1 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sữ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỨ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH ĐỖ Lư Công Minh Đỗ Lư Công Minh MỘT số VẤN ĐỀ VẺ MỘT số VẤN ĐỀ VÈ VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN VÀNH CHINH QUI VON NEUMANN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DÃN KHOA HỌC: TS TRÀN HUYÊN Thànhphố phốHồ HồChí ChíMinh Minh- -2009 2009 Thành MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Mục lục Các qui ước kí hiệu MỞ ĐẦU Chương - CÁC KIẾN THỨC co BẢN 1.1 Phần tử qui vành 1.1.1 Khái niệm phần tử qui 1.1.2 Vành Abel 10 1.1.3 Phần tử qui vành tự đồng cấu R - môđun 12 1.2 Vành qui Von Neumann 13 1.2.1 Định nghĩa số ví dụ 13 1.2.2 Các điều kiện tương đương vành qui 15 Chương - MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI 16 2.1 Các tính chất vành qui 16 2.2 Môđun xạ ảnh vành qui 29 2.3 Vành qui Abel 48 Chương - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT 62 3.1 Vành ma trận vuông cấp n vành qui 62 3.2 Vành toán tử bị chặn không gian Hilbert 69 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ■ Hầu hết vành luận văn đuợc giả sử kết hợp có đơn vị, vành đồng cấu vành đuợc cho có đơn vị Ta hay kí hiệu R vành với đơn vị ■ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương RJl cho qui luật XI—> X = X +1 ■ Đôi miền nguyên hiểu không cần giao hoán ■ Cho vành R số nguyên dương n, M (R) vành ma trận vuông cấp n R ■ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu L2(R) để dàn iđêan hai phía R (được thứ tự phận quan hệ bao hàm) ta sử dụng kí hiệu Mod - R để phạm trù tất R - môđun phải ■ Tất môđun luận văn môđun vành có đơn vị Hầu hết chúng môđun phải, đồng cấu thường viết phía bên trái chúng Cụ thể, môđun phải A vành R xem môđun trái End^(y4) - vành tự đồng cấu ■ Neu A R - môđun, kí hiệu B < A nghĩa B môđun A, kí hiệu B < A nghĩa B môđun thực A Trong trường hợp đặc biệt, R vành thì: I < RR : I iđêan phải R I < R R: I iđêan trái R m\ởiA,B\à môđun: A< B: A môđun cốt yếu B, nghĩa AnC^O với môđun c khác B A ■ Bởi AA* dạng Hermite với A, A ^ dẫn đến AẨ * 0, (AA*y * Gọi a iđêan phải khác R Chọn A e a với A^o Khi AA* e a, (AA*Ỵ E an, (AẨỴ ^ a" * a không lũy linh Do R vành nửa đơn □ Định lí 3.11 Một điều kiện cần đủ để vành R toán tử bị chặn H có chứa qui R chứa sở hữu hạn (với hệ số phức), nghĩa R hệ thống siêu phức hữu hạn đại số chia số phức Chứng minh ■ Điều kiện đủ tầm thường, R hệ thống siêu phức hữu hạn, thỏa mãn điều kiện dây chuyền nửa đơn theo mệnh đề 3.10, qui ■ Điều kiện cần đuợc chứng minh buớc (i) - (viii) Bây giả sử R qui (i) Neu AER D(A) miền giá trị A //thì Đ(A) tập đóng Chứng minh Bởi R qui nên có toán tử bị chặn X e R cho AXA = A Do đó: AXAf = Af với / e H, nghĩa AXg = g với g e D(A) Ngược lại, AXg = g dẫn đến g = Af e D(A) với / = Xg Vì g e D(A) tương đương với AXg = g, D(Á) tập đóng, A, X bị chặn □ Một phép chiếu dạng Hermite lũy đẳng, nghĩa là, toán tử bị G R cho chặn E với E = E* = E2 (ii) Không tồn dãy vô hạn phép chiếu Ev 71 Chứng minh Giả sử tồn dãy EỊ, E2, Với / EH , phần tử (1 / ĩ)E.f (i = 1, 2, ) trực giao lẫn nhau, z k/ /•=1 ỉ 00 00 =ẳịlM^ẺIM^II/ll2[...]... đề 1.21 Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường Mệnh đề 1.22 Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là vành chính qui Mệnh đề 1.23 Ánh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui Suy ra tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành chính qui cũng là vành chính qui Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó... lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann 1.2 Vành chính qui Von Neumann 1.2.1 Định nghĩa và một số ví dụ Định nghĩa 1.18 Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của nó là phần tử chính qui Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu R = Von( ^) 14 Hệ quả 1.20 Neu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là truờng Mệnh đề 1.21 Vành. .. nhiên M chính qui (b) Lấy Ả là iđêan hai phía chính qui của R và xét xe A Khi đó RxR là iđêan hai phía của A nên chính qui Suy ra X E M và A c= M (c) Neu AIM là iđêan hai phía chính qui trong RIM thì theo mệnh đề 2.3, A chính qui do Mchính qui Suy ra AczM va A/M = 0 □ Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui Một câu hỏi đuợc đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không?... dụ về vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.4 Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui Chúng minh Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành R là tích trực tiếp con của hai vành chính qui Khi đó R có các iđêan hai phía JvầK sao cho J nK = 0 và R/ J, R/ K đều chính qui Do J = ụ + K)I K trong vành chính qui R/ K, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng J chính qui Lại theo 2.3, R / J chính qui nên R chính. .. số hữu tỉ Q Vì trường là vành chính qui nên Q là vành chính qui nhưng một vành con của Q là vành các số nguyên z không là vành chính qui (phần tử 2 e z không phải là phần tử chính qui vì iđêan 2Z không được sinh bởi lũy đẳng nào: z chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1) Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là vành chính qui Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có: Mệnh đề. .. của vành chính qui như đã trình bày trong [3] Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ Cho nên, ta kết thúc mục này ở đây để chuyển sang khảo sát một cách tổng quát và tỉ mỉ hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2 16 Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một lóp các vành chính qui đặc biệt là vành chính qui Abel... 30 Ví dụ 2.21 Tồn tại vành chính qui R và iđêan hai phía J sao cho End^y^) không chính qui Chúng minh Lấy truờng F, đặt Fn=F với n = 1, 2, Gọi s là F - đại số con của sinh bởi 1 và K = ®Fn Vì K là iđêan của vành chính qui nên K chính qui Mặt khác, s / K = F chính qui do đó s chính qui ís Đặt R = là vành con của M2(S) K s Do K và s đều chính qui nên theo mệnh đề 1.29, R chính qui J = Đặt (K K\ là iđêan... phía / của vành R được gọi là chính qui nếu với mỗi x e / , tồn tại y E / sao cho xyx = X Mệnh đề 2.3 Cho J ... Theo mệnh đề 2.3, iđêan vành qui qui Một câu hỏi đuợc đặt vành vành qui có vành qui không? Ta xét trường số hữu tỉ Q Vì trường vành qui nên Q vành qui vành Q vành số nguyên z không vành qui (phần... chất vành qui chương 16 Chương MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI Chương dành cho việc mô tả tính chất vành qui lóp vành qui đặc biệt vành qui Abel Thêm vào đó, môđun xạ ảnh hữu hạn sinh vành qui qui... 12 1.2 Vành qui Von Neumann 13 1.2.1 Định nghĩa số ví dụ 13 1.2.2 Các điều kiện tương đương vành qui 15 Chương - MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ VÀNH CHÍNH QUI 16 2.1 Các tính chất vành qui