Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNGBộ ĐẠI HỌC SỪ VÀ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỪ PHẠM TP HO CHÍ MINH Nguyễn Thị Thúy Hồng Nguyễn Thị Thúy Hồng THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN Chuyên ngành: Hình học Mã số: 60 46 10 Tôpô LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SON Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy Nguyễn Thái Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài kinh nghiệm thực đề tài, cung cấp nhiều tài liệu truyền đạt kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn Chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán - Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu suốt trình học cao học Chân thành cảm ơn quý thầy cô phòng khoa học công nghệ sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực luận văn Chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu đồng nghiệp trường THPT Bình Đông - Tiền Giang tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học cao học Sau chân thành cảm ơn bạn lớp trao đổi, góp ý động viên tác giả nhiều suốt trình thực luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hồng MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐÀU Chương CÁC KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức cn 1.2 Định nghĩa hàm chỉnh hình .8 1.3 Định nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình 1.4 Hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa 10 1.5 Bao đa điều hòa 12 1.6 Nguyên lý môđun cực đại 15 1.7 Không gian Banch hyperbolic 17 1.8 Tập cực tập đa cực 18 1.9 Điều kiện lồi - đĩa yếu tính chất 18 1.10 Định lý Shiffmann 19 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT 20 2.1 Định lý Kwack 20 2.2 Mở rộng định lý Kwack sang vô hạn chiều 21 2.3 Định lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs .25 Chương THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP cực 29 3.1 Thác triển chỉnh hình qua tập cực 29 3.1.1 Định nghĩa tập cực tính chất 29 3.1.2 Ký hiệu 30 3.1.3 Định lý thác triển chỉnh hình qua tập đa cực đóng 31 3.2 Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 38 3.2.1 Định lý Noguchi 38 3.2.2 Định nghĩa tập cực loại hữu hạn 39 3.2.3 Định lý thác triến chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn đóng với tập giá trị không gian giả lồi 39 3.2.4 Định lý thác triến chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn đóng với tập giá trị mặt Riemann compact hyperbolic 42 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hừu hạn 43 3.3.1 Định nghĩa 43 3.3.2 Tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn (SPEP) 43 3.3.3 Định lý quan hệ tính chất (SPEP) không gian giải tích Banach miền Hartogs .48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐÀU Lý chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình toán trung tâm Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều Trên giới có nhiều nhà toán học quan tâm tới vấn đề khoảng thập kỷ qua có nhiều kết nghiên cứu quan trọng Shiffman, Nguyên Thanh Van, Ahmed Zeriahi, Ở Việt Nam hình thành nhóm mạnh nghiên cứu toán này, bật nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái Lê Mậu Hải Cho đến việc thác triến ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng ý: Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt quan trọng với điều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H2(r) —>X thác triển chỉnh hình tới A2, < r < H2(r) = {(zPz2)G A2:l Zị l< r} U{(ZPZ2)G A2:l z2 I> — rj với A = {zeC: lzl Dựa vào lịch sử vấn đề nêu trên, nhận thấy vai trò quan trọng việc nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Để đọc hiểu biết kiến thức có liên quan, giảng viên hướng dẫn tạo điều kiện để tiếp xúc với tài liệu khoa học sách giáo