21 |$£p^ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sử CẢM PHẠMƠN TP Hồ CHÍ MINH LỜI Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Hà Thanh Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu truyền đạt cho kiến thức quí báu suốtHuỳnh trìnhThị thựcNhư luận Ý văn Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thái Sơn, PGS.TS Lê Anh Vũ quí thầy cô giảng dạy suốt trình học tập Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho thực luận văn PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ TRÊN GIAN CHUẨN TẮC nhà toán học nước KHÔNG ngoài, đặc biệt giáo sư Dydak, thầy tận tình giải đáp Trong trình thực luận văn, vài lần liên hệ với thắc mắc vấn đề liên quan Xin chân thành cảm ơn tác giả Dydak Xin chân thành cảm ơn người thân gia đình động viên tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Sau cùng, xin gởi lời cảm ơn đến bạn lớp học, trao Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 10 đối kiến thức, giúp đỡ động viên suốt trình học tập Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Tác giả Huỳnh Thị Như Ý NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn .2 Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kiến thức lý thuyết tập hợp .8 1.1 Tập hợp 1.2 Lực lượng tập hợp .9 1.3 Tập đếm Không gian mêtric 2.1 Không gian mêtric .9 2.2 Ví dụ 10 2.3 Khoảng cách 11 2.4 Không gian mêtric tích 12 K hông gian tôpô .12 3.1 Tôpô Không gian tôpô 12 3.2 Cở sở .13 3.3 Lân cận, sở lân cận .14 3.4 Phủ, phần bao đóng 15 3.5 Ánh xạ liên tục 16 3.6 Tiên đề tách .16 Sự mêtric hóa 20 4.1 Tôpô sinh mêtric .20 4.2 Không gian mêtric hóa 21 4.3 Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc 21 4.4 Cái mịn .22 Tập sao, hình 22 Chương PHÂN HOẠCH ĐON VỊ Phân hoạch đơn vị liên tục đồng bậc 24 1.1 Phân hoạch đơn vị 24 1.2 Liên tục đồng bậc 29 Tích phân đạo hàm phân hoạch đon vị 37 2.1 Định nghĩa 37 2.2 Định lý 2.8 (sự tồn đạo hàm phân hoạch đơn vị) 38 2.3 Mệnh đề 2.9 (cái mịn phủ mở) .42 2.4 Bậc phân hoạch đơn vị 43 2.5 Mệnh đề 2.10 (tính toán bậc phân hoạch đơn vị) 43 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA PHÂN HOẠCH ĐON VỊ CHO TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG Phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc .45 1.1 Định nghĩa không gian chuẩn tắc .45 1.2 Định lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 45 1.3 Thác triển phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 47 1.4 Định lý tồn phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 51 Phân hoạch đơn vị mêtric hóa 53 2.1 Định lý 3.8 (tiêu chuẩn mêtric hóa không gian) 53 2.2 Định lý 3.11 ( Định lý mêtric hóa) 56 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO .63 MỞ ĐÀU I Lý chọn đề tài Gần đây, nghiên cứu vấn đề tôpô hình học, nhiều nhà toán học nhu Jerzy Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking, mạnh dạn dùng phân hoạch đơn vị để nghiên cứu lại tính chất không gian tôpô Theo nhiều nhà toán học, tính chất tôpô quan trọng tính chuẩn tắc, tính compact, tính paracompact vấn đề liên quan đến định lý thác triển Tietze Nhu biết, có hai cách tiếp cận nghiên cứu không gian thông qua phủ mở hàm liên tục Bằng cách sử dụng phân hoạch đơn vị xây dựng định nghĩa chứng minh định lý, tác giả Dydak, N.Feldman, J.Segal, R Engelking, thống hai cách tiếp cận Khi nghiên