CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số 1.1.1 Bổ túc hàm số Định nghĩa Cho   D  R, ánh xạ f : D  R gọi hàm số biến số thực f:DR x  y = f(x)  D : miền xác định  f ( D)   y  R | x  D : y  f ( x) : miền giá trị  x: biến số hay đối số  y = f(x) giá trị hàm số f x Ví dụ a Cho hàm số : f: X  R x y= x2  x2 Tìm miền xác định hàm số b Tìm miền xác định vẽ đồ thị hàm số y = x2 x2 Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số f : X  R tập hợp : C = M(x,f(x)) / x  X  Nói chung đường cong mặt phẳng Oxy Các loại hàm số với tính chất đặc biệt a Hàm bị chặn Ta nói hàm số f:  Bị chặn trên D, M cho f ( x)  M , x  D  Bị chặn D, N cho f ( x)  N , x  D Ví dụ Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn R b Hàm đơn điệu Cho hàm số f(x) xác định D Ta nói hàm số f(x) là:  Đơn điệu tăng x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Đơn điệu giảm x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung hàm số đơn điệu c Hàm số chẳn, lẽ Tập D  R gọi đối xứng x  D   x  D Cho hàm số f(x) có miền xác định D Khi đó:  f(x) hàm chẳn D đối xứng f(-x) = f(x), x  D  f(x) hàm lẽ D đối xứng f(-x) = - f(x), x  D Ví dụ: Hàm f(x) = x2 hàm chẳn, hàm f(x) = x3 hàm lẽ Hàm hợp – Hàm ngược a Hàm hợp g:Y  Z Khi hàm Cho tập X , Y , Z  R hàm số f : X  Y , số: h: X  Z x  h( x) : g ( f ( x)) Được gọi hàm hợp hai hàm f g, kí hiệu: h  g  f Ví dụ: Cho hai hàm số f(x) = x2 g ( x)   x Khi đó: ( g  f )( x)  g ( f ( x))  g ( x )   x ( f  g )( x)  f ( g ( x))  f (  x )   x b Hàm ngược Cho hàm số f : X  Y song ánh Khi tồn hàm số f 1 : Y  X Xác định sau: với y  Y ta x  X mà f(x) = y Hàm số f 1 : Y  X xác định gọi hàm ngược f và: y  f ( x)  x  f 1 ( y )    Ví dụ: Xét hàm số y = sinx - ;  Trên đoạn hàm sinx đơn điệu tăng  2 thật từ -1 đến nên tồn hàm ngược, kí hiệu y  arcsin x Hàm số sơ cấp:  Hàm số sơ cấp : a Hàm lũy thừa : y = x y = x  x , y = x , y = x2 … Miền xác định tùy thuộc  Nếu   N MXĐ R,  vô tỷ MXĐ (0; +  ) b Hàm số mũ : y = ax ( < a  ) Miền xác định R, miền giá trị (0; ) Nếu a > hàm mũ tăng, a < hàm giảm R (0 1, giảm < a < d Hàm số lượng giác y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx e Hàm số lượng giác ngược y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx f Hàm số hyperbolic y = shx = y = thx = e x  e x , y = chx = e x  e x shx e x  e x chx e x  e x = x  x , y = cothx = = x x chx e e shx e e  Hàm số sơ cấp : Hàm số y = f(x) f(x) cho công thức lập thành từ hàm số sơ cấp với phép tính số học phép lấy hàm hợp Ví dụ 1: ln( x  x  1)  2e x y= x arcsin Ví dụ 2: Các hàm không sơ cấp  Hàm phần nguyên y = [x] ( n  n < n+1 )    Hàm dấu : y = sgnx  1  Khi x < Khi x = Khi x > 1.1.2 Giới hạn hàm số Bổ sung :  Khoảng : (a,b) = x  R/ a < x < b  Đoạn : [a,b] = x  R / a  x  b  Nửa khoảng ( hay nửa đoạn )  (a,b] = x  R / a < x  b  Lân cận : Cho xo  R  > 0, khoảng ( xo-  , xo +  ) gọi lân cận xo (lân cận tâm xo, bán kính  ) Vậy x thuộc lân cận xo  xo -  < x < xo+   -  < x –xo <    x-xo  <  Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định lân cận xo Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x tiến đến xo :   > ,   >0 :  x-xo  <   f ( x)  L <  Ký hiệu: lim f ( x)  L x  x0 Ví