K  (T sr )vK , trong đó (T sr )v là phân bố thẳng đứng * Xét đường cong C :[0,1]  M , t  x (t ) và một điểm K (0)  T1  x (0)  Khi đó, nếu ta lấy một điểm z (0)   L1  x (0)  và đặt w  z (0)1 K (0) V sr thì 1z (0)C là cái nâng của C tới L xuất phát từ z(0) *... A 2 ] , A1, A 2  L (G ) *  Z (A ), B (v )  B (A v )  Ở đây, A  L (G ), v V và A v là phép toán của A  L (G ) trên v V * Phương trình cấu trúc của liên thông tuyến tính  B (v 1 ), B (v 2 )  B T (v 1,v 2 )  Z  R (v 1,v 2 ) , v 1,v 2 V Ở đây, độ xoắn tenxơ T là (1,2)-kiểu và độ cong tenxơ R là dạng liên hợp lấy giá trị trong L (G ) V 20 *  B (v 1 ), B (v 2 ) K    K (v 2 ) v... thừa nhận được và ánh xạ liên kết * Ánh xạ cố định trái z  của  cho một vi phôi: z :V sr  T1(x ), w  zw với x   L (z ) Khi đó, z  được gọi là ánh xạ có thể chấp nhận được Hơn nữa, ta có tính chất sau: zg   z .g  * Ánh xạ cố định phải w : L  T sr , z  zw của  được gọi là ánh xạ liên kết Hơn nữa, ta có:  gw  w  g Chú ý: Trong phần sau ta sẽ ký hiệu z  1(K )  z 1K và phân thớ tenxơ... (X 1,, X p )  0, X s  L z trong đó có ít nhất một X s thẳng đứng thì  được gọi là đường nằm ngang Nếu  là dạng kiểu  và nằm ngang thì  được gọi là dạng tenxơ Đặc biệt nếu p = 0, thì một 0-dạng kiểu  gọi là một trường tenxơ kiểu  Bây giờ chúng ta sẽ xét dạng liên thông trên không gian vectơ L (G ) V sr Cho LV : L (G ) V 11 là một phép đẳng cấu tuyến tính sao cho LV (Lba )  e ab , trong... e a  của V và cơ sở đối ngẫu e a của V * , ta có n r  s bs r   phần tử e ab1 a V s , a s ,b s  1,2, , n được xác định bởi phương trình: 1 r   cr bs c1 b1 bs c1 cr e ab1 a e , ,e ,e d1 , ,e d s   a  ar  d  d 1 r  1 1 s  bs là cơ sở của V sr và được gọi là cơ sở được suy ra Khi đó, tập e ab1 a 1 r từ e a  Ta có, V sr là không gian vectơ thực n r  s - chiều và với bất kỳ ... tuyến V-liên thông 52 2.5.1 Liên thông phi tuyến N 52 2.5.2 Dạng v-cơ  v 53 2.5.3 V-liên thông  V 53 2.5.4 Dạng V-liên thông  V 54 2.5.5 Trường vectơ V-cơ... thông Finsler 57 2.6.2 Phần v-nằm ngang h-nằm ngang  58   2.6.3 Cặp Finsler  h ,  v F(M) 59 2.6.4 Định lý 59 2.6.5 Trường vectơ h-cơ Bh (v) 61 2.6.6 Mệnh đề... thuận biến  b) Đạo hàm thuận biến K Xét trường tenxơ kiểu (r,s) K (0-dạng), vi phân thuận biến DK đường nằm ngang 1-dạng (r,s)-kiểu Do vậy, ta có trường tenxơ kiểu (r+1,s) K cho:    K v 1*