cứu phân hoạch đơn vị, tìm thấy nhiều áp dụng tôpô, hình học Ngoài ra, đóng vai trò quan trọng việc xây dụng lý thuyết đồng luân Ban đầu, nghiên cứu, nhà toán học chứng minh tồn phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ dừng lại việc nghiên cứu phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phuơng phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm Khi đó, gặp nhiều khó khăn tìm hiểu nhũng áp dụng khó để xây dựng phân hoạch đon vị hũn hạn địa phuong phương pháp đại số, chí xây dụng nhũng phân hoạch đon vị tùy ý không tránh khỏi trở ngại Vì vậy, việc xây dụng phân hoạch liên tục đồng bậc giải khó khăn này, đem lại nhiều thuận lợi nghiên cứu không gian tôpô, đặc biệt không Vì lí đó, đề tài nghiên cứu “phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc” Mục đích nghiên cún Sử dụng phân hoạch đơn vị để chúng minh kết không gian chuẩn tắc cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Không gian chuẩn tắc Ý nghĩa khoa học thực tiễn Phân hoạch đơn vị giúp cho việc giải toán tôpô hình học cách đon giản hon Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung phần kết luận Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu lí chọn đề tài Phần nội dung: Chương 1: Nêu số kiến thức chuẩn bị tôpô đại cương Gồm phần lý thuyết tập hợp, không gian mêtric không gian tôpô Chương 2: Phần sở nội dung luận văn Ở đây, khái niệm phân hoạch đơn vị, liên tục đồng bậc, tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị định nghĩa, với định lý kèm chứng minh nêu lên làm sở cho việc trình bày chương Chương 3: Trình bày số áp dụng phân hoạch đon vị cho tôpô, hình học Nội dung chương gồm ba phần Thứ nhất, sử dụng phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ để chứng minh định lý thác triển Tietze Thứ hai, trình bày số áp dụng phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc Thứ ba, tìm hiểu vấn đề mêtric hóa không gian chứng minh định lý mêtric hóa Phần kết luận: Đưa nhận xét nghiên cứu phân hoạch đơn vị Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương kiến thức tôpô đại cương làm sở lý thuyết cho việc nghiên cứu chương sau Cụ thể sau: I Một số kiến thức lý thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp 1.1.1 Thứ tự phận Quan hệ R tập hợp X gọi thứ tự phận thỏa (i) (ii) tính chất sau: Phản xạ: xRx, Vx E X, Phản đổi xứng: Neu xRy yRx x=y, Vx,y E X, (iii) Bắc cầu: Neu xRy yRz xRz, Vx,y,z E X Tập họp X với thứ tự phận R gọi tập họp phận ký hiệu (X, R) Thứ tự phận thường ký hiệu < tập họp phận ký hiệu là(x,Y có toàn ánh g:X —» Mọi tập hữu hạn đếm Ta kí hiệu card(X) = n card(X) = card(ịl,2, ,n}) card(0) = Trong trường hợp ta hiểu card(X) số phần tử củaX Không gian mêtric 2.1 Không gian mêtric Cho X tập Một hàm d: X2 —» R mêtrỉc X thỏa mãn điều kiện sau: ( >y)=\Ỹ\ x i-yj d x 10 (i) d(x,y^>0; d(x,y} = ữ x= (ii) d(x,y) = d(y,x); (iii) d(x,z) < d(x,y) + d(y,z),Vx,y,z e X Không gian mêtrỉc (x,d) tập Xcùng với mêtric d X Neu [x,d) không gian mêtric xeX gọi điểm với X , y e X ta gọi d (x,ỳ) khoảng cách từ X đếny 2.2 Ví dụ Với x = (xl,x2, ,xl),y = (yl,yỉ, ,yi) n J x e x Jx n ’ 55 54 í nì X, — n)) Giả sử X {ơlà phủgian mở không X.họ Tacác chứng minhmở Cho mêtrỉc, u =gian {Us}mêtric tập ?