dụ a) Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 x  3)  x 1 b) Hàm số f : X  R x y= x2  x2 Tìm miền xác định f chứng minh lim f ( x)  x2 Các tính chất giới hạn  Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x  xo tổng, hiệu , tích,thương chúng có giới hạn x  xo và: lim [ f(x)  g(x) ] = lim f(x)  lim g(x) x  xo x  xo x  xo lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) x  xo x  xo x  xo lim f ( x) f ( x) x  xo lim = x  xo g ( x ) lim g ( x) ( lim g(x)  0) x  xo x  xo  Nếu f(x)  g(x) với x thuộc lân cận x o lim f(x)  lim g(x) x  xo x  xo  Nếu f(x)  g(x)  h(x) với x thuộc lân cận xo  Nếu lim f(x) = lim h(x) = L lim g(x) = L x  xo x  xo x  xo 1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn Giới hạn bên Bổ sung : Ký hiệu x  xo+ hiểu x  xo x > xo x  xo- hiểu x  xo x < xo a Định nghĩa  Số L gọi giới hạn trái hàm số f(x) x tiến đến xo từ bên trái (x  xo- ) với  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn  > 0sao cho: 0< xo – x <   | f(x) – L | <  Ký hiệu lim f ( x)  L x x o  Số L gọi giới hạn phải hàm số f(x) x tiến đến xo từ bên phải (x  xo, x > xo) với  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn  > cho 0< x – xo <   | f(x) – L | <  Ký hiệu lim f ( x)  L x x  o b Định Lý lim f(x) tồn  lim f ( x) = lim f ( x) x  xo x  x0 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số f(x) = x x x  x0 x  Hàm số không xác định x = 0, ta thấy : Vậy lim f ( x)  lim (1)  1 x O  x O  lim f ( x)  lim(1)  x O  x O  Do lim f ( x) không tồn tại, có giới hạn bên xO Giới hạn vô cực a Định nghĩa Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x tiến đến vô cực (x  ) với  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn M > cho với x mà x > M ta có f(x) - L Ký hiệu lim f ( x)  L 0 tùy ý, tồn  > cho với x mà x  x0   f ( x)  M Ký hiệu: lim f ( x)   x  b Ví dụ Chứng minh lim x 2  x2 1.1.4 Dạng vô định giới hạn hàm số Dạng vô định 0 a) Định nghĩa Nếu lim f ( x)  lim g ( x)  thì: lim x  x0 dạng vô định x  x0 x  x0 f ( x) gọi có g ( x) sin x tgx  s inx  2x  ln(cosx) , lim , lim , lim x  x  x  3x ln(1  x ) x x 2 Cách khử dạng vô dịnh b) Ví dụ lim x 0 TH1 Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức thức ta áp dụng công thức sau: lim x  x0 ( x  x0 ) f ( x) f ( x) f ( x)  lim  lim x  x x  x ( x  x ) g ( x ) g ( x) g ( x) Ví dụ Tính giới hạn a lim x4  2x  x 2 Bước 1: Khử cách nhân tử mẫu với lượng liên hợp ta có: lim x4  2x  (  x  3)(  x  3)( x  2) (1  x  9)( x  2)  lim  lim x4 x  ( x  4)(  x  3) x 2 ( x  2)(  x  3)( x  2) Bước 2: Áp dụng CT lim x4 (1  x  9)( x  2) 2( x  4)( x  2) 2( x  2)  lim  lim  x  x  ( x  4)(  x  3) ( x  4)(  x  3) (  x  3) b lim x 8  2x  x 2 Làm tương tự câu a (  x  5) (9  x  25)( x  x  4) 2( x  x  4) 12  lim  lim  x 8 x 8 ( x  8)(  x  5)( x  2) x 8 ( x  2)  2x  lim TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược Áp dụng giới hạn sau, x  , u ( x)  sin u ( x) 1 x 0 u ( x) lim arctgu ( x) 1 x 0 u ( x) tgu ( x) 1 x 0 u ( x ) lim arc sin u ( x) 1 x 0 u ( x) lim lim eu ( x )  1 x 0 u ( x) lim lim x 0 ln(1  u ( x)) 1 u ( x) Ví dụ Tính giới hạn sin x 2sin x  lim  (Áp dụng giới hạn 1) x 0 x 0 3.2 x 3x tgx  s inx s inx(1  