Trạng thái hệ thống Trạng thái hệ thống Bởi: phạm văn ĐẠI CƯƠNG Trong chương trước, ta khảo sát vài phương pháp thơng dụng để phân giải hệ tự kiểm Phép biến đổi Laplace dùng để chuyển phương trình vi phân mơ tả hệ thống thành phương trình đại số theo biến phức S Dùng phương trình đại số ta tìm hàm chuyển mơ tả tương quan nhân ngõ vào ngõ Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống miền tần số, với biến phức, dù kỹ thuật thơng dụng tự động học, có nhiều giới hạn Sự bất lợi lớn nhất, điều kiện đầu bị bỏ qua Hơn nữa, phương pháp áp dụng cho hệ tuyến tính, khơng đổi theo thời gian Và đặc biệt bị giới hạn dùng để phân giải hệ đa biến Ngày nay, với phát triển máy tính, điều khiển thường phân giải miền thời gian Và vậy, cần thiết phải có phương pháp khác để đặc trưng hóa cho hệ thống Phương pháp mới, dùng”biến số trạng thái” (state variable) để đặc trưng cho hệ thống Một hệ thống phân giải thiết kế dựa vào tập hợp phương trình vi phân cấp tiện lợi so với phương trình độc cấp cao Vấn đề đơn giản hóa nhiều thật tiện lợi dùng máy tính để giải Giả sử tập hợp biến x1(t), x2(t) xn(t) chọn để mơ tả trạng thái động hệ thống thời điểm cho sẳn t=t0 nào, biến mơ tả hồn tồn trạng thái q khứ ( past history ) hệ thời điểm t0 Nghĩa biến x1(t0), x2(t0) xn(t0), xác định trạng thái đầu hệ t=t0 Vậy có tín hiệu vào t >= t0 rõ, trạng thái tương lai hệ thống hồn tồn xác định Vậy, cách vật lý, biến trạng thái hệ tuyến tính định nghĩa tập hợp nhỏ biến x1(t),x2(t), xn(t), cho hiểu biết biến thời điểm t0 cộng thêm kiện kích thích (excitation) ngõ vào áp dụng theo sau, đủ để xác định trạng thái hệ thời điểm t >=t0 1/17 Trạng thái hệ thống Hình 4_1 x1(t),x2(t) xn(t)là biến trạng thái r1(t),r2(t) rp(t) tín hiệu vào c1(t),c2(t) cq(t) tín hiệu Cái ngắt điện, có lẽ thí dụ đơn giản biến trạng thái Ngắt điện vị trí ON OFF, trạng thái hai trị giá khả hữu Nên, ta biết trạng thái (vị trí) ngắt điện t0 có tín hiệu đặt ngõ vào, ta xác định trị giá tương lai trạng thái PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH OUTPUT Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả hệ thống tuyến tính với p input q output Ta giả sử hệ thống đặt trưng tập hợp sau n phương trình vi phân cấp 1, gọi phương trình trạng thái dxi  t  dt = f [x (t),x (t), ,xn(t), r (t),r2(t), ,r (t)] (4.1) i p (i=1,2, … ,n) Trong : x1(t), x2(t), … , xn(t) biến trạng thái r1(t)., r2(t), … , rp(t) input fi : hàm tuyến tính thứ i Các output hệ thống liên hệ với biến trạng thái input qua biểu thức sau Ck  t  = gk[x1(t),x2(t), ,xn(t),r1(t),r2(t), ,rp(t)] (4.2) (k =1,2, … ,q) gk : hàm tuyến tính thứ k Phương trình (4.2) gọi phương trình output hệ Phương trình trạng thái phương trình output gọi chung phương trình động hệ Thí dụ, xem hệ tuyến tính với input output mơ tả phương trình vi phân : 2/17 Trạng thái hệ thống d3c(t) dt +2 d2c(t) dt +3 dc(t) dt + C(t) = 2r(t) (4.3) C(t) : output ; r(t): input • Hàm chuyển mơ tả hệ thống dễ dàng có cách lấy biến đổi Laplace hai vế, với giả sử điều kiện đầu CS