BÀI GIẢNG cơ học lý THUYẾT

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

PHẦN I: CƠ HỌC LÝ THUYẾTChương 1 TĨNH HỌC

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luônluôn không thay đổi, tức là có hình dạng hình học không thay đổi trong suốt quá trìnhchịu lực.

Trong thực tế khi chịu lực tác dụng, các vật rắn đều biến dạng nhưng rất nhỏ, tacó thể bỏ qua để đơn giản hóa việc tính toán.

1.1.2 Lực

a) Định nghĩa: Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là làm thay

đổi trạng thái động học của các vật đó.Có thể chia lực làm 2 loại:

 Lực tác dụng với sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, như người ngồi đè lên

ghế một lực ép, ngược lại ghế cũng tác dụng lên người một lực đẩy, kết quảngười không bị rơi xuống – tức là có sự thay đổi trạng thái động học.

 Lực tác dụng không có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật - có khoảng cách

đó là lực vạn vật hấp dẫn Chẳng hạn như lực hấp dẫn trong hệ thống tháidương hệ thứ nhất mà mặt trời là trung tâm.

Lực tác dụng của quả đất đối với các vật rơi trên nó gọi là trọng lực

b) Cách biểu diễn lực:

Bất kì một lực nào cũng được xác định bởi 3 yếu tố: điểm đặt, phương chiều và

trị số Nói cách khác lực là một đại lượng véc tơ.

Người ta biểu diễn lực bằng một véc tơ,chẳng hạn như véc tơ lực AB (hình 1.1), có gốcA là điểm đặt của lực, đường thẳng chứa véc tơAB gọi là phương (còn gọi là đường tác dụng)của lực, mút B biểu diễn chiều của lực Độ dàivéc tơ AB biểu diễn theo một tỉ lệ xích nào đó làtrị số của lực.

Để đơn giản người ta thường ký hiệu lựcbằng một chữ in hoa có mũi tên ở trên: F, P, Q,R,

1.1.3 Hệ lực

a) Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng

ngược chiều nhau.

b) Hệ lực: Tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật gọi là hệ lực, ký hiệu

(F1, F2, , Fn).

Hình 1.1

a) b) c)Hình 1.2

d) Hệ lực cân bằng: Là hệ lực khi tác dụng vào vật sẽ không làm thay đổi trạng

thái động học của vật, nói cách khác là hệ lực tương đương với 0.( P1 , P2 , , Pn ) ~ 0

e) Hợp lực: Là một lực tương đương với tác dụng của cả hệ, nghĩa là:

R ~ ( F1 , F2 , , Fn )R là hợp lực của hệ lực.

g) Vật cân bằng: Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động

tịnh tiến thẳng đều, tức là vật chịu tác dụng của hệ lực cân bằng.

1.1.4 Mô men của lực đối với một điểm

a) Định nghĩa:

Giả sử vật rắn chịu tác dụng của lực F, vật có thể quay quanh điểm O cố định(hình 1.3) Đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật quanh điểmO được gọi là mômen m của lực F đối với điểm O và ta có định nghĩa:

“Mômen của lực F đối với điểm O là tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòncủa lực đối với điểm ấy”.

mO ( F ) =  F a (1.1)

Trong đó cánh tay đòn a là khoảng cách từ tâmquay O đến đường tác dụng của lực F , mO ( F )là kí hiệu mômen của lực F đối với điểm O.

Quy ước mO ( F ) lấy dấu dương (+) nếuchiều của lực F làm vật quay ngược chiều kimđồng hồ, và lấy dấu âm (-) nếu chiều của lực Flàm vật quay cùng chiều kim đồng hồ.

Chú ý: Nếu đường tác dụng của lực F đi qua Othì mômen của lực F đối với điểm O bằng 0: mO

( F ) = 0 vì a = 0.

1.1.5 Ngẫu lực

a) Định nghĩa: Hệ gồm hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau gọi

là một ngẫu lực, kí hiệu ( F , F ) (Hình 1.4a).

HHình 1.3

Khoảng cách a giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫulực.

Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối 2 điểm đặt đúng là cánh tay đòn (hình1.4b), từ đây ta quy ước vẽ ngẫu lực như vậy.

Một ngẫu lực được xác định bởi 3 yếu tố:

- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực.- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên

Chiều quay là dương (+) khi ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay ngượcchiều kim đồng hồ và âm (-) khi vật quay thuận chiều kim đồng hồ (hình 1.5).

- Trị số mômen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn, ký

hiệu là m:

m = F a (1.2)

b) Tính chất của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng:

- Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển ngẫu lực trong mặtphẳng tác dụng của nó.

- Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực một cách tùy ý, miễn là bảođảm trị số mô men và chiều quay của nó.