cosx) s inx  cosx 1 b lim  lim  lim  1.1  3 0 x 0 x  x  x x cos x cos x x x 2  Dạng vô định  f ( x) a Định nghĩa Nếu lim f ( x)   lim g ( x)   thì: lim gọi x  x0 x  x0 x  x0 g ( x )  có dạng vô định  a lim x x x2  x  b Ví dụ: lim , lim x  x  x  x  x 1 Cách khử dạng vô dịnh   TH1: Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức thức ta đặt xk với k bậc nhỏ đa thức tử mẫu số làm thừa số chung đơn giản Ví dụ Tính giới hạn 3  2) 1  x  3x  x x  lim x x 1 a lim  lim x  x  x  x  x  5 x (3   ) 3  x x x x 9 x (4 x   ) 4x   4x  x  x x  lim x x   b lim  lim x  x  x  x  x  2 2 x (1   ) 1  x x x x c lim x  x x  lim x  x 1 x (1    x  1  x  1 x  x TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ ta đặt biểu thức mũ có số lớn làm thừa số chung đơn giản để tính giới hạn Ví dụ Tính giới hạn   x   x  x       1 x  3x  x       lim  a lim x x x x x x    2.4 x       x             3  5x 1  x  3    b lim  lim x x  2.5  x  4  5x   x    x Dạng vô định    a Định nghĩa Nếu lim f ( x)   lim g ( x)   thì: lim f ( x)  g ( x) x  x0 x  x0 x  x0 gọi có dạng vô định    b Ví dụ lim x        x  x  x  x , lim  x 1 x  x 1   Cách khử dạng vô dịnh    TH1 Nếu f(x), g(x) hàm hữu tỷ ta quy đồng mẫu số đưa giới hạn dạng Ví dụ: Tính giới hạn  x 1 1   x 1  lim     lim   lim    lim x 1 x  x  x  x  1 x 1  x 1 x 1   x 1  TH2 Nếu f(x), g(x) có chứa hàm thức ta nhân lượng liên hợp đưa giới hạn dạng   Ví dụ Tính giới hạn a lim x  b lim x     x x  x  x  x  lim x2  x  x2  x x   x3  x  x  x  lim x    lim x  x  1 x  1  1  x x  x3  x  x  x  x  x   = lim x   4x2 ( x3  x )2  x x3  x  x   lim x  x x  x2  x     Dạng vô định 1 a Định nghĩa: Nếu lim f ( x)  lim g ( x)   thì: lim  f ( x)  x  x0 x  x0 g ( x) x  x0 gọi có dạng vô định 1 b Ví dụ: lim 1  s inx  x2 x0  x2 , lim   x   x 1  4x Cách khử dạng vô dịnh 1 Áp dụng giới hạn số e  lim(1  u ( x)) u ( x ) , x  u ( x)  x 0 Ví dụ Tính giới hạn 4x 4x    x2    lim 1   lim 1  a lim     x  x  x   x 1   x 1   x 1  1 b lim 1  s inx  x  lim 1  ( s inx)  (  sinx ) x 0 x 0 (  sinx ) 2x x 1 x x 1 lim  e x0 lim 12 x  e x x 1  e12  sinx x2  e   1.1.5 Vô lớn, vô bé – Khử dạng vô định: Vô bé a Định nghĩa Hàm f(x) gọi vô bé (VCB) x  xo lim f(x)= x xo Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x , sinx, tgx, VCB x  b Vô bé tương đương Hai vô bé f(x) g(x) gọi tương đương x  x0 , kí hiệu f ( x)  g ( x) x  x0 lim x  x0 f ( x)  g ( x) ex 1  nên e x   x x  x 0 x Ví dụ Vì lim x  cos x  nên  cos x  x x  Vì lim  lim 2 x 0 x 0 2 x  x 2  2 sin Theo định nghĩa ta có VCB tương đương quan trọng sau x   sinx ~ x  tgx ~x x2   cos x   arcsin x  x  arc tgx  x  ex 1  x  ln(1  x)  x  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a1 x c Ứng dụng vô bé tính giới hạn Nhận xét Nếu VCB f ( x)  f1 ( x); g ( x)  g1 ( x) x  x0 lim x  x0 f ( x) f ( x)  lim , dùng vô bé để tính giới hạn x  x g ( x) g ( x) Ví dụ Tính giới hạn (1  cos x) x 0 x  x a lim Vì  cos x  x2 x4 ; x  x5  x , x  nên  (1  cos x)  x4 (1  cos x) lim  lim 44  x  x  x x  x b lim x 0 ln(1  tgx ) x  x3  sin x Vì ln(1  tgx )  tgx  x ; x  x3  sin x  x  x3  x3  x , x  nên lim x 0 ln(1  tgx ) x2  1 lim x  x3  sin x x 0 x 2 Vô lớn a Định nghĩa Hàm f(x) gọi vô lớn (VCL) x  xo lim |f(x)|=  x  xo 10 x  y2 x  x   x  y     y  y    y  1 y  y  x   Tìm giao điểm:   Suy I   x  0 x (1  x)dydx   x  (1  x)dydx x2 1   ( y  xy ) x dx   ( y  xy ) x  dx x 0 1 x   ( y  xy ) x dx   ( y  xy ) x  dx x x 1 3   (2 x  x )dx   (2 x  x   x  x  x)dx  189 10  D= ( x, y )  R / c  y  d , x1 ( y )  x  x ( y ) với x1(y) x2(y) liên tục [c,d] I= b y2 ( x ) a y1 ( x )  dx  f ( x, y )dy Ví dụ 3: Tính tích phân VD2 theo miền nằm ngang đơn giản:  y2  x  y  Suy ra: D    y  y2 I  1 y 2 (1  x)dxdy   ( x  x ) 1 y2 y2 dy 2 1 1    y   y  ( y  2)  y dy   6  y  y dy  189 10 Ví dụ 4: Tính tích phân VD1 theo miền nằm ngang đơn giản  y2  x  y  D Suy ra:  1  y  y y2 y I   xydxdy    xydxdy   x y dy D y 1 0   y ( y  y )dy   ( y  y )dy  12  D giới hạn hình chữ nhật có cạnh xác định a  x  b , c  yd   MNP : y = y1 (x) , MQP : y = y2(x)   NMQ : x= x1(y) , NPQ : x = x2(y) I= b y2 ( x ) a y1 ( x )  dx  Ghi : f ( x, y )dy = b d a c  dx   d c dy  x2 ( y ) x1 ( y ) f ( x, y )dx b d a c f ( x).g ( y )dy   f ( x)dx  g ( y )dy c Đổi biến số tích phân kép Cho tích phân kép  D f ( x, y )dxdy Giả sử tồn hàm biến x = x(u,v) y=y(u,v) có đạo hàm riêng liên tục miền D’ mpO’uv cho tương ứng (u,v)  (x,y) song ánh từ D’ đến D định thức Jacobi: x D( x, y ) u  J D(u, v) y u x v  y v Ta có công thức đổi biến số tích phân kép :  D f ( x, y )dxdy   f [ x(u , v), y (u , v)] / J / dudv D' Ví dụ : I   dxdy , D giới hạn đường thẳng: D y = – x, y = – x, y = 2x – 1, y = 2x – Ta có đường thẳng viết lại: x + y = 1, x + y = 2, 2x – y = 1, 2x – y = u  x  y thì: J =  Duv  (u, v) :1  u  2;1  v  3 v  x  y Đặt  Vậy: I   dxdy    dudv  D 311 Trong tọa độ tọa độ cực:  Tọa độ cực : M(x,y) r  r = | OM |  = ( Ox , OM )  Công thức liên hệ tọa độ Đề-các tọa độ cực  x  r cos    y  r sin  Xem x, y hàm biến theo r  ta áp dụng công thức đổi biến số : cos   r sin  J= r0 sin  r cos  I =  f ( x, y )dxdy   f (r cos  , r sin  )rdrd D D' Nếu D’ xác định      r1 ( )  r  r2 ( ), ta có: I=  D Ví dụ I   e x D  f ( x, y )dxdy   d   y2  r ( ) r 1( ) f (r cos  , r sin  )rdr dxdy , với D hình tròn x  y  R Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta có: Dr  (r ,  ) :  r  R;0    2  Do đó: I   e drd  r2 Dr 2 R  e r2 drd   (1  e  R ) 0 Chú ý: Nếu dùng phép đổi biến sang tọa độ cưc suy rộng: Khi đó: x  a rcos   y  b r sin  J  abr  f ( x , y ) dx dy   f (a r cos , b r sin ) abr dr d R R 2 Ví dụ Tính I   sin x  y dx dy R 2 R miền cho bởi:   x  y  4 Giải: Chuyển sang tọa độ cực x  rcos   y  r sin 0    2 R  R :    r  2 2 2 2 2 I    r s inr dr d   d  rd (  cosr)   2  2 (  rcosr  s inr)  6  x y Ví dụ Tính I     dx dy R a b D miền cho bởi: x a 2  y b 2  ( a  0, b  0) Giải: Chuyển sang tọa độ cực suy rộng x  ar cos   y  br sin 0    2 R  R :  0  r  1 2 1 2 2 I   d  1-r r a bdr   ab  (1  r ) d (1  r ) 0 31 2 ab    ab (1  r )  3 J  abr ; Ví dụ Tính diện tích miền giới hạn Lemnixcat 2 2 2 ( x  y )  2a ( x  y ) ( a  0) Giải: Ta có: Diện tích A   dxdy R Chuyển sang tọa độ cực phương trình Lemnixcat là: r 2 2 2  a r (cos   sin  )  r  a cos 2 Do tính đối xứng miền cần tìm diện tích nên    a cos2 4 a cos2 2 A   d d   a cos2 d  a rdr   r  0 0 5.1.3 Ứng dụng tích phân kép