} không x X Vói mỗiđon s eS,vịđặt fs (x) := dist(x,X ), MxeX T =G{/s.s}Thật ? liên X có phân hoạch cho- gưs s(x — u ) = họ 0, \/s tục đồng bậc vậy, Chứng minh Với sES, xét fs:X^R với / (%) = dist[x,X — Với z eX ta xét g z: X R với gz (x) = d u ) fs(x) = oyxeX-ưKhi s Igz (x) - gz (^)l = Id (x,z) - d(y,z)I < d (x,y)\/x,y,z e X Bây tamột đặt lân / = X/ Như với \/s >0,a eX ta chọn cậnvàu chứa a cho J d ( g , (JC) - g , (^)) < s , VJC, y G u Thì họ {gs }s phân hoạch đơn vị X cho gs (v — Us) = hay Do {gz} liên tục đồng bậc x\ầ không gian paracompact Theo mệnh đề 2.6, họ {gr}r s liên tục đồng bậc (với Chứng Chiều Đặt thuận minh định gr:=infịgz\zeT}) T:=X-U!.Khi lý 3.8 ex X không gianz mêtric hóa d mêtric X Ta ST Cho (x) ='«/ {ểz (*)l - u s) chứng minh tồn phân hoạch đơn vị {gs}s s X cho = infịd(x,z)\zeX-UsI (o,l]Ị sở lân cận mở X = dist(x,X -Us) =>8T-/S Thật vậy, x\ầ không gian mêtric hóa nên X không gian paracompact Với Vậy: họ T = {/s} liên tục đồng bậc x ' l d (jc,y) < x| cầu mở tâm X bán (cho trước), B —I X — n 2.1.2 Hệ 3.10 Mỗi kính —, họkhông \B gian mêtrỉc X paracompact n phủ mở X Khi ta tìm phân hoạch n> đơn vị {/* Ị X cho /* Chứng minh 56 Đăt gr„ :=di2!L với (x,n)c XxN {g Ị, , môt phân hoach • ’ ỡx n 9« lỡj:>n J (jc,n)eXxN V ’ / • r đơn vị X §x,n(0,1]CS Khi với (r,/ỉ)eIxN, (_ lì X- { n) 0, llị sở lân cận mở X Chiều nghịch Cho X không gian Hausdorff {fs}s s phân hoạch đơn vị X cho j/s_1 (0,l]Ị^ sở lân cận mở X Ta chứng minh không gian X mêtric hóa Đặt d (*,y) := y\L (v) — fs (y)|, \/x,ỵ G X d mêtric X Ta cần S&S chứng minh tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô X Thật vậy, Cho u tập mở, u cX xeư Ta tìm teS cho X G //_1 (0,1] c u Đặt V:={ye x \ d [ x , y ) < f t (x)| v \ ầ tập mở chứax Ta chứng minh V cư Bằng phương pháp phản chứng ta giả sử V ỰLU Khi tồn Vì yịư nên ft(y) =0 suy d(x,y)>\ft(x)~ft(y)\ = ft(x) (d(x,y) = y\fs{x)~fs(T)|) (mâu thuẫn) Do V cư seS Suy tôpô sinh mêtric d trùng với tôpô X Áp dụng tính chất phân hoạch đơn vị để chứng minh định lỷ mêtric c{o}(X không gian paracompact) 2.2 Định lý 3.11 (Định lý mêtric hóa) 57 Đổi với không gian tôpô điều kiện sau tưoĩig đưoĩig : a Không gian mêtric hóa b Không gian qui cỏ sở - hừu hạn địa phưoĩig mở c Không gian qui có sở - rời rạc mở Chứng minh (c => b) hiển nhiên họ rời rạc hữu hạn địa phưong Ta cần chứng minh (b =>■ aj (ữ =>■ c) Chứng minh (b =>■ a) Bước 1: Ta xét trường hợp Xlà không gian chuẩn tắc X có sở ơ- hữu hạn địa phương mở Ta chứng minh X mêtric hóa Giả sử Íí/ Ị , sở mở Xsao cho \u Ị hữu l x’n i (s,n)eSxN b • l J s€S hạn địa phương với n Ta giả sử ịu Ị phủ mở X với n G N Khi tập hợp đếm tập Fn Ở Fn hợp bao đóng u sn cho Vì (j,w) G s cl(Us/t)cU X N, Us n = f~J (0,1] với fs n: X —> [0,1] hàm số liên tục Bây ta đặt fn := n fn hàm số liên tục từ không gian X s€S vào [0,oo) v ^ V • ( J(.5,n)e5xN »=(,„!saocho en < J=0) 58 V,„ = ^(04],V(Bằng Í,»)€S cách X Nthay tạo thành fsn - tacơcósởthể lângiả cậnsửmở fn=ì Đặt gsn = fsn2 n J n cảm sinh môt phân hoach đơn vi íc V X Theo định lý 3.8 không gian X mê tri c hóa Bước Chứng minh X không gian chuẩn tắc Ta chúng minh với hai tập đóng A, B không giao X, tồn tập mở u V cho AcU, BcV ơny = Thật vậy, Ả tập đóng không gian qui X nên X có họ đếm tập mở {ơn}°^ phủ A cho B ncl{Un) — với n Tương tự X có họ đếm tập mở ịvn }°°= phủ B cho A n clVn) = với n Đặt u n :=u n \ucl(v t ), v>v.