RS = S + 2S + 3S + (4.4) • Ta chứng tõ hệ thống mơ tả tập hợp phương trình động sau : Trước nhất, ta định nghĩa biến trạng thái x1  t  = C  t  (4.5) phương trình output ˙ ˙ Phương trình trạng thái x2  t  = x1  t  = C  t  (4.6) x3  t  = ˙x2  t  = C˙  t  (4.7 ) ˙ Trong x1 = ˙ C= dx dt ˙ x2 = dx dt dc dt Phương trình 4.3 xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao vế trái: ¨ ⋯ C  t  = − 2c  t  − 3˙c  t  − c  t  + 2r  t  (4.8) Bây phương trình 4.6 4.7, thay hệ thức định nghĩa biến trạng thái vào 4.8 Ta có phương trình trạng thái: ˙ x1  t  ˙ x2  t  ˙ x3  t  = x2  t  (4.9a) = x3  t  (4.9b) = − x1  t  − 3x2  t  − 2x3  t  + 2r  t  (4.9c) 3/17 Trạng thái hệ thống Chỉ có phương trình (4.9c) tương đương phương trình ban đầu (4.3) hai phương trình phương trình định nghĩa biến trạng thái Trong trường hợp này, output c(t) định nghĩa biến trạng thái x1(t), (khơng phải ln ln vậy) Vậy phương trình (4.5) phương trình output Tổng qt hơn, áp dụng phương phương pháp mơ tả trên, phương trình vi phân cấp n: +anc  t  = r  t  + +an − + a1 dc  t  dt dn − 1c  t  dt n−1 (4.10) dnc  t  dtn Sẽ trình bày phương trình trạng thái sau : ˙ x1  t  ˙ x2  t  = x2  t  = x3  t  ⋮ ⋮ ( 4.11) ˙ xn −  t  = xn  t  ˙ xn  t  = − anx1  t  − an − 1x2  t  − ⋯ − a2xn −  t  − a1x1  t  + r  t  Và phương trình output giản dị : C  t  = x1  t  (4.12) Phương pháp định nghĩa biến trạng thái mơ tả khơng thích hợp vế phải (4.10) có chứa đạo hàm r(t) dnc  t  (4.13) dtn + a1 dn − 1c  t  dtn − + ⋯ + an − dc  t  dt ⋯ + bn − + anc  t  = b0 dr  t  dt dnr  t  dtn + b1 dn − 1r  t  dtn − + ⋯ + bnr  t  4/17 Trạng thái hệ thống Trong trường hợp này, hệ thức biến trạng thái phải chứa r(t) Các biến trạng thái định nghĩa sau: x1  t  x2  t  = c  t  − b0r t = ˙x1  t  − h1r t ⋮ ⋮ xk  t  = ˙xk −  t  − hkr (4.14)  t  (k = 2,3, ⋯ ,n) Với giá trị : = b1 − a1b0 − a2b0 b2 − a1h1  4.15  − a3b0 b3 − a2h1 − a1h2 ⋮ ⋮ − akb0 bk − ak − 1h1 − ak − 2h2 − ⋯ − a2hk − − a1hk = = = h2 h1 Dùng (14) (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái sau dạng bình thường : 5/17 Trạng thái hệ thống ˙ x1  t  ˙ x2  t  = x2  t  + h1r  t  = x3  t  + h2r  t  ⋮ ⋮  4.16  ˙ xn −  t  ˙ xn  t  = xn  t  + hn − 1r  t  = − anx1  t  − an − 1x2  t  − ⋯ − a2xn −  t  − a1xn  t  + hnr  t  Phương trình output, có từ biểu thức thứ của(4.14): C(t) = x1  t  +b0r  t  (4.17) SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI Những phương trình trạng thái hệ thống động viết dạng ma trận, để sử dụng ma trận để trình bày hệ phức tạp làm cho phương trình có dạng đợng Phương trình (4.1) viết dạng ma trận đơn giản sau: ˙ X  t  = f[X  t  ,R  t  ] = AX  t  + BR  t   4.18  Trong X(t) ma trận cột biểu diễn biến số trạng thái gọi véctơ trạng thái R(t) ma trận cột, biểu diễn input gọi véctơ input x1  t  r1  t  x2  t  r2  t  ⋮ ⋮ xn  t  rp  t  righ righ [][][] [][][] Xt = Rt = (4.19) A ma trận vng n x n : 6/17 Trạng thái hệ thống a11a1n ⋯ a1n a21a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1an2 ⋯ ann (4.20) righ [][][] A= B ma trận n x