Ứng dụng hình học a Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh song song với Oz, đáy miền D mặt phẳng Oxy, phía giới hạn mặt cong z =f(x,y) , f (x,y)  liên tục D cho công thức : V=  D f ( x, y )dxdy Ví dụ 1: Tính thể tích V phần hình trụ giới hạn mặt x2 + y2 = nằm mặt cầu x2+y2+z2 = Ví dụ 2: Tính thể tích V phần hình trụ giới hạn mặt x2 + y2 = 2x nằm mặt cầu x2+y2+z2 = b Tính diện tích hình phẳng S=  D dxdy Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : y = x2 x + y–2=0 Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 4x y = 2x c Tính diện tích mặt Phương trình mặt z = f(x,y) D=  D  p  q dxdy D: hình chiếu mặt lên mặt phẳng Oxy p = f f ,q= y x Ví dụ: Tính diện tích phần mặt cầu x + y2 + z2 = nằm bên mp Oxy Ứng dụng học a Tính khối lượng phẳng không đồng chất m=   ( x, y)dxdy D  (x,y ) : khối lượng riêng phẳng M(x,y) Ví dụ : Tính khối lượng phẳng choán miền D xác định bởi: x2 + y2 –R2  0, x 0, y biết khối lượng riêng (x,y ) = xy b Moment quán tính phẳng  y  ( x, y)dxdy Iy =  x  ( x, y )dxdy Io=  ( x  y )  ( x, y )dxdy Ix = D D 2 D Ví dụ : Tính moment quán tính gốc O miền tròn D xác định x2 +y2-2Rx  0, biết khối lượng riêng (x,y) = x  y Ví dụ 2: Tính moment quán tính trục 0y miền D xác định x y2   biết (x,y)  a2 b2 c Trọng tâm phẳng Nếu phẳng D có khối lượng riêng hàm liên tục (x,y) tọa độ trọng tâm : xG =  x ( x, y)dxdy   ( x, y)dxdy ,yG=  y ( x, y)dxdy   ( x, y)dxdy Nếu phẳng đồng chất  không đổi ,ta có : xG = xdxdy S  D , yG= ydxdy S  D ( S diện tích miền D ) 5.2 Tích phân bội ba 5.2.1 Khái niệm tích phân bội ba Định nghĩa Cho hàm số f(x, y, z) xác định miền đóng, giới nội V không gian Oxyz Chia miền V cách tuỳ ý thành n miền nhỏ tích Vi (i = 1, n ) Trong miền nhỏ  Vi lấy điểm tuỳ ý Mi (xi, yi, zi) Tổng In = n  f ( x , y , z ).V i i 1 i i i gọi tổng tích phân hàm f(x, y, z) miền V Nếu lim I n tồn không phụ thuộc vào cách chia miền V cách n lấy điểm Mi goi TÍCH PHÂN BỘI BA hàm f(x, y, z) miền V  f ( x, y, z)dV Ký hiệu: V Ghi : Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích miền V Nếu chia miền V họ mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ dV = dxdydz nên ta có:  f ( x, y, z ) dV   f ( x, y, z )dxdydz v V Tích phân bội ba có tính chất tương tự tích phân kép Định lý Nếu f(x, y, z) liên tục miền đóng, bị chặn V khả tích miền 5.2.2 Cách tính tích phân bội ba Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ Đề Các  f ( x, y, z )dxdydz V  Nếu miền V giới hạn mặt z = z1(x, y), z = z2 (x, y) z1, z2 hàm liên tục miền D, D hình chiếu miền V mặt phẳng Oxy ta có: z2 ( x , y ) I  dxdy  f ( x, y, z) dz z1 ( x , y ) D  Nếu miền D giới hạn đường y = y1 (x), y = y2 (x) y1, y2 hàm liên tục đoạn [a, b] ta có : b I =  dx a y2 ( x )  y1 ( x ) z2 ( x , y ) dy  f ( x, y, z )dz z1 ( x , y ) Ví dụ Xác định cận tích phân: I   f ( x, y, z )dxdydz, , với  giới  hạn mặt: x = 0, y = 0, z = 0, x + y + 2z = Chiếu  xuống Oxy ta miền D  ( x, y ) :  x  2;0  y   x x y , giới hạn  : z  Giới hạn  : z    x y 1  2 2 x Vậy: I   dx  dy 0  f ( x, y, z )dz Ví dụ Tính tích phân: I   xdxdydz, , với  giới hạn mặt:  2 z = x + y , z = 4, x = 0, y =   Hình chiếu  xuống Oxy D  ( x, y ) :  