khoa nâng cao giải tích phức Đó hội cho thân để củng cố kiến thức tôpô Hơn việc tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann sở cho việc tìm hiếu cách toàn diện toán thác triến chỉnh hình Đó lý chọn đề tài Luận văn “Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tô pô Hình học giải tích phức Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Reimann, từ sở tìm hiểu cách toàn diện toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Cấu trúc luận văn Nội dung Luận văn gồm phần mở đầu, ba chuơng nội dung phần kết luận Cụ thể nhu sau: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ toán nghiên cứu Chưong 1: Trình bày định nghĩa kết viết thành giáo khoa có liên quan đến đề tài Do kiến thức tôpô giải tích tác giả có liên quan đến toán chủ yếu tự nghiên cứu tài liệu, trình bày chi tiết nội dung Chưong 2: Thác triển chỉnh hình qua siêu mặt Xuất phát định lý tính chất A* — thác triển mà xem mở rộng định lý Kwack từ chiều sang vô hạn chiều, Chưong 3: Thác triển chỉnh hình qua tập cực Trước hết tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua tập cực sau thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn Ngoài ra, tìm hiểu miền Hartogs liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn Phần kết luận: Đưa nhận xét thân tác giả kết tìm hiểu được, đồng thời qua phát thảo hướng nghiên cứu thời gian tói thòi gian điều kiện cho phép Trong Luận Văn này, tìm hiểu kết nói để củng cố kiến thức đồng thời nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng sau nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn tính chất thác triển chỉnh hình thực qua tập cực loại hữu hạn Do thời gian có hạn nội dung kiến thức mới, dừng lại chỗ tìm hiểu báo trình bày lại theo hiểu biết Chương CÁC KIÉN THỨC CHUẨN BỊ • Trong luận văn này, đọc sử dụng số kiến thức thuộc chương trình tôpô giải tích phức chương trình đại học Ngoài kiến thức nâng cao tìm kiếm báo tác giả có liên quan Do đó, đế luận văn mạch lạc tiện theo dõi, chương trình bày số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian phức C" Xét không gian Eulide số chiếu chẵn R 2n, điểm có thứ tự 2n số thực (x,,x 2, ,x2 ) Ta đưa vào cấu trúc phức, cách đặt z = X z =x +ix+ (v = l, ,n) Thường ta ký hiệu X + = y nên +iy (v = 1, ,n) Không gian mà điểm n số phức (hữu hạn) z=(z„ ,z„) = {z,} gọi không gian phức n chiều ký hiệu cn Đặc biệt n = 1, ta có c' = c mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian cn tích n mặt phang phức cn = C x C x x C 1.2.Định nghĩa hàm chỉnh hình Hàm f, xác định lân cận điểm z e cn, gọi khả vi điểm theo nghĩa giải tích phức (Cn — khả vi), K2n - khả vi điếm dĩ dz V df = —dz, + ỡz, dí • Định nghĩa Hàm cn — khả vi điểm lân cận điểm z° G cn, gọi hàm chỉnh hình điểm z° Hàm chỉnh hình điếm tập mở íỉ c cn ( đặc biệt miền) gọi chỉnh hình tập íỉ, 1.3 Định nghĩa miền chỉnh hình miền lồi chỉnh hình • Định nghĩa Miền G chứa miền Q cn gọi mở rộng chỉnh hình Q hàm chỉnh hình Q mở rộng tới hàm chỉnh hình G a) Giả sử Q mở cn K compact Q với Q \ K liên thông, Q miền mở rộng chỉnh hình Q \ K n > b) Nếu G mở rộng chỉnh hình Q f (£2) = f (G) với hàm f chỉnh hình G Thật không tồn hàm f chỉnh hình G f(z)-íy„ mở rộng chỉnh hình tới G , ze Q 39 Trong Luận văn này, dừng lại tìm hiếu trường hợp tập mở không gian Banach s z là tập cực loại hữu hạn đóng z 3.2.2 Định nghĩa Cho X tập không gian Banach B Ta nói X tập cực loại hữu hạn với không gian hữu hạn chiều E B tồn không gian hữu hạn chiều F B bao hàm E cho X n F tập cực F 3.2.3 Định lý Cho X không gian giả lồi cho H(A,X) = H(A\S,X) với tập cực đóng s a A Khi H(Z,X) = H(Z\S,X) z hạn đóng s z với tập mở không gian Banach B tập cực loại hữu Chửng minh (i) Theo giả thiết H(A,X) = H(A ,x) X không chứa đường thắng