Đặc biệt, khi có nhiều ngẫu lực ta có thể biến đổi để cho chúng có chung cánhtay đòn.

này cho phép biểu diễn ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mômen của nó như hình1.6.

c) Hợp hệ ngẫu lực phẳng:

“Hợp một hệ ngẫu lực trong cùng một mặt phẳng được một ngẫu lực nằmtrong mặt phẳng đã cho, có mômen đại số bằng tổng mômen đại số của các ngẫu lựcthuộc hệ”.

1.2 Các tiên đề tĩnh học

1.2.1 Tiên đề 1 (tiên đề về hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hailực tác dụng lên một vật rắn đượccân bằng là chúng phải trực đối nhau(hình 1.7).

1.2.2 Tiên đề 2 (tiên đề về thêm,

bớt hai lực cân bằng)

Tiên đề: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm

vào (hay bớt đi) hai lực cân bằng nhau.

Hệ quả: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên

Hệ quả: Hợp lực của hệ lực lực đồng quy được biểu diễn bằng véctơ chính của hệ lực

đặt tại điểm đồng quy.

Để xác định véctơ lực có thể sử dụng phương pháp vẽ (phương pháp đa giáclực) hoặc phương pháp xác định hình chiếu của nó trên 2 trục vuông góc (hệ lựcphẳng) hoặc trên 3 trục vuông góc (hệ lực không gian).

a) Phương pháp đa giác lực

Hình 1.8

Hình 1.9

Giả sử các hệ lực phẳng đồngquy (F1, F2, F3, F4) (hình 1.10) Muốntìm hợp lực của hệ, trước hết ta hợp hailực F1 v F2 theo tiên đề về hình bìnhhành lực, ta được R1:

R1 = F1 + F2

Tiếp tục hợp R1 v F3, được R2:R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3

Cuối cng, ta hợp R2 với F4:

R = R2 + F4 = F1 + F2 + F3 + F4

R l hợp lực của hệ lực phẳng

D

b) Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp chiếu:

Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (F1, F2 , , Fn) có hình chiếu tương ứng lênhai trục tọa độ vuông góc là (F1x, F2x , Fnx ) và (F1y , F2y , Fny).

Ta có hợp lực:

R = F1 + F2 + + Fn =  F Hợp lực R có hình chiếu lên hai trục tọa độ là (Rx, Ry).

Theo kết quả trong phép tính vec tơ, "hình chiếu của véc tơ tổng hợp bằng tổngđại số hình chiếu của các véc tơ thành phần".

Ta có:

Về trị số của hợp lực R:

1.2.4 Tiên đề 4 (tiên đề về tương tác)

Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối (hình 1.9).

1.2.5 Tiên Đề 5 (Tiên đề hóa rắn)

Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn vậtvẫn cân bằng.

1.3 Liên kết và phản lực liên kết

1.3.1 Vật tự do và vật chịu liên kết

Vật rắn gọi là tự do khi nó có thể thực hiện chuyển động tùy ý theo mọi

phương trong không gian mà không bị vật khác cản trở.

Vật không tự do là vật có một vài phương chuyển động bị vật khác cản trở.

Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là liên kết.

Vật không tự do gọi là vật chịu liên kết (hay còn gọi là vật khảo sát).

Vật gây ra sự cản trở chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết.

1.3.2 Phản lực liên kết

Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực, gọi là

lực tác dụng Theo tiên đề về tương tác vật gây liên kết phải tác dụng lên vật khảo sátmột lực, lực đó gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực)

Ở ví dụ trên hình 1.9: F là lực tác dụng, N là phản lực.

Phản lực liên kết đặt vào vật khảo sát (ở chỗ tiếp xúc giữa hai vật) cùng phươngngược chiều với chiều chuyển động bị cản trở của vật khảo sát Trị số của phản lựcphụ thuộc vào lực tác dụng lên vật khảo sát.

1.3.3 Các loại liên kết cơ bản

a) Liên kết hoàn toàn trơn (liên kết không ma sát hay còn gọi là liên kết tựa):

Là loại liên kết mà hai vật trực tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt, hoặc đường,hoặc điểm Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung, có

chiều đi về phía vật khảo sát, ký hiệu N (hình 1.11)

b) Liên kết dây mềm, thẳng và không dãn: Là loại liên kết giữa vật với các

dây treo nó Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng dây, ký hiệu làT Sức căng dây hướng dọc theo dây và hướng ra đối với mặt cắt dây, làm dây luôn ởtrạng thái căng (hình 1.12)

c) Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có

thể quay đối với nhau Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiềuchưa được xác định Phản lực R được phân làm hai thành phần vuông góc với nhau làRx và Ry nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục tâm của bản lề (hình 1.13).

