Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO KÍTP HIỆU TRƯỜNG ĐẠI HỌC SBẢNG Ư PHẠM Hồ CHÍ MINH : Trường số p-adic : Bao đóng đại số : Trường đầy đủ hóa B[r} ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYÉT NEVANLMA : Giá trị tuyệt đối p-adic Hàm trị / MỞ ĐÀU Gần đây, lý thuyết Nevanlinna trở thành lĩnh vực toán học động Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [ 6] chứng minh tương tự padic hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết lý thuyết Nevanlinna cổ điển Khoái [4] nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, chứng minh mối liên hệ số khuyết siêu phẳng vị trí tổng quát Cherry-Yang [13] mô tả số tập xác định với số phần tử hữu hạn hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” mối quan hệ số khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm lý thuyết Nevanlinna Những kết đóng góp quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna Trong giải tích phức, ứng dụng bật lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna sử dụng việc nghiên cứu tính chất nghiệm hàm nguyên với Nevanlinna hay hàm phân hình phương trình vi phân Chẳng hạn, đối lý thuyết sử dụng để chứng minh định lí MalmquisCs ví dụ điển hình số kết định lí kiểu Malmquist là: “Neu p(x) Q ( x ) phần tử , (z) : Hàm bù / nguyên tố 0(1 ) vành đa thức biến với hệ so trường p(f) : Hàm đặc trưng / Trong luận văn này, trình bày phưong trình vi phân đại số p-adic dạng: n(z,w,w', ,w { n ) ) = R ( Z , W ) , Trọng tâm phần tập trung vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm phuơng trình vi phân đại số, cụ thể, ta số phuơng trình vi phân đại số nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận đuợc Hơn nữa, kết đuợc mở rộng trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn định lí Malmquist-type (I), định lí Malmquist-type (II) nghiên cứu nghiệm chấp nhận số phương trình vi phân cụ thể Các kết nội dung trọng tâm chương Chương 1: LÝ THƯYÊT NEVANLINNA Trong chưcmg này, trình bày kết quan trọng cần thiết lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic, kiến thức bổ trợ cho phần trọng tâm luận văn chuông 1.1 Lý thuyết Nevanlinna hàm phân hình p-adic: Cho p số nguyên tố, gọi trường số p-adic, đầy đủ hóa p00 n=0 xác định tôt Định nghĩa “ bán kính hội tụ p ” , hàm /(z) gọi hàm nguyên p-adic p B r l ì={ze p\Apr) n r ’f =u(r’f)V/ Tính chất 1.1.5: Nếu t = ordp (z) không điếm tói hạn, 0, — Cho / hàm giải tích số tâm: p-adic \f(z)\p= khácju(r,f) = (0 T ( r , w ) Hệ 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f hàm hữu tỉ bậc d r->co log r Hàm phân hình p-adic M ( p) - p (z) gọi hàm siêu việt Hiển Ịimặgl — +00 r-*x> tog r Hệ 2.4.3: Nếu (15) k CÓ nghiệm phân hình khác chấp nhận được, (15) viết (k k n-k không ước so n, khỉ (15) với hệ so aj nghiệm phân hình khác chấp nhận Mặt khác: w(z) + b = (z-z0Ỵ wữ(z), w0(z0 ) * suy w'(z) = a(z-z0Ỵ~ỉw0(z) + (z-z0Ỵ Wữ(z), w0 (z0 )*0 n(a -1 ) = ka => (n - k)a - n Điều mâu thuẩn với giả thiết Hệ đuợc chứng minh Giả thuyết 2.4.5: Phương trình (15) nghiệm phân hình siêu việt chấp Chứng minh: ( w ) " = a k ( w + b f, (*) ước n n(a +1 ) = ka điều mâu thuẩn n > k, chứng tỏ w cực điểm nên w hàm nguyên, theo 2.4.4 không điểm w+b có bôi số / = ———, n-k Đặt a - Al, ta có Bổ đề 2.4.7: Giả sử (17) pỊ/ấo) €l(z,w,w' = B(z,w)p[z,w,w' , ,w{n)^ + Q{z,w,w' đa thức vi phân w, B(z,\v) = deg(5)>minỊr(ô),deg(ổ) + r(ô)(l-0 w (oo))Ị ( ? -deg(ổ))r(r,w)ir Suy *1 * p =-ổ g = deg(5)>deg(ổ) = deg(ổ*) + Ẩ; (fr = 0) nên theo bổ đề 2.3.1, ta có: V9 í m(r,p *) < ^m(r,c.) + ^m(r,í/.) + je/ Ỉ'GJ +m ỹ=0 Suy m[r,p*) = ớ(r(r,w)) Theo bổ đề 1.2.4 ta có ước lượng:V 'p'j = T(r,P‘)+0{ 1) Hay m = JV(r,P,)-Arír,-^j + o(r(r,w)) 01 Khi m(r,B} + o{r (r, W)) = m Vr + o(r(r,w)) \ r J < deg(ổ)m(r,w) + N(r,p*^j-+ o(r(r,w)) Tiếp theo ta ước lượng không điểm cực điểm p* MỈ(zmax{deg(ổ) + 2,r(ổ)} Neu k 0 nên Ta đặt P0 = wqp, q > max|deg(ổ) + 2,r(ộ)Ị nẽn Theo định lí 2.4.2 suy Cl(z,w,w', ,w{n)^ = ak{z)(w+b(z))k, b(z) = a*-x^z\- kak (z) (4-deg(ổ))r(r,w) Định lí đuợc chứng minh Định lí 2.4.9: Giả sử Q định nghĩa (18) với q > r(ộ) + Khi (14) nghiệm phân hình khác chấp nhận vói sổ nguyên dương k N )) £(r(g)-deg(e) + l)tf(r,W) + tf(r,-K) r(ố)+3 T ±N) Chương 3: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM NGUYÊN P-ADIC Trong chương này, trình bày tưong tự p-adic định lí Baker giải /”(z) = /o o/(z) tích phức f hợp thành n lần Điếm z0 gọi điếm bất động hàm f /(z0) = z0 Tổng quát hon, ta gọi điểm z0 điểm bất động cấp n fn (z0) = z0 điểm bất động cấp n n so nguyên dưong nhỏ thỏa mãn fn (z0) = z0 Định nghĩa 3.2: Cho a / hai hàm phân hình D(yơ) Hàm ứ(z) gọi tiến chậm hàm f Định lí 3.3: Nếu f hàm nguyên siêu việt p-adỉc vói sổ nguyên n cho k [...]... gọi là điếm bất động của hàm f nếu /(z0) = z0 Tổng quát hon, ta gọi điểm z0 là điểm bất động cấp n nếu fn (z0) = z0 và là điểm bất động đúng cấp n nếu n là so nguyên dưong nhỏ nhất thỏa mãn fn (z0) = z0 Định nghĩa 3.2: Cho a và / là hai hàm phân hình trên D(yơ) Hàm ứ(z) được gọi là tiến chậm đối với hàm f nếu Định lí 3.3: Nếu f là một hàm nguyên siêu vi t p-adỉc và vói mọi sổ nguyên và n sao cho k ... trọng tâm lý thuyết Nevanlinna Những kết đóng góp quan trọng vi c nghiên cứu ứng dụng lý thuyết Nevanlinna Trong giải tích phức, ứng dụng bật lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phương trình vi phân đại... đại số Cụ thể, lý thuyết Nevanlinna sử dụng vi c nghiên cứu tính chất nghiệm hàm nguyên với Nevanlinna hay hàm phân hình phương trình vi phân Chẳng hạn, đối lý thuyết sử dụng để chứng minh định... Hệ 1.2.10: Một hàm phân hình p-adic f hàm hữu tỉ bậc d r->co log r Hàm phân hình p-adic M ( p) - p (z) gọi hàm siêu vi t Hiển Ịimặgl — +00 r-*x> tog r Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỔ p-ADIC