p (vì có p input r ) b11b12 ⋯ ⋯ b1p b21b22 ⋯ ⋯ b2p ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ bn1bn2 ⋯ ⋯ bnp righ (4.21) [][][] B= Tương tự vậy, q phương trình (4.2) có thêû trình bày ma trận [X  t  Ct =g + R  t  ] = DX  t  + ER  t  (4.22) Trong D ma trận q x n E ma trận q x p Thí dụ, phương trình trạng thái phương trình (4.11) viết dạng ma trận: 7/17 Trạng thái hệ thống nx1n x n n x n x ˙ x1  t  ˙ x2  t  ⋮ ⋮ ⋮ ˙ xn  t  righ [] = 01000 ⋯ ⋯ 00100 ⋯ ⋯ 00010 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 00000 ⋯ ⋯ n−1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ − a1 − a − arigh n [] (4.23) x1  t  x1  t  ⋮ ⋮ ⋮ xn  t  righ + 0 ⋮ 8/17 Trạng thái hệ thống Khi so sánh phương trình (4.23) với phương trình (4.18), ma trận A B đồng dễ dàng Trường hợp này, phương trình output (4.22) phương trình vơ hướng D = [100 ⋯ 0] (4.24) Và E = (ma trận khơng ( 4.25 ) Tương tự ma trận A, B,C,D phương trình (4.13) A= 01000 ⋯ ⋯ 00100 ⋯ ⋯ 00010 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 00000 ⋯ ⋯ n−1⋯ (4.26) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ − a1 − a − arigh n [][][][][] B= h1 h2 ⋮ h n (4.27) righ [][][] D = [100 ⋯ 0] (4.28 ) E = [b0] (4.29) 9/17 Trạng thái hệ thống VÀI THÍ DỤ Thí dụ 4.1: Xem hệ thống tuyến tính, có hàm chuyển cho bởi: GS = CS RS = S + 8S + 9S + (4.30) Phương trình vi phân tương ứng diển tả hệ thống là: d3c dt3 +8 d2c dc + dt + 2c = 5r (4.31) dt Các biến số trạng thái định nghĩa: x1  t  ˙ x1  t  ˙ x2  t  ˙ x3  t  =ct = x2  t  = x3  t  (4.32) = − 2x1 − 9x2 − 8x3 + 5r Do hệ thống diễn tả ma trận: ˙ X = AX+BR (4.33) C = DX + ER (4.34) Với 010 B= 001 000 −2−9−8 000 righ ; 005 righ [][] A= [][] 10/17 Trạng thái hệ thống ˙ X= R= x1 x2 x1 x3 ˙ x2 ; righ ; ˙ x3 r ˙ righ righ [][] [][] X= [][] D = [100] ; E = Thí dụ 4.2: Xem hệ thống điều khiển H.4.2 Hàm chuyển vòng kín hệ là: CS RS = S2 + S + (4.35) Phương trình vi phân tương ứng d2c dt + dc + 2c = 2r (4.36) dt Các biến trạng thái: x1 = c ˙ x1 = x2 (4.37) ˙ x2 = − 2x1 − x2 + 2r Vậy hệ thống diển tả hệ thống véctơ: ˙ X = AX+Br (4.38) C = DX+Er 11/17 Trạng thái hệ thống Trong : ˙ 01 x1 x1 −2−1 x2 ˙ x2 righ ; righ ; righ ; righ [] [] [] [] A= B= X= ˙ X= ; D = [10] Thí dụ 4.3 : Xem mạch RLC H 4.3 Trạng thái hệ mơ tả tập hợp biến trạng thái x1 = vc(t) ( 4.39) x2 = iL(t) ( 4.40) Đối với mạch RLC thụ động, số biến số trạng thái cần thiết với số phận tích trữ lượng độc lập Các định luật Kirchhoff cho: ic = c dvc dt = r(t) − iL (4.41) diL L dt = − RiL + vC (4.42) Output hệ : v0 = RiL (4.43) Viết lại(4.41) (4.42) tập hợp phương trình vi phân cấp 1: x1 = dvc dt 1 = − C x2 + C r(t) (4.44) R x2 = L x1 − L x2 (4.45) Tín hiệu c(t) = v0 = Rx2 (4.46) 12/17 Trạng thái hệ thống Dùng phương trình (4.44), (4.45), (4.46) điều kiện đầu mạch x1(t0), x2(t0) ta xác định trạng thái tương lai mạch tín hiệu Dưới dạng véctơ, trạng thái hệ trình bày: X = AX+Br C = DX+Er Trong đó: A=∣ X= − C L − R L [ ] x1 x2 ∣;B= [] [] ; E=0 C ;D=[ R ] ;X= x1 x2 Lưu ý biến trạng thái hệ thống