HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN KHỐI ĐA DIỆN-THỂ TÍCH (Những bi tập SGK) Bài : Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện số k > cho trước Giải Xét khối tứ diện ABCD,lấy điểm E đoạn CD A cho CE = k.ED (k > 0).Khi mặt phẳng (AEB) chia tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện ABCE ABDE Gọi h chiều cao tứ diện ABCD h= d(A,(BCD) d(B,CD) = m.Ta có : 1 1 Thể tích khối tứ diện ABDE là: V2 = h m.DE Thể tích khối tứ diện ABCE là: V1 = h m.CE D B E ⇒ V1 = k.V2 C Bài 2: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết AA’B’D’ khối tứ diện cạnh a Giải C Vì AA’B’D’ tứ diện nên đường cao AH B có chân H trực tâm tam giác A’B’D’ a a AH = AA '2 − A ' H = ∆A’B’D’ ⇒ A'H = A D B' Vì A’B’C’D’ hình thoi ,góc A’ 600 nên: C' a2 SA ' B 'C ' D ' = A ' B '.C ' D '.sin 60 = a a a3 V = B.h = = o H A' O D' Bài 3: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Tính tỉ số thể tích khối hộp thể tích khối tứ diện ACB’D’ D C A Giải Đặt S = SABCD h = chiều cao khối hộp,suy thể tích khối hộp : V = Sh Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’và khối chóp :A.A’B’D’,C.C’B’D’ C' ,B’.BAC ,D’.DAC Ta có: B D' A' B' HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 chiều cao khối chóp h nên tổng S 2 thể tích là: V1 = h = Sh Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là: V2 = V – V1 = Sh Do tỉ số thể tích khối hộp thể tích khối tứ diện ACB’D’ Bài 4: Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’bằng V.Tính thể tích khối ACB’D’ Giải Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ D C khối chóp: A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC (các khối chóp có chiều cao băng chiều cao h A khối hộp) B Ta có: SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 ⇒VA.A’B’D’=VC.C’B’D’=VB’.BAC =VD’.DAC D' C' 11 1 Sh = Sh = V 32 6 1  ⇒VACB’D’= V −  V ÷ = V   = A' B' F B A Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi d khoảng cách AB CD, α góc hai đường thẳng Chứng minh : E C M VABCD= AB.CD.sinα N D Giải Dựng hình hộp AEBF.MDNC (gọi hình hộp ngoại tiếp tứ diện) Vì AEBF // MDNC nên chiều cao hình hộp d = d(AB,CD) 1 3 1 = MN CD.sin α d = AB.CD.d sin α Ta có : VABCD = V = SMDNC d HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 6: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi E,F theo thứ tự trung điểm cạnh BB’ DD’.Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp thành hai khối đa diện.Tính tỉ số thể tích khối đa diện Giải Gọi O tâm hình hộp O tâm D C hình bình hành BB’D’D suy O trung điểm EF Vì A’ thuộc đường thẳng CO nên A’ thuộc A B mp(CEF) F Ngồi : A’F // CE A’E // CF Do O mặt phẳng (CEF) cắt hình hộp theo thiết E diện hình bình hành A’ECF Mặt phẳng D' C' (CEF) chia hình hộp thành hai phần : Gọi (H) khối đa diện có đỉnh A' B' A,B,C,D,A’,E,F (H’) phần lại Phép đối xứng tâm O biến đỉnh A,B,C,D,A’,E,F (H) theo thứ tự thành đỉnh C’,D’,A’,B’C,F,E hình (H’) Suy phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành hình (H’) ⇒ Hai hình đa diện (H) (H’) nhau.Do tỉ số thể tích hai khối đa diện M A B Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh trung điểm cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ A’A nằm mặt phẳng mặt phẳng chia khối hộp thành hai phần tích N D C E A' F B' K D' J Giải Tương tự C' Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a) Biết AB= a góc mặt bên đáy α, tính thể tích khối chóp b) Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy ϕ, tính thể tích khối chóp Giải a) Gọi M trung điểm CD O tâm hình vng ABCD a 1 a α  α  V = Bh = a tan  ÷ = a3tan  ÷ 3 2 2 · = α ; OM = Vì S.ABCD hình chóp tứ giác nên suy : SMO ∆SOM vng nên: SO = OM tan(/2) Vậy HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN S S A A D M O · SCO =ϕ M O C B b) Ta có : D C B SM = d Đặt CD = 2x ⇒ OM = x; OC = x 2; SO = x 2.tan ϕ d ∆SOM vng nên :OM2 + SO2 = SM2 ⇒ x = + tan2 ϕ Vậy d 3tanϕ 1 = V = Bh = (2 x ) x tan ϕ = x tanϕ (1 + tan ϕ ) + tan ϕ 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC.Một mặt phẳng (P) qua AM song song với BD,cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Giải Gọi O tâm hình vng I giao điểm AM SO;suy I thuộc EF Vậy mp(P) qua I song song với BD nên EF // BD Vì BD ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM EF ∆SAC nên : AM = AC M F C E O A 3 a = a = 2 2 1 a 2a a = AM EF = = 2 3 ∆SAC nên : Ta có: I B 2a BD = 3 3 a = a = 2 S D = SAEMF AM = AC EF ⊥ (SAC) AM⊂(SAC) ⇒ EF ⊥ AM (1) ∆SAC ⇒ SM ⊥AM (2) Từ (1)và (2) ⇒ SM ⊥(AEMF) Vậy: VS AEMF = SAEMF SM a a a3 = = 3 18 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có trung đoạn góc hai mặt bên đối diện 600 Mặt phẳng () qua CD vng góc với mp(SAB),cắt SA,SB P1 P.Tính thể tích khối chóp S.CDP1P S P1 H P B K E O AB //(α) D A Giải Gọi SE,SK hai trung đoạn khối chóp Vì CD // AB nên giao tuyến ∆ hai mặt phẳng (SAB)và (SCD) song song với AB CD Ta có:SE ⊥ CD;SK ⊥ AB ⇒ SE ⊥ ∆ SK ⊥ C ∆ Vậy góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) · góc KSE = 60 AB Ta có : (SAB) ∩ (α) = PP ⇒ PP//  ⇒ CDP1P hình thang cân EH đường cao (H = SK ∩ P1P) Vì hai mặt phẳng () (SAB) vng góc với theo giao tuyến P1P mà EH ⊥ P1P ⇒ EH ⊥ (SAB) ⇒ EH ⊥ SH (1) Mặt khác: SH ⊥ P1P (2) Từ (1) (2) ⇒ SH ⊥ (CDP1P) ∆SKE cân có góc S 600 nên tam giác ,suy H trung điểm SK Do : P1P = 1 1 AB = KE = SE = = 2 2 1 EH = SE Vậy: VS CDP P = SCDP P SH = (CD + P1P ).SH = 1 = 2 27 Bài 11: Cho khối tứ diện ABCD.Gọi E,F trung điểm AB AD.Mặt phẳng (ABF) (CDE) chia khối tứ diện thành khối tứ diện a) Kể tên khối tứ diện chứng tỏ khối tứ diện tích b) Chứng tỏ khối tứ diện ABCD khối tứ diện A E D B F C Giải a) Bốn khối tứ diện là: ADEF , ACEF ,BDEF ,CDEF Mặt phẳng (ABF) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện CABF DABF tích (Vì F trungđiểm CD ) Mặt phẳng (CDE) chia khối tứ diện CABF DABF thành hai khối tứ diện tích (Vì E trungđiểm AB –BT1) HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN suy khối tứ diện nói tích b) Nếu ABCD tứ diện nhận mp(ABF) mp(CDE) làm mặt phảng đối xứng phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành BCEF Suy ra: Khối tứ diện ADEF ACEF (Vì chúng đối xứng qua mp(ABF)) Khối tứ diện ADEF BDEF (Vì chúng đối xứng qua mp(CDE)) Khối tứ diện ADEF BCEF (Vì chúng đối xứng qua trục EF) Bài 12: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải S ∆ABC ⇒ AO = AM = 2a a = 3 a 1 a a a3 = SABC SO = = 3 12 SO = SA − AO = VS ABC C A O M B Bài 13:Cho hình chóp tam giác S.ABC.Biết SA= b góc mặt bên đáy α.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải Gọi M trung điểm BC SO đường cao khối chóp · Ta có : SMO = α SA = b Đặt BC = x S ⇒ AM = x x x ; AO = AM = ; OM = 3 ∆SAO vng nên :SO =SA - AO = 2 ∆SOM vng có :SO = OM.tan = C A O B M x2 b − x tan α  x2  x 3.b tan α ÷ ⇔ x = Suy ra: b − =  ÷  + tan α  VS ABC = SABC SO = x x tan α = x tan α 24 3 b 3.tan α = (4 + tan α ) + tan α HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có chiều cao h góc ASB 2α Tính thể tích hình chóp Giải Gọi K trung điểm AB SO đường cao S khối chóp · Ta có : ASB = 2α SO = h Đặt AB = x ⇒ CK = x 1x x ; OK = CK = = 3 x Trong ∆SAK vng ta có : SK = AK.cot = cot α ∆SOK vng nên :SO2 =SK2 - OK2 ⇔ B C 2 12h x  x 3 h =  cot α ÷ −  ⇔ x = ÷ 3cot α − 2   ÷  O K A VS ABC 1 x2 = SABC SO = h 3 12h2 3h3 = h = 12 3cot α − cot α − Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy góc 600 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA a)Tính tỉ số