LLiên kết gối: Liên kết gối dùng để đỡ các dầm, khung, Có 2 loại liên kết

gối: gối cố định và gối di động (gối con lăn).

Phản lực liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phảnlực liên kết của gối con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.14).

Hình 1.11

Hình 1.13

e) Liên kết ngàm: Là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ trong

trường hợp hai vật được hàn cứng lại với nhau)

Trong trường hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ lực phẳng), phản lực liênkết gồm hai thành phần vuông góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng

chứa hai thành phần lực và cũng là mặt phẳng chứa hệlực (hình 1.15).

Hình 1.15

Đối với ngàm không gian (hệ lực khảo sát là hệlực không gian), phản lực liên kết gồm ba thành phầnlực vuông góc với nhau (dọc theo ba trục tọa độ) và bathành phần ngẫu lực trong ba mặt phẳng tọa độ.

f) Liên kết thanh: Liên kết thanh được thực

hiện nhờ các thanh thỏa mãn điều kiện sau: Chỉ có lựctác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực tácdụng và trọng lượng của thanh được bỏ qua Ví dụ cácthanh không trọng lượng, liên kết bằng các liên kết trụ

hay cầu Phản lực liên kết thanh có phương qua hai điểm chịu lực (dọc theo thanh).Phản lực liên kết thanh ký hiệu là S (hình 1.16).

1.3.4 Giải phóng liên kết: Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật đó ra khỏi các

1.4.1 Vec tơ chính và mômen chính của hệ lực phẳng.

P

a) Véc tơ chính

Cho hệ lực phẳng (F1,F2, Fn) , vectơ chính của hệ lực kí hiệu là RO là vectơtổng của các vectơ lực của hệ lực.

R 1  2    hay 

(1.6)Cách xác định véc tơ chính như trình bày trong mục 1.2.3.

b) Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm

Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm (O) là đại lượng đại số, kíhiệu là MO, bằng tổng mômen của các lực của hệ lực đối với điểm O.

momen chính của hệ lực phẳng đối với điểm I sẽ là:

)( O

)( O

I R

m gọi là mômen của véctơ chính đặt tại O đối với điểm I

- Đối với hệ lực đồng quy thì mômen chính của hệ lực đối với điểm đồng quybằng không Đối với hệ ngẫu lực thì véctơ chính của hệ ngẫu lực luôn luôn bằngkhông, còn mômen chính của hệ ngẫu lực đối với điểm bất kì O nào cũng bằng mômencủa ngẫu lực tổng cộng, tức bằng tổng mômen các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫulực.

1.4.2 Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

a) Điều kiện cân bằng:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là véc tơ chính và mômen chínhcủa hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu.

R =  F = 0 ( F1, F2 , , Fn )  0 

M =  mO ( F ) = 0

b) Các dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng:

Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của các lực

lên hai trục tọa độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với một điểm bất kỳ nằmtrong mặt phẳng tác dụng của các lực đều phải triệt tiêu.

 Fx = 0 Fy = 0 mO ( F ) = 0

Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của các lực

trên một trục và tổng mômen của các lực đối với hai điểm A và B tùy ý triệt tiêu, vớiAB không vuông góc với trục chiếu.

 Fx = 0  mA ( F ) = 0

(1.11)

 mB ( F ) = 0

Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực đối

với ba điểm A , B, C không thẳng hàng triệt tiêu  mA ( F ) = 0  mB ( F ) = 0  mC ( F ) = 0

c) Định lý về 3 lực cân bằng:

Ba lực cân bằng là chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, và nếu chúng khôngsong song thì đường tác dụng phải đồng quy tại một điểm.

CÁC VÍ DỤ TÍNH TOÁN: Ví dụ 1 :

Dầm AB đặt nằm ngang, chịu tác dụng của lực P nghiêng góc 450 so với phương nằmngang tại giữa dầm Hãy áp dụng định lý ba lực cân bằng xác định phản lực ở gối A vàB tác dụng lên dầm?

Trong đó :

52cos  ;

51sin 

cos 0 PPP

2 PP

Kết quả : RA = 104

, RB = 24

Ta có hệ lực cân bằng: (P,m,NB,XA,YA) 0.Các phương trình cân bằng :

Y = YA – P + NB = 0 (2)mA= -m – P.2 + NB.4 = 0 (3)

Giải hệ phương trình cân bằng trên cho ra kết quả :XA = 0, N B 12.5KN, NB =12,5KN.