khơng phải Tùy theo cách chọn lựa, có tập hợp khác biến trạng thái ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI Đồ hình truyền tín hiệu mà ta nói chương áp dụng cho phương trình đại số Ở đây, ta đưa vào phương pháp đồ hình trạng thái, mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mơ tả phương trình trạng thái ,và phương trình vi phân Ý nghĩa quan trọng đồ hình trạng thái tạo liên hệ kín phương trình trạng thái, mơ máy tính hàm chuyển Một đồ hình trạng thái xây dựng theo tất qui tắc đồ hình truyền tín hiệu Nhưng đồ hình trạng thái dùng để giải hệ tuyến tính giải tích máy tính Trở lại mạch RLC ví dụ 4.3 Để diễn tả đồng lúc phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta dùng giãûn đồ hình trạng thái hình H.4_4 sau : 13/17 Trạng thái hệ thống H.4_4 Ở đó, 1/s lấy tích phân Dùng cơng thức Mason độ lợi tổng qt, ta có hàm chuyển: V0(S) R(S) = R / LCS2 + (R / LS) + (1 / LCS ) = R / LC S + (R / L)S + / LC (4.48) Nhưng rủi thay, hầu hết mạch điện, hệ thống điện hay hệ điều khiển khơng đơn giản mạch RLC đây, thường khó xác định tập hợp phương trình vi phân cấp diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản ,ta thường chuyển hóa kiểu mẩu trạng thái từ hàm chuyển Một cách tổng qt hệ mơ tả hàm chuyển sau: G(S) = C(S) R(S) = Sm + bm − 1Sm − + +b1S + b0 Sn + an − 1Sn − + +a1S + a0 (4.49) Ởû n>=m hệ số a thực dương Nếu nhân tử mẫu cho S-n ta được: G(S) = S − (n − m) + bm − 1S − (n − m + 1) + +b1S − (n − 1) + b0S − n + an − 1S − + +a1S − (n − 1) + a0S − n (4.50) Cơng thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dàng tử số tổng độ lợi trực tiếp, mẫu số tổng độ lợi vòng hồi tiếp Ta viết lại cơng thức Mason T= C(S) R(S) = ∑i piΔi Δ (4.51) Nếu tất vòng hồi tiếp chạm tất đường trực tiếp chạm vòng hồi tiếp (4.51) thu lại 14/17 Trạng thái hệ thống T= ∑i Pi − ∑j Pj1 = Tổng độ lợi đường trực tiếp − Tổng độ lợi vòng hồi tiếp (4.52) Thí dụ 4.4 : • Trước hết xem hàm chuyển hệ thống cấp 4: G(s) = C(s) R(s) G(s) = C(s) R(s) = = b0 s + a3s + a2s2 + a1s + a0 (4.53) b0s − + a3s − + a2s − + a1s − + a0s4 Vì hệ thống cấp 4, ta định nghĩa biến trạng thái (x1,x2,x3,x4) Gợi ý từ cơng thức Mason, ta tháy mẫu số (4.53) xem cộng với độ lợi vòng, tử số hàm chuyển với đợ lợi đường trực tiếp đồ hình Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân với cấp số hệ thống Vậy cần lấy tích phân lần H.4-5 Ghép nút lại Nhớ Ta có đồ hình trạng thái (4.53) H.4_6 Thí dụ 4.5 : • Bây ta xem hàm chuyển cấp tử số đa thức theo S: G(s) = G(s) = b3s3 + b2s2 + b1s1 + b0 s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 (4.54) b3s − + b2s − + b1s − + b0s − + a3s − + a2s − + a1s − + a0s4 (4.55) Tử số G(s) tổng độ lợi đường trực tiếp cơng thức Mason Đồ hình trạng thái (ĐHTT) vẽ hình H.4_7 Trong độ lợi đường trực tiếp b3/s; b2/s2; b1/s3 b0/s4 15/17 Trạng thái hệ thống H.4_7 Từ ĐHTT, ta suy tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái hệ: Ngồi ra, phương trình output C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57) Từ đo,ù