thể tích khối chóp S.DBC S.ABC b)Tính thể tích khối chóp S.DBC Giải S Gọi E trung điểm BC SH đường cao khối chóp ⇒ H∈AE Ta có : a 2a a 3; AE = ; AH = AE = = D SH = AH tan 60 = C A H B E 3 a 3=a ∆ADE vng D nên: DE = AE.sin600 = a 3 3a = 2 SAH ADE nửa tam giác nên: SA = 2AH ; AE = 2AD ;SD = SA –AD = Vậy tỉ số thể tích khối chóp S.DBC S.ABC là: VS DBC SD SB SC SD 5a a = = = : = VS.ABC SA SB SC SA 12 VS ABC a 1 a2 a3 = S ABC SH = a = ⇒ VS DBC = 3 12 96 5a 12 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN S C J A H F Bài 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = 5a,BC = 6a, CA = 7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Giải Hạ SH ⊥(ABC) HE⊥AB ; HF⊥BC ; HJ⊥CA · · · Vì SEH = SFH = SJH = 60o ⇒ HE = HF = HJ = r (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Áp dụng cơng thức Hê-rơng: SABC = 6a2 S 6a = ⇒ SH = r.tan 60o = 2a ; p B 1 VS ABC = SABC SH = 6a2 2a = 3a3 3 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a; ∆ABC vng cân B có AB = BC = a.Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Chứng minh SC ⊥ (AB’C’) S c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ C' d) Tính khoảng cách từ C’ đến mp(SAB) E ⇒r= Giải a) VS ABC 1 a3 = S ABC SA = AB.BC SA = 3 b)Ta có: BC⊥AB BC⊥SA ⇒ BC⊥(SAB) suy : AB’⊥BC AB’⊥SB AB’⊥BC ⇒ AB’⊥SC AB’⊥SC AC’⊥SC ⇒ SC⊥(AB’C’) c) Ta có : SC2 = SA2+AB2+BC2= 3a2 ⇒ SC = a , B' A C B a SB a SA a AB ' = = ; SC ' = = ; B’C’2 = SB’2 – SC’2 =a2/6 ⇒ B ' C ' = 2 SC VS AB 'C ' 1 a3 = SAB 'C ' SC ' = AB '.B ' C '.SC ' = 3 36 Cách 2: VS AB 'C ' SA SB ' SC ' SB ' SC ' = = = VS.ABC SA SB SC SB SC Bài 18: Cho tam giác ABC vng cân A AB = a.Trên đường thẳng qua C vng góc với mp(ABC) ta lấy điểm D cho CD = a.Mặt phẳng qua C vng góc với BD,cắt BD F cắt AD E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Giải Ta có: BA⊥CD BA⊥CA ⇒ BA⊥(ADC) suy : AB⊥CE (1) Mà BD⊥(CEF) ⇒ BD⊥CE (2) Từ (1)và (2) suy ra:CE⊥(ABD) ⇒ CE⊥EF CE⊥AD a3 ⇒ VD.CEF = SCEF DF= = 36 D F E C B A Bài 19: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng cân C SA ⊥mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải Ta có: SA⊥(ABC) BC⊥CA ⇒ BC⊥SC (theo định lý đường vng góc) · suy góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) SCA π  · = x  0 Vì < x < ⇒ cos x  cos x + ÷ Gọ i α gó c cho cos α = ,0 < α < 3÷   = 3cos x  cos x − Bảng biến thiên : x f’(x) x + S - f(x) Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn khi f(x) đạt giá trị lớn π cosα = ⇔ x=α với < α < B A C HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 20: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a.Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ Giải Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD); gọi E,H trung điểm AD BC suy SE,SH trung đoạn hình chóp Vì AD // BC nên AD // (SBC) ⇒ d(A,(SBC)) = d(E,(SBC)) Dựng EK ⊥ SH EK ⊥ (SBC) (vì (SEK) ⊥ (SBC)) ⇒ EK = d(A,(SBC)) = 2a · Ta có: BC ⊥ SH BC⊥OH suy góc hai mp (SCB) (ABC) SHO π  · = x  < x < ÷ Ta có: Đặt : SHO 2  2a a a 4a3 EH = ; OH= ; SO= Vậy: VS ABCD = SABCD SO = sin x sinx cosx 3cos x.sin x Vậy VS.ABCD nhỏ f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn Ta có: f’(x) = – sin3x + 2sinx.cos2x S = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x)    + sin x ÷ = 3sin x  ÷ − sin x ÷ ÷    K   π + sin x ÷ Vì < x < ⇒ sin x  ÷>   Gọi α góc cho sinα = D π ,0 < α < H O A Bảng biến thiên : x f’(x) C E B x + - f(x) Vậy thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị nhỏ f(x) đạt giá trị lớn π sinα = ⇔ x=α với < α < 10 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Ta có: B I A CI = F J C E a 1a a 3; ; IJ = CI = = 3 KJ = a 2 13 ; SJKC = SIKC = a = a 12 3 Vậy: d (C; KJ ) = 2SJKC 2a 13 = KJ 13 SA ' B ' FE = ( A ' B '+ FE ).KJ 5a3 VC A ' B ' FE = SA ' B ' FE d (C , KJ ) = 18 B' K A' C' Bài 24: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy góc 300 tam giác A’BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Giải C' Gọi K trung điểm BC,ta có : A' Ta có: BC⊥AK BC⊥AA’ ⇒ BC⊥A’K ·AKA ' = 300 Đặt: BC = x B' AK = A K B C x (Vì tam giác ABC đều) Tam giác A’AK vuông nên: AK x 3 A'K = = : =x; cos300 2 x 3 x AA ' = AK tan 300 = = Mà : SA’BC = ⇔ (1/2)BC.A’K = ⇔ (1/2)x.x = ⇔ x = x2 x =8 Vậy: VABC.A'B'C' = SABC AA' = 38 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có diện tích đáy S AA’=h Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA’,BB’,CC’ A1,B1,C1.Biết AA1= a,BB1= b,CC1= c a) Tính thể tích hai phần khối lăng trụ chia mp(P) b) Với điều kiện a,b,c thể tích hai phần nhau? Giải A Đặt S = SABC ,ta có: C A1 B VABC.A1B1C1 =VA1 ABC +VA1 BCC1B1 H C1 A' B1 B' b) 2(a+b+c)=3h C' 1 = a.S+ SBCC1B1 d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c)BC.d(A1 ,(BCC1B1 )) 3 1 = a.S+ (b+c).S= (a+b+c).S 3 Mặt khác: VA1B1C1 A'B'C' =VABC.A'B'C'1 -VABC.A1B1C1 1 = S.h- (a+b+c).S = [(h-a)+(h-b)+(h-c)].S 3 Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A’D (K∈A’D).Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ Giải C' B' a) Ta có: AB//A’B’ ⇒ AB//(A’B’D) ⇒ d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D) A' A’B’⊥(AA’D’D) ⇒ A’B’⊥ AK (1) D' Mà A’D⊥ AK (2) Từ (1) (2) suy ra: (A’B’D)⊥ AK Vậy AK = d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D)= K b) ∆AA’D vuông có AK đường cao nên: B C AK2 = KA’.KD (*) Đặt A’K = x , A D (*)⇔ = x.(5 –x) ⇔ x2 - 5x + = ⇔ x = 1;x = + Với x = 1: AD = AK + KD = 5; AA ' = A ' D − AD = ⇒ V = 20 + Với x = 4: V = 10 39 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 27: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân cạnh huyền · ' AB góc nhọn ,góc hai AB = Cho biết (AA’B)⊥(ABC) , AA ' = A mặt phẳng (A’AC) (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải B' Dựng AK ⊥ AB với (AA’B)⊥(ABC) ⇒ A’K ⊥ (ABC) · ' AB góc nhọn nên K thuộc tia AB Vì A Kẻ KM ⊥ AC A’M ⊥ AC (theo đònh lý đường vuông góc) · ' MK = 60o Vậy A (góc hai mặt phẳng (A’AC) (ABC)) B Đặt A’K = x ,ta có: Trong ∆AA’K : AK = A ' A2 − A ' K = − x A' C' A M K Trong ∆MA’K : MK= A’K.tan600 = C ∆AMK vuông cân suy : AK = MK = Vậy: x x x = − x2 ⇔ x = ⇒V = 10 Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình bình hành góc A 600 Các đường chéo AC’ DB’ tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao Giải C' B' Ta có: · ' AC = 45o , B · ' DB = 60o ;suy C o BD = cot 60 = A' D' B ra: AC = CC’=2 Theo đònh lý cosin : BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos450 AC2 = CD2 + AD2 – 2CD.AD.cos1350 Trừ vế tương ứng : C ⇒S ABCD = AB.AD.sin60 = AB AD = A D VABCD A ' B 'C ' D ' = SABCD AA ' = AB AD.sin 60 AA ' = 4 2= 3 2 40 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 29: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, · ' AB = BAD · · ' AD = a (00 < a < 90 ) Tính thể tích khối hộp A =A Giải Dựng AH⊥AC (1) (H∈AC) Tam giác A’BD cân (do A’B=A’D )suy BD⊥A’O Vậy BD⊥AC BD⊥A’O ⇒ BD⊥(A’AO)⇒BD⊥A’H (2) Từ (1) (2) ⇒ A’H⊥(ABCD) α · ϕ ,ta có hệ thức : cos α = cos ϕ cos Đặt : A'AO= Thật vậy: Kẻ A’K⊥AD HK⊥AK (theo đònh lý C' B' đường vuông góc) α AH AK AK ⇒ cos ϕ.cos = = = cos α A' AA ' AH AA ' D' cos α ⇒ cos ϕ = α cos B C Mặt khác :A’H = a.sinϕ = − cos2 ϕ H O Vậy : A D K VABCD A ' B 'C ' D ' = SABCD A ' H = AB AD.sin α A ' H = = 2a3 sin C' B' A' D' B K A M C H α α cos2 − cos2 α 2 Bài 30 : Cho hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật AB = 3; AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên D Giải Dựng A’H⊥(ABCD) (H∈(ABCD)) HM⊥AD HK⊥AB (như hình