Ví dụ 3 :

Cho hệ thanh như hình vẽ thanh AB nặng Q = 2kN ; thanh BE nặng P = 4kN ; CB =

AB ; DE =

BE Tìm phản lực tại A, B, C, D;  = 450

Bài g iải :

Dùng phương pháp tách vật, lần lượt khảo sát từng vật

 Xét thanh AB, cân bằng dưới tácdụng các lực:

( Q, XA, YA, XB, YB, Nc) 0Đặt AB = a, lập phương trình ta có :

Y = Q + YA + YB + NC = 0 (2)mA = - aQ aYB aNc

X = - XB - ND Sin  = 0 (4)Y = - P - Y'B + ND cos = 0 (5)

Thanh AB được gắn vào gối tựa cố định bằng khớp A (hình vẽ) Đầu B của nó mangmột vật nặng P= 10 KN và được giữ cân bằng với một sợi dây vắt qua ròng rọc C Đầudây mang trọng lượng Q = 14,1KN Trục của ròng rọc C và ròng rọc A cùng nằm trên

BNBP m



một đường thẳng đứng với AC =AB Hãy tìm góc  và ứng lực ở thanh AB khi hệcân bằng Cho biết có thể bỏ qua trọng lượng của thanh và kích thước của ròng rọc.

Bài giải

Xét cân bằng thanh AB, lực tác dụng gồm: - Lực P : Trọng lượng của vật treo

- Lực căng dây T

- Phản lực RA : Hướng dọc theo thanh AB (Thanh AB là thanh cứng).

Nếu bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc thì sức căng của dây vắt qua ròng rọc (khi vậtcân bằng) là T = Q

- Lấy tổng momen đối với điểm A:

 mA = 0  P l.sin - T.l cos /2 = P l.sin - Q.l cos /2 = 0  sin/2 = Q

Kết quả: sin 22QP

Ví dụ 7:

Hai quả cầu đồng chất, tâm O1 và O2, bán kínhR1, R2 (R1>R2), trọng lượng P1, P2 (P1 > P2) tựavào nhau ở B và cùng được treo vào điểm Onhờ hai dây OA1 và OA2 Biết OA1 + R1 =OA2 + R2 = R1 + R2 (do đó OO1O2 là tam giácđều) Tìm góc nghiêng  của OA1 với đườngthẳng đứng khi cân bằng

Rút ra: sin3

32P1N 

o Xét quả cầu O2 chịu ba lực: P1, T1, N, (hướng về bên phải, N,= - N)

Hình a

Cũng lập phương trình mômen đối với O, ta được:  2 2 2 0

hay  1 2 2. 1 2

Rút ra:  2 sin600  

332' P

Ví dụ 8 :

Trên mặt nghiêng OA hợp với phương nằm ngang một góc  đặt một vật nặng B, tăngdần góc  bằng cách cho thanh OA quay quanh O cho đến khi vật bắt đầu trượt Hệ sốma sát trượt giữa vật mà mặt OA là f Xác định góc  lúc đó.

Bài giải :

- Khảo sát vật nặng B

Vật cân bằng: (P,N,Fms)  0.Hệ phương trình cân bằng:X = Fms - Psin = 0 (1)

Y = N – P cos = 0 (2)Điều kiện cân bằng khi có ma sát trượt: Fms = f.N Giải hệ phương trình trên cho ra kết quả:  = arctg f.

X = Psin - Fms = 0 (1)Y = - Pcos + N = 0 (2)

mA = - PRsin + ML = 0 (3)Từ pt (2)  N = Pcos

Lực ma sát trượt: Fms  f.N

Từ pt(1)  Psin - fPcos  0  tg  fMômen ma sát lăn: ML  N

Từ pt(3) PRsin -  Pcos  0 

Rtg 

ML

So sánh cho ra kết quả:

Rtg 

Câu 3:

Thanh chữ T bỏ qua trọng lượngACDB vuông góc tại D Cho AD = DB Mộtlực P = 300N tác dụng tại điểm B và hợp vớiphương ngang một góc 60 độ Xác định phảnlực tại A và C.

Câu 4:

Dầm AB = l nằm ngang, đầuA liên kết ngàm, chịu tác dụng củatải trọng phân bố đều q = 2 kN/m.Một lực P = 4 kN đặt tại B và làmvới phương ngang một góc 60 độ.Cho l = 2,0 m Xác định phản lực tạingàm A.

Câu 5:

160 cm80 cm

60 cm

Trn dầm cơng xơn BC tc dụnglực: P1 = 1200N, P2 = 800N và ngẫu lựccó mômen M = 600Nm Bỏ qua trọnglượng của dầm và ma sát Xác địnhphản lực tại A và B.

Hình 1.18

Hình 1.17

F

Câu 6:

D Quả cầu đồng chất trọng lượng P = 7kN,bán kính R = 80 cm nằm giữa tường thẳng đứngvà tựa vào điểm A Xác định áp lực quả cầu lêntường và phản lực tại A Cho AC = h = 10 cm.