x  2;0  y   x Giới hạn  : z  , giới hạn  : z  x  y 2 Vậy: I   dx   dx 4 x2  dy  x2  y 2 4 x2 0 xdz   dx 4 x2   4x  x    xy dy   x.z z 4 z  x2  y2  64 15 Đổi biến số tích bội ba I =  f ( x, y, z ) dxdydz V  x  x(u , v, w)   y  y (u, v, w)  z  z (u , v, w)  Giả sử : Các hàm x, y, z theo biến u, v, w hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền đóng V’ không gian O’uvw Các công thức xác định song ánh từ miền V’ lên miền V không gian Oxyz Định thức Jacobi 10 x u D ( x, y , z ) y I= = D (u , y , w) u z u x v y v z v x w y  miền V’ trừ số hữu hạn điểm w z w Khi ta có công thức đổi biến số : I=  f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] J dudvdw V' Tích phân bội ba hệ tọa độ trụ Toạ độ trụ điểm M (x, y, z) không gian Oxyz ba (r, , z) Trong (r,) tọa độ cực hình chiếu vuông góc M’ M mặt phẳng Oxy, z tọa độ M theo trục z z x = r cos  y = r sin  z=z M (x, y, z) y x r  M’ cos  Định thức Jacobi : J = sin   r sin  r cos  0 r0 Tích phân bội ba tọa độ trụ : I=  f(r cos , rsin , z) r drddz V' Ví dụ Tính tích phân: I   ( x  y )dxdydz, với  giới hạn mặt:  2 z = x + y , z = Hình chiếu  xuống Oxy hình tròn: x  y  Chuyển sang tọa độ trụ: x  r cos  , y  r sin  , z  z  giới hạn bởi:    2 ,  r  2, r  z  11 2 0 r2  d  r dr  dz  Vậy: I  Ví dụ Tính I =  64 (x2 + y2)z dxdydz V giới hạn mặt trụ V 2 x + y = mặt phẳng z = z = Tích phân bội ba tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M(x, y, z) không gian Oxyz ba số (r, , ) r = OM,  = (Ox, OM ') ,  = (Oz, OM ) , M’ l hình chiếu vuơng góc M lên mặt phẳng Oxy r  0,    2,     r sin  cos   Công thức liên hệ tọa độ Đề tọa độ cầu :  r sin  sin   r cos   sin  cos  r cos  cos   r sin  sin  Định thức Jacobi : J = sin  sin  cos  r cos  sin  r sin  cos   r sin  = r2sin  Tích phân bội ba tọa độ cầu : I =  f(r sin cos, r sin sin, r cos) r2sin drdd V Ví dụ Tính tích phân: I   ( x  y  z )dxdydz, với  giới hạn 2 2  mặt: x + y + z = 1, x + y + z = Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền  giới hạn bởi:  r  2,     ,    2 Vậy: I  2  0  d  sin  d  r dr  124 Ví dụ 2Tính tích phân: I   x  y  z dxdydz, với  giới hạn  mặt: x  y  z  z 2 Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền  giới hạn bởi:  r  cos ,    12  ,    2 2 Vậy: I   cos 0  d  d  r sin  dr   10 5.2.3 Ứng dụng tích phân bội ba Ứng dụng hình học Thể tích V vật thể :  V= dxdydz V Ví dụ Tính thể tích hình cầu tâm O bán kính R Ta tích hình cầu : V ()   dxdydz , với  : x  y  z  R  Chuyển sang hệ tọa độ cầu ta có: Miền  giới hạn bởi:  r  R,     ,    2 2 Vậy: V ()   R  d  d  r 0 sin  dr   R Ví dụ Tính thể tích khối giới hạn mặt parabolôit z = x2 + y2 ,z=0 ,z=2 nằm góc phần tám thứ không gian tọa độ Oxyz Ứng dụng học a Khối lượng vật thể V: m=   (x,y,z)dxdydz V (x, y, z) khối lượng riêng M(x, y, z) b Tọa độ trọng tâm G vật thể : xG  x ( x, y, z )dxdydz m  V yG  y ( x, y, z )dxdydz m  V zG  z ( x, y, z )dxdydz m  V 13 Nếu vật thể đồng chất  không đổi, ta có : V  xdxdydz V  ydxdydz zG  V  zdxdydz xG  yG  V V V Ví Dụ :Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn mặt nón z2 – x2 – y2 = (z>0) mặt cầu x2 + y2 + z2 = BÀI TẬP CHƯƠNG 5.1 Tính tích phân kép sau I   x ln ydxdy