phức Khi đó, tập compact X có lân cận hyperbolic X (ii) Cho {f } cH(A\S,X) với f —>f H(A\S,X), s cực A Chúng ta chứng minh fn —> f H( A,x) tập d w ( f n ( z „ )> f ( z )) ^ đ w (f„ (z„ ),f (z„ )) + đ w (f (z„ ),f (z )) ád w(f(z„).f(zJ) + dư(z„>zo) 40 khoảng cách Kobayashi u tương ứng.tìm lân cận Cho z E s Vì s làcủatậpwcựcvànên ta u Z() cho du n s = Khi đó, Do đó, f„(z„)-»f(z0) K = Uf„(3U)Uf(3U) n>l Điều suy f —> f H(A,X) tập compact tương đối(iii)trong Theo tínhđịnhgiả lồi tacủa X, bao đa điều Theo X (ii) áp dụng lý 3.1.3 có H(Z,X) = H(Z\S,X) KPSH ) cndưới tập(Xcực ScZ.K tập compact X Từ (i) ta suy tập hợp z Banach B s tập cực z KPSH(X) hòa Bâycận giờhyperbolic ta giả sử w CÓ(iv) lân tập mở không gian Theo nguyên lý môđun cực đại hàm đa điều hòa ta có Trước hết chứng tỏ Ụf,(U )U f(U)cW H(Z,X) = H(Z\S,X) n>l Cho {zn) c u dãy tùy ý hội tụ tới z0 Dễ dàng thấy d AsexD(z»z/)=inf{d( s )nE(z,z/):dimE cho dAe n s = Ta viết B = Ce©F với E = Ce©Ep E, cF Do tính compact 3Ate X ta tìm lân cận D E F cho (3AKexD)flS = f (3Af;exD) compact tương đối X Giả sử cp hàm đa điều hòa vét cạn X, nguyên lý môđun cực đại ta có: sup cpf = sup (pf < oo Aí:exD 3AKexD Do cp hàm vét cạn nên f (Ãt:exD) compact tương đối X Theo (i), tập f (A.exD) có lân cận hyperbolic w Từ đẳng thức Vậy f liên tục f chỉnh hình A ex D (v) Cuối cùng, cách lặp lại lặp luận (ii), Ịf k )cH(Z\S,X) = H(Z,X) hội tụ tói f H(z\s,x) f k (zk)->f (z0) Điều suy f k —>f H(z,x) 42 Định lý chứng minh xong Trên ta tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn trường hợp X không gian giả lồi Đe có nhìn toàn diện nội dung này, sau ta xem xét trường hợp X mặt Riemann compact hyperbolic Đó nội dung định lý sau đây: 3.2.4 Định lý Cho X mặt Riemann compact hyperbolic Khi đó, H(Z,X) = H(Z\S,X) với tập mở z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng s cZ Chửng minh Theo Jàrvi, ánh xạ thu hẹp R: H(A,X) —» H(A\S,X) song ánh với s z Theo tính đầy đủ hyperbolic X, ta suy H(A,X) = H(À\s,x) Do định lý 3.2.3 ta suy H(z,x) = H(z\s,x) với tập mở z không gian Banach B tập cực loại hữu hạn đóng s z tập đóng cực loại hữu hạn Trong khuôn khổ đề tài xem xét toán thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn, muốn tìm hiếu thêm quan hệ không gian giải tích banach miền Hartogs mối tương quan với việc thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 43 3.3 Miền Hartogs thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn Trước hết ta định nghĩa tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn 3.3.1 Định nghĩa • Định nghĩa Miền Hartogs D với mặt phang đối xứng zn = an miền với z° = ( z ° , z j e D điểm Hz°’ •••’ • an + 0^ -a»)e* )e D Vớn (0:< [...]... về bách khoa toàn thư toán học 20 Chương 2 THÁC TRIẺN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT Như mục đích đề ra của Luận văn này, chúng tôi muốn tìm hiểu về tính chất thác triển chỉnh hình Riemann, tức là thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng Để bắt đầu, chúng tôi tìm hiểu định lý Kwack Vào năm 1972, Muyung H Kwack đã phát biếu và chứng minh tính chất thác triển chỉnh hình qua đĩa thủng như sau: 2.1 Định lý Kwack... tìm hiếu việc thác triển chỉnh hình qua siêu mặt như là một sự mở rộng của định lý Kwack từ hữu hạn sang vô hạn chiều Tuy nhiên như trong phần mở đầu chúng ta đã đề cập đến, trong luận văn này chúng tôi muốn tìm hiếu việc thác triển chỉnh hình qua các tập mỏng khác Đó là nội dung của việc thác triển chỉnh hình qua tập cực, tập cực loại hữu hạn và nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua... phẳng phức Sau đó Đỗ Đức Thái đã mở rộng sự nghiên cứu sang thác triển chỉnh hình qua siêu mặt Trong Luận văn này chúng tôi chủ yếu tìm hiểu tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Tuy nhiên để thuận lợi trong một số chứng minh ở chương 3, chúng tôi cũng muốn trình bày một số nội dung có liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Cụ thể ta có định lý sau đây: 2.3 Định lý Cho X là...Au= ^+^=0 10 c) Nếu Q là bị chặn còn G là mở rộng chỉnh hình của Q, thì G bị chặn Thật vậy theo b) z (G) = Z.