vẽ) Theo đònh lý đường vuông góc suy ra: AD⊥A’M AB⊥A’K o · · ⇒ A'MK= 60o ; A'KH=45 41 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Đặt A’H = x Ta có: A ' M = A' H x 2x − 4x2 2 = = = HK ; AM = A ' A − A ' M = sin 60o sin 60o 3 Mà : HK=A’H=x nên: − 4x2 = x⇒ x= Vậy: VABCD A ' B 'C ' D ' = SABCD A ' H = AB.AD.x = = Bài 31: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có mặt bên ABB1A1 diện tích 4.Khoảng cách cạnh CC1 mặt (ABB1A1) 7.Tính thể tích khối lăng trụ A1 D1 B1 C1 A B D Giải Ta dựng khối hộp ABCD.A1B1C1D1 đặt h = d((CDD1C1),(ABB1A1)) = d(CC1,(ABB1A1)) = Khi đó: VABC A1B1C1 = VABCD A1B1C1D1 = SABB1 A1 h = = 14 C Bài 32: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M trung điểm AB.Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi I = MB’∩ AA’ N = IC’∩ AC.Mp(B’C’M) cắt hình lăng trụ theo thiết diện hình thang cân B’C’NM Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ làm hai phần : Gọi V phần chứa cạnh AA’ V2 phần lại Đặt S = SABC AA’ = h Ta có : 1 V1 =VAMN.A'B'C' =VI.A'B'C' -VI.AMN = SA'B'C' IA'- SAMN IA 3 1S 7 = S.2hh= Sh = VABC.A'B'C' = (V1 +V2 ) 12 12 3 12 V ⇒ 1= V2 42 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 32 Bài 33 C A I B M A E' E B A' F C' N C B' B' A' F' C' Bài 33: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi E,F trung điểm AA’ BB’.Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ E’ ;đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ F’và gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a) Tính thể tích khối lăng trụ theo V b) Gọi (H) phần lại khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau cắt bỏ phần khối chóp C.ABFE Tính tỉ số thể tích (H) khối chóp C.C’E’F’ Giải Hình chóp C.A’B’C’ hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy chiều cao 1 nên: VC.A'B'C' = V ⇒ VC.ABB'A' =V- V= V Do EF đường trung bình hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABEF 2 b) Ta có: V(H) =VABC.A'B'C' -VC.ABFE =V- V= V 3 nửa diện tích ABB’A’,suy ra: VC.ABFE = VC.ABB'A' = V Vì EA’ đường trung bình tam giác E’C’C nên suy A’B’ đường trung bình tam giác C’E’F’ đó: SC’E’F’ = 4SC’A’B’ vậy: VC.E'F'C' =4VC.A'B'C' = V ⇒ V(H) VC.E'F'C' = Bài 34:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi M trung điểm AA’.Mặt phẳng qua M,B’,C chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần 43 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN B' A' M C' Giải Mặt phẳng (MB’C) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp C.MABB’ B’.MA’C’C.Hai khối chóp có chiều cao có đáy hai hình thang vuông nên tích B A C Bài 35: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có cạnh đáy a,chiều cao h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’ A B A B I H C C A' B' A' B' I' C' C' C1: Ta có AC//A’C’ ⇒AC//(BC’A’) Gọi J trung điểm AC d(A,(BC’A’))= d(I,(BC’A’)) Gọi I’ trung điểm A’C’ BI’⊥A’C’ Vậy BI’⊥A’C’ II’⊥A’C’ ⇒ A’C’⊥(IBI’) Do hạ IH ⊥ BI’ IH ⊥A’C’⇒ IH ⊥(BA’C’) hay d(A,(BC’A’)) = IH 11 3a h VA.BC ' A ' = S BCA ' IH = BI '.C ' A '.IH = = 32 12 C2: VA.BC ' A ' = VB AA 'C ' 12 3a h = VB AA ' C 'C = VABC A ' B 'C ' = = 23 12 44 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 36 :Cho hình chóp tam giác SABC Trên đường thẳng SA, SB, SC lấy VSA 'B'C ' SA ' SB ' SC ' = điểm A’, B’, C’ khác với S Chứng minh : VSABC SA SB SC A A' C C' S H' B' H B Giải Gọi H,H’ hình chiếu A A’ lên mặt phẳng (SBC) Vì ba điểm S,A,A’ thẳng hàng nên ba điểm S,H,H’ thẳng hàng Đặt AH = h A’H’ = h’,gọi S,S’ diện tích tam giác SBC tam giác · SB’C’ BSC= α Ta có: VS A ' B 'C ' h ' SA ' 1 S ' SB ' SC ' = ; S ' = SB '.SC '.sin α ; S = SB.SC.sin α ⇒ = S SB SC 2 h SA V SA ' SB ' SC ' 1 = VA '.SB 'C ' = S '.h ' VS ABC = VA.SBC = S h ⇒ S A ' B 'C ' = VS ABC SA SB SC 3 Bài 37: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Gọi O tâm hình bình hành G = AM∩SO G trọng tâm tam giác SBD,suy ra: SG = SO Vì mp(P) //BD nên cắt mp(SBD) theo giao tuyến qua G song song với B’D’.Ta có: SB ' SD ' SG = = = SB SD SO Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần:khối chóp S.AB’MD’ khối đa diện ABCDB’MD’ , 45 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Ta có: VS AB ' D ' SA SB ' SD ' 2 VS AB ' D ' = = = ⇒ = VS ABD SA SB SD 3 VS ABCD VS MB ' D ' SM SB ' SD ' 2 V = = = ⇒ S MB ' D ' = VS CBD SC SB SD 3 VS ABCD S M Suy : D' G D B' C VS AB ' MD ' VS AB ' D ' + VS MB ' D ' = VS ABCD VS ABCD = O B A V 1 + = ⇒ S AB ' MD ' = 9 VS ABCDB ' MD ' Bài 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.Mặt phẳng (α) qua AB trung điểm M cạnh SC.Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bò phân chia mặt phẳng Giải Vì mp(α) // CD nên cắt mp(SCD) theo giao tuyến qua M song song với CD ⇒ MN // CD Vậy mp(ABM) cắt hình chóp theo thiết diện hình thang ABMN Ta có: S VS ANB SN = = ⇒ VS ANB = VS ADB = VS ABCD VS ADB SD 2 VS BMN SM SN 1 = = = VS BCD SC SD 2 N M D A O C B 1 ⇒ VS BMN = VS BCD = VS ABCD Vậy: VS ABMN = VS ANB + VS BMN = VS ABCD VS ABMN = Do đó: VS ABMNCD 46 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 39: Cho khối tứ diện ABCD tích V.Gọi B’,D’ trung điểm AB AD.Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần Giải Ta có: SABD = 4SAB’D’ A ⇒ S BDD ' B ' = S ABD − B' đặt d(C,(ABD)) = h D' D B S ABD = S ABD ; 4 1 VC AB ' D ' = S AB ' D ' h = S ABD h ; 3 1 VC BDD ' B ' = S BDD ' B ' h = S ABD h 3 VC AD ' B ' = VC BDD ' B ' C Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi B’,D’ hình chiếu A lên SB SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải Ta có: CB ⊥AB’ (vì CB⊥(SAB)) AB’⊥SB ⇒ AB’⊥SC (1) Tương tự: AD’⊥ SC (2) (1) (2) ⇒ SC ⊥ (AB’C’D’)⇒ SC ⊥ AC’ Mặt khác (SAC) mặt phẳng đối xứng hình chóp S.ABCD nên : D VS.AB’C’D’ = 2VS.AB’C’ Ta có: S C' D' B' A O B C VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' = = VS.ABC SA SB SC SB SC SB'.SB SC'.SC SA SA 4a2 4a2 = 2= 2= SB2 SC2 SB SC 5a 6a 15 1 a3 VS.ABC = SABC SA= AB.BC.SA= 3 = ⇒ VS.A'B'C' = a3 8a3 16a3 = ⇒ VS.A'B'C'D' = 45 15 45 47 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi B’,D’ trung điểm SB SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’.Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AB’C’D’và S.ABCD Giải Gọi O tâm hình bình hành I giao điểm B’D’ với SO;suy I thuộc AC’và B’D’// BD Kẻ AC’’//AC’ ⇒ SC’ = C’C’’= C’’C ⇒ S C' B' D' C'' A B O D C SC ' = SC Ta có: VS AB 'C ' SA SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC SB ' SC ' 1 = = = SB SC V ⇒ S AB 'C ' = VS ABCD 12 VS AC ' D ' = Tương tự : VS ABCD 12 VS.AB'C'D' VS.AB'C' +VS.AC'D' = = Vậy: VS.ABCD VS.ABCD Bài 42:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với cạnh SC cắt SB,SC,SD B’,C’D’ a) Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông b) Giả sử góc cạnh SC mặt bên (SAB) x Tính tỉ số thể tích khối chóp S.AB’C’D’và S.ABCD theo x biết AB = BC 48 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN ƠN Bài 1:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA = h SA ⊥ (ABC).Gọi H,I trực tâm tam giác ABC SBC a)Chứng minh IH⊥(SBC) b)Tính thể tích tứ diện IHBC theo a h S F C A I H E B Giải a)Gọi E trung điểm BCsuy ra:I∈SE; H∈AE Vì :CB ⊥ (SAE) ⇒ CB ⊥IH Ta có: BH ⊥ AC BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥(SAC) suy ra: BH ⊥SC (1) Mà : BI ⊥ SC (2) (1) (2) suy ra: SC ⊥ (BIH) ⇒ SC ⊥ IH Tóm lại: CB ⊥IH SC ⊥ IH ⇒ IH ⊥ (SBC) b) Hai tam giác vuông ASE IHE đồng dạng suy ra: IH IE HE = = SA AE SE a 4h +3a2 a ; SE= ; HE= Mà: AE= 2 ah a2 ⇒ IH= ; IE= 