dạng ma trận, ta có: X = AX+Br [ ][ x1 d dt x2 0 0 0 0 − a0 − a1 − a2 − a3 [] (4.60) = x3 x ][ ] [ ] x1 x2 x3 x4 + 0 r(t) (4.58) output là: C(t) = DX + Er (4.59) x1 C(t) = [b b1 b2 b3 ] x2 x3 x4 • Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ hìmh H.4_7 khơng phải Ta xem hình H.4_8 H.4_8a Từ ĐHTT hình H.4_8a, ta có tập hợp phương trình trạng thái : C(t) = x1  t  Để viết phương trình (4.61a), ta tham khảo hình H.4_8b Giữa hai nút , ta thêm nút x2 Các phương trình khác làm tương tự Đồ hình H.4_8a trình bày hàm chuyển đồ hình H.4_7 Nhưng biến trạng thái đồ hình khơng giống 16/17 Trạng thái hệ thống Thí dụ 4.6 : • Ta xem hệ thống điều khiển hình H.4_9 dùng ĐHTT để xác định trạng thái hệ H.4_9 Hàm chuyền vòng kín hệ : C(s) R(s) = 2s2 + 8s + s + 8s2 + 16s + (4.64) Nhân tử mẩu với s-3 : C R = 2s − + 8s − + 6s − + 8s − + 16s − + 6s − (4.47) Đồ hình ,trạng thái cho hình H.4_10 H.4_10 Từ đồ hình suy phương trình trạng thái Và phương trình output : C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67) Dưới dạng ma trận : X= [ 0 −6 −16 −8 ][] X + r(t) (4.68) Và C(t) = [6 ] X (4.69) Với [][] x1 X= x2 x3 x1 X= x2 x3 17/17 [...].. .Trạng thái của hệ thống ˙ X= R= x1 0 x2 x1 0 x3 ˙ x2 ; righ ; ˙ x3 r ˙ righ righ [][] [][] X= [][] D = [100] ; E = 0 Thí dụ 4.2: Xem một hệ thống điều khiển như H.4.2 Hàm chuyển vòng kín của hệ là: CS RS = 2 S2 + S + 2 (4.35) Phương trình vi phân tương ứng d2c dt 2 + dc + 2c = 2r (4.36) dt Các biến trạng thái: x1 = c ˙ x1 = x2 (4.37) ˙ x2 = − 2x1 − x2 + 2r Vậy hệ thống có thể diển tả bằng hệ thống. .. pháp đồ hình trạng thái, như là một sự mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mơ tả các phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân Ý nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thái là nó tạo được một sự liên hệ kín giữa phương trình trạng thái, sự mơ phỏng trên máy tính và hàm chuyển Một đồ hình trạng thái được xây dựng theo tất cả các qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu Nhưng đồ hình trạng thái có thể... lai của mạch và tín hiệu ra của nó Dưới dạng véctơ, trạng thái của hệ được trình bày: X = AX+Br C = DX+Er Trong đó: A=∣ X= 0 − 1 C 1 L − R L [ ] x1 x2 ∣;B= [] [] ; E=0 1 C 0 ;D=[ 0 R ] ;X= x1 x2 Lưu ý là các biến trạng thái của hệ thống khơng phải là duy nhất Tùy theo cách chọn lựa, có thể có những tập hợp khác của các biến trạng thái ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI Đồ hình truyền tín hiệu mà ta đã nói ở chương... thống véctơ: ˙ X = AX+Br (4.38) C = DX+Er 11/17 Trạng thái của hệ thống Trong đó : ˙ 01 0 x1 x1 −2−1 2 x2 ˙ x2 righ ; righ ; righ ; righ [] [] [] [] A= B= X= ˙ X= ; D = [10] Thí dụ 4.3 : Xem một mạch RLC như H 4.3 Trạng thái của hệ có thể mơ tả bởi tập hợp các biến trạng thái x1 = vc(t) ( 4.39) x2 = iL(t) ( 4.40) Đối với mạch RLC thụ động, số các biến số trạng thái cần thiết thì bằng với số các bộ phận... (4.42) Output của hệ : v0 = RiL (4.43) Viết lại(4.41) và (4.42) như là tập hợp các phương trình vi phân cấp 1: x1 = dvc