(í2) Vj = l,n và vậy thì G bị chặn nếu Q, bị chặn • Định nghĩa 2 Miền fìcC" gọi là miền chỉnh hình hay miền tồn tại của hàm f chỉnh hình trên Q nếu không thể mở rộng chỉnh hình f tới một miền lớn hơn Q Nói một cách chính xác khai triển của f thành chuỗi lũy thừa tại mọi z° G Q không thể... cách chỉnh hình tới Uj = u \ Bằng cách lặp lại (ii) vài lần f có thể được mở rộng một cách đồng luân tới í^p dx U\ ídp O À, mị V dkp J Vậy định lý đã được chứng minh Như vậy, nằm trong khuôn khổ nghiên cứu việc thác triến chỉnh hình qua các tập mỏng, định lý Kwack đã chứng minh sự thác triến qua đĩa thủng, nghĩa là thác triển qua góc của mặt phẳng phức Sau đó Đỗ Đức Thái đã mở rộng sự nghiên cứu sang thác. .. ánh xạ chỉnh hình từ X vào đĩa đơn vị D là khoảng cách giảm Nếu dx trở thành khoảng cách thì ta nói X là một không gian giải tích hyperbolic Một không gian Banach hyperbolic là không gian hyperbolic đầy đủ 18 Một mặt Riemann được gọi là mặt Riemann Hyperbolic theo nghĩa này, nếu mọi phủ phổ dụng của nó là song chỉnh hình tới đĩa đơn vị Một đa tạp phức compact là hyperbolic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ... gian phức hyperbolic, f: A —> X là ánh xạ chỉnh hình sao cho tồn tại dãy {znj chứa trong Ả, hội tụ về 0 mà dãy { f ( z „ ) \ h ộ i tụ trong X Khi đó f có thể được thác triển lên một ánh xạ chỉnh hình F: X Trong Luận văn, chúng tôi không có điều kiện tiếp xúc với công trình trên của Kwack Tuy nhiên, nhờ các nghiên cứu của Đỗ Đức Thái về tính chất À* — thác triển nên chúng tôi dành thời gian tìm hiểu... cách áp dụng nguyên lý giảm khoảng cách cho ánh xạ chỉnh hình f :UxA*->X ta có =d x (p(xji"(L))+d x (f(z„x),f(z,L))+d x (F(L),f'(o)) Do (i), f mở rộng tới một ánh xạ chỉnh hình fz: A —> X u(zxn,z) bởi f (z,À,) với (z,À,)e UxA n Vì vậy, f là một thác chỉnh X hyperbolic và ỉ triển liên tục hình của f Thật vậy, lấy (z,0)e H và|(zn,Ần))cUxA... thuận tiện trong trình bày bài toán thác triển chỉnh hình qua tập cực, chúng ta có một vài ký hiệu sau đây: 3.1.2 Ký hiệu Trong chương này ta kí hiệu H(z,x) = H(z\s,x) 31 nếu ánh xạ thu hẹp R : H(z,x) —> H(z\s,x) là đồng phôi, ở đây s là một tập cực đóng trong đa tạp phức z và X là một không gian phức Trong trường họp thứ nhất ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng s và trong trường... = fiT(z)> h(z,w) = f’(z) 34 Trước hết, ta chứng tỏ rằng gk, g, hk và h là các ánh xạ chỉnh hình gk:U\S,xW^X, g:U\S'xW^X Theo định lý Shiffman và theo tính thác triển chỉnh hình theo từng biến của X, ta chỉ cần chứng tỏ rằng các ánh xạ g k và g (tương ứng h k và h) là các hk:ưxW\S,,^X, h: u X w \ s" —> X ánh xạ chỉnh hình theo ZGƯ\S,( tương ứng theo weW\S,/) bởi z w w gk( > )=tafk.,( g(z,w) = chứng minh ... đóng Thác triển kiểu gọi thác triển chỉnh hình kiểu Riemann 5 Trong đa số trường hợp thác triển chỉnh hình kiếu Riemann tỏ khó nhiều so với thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Như việc thác triến... việc tìm hiểu toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann sở cho việc tìm hiếu cách toàn diện toán thác triến chỉnh hình Đó lý chọn đề tài Luận văn Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann Mục đích nghiên... xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay gọi thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs Trong trường hợp đặc biệt quan trọng với điều kiện không gian phức X ánh xạ chỉnh hình từ H2(r) —>X thác triển chỉnh