Câu 7:

Hai thanh AC và BC nối với nhau vàgắn vào tường thẳng đứng bằng các bản lề A,B và C Tại C tác dụng lực thẳng đứng P = 10kN Hy xc định phản lực tại đầu A và B của ccthanh AC v BC Biết =300,  = 600 Bỏ quatrọng lượng các thanh.

Câu 8:

Thanh AB = 2m có trọng lượng P =50N Đầu A của thanh tựa vào tường nhẵnthẳng đứng Đầu B buộc vào sợi dây BC Hytìm khoảng cch AC để thanh AB cân bằng vàhợp với tường một góc 450 Tìm sức căng dâyT và phản lực tại A.

Chương 2: ĐỘNG HỌC

Động học là phần cơ học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển độngcủa các vật, không kể đến quán tính (khối lượng) và các lực tác dụng lên chúng để vậtchuyển động

- Mô hình vật thể của động học là động học điểm và vật rắn chuyển động.- Chuyển động xảy ra trong không gian và theo thời gian.

- Thông số xác định vị trí của điểm hay của một vật rắn trong hệ quy chiếu đãchọn gọi là thông số định vị.

- Phương trình chuyển động của điểm hay vật rắn chuyển động là những biểuthức liên hệ giữa thông số định vị nói trên với thời gian.

- Vận tốc chuyển động là đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyển động củađiểm hay vật rắn ở thời điểm đang xét Nói chung, vận tốc chuyển động cũng là đạilượng biến thiên theo thời gian.

- Gia tốc chuyển động là đại lượng biểu thị tốc độ thay đổi của vận tốc chuyểnđộng (phương chiều, độ lớn) theo thời gian Gia tốc chuyển động cũng là hàm của thờigian.

- Động học được chia làm hai phần chính: Động học điểm và động học vật rắn.

2.1 Chuyển động của chất điểm

Có 3 phương pháp khảo sát chuyển động của chất điểm:- Phương pháp véctơ.

- Phương pháp tọa độ Đề các.- Phương pháp tọa độ tự nhiên.

Sau đây chúng ta nghiên cứu phương pháp véctơ và tọa độ Đề các.

Vectơ r thay đổi về phương chiều và độ dài theo thời gian Như thế theophương pháp này, để xác định chuyển động của điểm ta cần định cụ thể hàm (hàmvectơ ):

r (2.1)

Hình 2.1

Liên hệ giữa r và t gọi là phương trình chuyển động của điểm theo bán kính vectơ

b) Vận tốc của điểm:

Nối các điểm M và M’ với điểm O cố định ta có các bán kính vectơ r và r’của động điểm (hình 4.2) Rõ ràng vectơ MM = r'  ’ - r =  r (biến thiên của vectơ r)

Gọi tỷ số : rt

 

là vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian  t

Nếu thời điểm t’ lấy gần t thì vận tốc trung bình biểu diễn đúng bằng vận tốc thực của điểm và được gọi là vận tốc tức thời của điểm lúc t.

Như thế :

t 

  r (2.2)

Vậy: Vectơ vận tốc tức thời bằng đạo hàm của bán kính vectơ của điểm theo thời gian.

c) Gia tốc của điểm:

Tương tự như vận tốc ta có gia tốc tức thời của điểm lúc t:

t 

Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc theo thời gian

Ta có :

 = r như thế ta có : 2 r

Hình 4

Hình 2.2

Theo phương pháp này để xác định vận tốc v ta xác định các hình chiếu của nótrên các trục tọa độ Kí hiệu: vx , vy, vz

Để xác định nó ta sử dụng phương trình (2.2) và chú ý đến liên hẹ giữa v và x, y, z, vì:

r   

(2.7), ,  là góc tạo bởi v với các trục tọa độ x, y, z.

c) Gia tốc của điểm.

Muốn xác định w ta xác định các hình chiếu w x, wy, wz của nó trên các trục tọa độ: Vì :v v i v j v k x y z Lấy đạo hàm ta được : w v v i v j v k    x y z

Biểu thức trên chứng tỏ : wx vxx ; wy vyy ; wz vz z (2.8)Vậy:

 Hình chiếu của gia tốc bằng đạo hàm của hình chiếu tương ứng của vận tốc theothời gian.

 Hình chiếu của gia tốc bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của tọa độ tương ứng.

Biết các hình chiếu, ta dễ dàng biết trị số và phưong của gia tốc :

’, ’, ’ là các góc tạo bởi w với các trục tọa độ x, y, z.

0 w  

v Chuyển động nhanh dần

0 w  

v Chuyển động chậm dần

2.2 Chuyển động cơ bản của vật rắn

2.2.1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn

a) Định nghĩa

( 2.9)

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó bất kỳ đoạnthẳng nào thuộc vật đều song song với vị trí ban đầu của nó.