\ UI clthì phủ mờ A, ịvn I _ phủ mở B Un n Vm = \/m,n Cuối cùng, đặt u := k, V := V k u D A , v D B n v = k=1 k=l Vậy Xlà không gian chuẩn tắc Chứng minh (a=^ c) Ta chứng minh không gian tôpô mêtric hóa có sở - 59 Để chứng minh điều này, ta xét định lý sau đây, mục đích muốn phủ mở không gian mêtric hóa có mịn — rời rạc mở Định lý 3.12 Mỗi phủ mở không gian mêtric hoả có mịn - rời rạc mở Định lý áp dụng đạo hàm phân hoạch đơn vị không gian mêtric hoá Chứng minh Với phân hoạch đon vị / = {/ 5} {Ut}â s phủ mở X Ta chứng minh ị s s s X, đặt ưs := f~l (0,1] có mịn - rời rạc mở Cho Ị/r đạo hàm của/ Bằng cách xét nhũng tập T có lực lượng n UT jx G XI fT(x) > j rời Gọi [umn) họ bao gồm tập ưTm := ịx G x\ fT(x)> — I với Khi ịum n} hữu hạn địa phuơng bao đóng Um n rời Suy họ ịumnỊ - rời rạc mở Umn chứa Usnào (sGS) Vậy {^m n} mịn - rời rạc mở 60 Áp dụng định lý 3.12 ta suy không gian tôpô mêtric hóa có sở - rời rạc mở, phủ gồm tất hình cầu n mở bán kính — ta tìm đuợc mịn — rời rạc mở Bn, hợp họ n B sở — rời rạc mở • 61 KÉT LUẬN Trong phạm vi luận văn này, trình bày số khái niệm phân hoạch đơn vị áp dụng tính chất chúng nghiên cứu tôpô, hình học Cụ thể sau: Trong chương hai, luận văn dành cho việc nghiên cứu khái niệm phân hoạch đơn vị Đó là: Tìm hiểu phân hoạch hàm số bất kì, phân hoạch hàm số liên tục, phân hoạch phụ thuộc vào phủ, Trên sở chứng minh tồn phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ “C/ỉơ u = {u } n> phủ mở đếm không gian X Một U - smalỉ phân hoạch đon vị X tồn có hàm xác định dưong f: X —> (0,00] mà có u- small phân hoạch Tìm hiểu tích phân đạo hàm phân hoạch đon vị với tính chất Từ áp dụng chúng việc tìm mịn phủ mở “C/ỉớ {/ } s phân hoạch đon vị X Ị/^Ị đạo hàm Neu hai phủ mở U = {ƯT} v = {ỵs} X định nghĩa hỏi ƯT =ỰTY (0,1] V = f ~' (0,1] hình Utạỉ điểm X làm mịn V ” việc tính toán bậc phân hoạch đơn vị “Cho {/,}ÍSĨ phần hoạch đon vị không gian X Ị /rỊ Ắ đạo hàm Bậc {/VỊ tối đa n fT = 0,\/T ^ s, Tchứa tối thiểu n+2 phần tử” Ở chương ba, dựa sở định nghĩa, định lý trình bày chương hai, tìm hiểu số áp dụng phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc Cụ thể sau: 62 Định nghĩa không gian chuẩn tắc “Một không gian Haussdorff X chuẩn tắc phủ mở hữu hạn {us }s s có u- small phân hoạch đon vị X”, chứng minh định lý thác triển Tietze “Nếu X không gian chuẩn tắc Ả tập đóng X, hàm liên tục f ịo, ] có thác triển X” Z7-smallphân hoạch đơn vị (phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ) Tìm hiểu thác triển 77-small phân hoạch đon vị không gian chuẩn tắc “Cho X không gian chuẩn tắc, Ả tập đóng X ị s s phủ mở hữu hạn X Bất kì U-small phân hoạch đon vị hữu hạn ịfs s Ả có thác triển u- small phân hoạch đon vị hữu hạn fe}.s c^a {/y}, trẻn X” Tổng quát hơn, nghiên cứu thác triển 77-small phân hoạch hàm số liên tục không gian chuẩn tắc “Cho X không gian chuẩn tắc, f: X —*■ Ịớ,oo) hàm sổ liên tục, A tập đỏng X u = {ơ.} U\A-small phân hoạch {/v}s s phủ mở hữu hạn X Bất kì f\A có thác triển U-small phân hoạch {gv }s s củaf” Cũng chuơng này, nghiên cứu vấn đề mêtric hóa, sử dụng phân hoạch đơn vị, 77-small phân hoạch đơn vị áp dụng tính liên tục đồng bậc cho ta tiêu chuẩn đơn giản cho mêtric hóa không gian, chẳng hạn nhu đua tiêu chuẩn đễ không gian Hausdorff mêtric hóa “Một không gian Hausdorff X mêtric hoá có phân hoạch đon vị {/?}? s Xsao cho |/?