với miền D hình chữ nhật :  x  ,  y  D I   ( cos x  sin y )dxdy với miền D hình vuông :  x  D  ,0  y  I   e x sin y cos ydxdy với miền D hình chữ nhật :  x   ,  y  D   I   (2 x  y )dxdy với miền D xác định đường : x = 1, x = , y = x , y = x2 D I   y ln xdxdy với miền D xác định đường : xy = 1, y = x , x=2 D I   ( x  y )dxdy với miền D xác định đường : y = - x2, y = 2x - D I   (3x  y )dxdy với miền D xác định bất đẳng thức D 14 x2+y2  , y  x+3 I   xdxdy với miền D tam giác có đỉnh A(2,3) , B(7,2) C(4,5) D I   (cos x  sin y )dxdy với miền D xác định đường x = , y = D 4x+4y- = 10 I   ( x  y ) ( x  y ) dxdy với miền D xác định đường : x+y = , x+y D = , x-y = x-y = -1 11 I   x  y dxdy với miền D xác định bất đẳng thức : D x2+y2  a2 , x  ( a>0 ) 12 I   ln( x  y )dxdy với miền D xác định đường : x2+y2 = e2 , x2+y2 = e4 D 13 I   sin x  y D x2+y2 = 2 x2  y2 dxdy với miền D xác định đường: , x2+y2 =  14 I    x  y dxdy với miền D xác định đường : x2+y2 -2x  D 15 I   ( x  y )dxdy với D miền giới hạn đường: y  0, y  x , x  y  D 16 I   ( x  xy )dxdy với D miền giới hạn đường: y  x , y  x D 17 I   ln( x  y )dxdy với D miền giới hạn đường: x  y  R D 18 I   (12  x  y )dxdy với D miền giới hạn elip: D 5.2 Tính diện tích miền D giới hạn (các) đường 15 x2  y2  x2 y  1 a b2 xy  1, xy  4, y  x, y  x Elip: 5.3 Tính thể tích khối giới hạn mặt y = 1+x2 , z = 3x , y = , z = nằm góc phần tám thứ 5.4 Tính thể tích khối giới hạn hai mặt trụ x2 +y2 = a2 x2 +z2 = a2 5.5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x = 4y-y2 , x+y = 5.6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x2+y2 = 2x , x2+y2 = 4x 5.7 Tính diện tích phần mặt nón z= x  y nằm bên hình trụ x2+y2 = 2x 5.8 Tính diện tích phần mặt cầu x2+y2 +z2= nằm bên hình trụ x2+y2 = 2x 5.9 Tính tích phân bội ba sau Tính  dxdydz với V vật thể giới hạn mặt x + y + z = mặt v phẳng tọa độ Tính  xdxdydz với V vật thể giới hạn mặt z = x2 + y2 , z = , x = v , y = Tính  ydxdydz với V vật thể giới hạn mặt y = x2, z + y = 1, z = v Tính  xdxdydz với V vật thể giới hạn mặt z = x + y , x + y = , v x = , y = , z = Tính  ( x  y )dxdydz với V vật thể giới hạn mặt v x2 + y2 = 1, z = , z = Tính  xyzdxdydz với V vật thể giới hạn mặt 2 v x + y +z2=1, x  , y  0,z  Tính  zdxdydz với V vật thể giới hạn mặt x2 + y2 +z2 = 2, v z = x2  y2 5.10 Tính thể tích phần hình chỏm cầu x2 + y2 +z2 = phía mặt phẳng z=1 16 5.11 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt parabolôit z = x2 + y2 z = 5.12 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt nón z2-x2-y2=0 (z>0) mặt cầu x2 + y2 +z2 = 5.13 Tính thể tích vật thể giới hạn : a2  x2 + y2 +z2  4a2 z  5.14 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt nón z = 17 x  y mặt z=x2+y2 [...]