Ví dụ: Chuyển động của một thùng xe trên đoạn đường thẳng (hình 2.4),chuyển động của thanh truyền AB trong cơ cấu hình bình hành (hình 2.5), chuyểnđộng của tay biên AB trong bánh xe tàu hỏa (hình 2.6).

b) Tính chất

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, các điểm thuộc vật vẽ nên những quỹ đạođồng nhất (có thể đặt trùng khít lên nhau), tại mỗi thời điểm các điểm thuộc vật có vậntốc và gia tốc bằng nhau.

BA ww 

 B

Như vậy về mặt động học vật rắnchuyển động tịnh tiến được thay thế bằngmột chất điểm Để khảo sát nó ta có thể sửdụng các phương trình chuyển động củađiểm.

2.2.2 Chuyển động quay của vật rắn quanhmột trục cố định

a) Định nghĩa

Chuyển động quay của vật rắn quanhmột trục cố định là chuyển động mà trong đócó hai điểm thuộc vật là cố định

Đường thẳng qua hai điểm cố định đóđược gọi là trục quay, những điểm khôngnằm trên trục quay chuyển động vạch nên

những đường tròn vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục quay (hình 2.6).

b) Góc quay

Giả sử vật rắn cho trên hình 2.6 quay quanh trục cố định z Vẽ mặt phẳng P cốđịnh, mặt phẳng Q di động Lúc đầu cho Q trùng với P Khi vật quay đến một thờiđiểm t nào đó, Q hợp với P một góc  gọi là góc quay

Trị số của  phụ thuộc vào thời điểm t, nói cách khác  là hàm số của t:

Hình 2.6

Phương trình 4.1 hoàn toàn xác định vị trí của vật quay theo thời gian và đượcgọi là phương trình chuyển động của vật quay.

Đơn vị của góc quay  là rađian ký hiệu là rad 57 17'44,8''

đượcgọi là vận tốc góc trung bình, ký hiệu là tb:

 

Khi thời điểm (t + t) rất gần t, tức t  0, vận tốc góc trung bình tiến tới vậntốc góc tức thời .

 

limt 0t (rad/s) hay   

Khi t  0 thì gia tốc góc trung bình tb tiến tới gia tốc góc tức thời 

limt 0 t (rad/s2) hay     

Công thức (2.17) lấy dấu cộng (+) khi vật quay nhanh dần đều, lấy dấu trừ (-)khi vật quay chậm dần đều.

2.2.3 Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật rắnquay quanh một trục cố định

a) Quỹ đạo

Khi vật rắn quay quanh một trục cố định thì cácđiểm thuộc vật không nằm trên trục quay vạch nên quỹđạo là đường tròn vuông góc với trục quay, có tâm nằmtrên trục quay và có bán kính bằng khoảng cách từ điểmđó tới trục quay (hình 2.7).

b) Vận tốc

Giả sử trong khoảng thời gian t, điểm dịch

chuyển được một cung tròn S tương ứng với góc quay  (hình 2.7), ta có:

b) Gia tốc pháp tuyến an

Hình 2.7

Hình 2.7

2.3 Chuyển động tổng hợp của điểm

Từ khái niệm này, ta có các định nghĩa sau:

- Chuyển động của điểm so với hệ quy chiếu cố định gọi là chuyển động tuyệtđối với 2 yếu tố động học là vận tốc tuyệt đối Va và gia tốc tuyệt đối Wa.

Nói một cách khác, chuyển động tuyệt đối của một điểm là tổng hợp hai chuyểnđộng: chuyển động tương đối và chuyển động theo.

Trong ví dụ trên, người đóng vai trò là điểm đang chuyển động, toa tàu là hệquy chiếu động, đường ray là hệ quy chiếu cố định Chuyển động của người đi trên toatàu là chuyển động tương đối, chuyển động của toa tàu đối với đường ray là chuyểnđộng theo, chuyển động của người đối với đường ray là chuyển động tuyệt đối.

Xác định gia tốc Coriolit: WC

 Gia tốc Wc là lượng gia tốc phụ được xác định theo công thức (2.18), nó sinh rado có sự dịch chuyển của chất điểm trên hệ động và do sư quay của chính hệđộng đó Giả sử hệ động quay với vận tốc góc là e, nó chính là vận tốc gócquay theo của chất điểm Dựa trên biểu thức : WC 2e  Vr

 Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến thì e 0, lúc đó : Wc 0

 Ngoài ra gia tốc Wcđược xác định như sau. Về trị số: WC 2e.Vr.sin(e,Vr)

(2.19) Về phương: WC mặt phẳng (e,Vr)

 Về chiều:

- Trường hợp Vr e: quay Vrtrong mặt phẳng chứa (e,Vr) theo chiềuquay của emột góc bằng 

chiều Wc (hình 2.8a)