dt 1 1 1 = − C x2 + C r(t) (4.44) R x2 = L x1 − L x2 (4.45) Tín hiệu ra c(t) = v0 = Rx2 (4.46) 12/17 Trạng thái của hệ thống Dùng các phương trình (4.44), (4.45), (4.46) và các điều kiện đầu của mạch x1(t0), x2(t0) ta có thể xác định trạng thái tương lai của mạch và tín hiệu ra của nó Dưới... thì (4.51) thu lại 14/17 Trạng thái của hệ thống T= ∑i Pi 1 − ∑j Pj1 = Tổng độ lợi các đường trực tiếp 1 − Tổng độ lợi các vòng hồi tiếp (4.52) Thí dụ 4.4 : • Trước hết xem hàm chuyển của hệ thống cấp 4: G(s) = C(s) R(s) G(s) = C(s) R(s) = = b0 4 3 s + a3s + a2s2 + a1s + a0 (4.53) b0s − 4 1 + a3s − 1 + a2s − 2 + a1s − 3 + a0s4 Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thái (x1,x2,x3,x4) Gợi ý... 4 1 + a3s − 1 + a2s − 2 + a1s − 3 + a0s4 (4.55) Tử số của G(s) là tổng độ lợi các đường trực tiếp trong cơng thức Mason Đồ hình trạng thái (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7 Trong đó độ lợi các đường trực tiếp là b3/s; b2/s2; b1/s3 và b0/s4 15/17 Trạng thái của hệ thống H.4_7 Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phân cấp 1, diễn tả trạng thái của hệ: Ngồi ra, phương trình output là C(t) = b0 x1 + b1... tập hợp phương trình trạng thái : C(t) = x1  t  Để viết phương trình (4.61a), ta hãy tham khảo hình H.4_8b Giữa hai nút và , ta thêm một nút mới x2 Các phương trình khác cũng làm tương tự Đồ hình H.4_8a trình bày cùng một hàm chuyển như đồ hình H.4_7 Nhưng các biến trạng thái của mỗi đồ hình thì khơng giống nhau 16/17 Trạng thái của hệ thống Thí dụ 4.6 : • Ta hãy xem một hệ thống điều khiển như hình... Gợi ý từ cơng thức Mason, ta có thể tháy rằng mẫu số của (4.53) có thể được xem như là 1 cộng với độ lợi vòng, và tử số của hàm chuyển thì bằng với đợ lợi đường trực tiếp của đồ hình Đồ hình trạng thái phải dùng số lần lấy tích phân bằng với cấp số của hệ thống Vậy cần lấy tích phân 4 lần H.4-5 Ghép các nút lại Nhớ rằng Ta có đồ hình trạng thái của (4.53) H.4_6 Thí dụ 4.5 : • Bây giờ ta xem hàm chuyển... thống điều khiển như hình H.4_9 có thể dùng ĐHTT để xác định trạng thái của hệ H.4_9 Hàm chuyền vòng kín của hệ : C(s) R(s) = 2s2 + 8s + 6 3 s + 8s2 + 16s + 6 (4.64) Nhân tử và mẩu với s-3 : C R = 2s − 1 + 8s − 2 + 6s − 3 1 + 8s − 1 + 16s − 2 + 6s − 3 (4.47) Đồ hình ,trạng thái cho bởi hình H.4_10 H.4_10 Từ đồ hình suy ra các phương trình trạng thái Và phương trình output : C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67) ... Nhưng biến trạng thái đồ hình khơng giống 16/17 Trạng thái hệ thống Thí dụ 4.6 : • Ta xem hệ thống điều khiển hình H.4_9 dùng ĐHTT để xác định trạng thái hệ H.4_9 Hàm chuyền vòng kín hệ : C(s)... = 2r (4.36) dt Các biến trạng thái: x1 = c ˙ x1 = x2 (4.37) ˙ x2 = − 2x1 − x2 + 2r Vậy hệ thống diển tả hệ thống véctơ: ˙ X = AX+Br (4.38) C = DX+Er 11/17 Trạng thái hệ thống Trong : ˙ 01 x1 x1... trình output hệ Phương trình trạng thái phương trình output gọi chung phương trình động hệ Thí dụ, xem hệ tuyến tính với input output mơ tả phương trình vi phân : 2/17 Trạng thái hệ thống d3c(t)