4h +3a2 4h +3a2 1 a4 h Vậy: VH.IBC = SIBC IH= IE.BC.IH= = 3 36(4h +3a2 ) Bài :Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a ba góc đỉnh A 600 Tính thể tích khối hộp theo a Giải Dựng A’H ⊥ (ABCD) HF ⊥ AD HE ⊥ AB (như hình vẽ) Theo đònh lý đường vuông góc suy ra: AD ⊥ A’F AB ⊥ A’E Ta có : HE = HF (Vì ∆A’AE = ∆A’AF ) suy H thuộc đường phân giác góc BAD ,hơn ABCD hình thoi nên H∈AC 49 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Vì ∆A’AE nửa tam giác nên : D' C' a a ; A'E= 2 Vì ∆AHE vuông nên : A' B' D C H B E a a = a ⇒ A ' H = A ' E − HE = = HE = AE.tan300 = F A AE = a2 a2 = S ABCD = 2S ABD = Vậy: VABCD.A'B'C'D' =SABCD A'H a3 = = Bài : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ tích V M trung điểm cạnh bên AA’.Cắt khối lăng trụ hai mặt phẳng (MBC) (MB’C’) ta ba khối chóp đỉnh M a) Kể tên ba khối chóp b) Tính thể tích ba khối chóp nói theo V A M C B Giải a) Ba khối chóp là: M.ABC ; M.BB’C’C ; M.A’B’C’ b) Gọi S,h diện tích đáy chiều cao khối lăng trụ,ta có: VM.ABC =VM.A’B’C’ = C' A' h Sh V S = = 6 VM.BB’C’C = V – (VM.ABC +VM.A’B’C’) B' 50 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài : Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a) Chứng minh tứ diện ACB’D’ tứ diện b) Chứng minh khối tứ diện sau tích nhau: D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’.Hãy tính thể tích khối khối theo a A D B Giải Bốn khối tứ diện D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’là bốn khối chóp tam giác D’.DAC,B’.ABC,A.A’B’D’,C.C’B’D’ C A' D' B' C' Bài :Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA= 2a; ∆ABC vuông C có · = 300 Gọi H,K hình chiếu A lên SC SB AB =2a , CAB a) Tính thể tích khối chóp H.ABC b) Chứng minh AH ⊥ SB SB ⊥ (AHK) c) Tính thể tích khối chóp S.AHK Giải a) Trong mp(SAC) kẻ HI // SA HI ⊥ (ABC) S Vậy VH.ABC = SABC IH= = K a3 Cách 2: VH.ABC =VB.AHC = SAHC BC V H A B SA SH SK SH S.AHK = = b) c) V SA SC SB SC S.ABC SH SC SA2 = = = = SC 2 SA2 + AC I C 2a3 ⇒ VS.AHK = VS.ABC = = 21 Cách 2: VS.AHK = SAHK SK 51 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài :Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vuông B AB = a, BC = 2a ,AA’ = 3a Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA’ cắt đoạn thẳûng CC’,BB’ M,N a) Tính thể tích khối chóp C.A’AB b) Chứng minh AN ⊥ A’B c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN d) Tính diện tích tam giác AMN Giải B' C' A' N M B A I a) VC AA ' B = VA ' ABC = S ABC AA ' = = a3 b) Ta có: CB ⊥ AB CB ⊥ AA’ ⇒ CB ⊥ (A’AB) ⇒ CB ⊥ AN (1) Theo giả thiết : CA’⊥ (AMN) ⇒ CA’⊥ AN (2) Từ (1) (2): AN ⊥ (CBA’) ⇒ AN ⊥ A’B C c) Ta có: VA’AMN = VM.AA’N = VM.AA’B (Vì NB // AA’⇒ d(N,AA’) = d(B,AA’)) = VC.AA’B (Vì MC // (AA’B) ⇒ d(M,(AA’B)) = d(C,(AA’B)) 1 = S AA ' B CB = a.3a.2a = a 3 3VA'.AMN a2 14 V = S A'I ⇒ S = = = d) Ta có: A'.AMN AMN AMN A'I 52 [...]... vuông ta có : SK = AK.cotα = B C O A x cot α 2 ∆SOK vuông nên :SO2 =SK2 - OK2 ⇔ K 2 2 12h 2 x  x 3 2 h =  cot α ÷ −  ⇔ x = ÷ 3cot 2 α − 1 2   6 ÷  2 VS ABC 1 1 x2 3 = SABC SO = h 3 3 4 3 12h 2 3h3 = h = 12 3 cot 2 α − 1 3 cot 2 α − 1 Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông... S.ABC Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a.Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABC) ta lấy điểm D sao cho CD = a.Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a Giải Ta có: BA⊥CD và BA⊥CA ⇒ BA⊥(ADC) suy ra : AB⊥CE (1) Mà BD⊥(CEF) ⇒ BD⊥CE (2) Từ (1)và (2) suy ra:CE⊥(ABD) ⇒ CE⊥EF và CE⊥AD 1 a3 ⇒ VD.CEF = SCEF DF= = 3 36 D F E C B A Bài. .. ; HJ⊥CA · · · Vì SEH = SFH = SJH = 60o ⇒ HE = HF = HJ = r (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) 2 Áp dụng công thức Hê-rông: SABC = 6 6a ⇒r= S 2 6a = ⇒ SH = r.tan 60o = 2 2a ; p 3 1 1 VS ABC = SABC SH = 6 6a 2 2 2a = 8 3a3 3 3 Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a; ∆ABC vuông cân tại B có AB = BC = a.Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC a) Tính... x 2 tan ϕ = x tanϕ = 3 (1 + 2 tan 2 ϕ ) 1 + 2 tan 2 ϕ 3 3 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm của SC.Một mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD,cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích của khối chóp S.AEMF Giải Gọi O là tâm hình vuông và I là giao điểm của AM và SO;suy ra I thuộc EF Vậy mp(P) đi qua I... cắt hình lăng trụ theo thi t diện là hình thang cân B’C’NM Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ làm hai phần : Gọi V1 là phần chứa cạnh AA’ và V2 là phần còn lại Đặt S = SABC và AA’ = h Ta có : 1 1 V1 =VAMN.A'B'C' =VI.A'B'C' -VI.AMN = SA'B'C' IA'- SAMN IA 3 3 1 1S 7 7 7 VABC.A'B'C' = (V1 +V2 ) = S.2hh= Sh = 12 12 3 3 4 12 V 7 ⇒ 1= V2 5 16 HÌNH HOC12(SGK) GV VÕ SĨ KHUÂN Bài 32 Bài 33 C A I M A B E'... VÕ SĨ KHUÂN 1 a 3 a 2 a 6 = = 3 3 2 18 2 3 Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có trung đoạn bằng 6 và góc giữa hai mặt bên đối diện bằng 600 Mặt phẳng (α) qua CD và vuông góc với mp(SAB),cắt SA,SB lần lượt tại P1 và P.Tính thể tích của khối chóp S.CDP1P S P1 H P B K E O D A Giải Gọi SE,SK lần lượt là hai trung đoạn của khối chóp Vì CD // AB nên giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (SAB)và (SCD)... mặt phẳng (α) và (SAB) vuông góc với nhau theo giao tuyến P1P mà EH ⊥ P1P ⇒ EH ⊥ (SAB) ⇒ EH ⊥ SH (1) Mặt khác: SH ⊥ P1P (2) Từ (1) và (2) ⇒ SH ⊥ (CDP1P) và ∆SKE cân và có góc S bằng 600 nên là tam giác đều ,suy ra H là trung điểm của SK Do đó : P1P = 1 1 1 1 AB = KE = SE = 6 = 3 2 2 2 2 1 3 1 1 3 2 và EH = SE Vậy: VS CDP P = SCDP P SH = (CD + P1P ).SH = 1 1 3 6 3 = 2 2 27 3 2 Bài 11: Cho khối tứ diện... : SMO S ⇒ AM = x 3 2 x 3 x 3 ; AO = AM = ; OM = 2 3 3 6 2 2 2 ∆SAO vuông nên :SO =SA - AO = ∆SOM vuông có :SO = OM.tanα = 2 x2 3 x 3 tan α 6  x2  x 3 2 3.b tan α ÷ ⇔ x = Suy ra: b − =  ÷ 3  6 4 + tan 2 α  2 3 1 VS ABC = SABC SO = 1 x 3 x 3 tan α = x tan α 3 4 6 24 3 3 b 3.tan α = (4 + tan 2 α ) 4 + tan 2 α C 2 A O b2 − M B Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB... = V 2 1 1 1 + = ⇒ S AB ' MD ' = 9 9 3 VS ABCDB ' MD ' 2 Bài 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.Mặt phẳng () qua AB và trung điểm M của cạnh SC.Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó Giải Vì mp() // CD nên nó cắt mp(SCD) theo giao tuyến đi qua M và song song với CD ⇒ MN // CD Vậy mp(ABM) cắt hình chóp theo thi t diện là hình thang ABMN Ta có: VS ANB SN 1 S = = ⇒... bằng nhau.Do đó tỉ số thể tích của hai 2 khối đa diện đó bằng 1 M A B N D C E A' F K D' J C' Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng 6 trung điểm của 6 cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối B' hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau Giải Tương tự bài 7 Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD a) Biết AB= a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính ... SC.Một mặt phẳng (P) qua AM song song với BD,cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Giải Gọi O tâm hình vng I giao điểm AM SO;suy I thuộc EF Vậy mp(P) qua I song song với BD nên EF // BD... mặt phẳng (P) qua AM song song với BD,cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF Giải Gọi O tâm hình vuông I giao điểm AM SO;suy I thuộc EF Vậy mp(P) qua I song song với BD nên EF // BD... mặt phẳng Giải Vì mp() // CD nên cắt mp(SCD) theo giao tuyến qua M song song với CD ⇒ MN // CD Vậy mp(ABM) cắt hình chóp theo thi t diện hình thang ABMN Ta có: VS ANB SN S = = ⇒ VS ANB = VS