- Trường hợp Vr không vuông góc với e: quay V r (là hình chiếu của Vr

lên mặt phẳng vuông góc với e), theo chiều quay của emột góc

thì ta đượcchiều của Wc (hình 2.9b)

- Trường hợp Vrsong song với e thì sin(e,Vr)0 lúc này:Wc= 0

Bài tập:

Câu 1:

Điểm M chuyển động theo quy luật OM = s =5t (cm) dọc theo một thanh nằm ngang quay quanhtrục thẳng đứng đi qua điểm cuối O của thanh với giatốc không đổi  = 1s-2 Hãy xác định vận tốc tuyệt đốicủa điểm M tại thời điểm t = 2s Biết rằng khi t = 0thì vận tốc góc của thanh l 0 = 0.

Hình 2.9b

rV 

Câu 2:

Tấm hình vuơng ABCD cạnh 2a quay quanh trụcquay AB với vận tốc gĩc khơng đổi  2 s-1 Dọc theođường chéo AC của nó, động điểm M dao động quanh Otheo phương trình t)

2cos(a 

 (cm) Hãy xác định vậntốc tuyệt đối của M tại thời điểm t = 1s.

Câu 3:

Tam gic ABC cĩ gĩc BCA = 300 quay quanh trục điqua cạnh AC của nó theo quy luật ( 2t 4)s-1 Mộtđộng điểm M chuyển động dọc theo cạnh huyền CB theoquy luật như sau: CM = s = 2t2 + t (cm) Hy xc định vậntốc tuyệt đối của M tại thời điểm t = 2s.

Câu 4:

Vòng tròn nhỏ M ơm lấy dây cung cốđịnh hình tròn bán kính r = 6cm với thanh OAquay quanh O theo quy luật t

 Hy xcđịnh vận tốc theo, tương đối và tuyệt đối củavòng tròn nhỏ M tại thời điểm t = 2s.

Câu hỏi ôn tập

1- Định nghĩa chuyển động tịnh tiến Nêu tính chất của chuyển động tịnh tiến.

2- Định nghĩa chuyển động quay Cho ví dụ về chuyển động quay Những điểm nàocủa vật quay đứng yên? Các điểm khác có quỹ đạo như thế nào?

3- Viết các phương trình chuyển động của điểm?

4- Viết các công thức vận tốc góc, gia tốc góc, góc quay của vật quay.5- Viết các phương trình của vật quay đều, vật quay biến đổi đều.6- Định nghĩa chuyển động tổng hợp của điểm, cho ví dụ minh họa.7- Làm các bài tập giáo viên chỉ định.

PHẦN II: SỨC BỀN VẬT LIỆUChương 3 BÀI MỞ ĐẦU3.1 Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học

3.1.1 Nhiệm vụ

SBVL là môn học kỹ thuật cơ sở, nghiên cứu tính chất chịu lực của vật liệu đểđề ra các phương pháp tính các vật thể chịu các tác dụng của các nguyên nhân ngoài,nhằm thoả mãn yêu cầu an toàn và tiết kiệm vật liệu

Vật thể làm việc được an toàn khi:

- Thỏa điều kiện bền: không bị phá hoại (nứt gãy, sụp đổ…)

- Thỏa điều kiện cứng: biến dạng và chuyển vị nằm trong một giới hạn chophép

- Thỏa điều kiện ổn định: bảo toàn hình thức biến dạng ban đầu Thường, kíchthước của vật thể lớn thì khả năng chịu lực cũng tăng và do đó độ an toàn cũng đượcnâng cao; tuy nhiên, vật liệu phải dùng nhiều hơn nên nặng nề và tốn kém hơn Kiếnthức của SBVL giúp giải quyết hợp lý mâu thuẫn giữa yêu cầu an toàn và tiết kiệm vậtliệu

Ba bài toán cơ bản của SBVL:

+ Kiểm tra các điều kiện bền, cứng, ổn định (Thẩm kế)

+ Định kích thước, hình dáng hợp lý của công trình hay chi tiết máy + Định giá trị của các nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ…) cho phép tác dụng (Sửa chữa)

3.1.2 Đối tượng nghiên cứu của môn học

SBVL nghiên cứu vật thể thực ( công trình, chi tiết máy …) Vật thể thực cóbiến dạng dưới tác dụng của nguyên nhân ngoài (tải trọng, nhiệt độ, lắp ráp các chi tiếtchế tạo không chính xác…)

Vật thể thực sử dụng trong kỹ thuật được chia ra ba loại cơ bản:

Khối: có kích thước theo ba phương tương đương: Đê đập, móng máy

Hình 3.1 Vật thể dạng khối Hình 3.2 Vật thể dạng tấm vỏ

Tấm và vỏ: vật thể mỏng có kích thước theo một phương rất nhỏ so với hai phương

còn lại; tấm có dạng phẳng, vỏ có dạng cong: sàn nhà, mái vỏ

3.2 Khái niệm về thanh

Thanh: vật thể dài có kích thước theo một phương rất lớn so với hai phương còn lại:

thanh dàn cầu, cột điện, trục máy… SBVL nghiên cứu thanh, hệ thanh.