_1 (ớ,7]|^ sở lần cận mở X” Từ đó, với việc vận dụng tích phân đạo hàm phân hoạch đơn vị chứng minh định lý mêtric hóa “Đoi với không gian 63 tôpô điều kiện sau tương đưong: Không gian mêtrỉc hóa được, không gian quỉ có sở - hữu hạn địa phương mở, không gian qui có sở - rời rạc mở” theo hướng Vai trò phân hoạch đơn vị không dừng lại điều mà luận văn trình bày, nhà toán học sử dụng phân hoạch đơn vị xây dựng số chiều phủ không gian, cụ thể dùng phân hoạch đơn vị hữu hạn không gian chuẩn tắc phân hoạch đơn vị tùy ý không gian paracompact Vì lí đó, tác giả tha thiết đề nghị đọc giả (nếu có quan tâm) tiếp tục nghiên cún phân hoạch đon vị Sau cùng, có nhiều cố gắng hạn chế thời gian khả nên luận văn tránh khỏi sai sót định Chúng tha thiết mong nhận góp ý quí thầy cô bạn luận văn Tp Hồ Chí Minh tháng năm 2008 Tác giả 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cưoĩig, Nhà xuất Giáo dục Đậu Thế Cấp (2003), Giải Tích Hàm, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cưoĩĩg - Độ đo Tích phân, Nhà xuất Giáo dục Hoàng Xuân Sính - Đoàn Quỳnh, Tôpô gì?, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Đỗ Đức Thái (2002), Bài tập Tôpô đại cưong - Độ đo Tích phân, Nhà xuất Đại học Sư Phạm J.L Keli (1973), Tôpô đại cưong, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh J Dydak, Extension theory: The ỉnterface behveen set - theoretic and algebraic topology, Topology Appl 74 (1996), 225 - 258 J Dydak, Cohomological dimension and metrỉzable space II, Trans Amer.Math Soc 348 (1996), 1674- 1661 J Dydak and N.Feldman, Major theorems on compactness: A uniíìed approach, American Mathematical Monthly 99 (1992),220-227 J Dydak and J Segal, Shape theory: An introduction, springer Verlag (1978) Http: //en.wikipedia.org/wiki/Equicontinuity Http: //en.wikipedia.org/wiki/Normal_space Http: //en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function Http: // planetmath Org/encyclopedia/PartitionOfUnity Html [...]... hợp tất cả các phần tử của họ u chứa điểm X 24 Chương 2 PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày các khái niệm về phân hoạch đon vị, sự liên tục đồng bậc cùng với tích phân và đạo hàm của phân hoạch đon vị 1 Phân hoạch đơn vị và sự liên tục đồng bậc 1.1 Phân hoạch đơn vị 1.1.1 Cho {/?}? Định nghĩa 1 s là một họ các hàm từ không gian X vào [0,oo) Ta định nghĩa hàm số f như sau: / = y*]fs... eF Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov 17 Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng Ả, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở u và V sao cho Aczư,B czV vầ ư nV = 0 Ta goi To, Ti , T2 T3, T,, T4 là cảc tiên đề tách 32 3.6.2 Tính chất của không gian chuẩn tắc 3.6.2-1 Bổ đề Urysohn Cho X là một không. .. Các tiên đề tách Không gian tôpô X gọi là To - không gian nếu hai điểm X , y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của X không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa X Không gian tôpô X gọi là TỊ - không gian nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của X X, y khác nhau không chứa y và một lân cận của y không chứa X Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff) nếu... V của y sao cho u n V = 0 Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là Tr không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa X, tồn tại các tập con mở u