... udv u v 3) d ( )  vdu  udv v2 Trang 3 2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao Giả sử f ( x) có đạo hàm tại x  (a, b) Khi đó f ( x) là một hàm số xác định trên x  (a, b) nên ta có thể tính đạo hàm của hàm số f ( x) Một cách quy nạp, ta định nghĩa: Đạo hàm cấp 2: f ( x)  ( f ( x)) Đạo hàm cấp 3: f ( x)  ( f ( x)) Đạo hàm cấp n: f n ( x)  ( f n 1 ( x)) 2.3 Các định lý cơ bản của phép... liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại xo Một số kết quả : a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x) Q( x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó 1.2.6 Tính chất của hàm số liên tục a Định Lý (giá trị trung gian) Nếu... f(x) liên tục trên đoạn [a,b]  f(x) liên tục bên trái tại b b Định lý Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số đó xác định Ví dụ  ex 1 ,  a Cho hàm số: f ( x)   ln(1  x 2 ) 0,  3 khi x  0 khi x  0 Xét tính liên tục của f(x) trên R Giải 3 ex 1  Với x  0 , f ( x)  liên tục vì là hàm sơ cấp ln(1  x 2 )  Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  0 12 Ta có: f (0)  0... 4  2 ,  b Cho hàm số: f ( x)   x 2  4 ax 2 +1,  khi x  2 khi x  2 Tìm a để f(x) liên tục trên R Giải  Với x  2 , f ( x)  3 2x  4  2 liên tục vì là hàm sơ cấp x2  4  Với x  2 , f ( x)  ax 2  1 liên tục vì là hàm sơ cấp  Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại x  2 Ta có: f (2)  4a  1 và lim f ( x)  lim x  xo  lim x 2 x2 3 2x  4  2 2x  4  lim 2 x 2 x 4 ( x  2)( x... 0 x  s inx x 0 1  cosx x 0 (1  cos x )cos x x 0 cos 2 x 2.4.2 Khảo sát hàm số 1 Khảo sát đường cong trong hệ toạ độ Descartes Sơ đồ khảo sát hàm số 1 Miền xác định 2 Đạo hàm :  Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực tr  Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn 3 Giới hạn – Tiệm cận 4 Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt 5 Vẽ đồ thị : Trang 6 Ví Dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y= 4x  4 2 x2 Ghi chú : Điểm uốn ( -3... d)  c)  t y  3 2.6 Tính a) d ( x3  2 x6  x9 ) d ( x3 ) b) d  s inx    d ( x2 )  x  c) d (s inx) d (cos x) d) d (2 x ) d (22 x ) 2.7 Tính vi phân cấp một của các hàm số sau a) y  xe 2 x cos3x b) y  ln x  x 2  a 2.8 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số a) y  e  x 2 b) y  ln x  a 2  x 2 2.9 Chứng minh rằng hàm số y  x n (cos(ln n)  sin(ln n)) thỏa mãn phương trình x 2 y  (1 ... Dụ Tìm trên đường cong y = lnx một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với cát tuyến AB, biết rằng A(1,0),B(e,1) 2.3.2 Công thức Taylor Trang 4 1 Định Lý Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b], khả vi đến cấp n+1 trong khoảng (a,b) và xo (a,b ) Khi đó x  [a,b] , tồn tại c ở giữa xo và x sao cho hàm f(x) được khai triển dưới dạng : f ' ( xo ) f ' ' ( xo ) f n ( xo ) f n 1 (C ) 2 n ( x  xo )  ( x ... c nằm giữa 0 và x ) Ghi chú Đặt Rn(x) = f n 1 (c) ( x  xo ) n 1 thì Rn(x) gọi là phần dư bậc n trong công (n  1)! thức Taylor Trong công thức MacLaurin : Rn(x) = 3 (0 ... y dx  y x  y2 y x2  y2 dy 4.1.4 Đạo hàm vi phân cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao ta có Đạo hàm riêng f’x(x,y) theo biến x gọi đạo hàm riêng cấp hai theo biến x ký hiệu f xx'' ( x, y )   f... thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục R b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục điểm nghiệm Q(x) Q( x) c) Hàm số sơ cấp liên tục điểm xác định d) Các hàm số sơ cấp liên tục miền xác định 1.2.6... Đạo hàm vi phân cấp cao Giả sử f ( x) có đạo hàm x  (a, b) Khi f ( x) hàm số xác định x  (a, b) nên ta tính đạo hàm hàm số f ( x) Một cách quy nạp, ta định nghĩa: Đạo hàm cấp 2: f ( x)