Hình 3.3 Trục thanh và mặt Hình 3.4 Các dạng trục thanh cắt ngang

Thanh được biểu diển bằng trục thanh và mặt cắt ngang F vuông góc với trụcthanh (Hình 3.3) Trục thanh là quỹ tích của trọng tâm mặt cắt ngang

Các loại thanh (Hình 3.4):

+Thanh thẳng, cong: trục thanh thẳng, cong.

+ Hệ thanh: thanh gãy khúc (phẳng hay không gian)

3.3 Tính đàn hồi của vật thể

3.3.1 Giả thuyết về sự đàn hồi của vật liệu

Sức bền vật liệu giả thuyết vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, nghĩa là khi có lực

tác dụng thì vật thể bị biến dạng, khi bỏ lực tác dụng thì vật thể trở lại hình dạng vàkích thước ban đầu của nó.

Thực tế thì không có vật liệu đàn hồi tuyệt đối mà có biến dạng dư, khi bỏ lựctác dụng thì vật thể không khôi phục hoàn toàn lại hình dạng và kích thước ban đầu,phần biến dạng còn lại gọi là biến dạng dư.

Tuy nhiên, khi lực tác dụng chưa vượt quá một trị số giới hạn nào đó thì biếndạng dư rất nhỏ nên có thể coi vật liệu đàn hồi hoàn toàn Đây cũng chính là phạm vinghiên cứu của sức bền vật liệu.

3.3.2 Giả thuyết về quan hệ bậc nhất giữa lực và biến dạng

3.4 Khái niệm về ngoại lực, nội lực, ứng suất

3.4.1 Ngoại lực

Ngoại lực là lực từ các vật thể khác hay môi trường xung quanh tác dụng lênvật thể đang xét và làm cho chúng bị biến dạng.

Ngoại lực gồm các lực tác động (còn được gọi là tải trọng) và phản lực.

Căn cứ vào cách tác dụng, phân ra lực tập trung và lực phân bố; căn cứ vào tínhchất thay đổi theo thời gian phân ra lực tĩnh và lực động.

3.4.2 Nội lực

Những lực chống lại biến dạng của vật được gọi là nội lực, hay còn có thể nói:nội lực là độ tăng lên của lực liên kết để chống lại biến dạng của vật thể do ngoại lựcgây ra.

Nếu tăng dần ngoại lực thì nội lực cũng sẽ tăng dần để cân bằng với ngoại lực.Nhưng do tính chất của từng loại vật liệu, nội lực chỉ tăng đến một giới hạn nhất định.

Trong phạm vi biến dạng đànhồi của vật liệu, biến dạng của vật tỉlệ bậc nhất với lực gây ra biến dạngđó.

Nếu tăng ngoại lực quá lớn, nội lực không thể tăng thêm được nữa, vật liệu không đủsức chống lại sẽ bị phá hỏng.

Vì vậy, việc xác định nội lực phát sinh trong vật thể dưới tác dụng của ngoạilực là một trong những vấn đề cơ bản của sức bền vật liệu

3.4.3 Ứng suất

Bây giờ xét nội lực tạiđiểm K bất kỳ trên mặt cắt C.Trên diện tích F lấy một diệntích nhỏ F bao quanh điểmK Hợp lực của các nội lực tácdụng lên diện tích F là P

Tỉ số giữa P và F làmột véc tơ cùng chiều với Pđược gọi là ứng suất trungbình tại điểm K, kí hiệu là Ptb:

Nếu cho F tiến tới 0 nhưng vẫn bao quanh điểm K thì Ptb tiến tới giới hạn;giới hạn đó được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm K, ký hiệu là p:

Ứng suất có thứ nguyên là 

, còn đơn vị thường dùng là

2 ; ;

Ta có thể phân ứng suất p làm hai thành phần, theo phương pháp tuyến với mặtcắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu là  (đọc là xicma) Còn thành phần nằm trong mặtcắt gọi là ứng suất tiếp, ký hiệu là  (đọc là tô) Như vậy rõ ràng là: 22

 

Đặt một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc ngay tại trọng tâm mặt cắt ngang,Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến của mặt cắt, còn hai trục x, y nằm trong mặt cắtngang

Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục:

+ Nz theo phương trục z (vuông góc với mặt cắt ngang) gọi là lực dọc + Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt + Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt Mômen M cũng được phân ra ba thành phần:

+ Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn + Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn + Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn

Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang (Hình 3.8)