và V sao cho x e ư , F cF ư nV = 0 Không gian tôpô X gọi là T, - không gian (hay không gian hoàn toàn 32 chính quĩ) nếu X là Ti - không gian và với mọi x e X , mọi tập con đóng F của X không chứa X, tồn tại một hàm... một Z//-small phân hoạch {hs} hữu hạn địa phương của một hàm liên tục, xác định dương h\X 0,oo) sao cho bao đóng của giá của hs được h chứa trong giá của / với môi s eS Ta đăt g := — thì phân hoach đơn vi h là xấp xỉ hữu hạn địa phương phân hoạch Ị fs Ị của/ 2 Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị 2.1 Định nghĩa Cho tập họp s ^ộ, X là không gian tôpô, |/ rj là một phân hoạch đơn vị trên X được đánh... 2.3 Cho u = {u } là một phủ mở đếm được của không gian X Một u small phân hoạch đơn vị trên X tồn tại nếu và chỉ nếu cỏ một hàm xác định dưong f: X —»(0,co] mà có một u -small phân hoạch Chứng minh Chiều Chiều nghịch thuận (hiển nhiên) 29 Giả sử T = Ị / Ị n> là một u - small phân hoạch của /: X —»(0,co] Ta cần chứng minh tồn tại một u -small phân hoạch đơn vị trên X Thật vậy, Đặt gn=min(/fl,2-"),w>l và... một mêtric trên X X Y 12 NếuKhông Ả = {a} ta viết(Xd(Ả, = d(a,gọi B)làv không gọi l gian khoảng cách điếm gianthìmêtric x Y , dB)) được mêtric tíchtừcủa a đến tập B hai không gian mêtric X và Y Nếu Ả n B * 0 thì 5) = 0, nhung điều nguợc lại nói chung không 3 Không gian tôpô 3.1.2.4 Không gian mêtric tích Tôpô Không gian tôpô 3.1.1 ) vàMột (y,í/họ haitập không ChoCho một(X,í/ tập xX con gian của Xmêtric... } Thì T là một tôpô trên X Tôpô T xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bỏi mêtrỉc d trên X, các phần tử thuộc T được gọi là các tập mở trong ( X , d Y 4.2 Không gian mêtric hóa 4.2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là không gian mêtrỉc hóa nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X 4.2.2 Ví dụ Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi... = [ ư s} s là một phủ mở của X T là một u - small phân hoạch của hàm/ (phân hoạch phụ thuộc vào phủ U) nếu f s ( X — Ợv)c{o} với mỗi s e S Nói cách khác, giá của f s được chứa trong U s với mỗi s e s Ví dụ 26 là một phân hoạch đơn vị đối với đường Đây là phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ (— Hơn thế nữa, điều mà chúng ta hướng đến là tìm hiểu phân hoạch của một hàm số liên tục Định lý sau đây chỉ... được gọi là phân hoạch của hàm / Ta có định nghĩa phân hoạch của hàm f : X - > [0;co] như sau: 1.1.2 Định nghĩa 2 Một họ các hàm = Ự S \ X —>[0,oo)}? s được gọi là một phân của hàm /:X —>[0,oo] nếu fs liên tục với mỗi sES và Ỵ2fs — f ' S€S 25 T được gọi là một phân hoạch đon vị hữu hạn nếu fs = 0 khắp nơi trừ hữu hạn se s T được gọi là một phản hoạch hữu hạn điểm nếu X7 I {x} là một phân hoạch hữu hạn ... không gian chuẩn tắc .45 1.2 Định lý thác triển Tietze không gian chuẩn tắc 45 1.3 Thác triển phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc 47 1.4 Định lý tồn phân hoạch đơn vị không gian chuẩn. .. dụng đạo hàm phân hoạch đơn vị để tính toán bậc phân hoạch đơn vị Trước hết ta tìm hiểu khái niệm bậc phân hoạch đơn vị 2.4 Bậc phân hoạch đơn vị Cho {fs} s phân hoạch đơn vị không gianX Bậc [fs.}... phân hoạch đơn vị không gian chuẩn tắc Mục đích nghiên cún Sử dụng phân hoạch đơn vị để chúng minh kết không gian chuẩn tắc cách ngắn gọn đơn giản Đối tượng nội dung nghiên cứu Không gian chuẩn