Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Một số ứng dụng đồ thị Bài toán luồng cực đại có nhiều ứng dụng việc giải toán tổ hợp Khó khăn phải xây dựng mạng tương ứng cho việc tìm luồng cực đại tương đương với việc giải toán tổ hợp đặt Mục giới thiệu số toán Bài toán đám cưới vùng quê Có m chàng trai vùng quê Đối với chàng trai ta biết cô gái mà vừa ý Hỏi tổ chức đám cưới chàng trai sánh duyên với cô gái mà vừa ý Ta xây dựng đồ thị với đỉnh biểu thị chàng trai cô gái, cung biểu thị vừa ý chàng trai với cô gái Khi ta thu đồ thị hai phía Ví dụ Có chàng trai { T1, T2, T3,T4}và cô gái { G1, G2, G3,G4, G5} Sự vừa ý cho bảng sau Chàng trai Các cô gái mà chàng trai ưng ý T1 G1, G4, G5 T2 G2 T3 G2, G3,G4 T4 G2, G4 Đồ thị tương ứng cho hình 1/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Hình Mạng tương ứng với toán đám cưới vùng quê Đưa vào điểm phát s điểm thu t Nối s với tất đỉnh biểu thị chàng trai, nối t với tất đỉnh biểu thị cô gái Tất cung đồ thị có khả thông qua Bắt đầu từ luồng 0, ta tìm luồng cực đại mạng xây dựng theo thuật toán Ford-Fulkerson Từ định lý tính nguyên, luồng cung số Rõ ràng luồng cực đại đồ thị có giá trị Vmax = m, toán có lời giải, cung với luồng cách tổ chức đám cưới thoả mãn điều kiện đặt Ngược lại, toán có lời giải Vmax = m Bài toán đám cưới vùng quê trường hợp riêng toán cặp ghép đồ thị hai phía mà để giải xây dựng thuật toán hiệu Bài toán hệ thống đại diện chung Cho tập m phần tử X={ z1, z2, ,zm} Giả sử hai dãy tập X Dãy gồm n phần tử khác X: gọi hệ thống đại diện chung hai dãy cho tìm hoán vị s tập {1, 2, .,n} cho < a1, a2, ,an> hệ thống đại diện phân biệt hai dãy , tức điều kiện sau thoả mãn: ∈ Ai ? Bs (i), i = 1, 2, ,n Xây dựng mạng G = (V, E) với tập đỉnh V = { s, t} ? { x1, x2, ,xn}? {u1, u2, ,un}? { v1, v2, ,vn}? { y1, y2, ,yn} đỉnh xi tương ứng với tập Ai, đỉnh yi tương ứng với tập Bi, phần tử uj, yj tương ứng với phần tử zj Tập cung mạng G xác định sau 2/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Khả thông qua tất cung đặt Dễ dàng thấy hệ thống đại diện chung hai dãy tồn mạng G=(V,E) tìm luồng với giá trị n Để xét tồn luồng sử dụng thuật toán tìm luồng cực đại từ s đến t mạng G=(V, E) Bài toán tối ưu rời rạc Trong mục ta trình bày thuật toán xây dựng dựa thuật toán tìm luồng cực giải toán tối ưu rời rạc mô hình toán học cho số toán tối ưu tổ hợp Xét toán tối ưu rời rạc: với điều kiện aij ∈ { 0,1} , i = 1, 2, , m; j=1, 2, n, pi –nguyên dương, i = 1, 2, ,m Bài toán (1)-(3) mô hình toán học cho nhiều toán tối ưu tổ hợp thực tế Dưới ta dẫn vài ví dụ điển hình Bài toán phân nhóm sinh hoạt Có m sinh viên n nhóm sinh hoạt chuyên đề Với sinh viên i, biết + aij =1, sinh viên i có nguyện vọng tham gia vào nhóm j, + aij =0, ngược lại, + pij số lượng nhóm chuyên đề mà sinh viên i phải tham dự, i = 1, 2, ,m; j=1, 2, ,n 3/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Trong số cách phân sinh viên vào nhóm chuyên đề mà họ có nguyện vọng tham gia đảm bảo sinh viên i phải tham gia pi nhóm, tìm cách phân phối với số người nhóm có nhiều sinh viên tham gia nhỏ Đưa vào biến số xij = 1, sinh viên i tham gia vào nhóm j, xij = 0, ngược lại, i = 1, 2, ,m, j=1, 2, .,n, dễ thấy mô hình toán học cho toán đặt toán (1)-(3) Bài toán lập lịch cho hội nghị Một hội nghị có m tiểu ban, tiểu ban cần sinh hoạt ngày phòng họp phù hợp với Có n phòng họp dành cho việc sinh hoạt tiểu ban Biết aij = 1, phòng họp i thích hợp với tiểu ban j, aij=0, ngược lại, i = 1, 2, ,m, j =1, 2, .,n Hãy bố trí phòng họp cho tiểu ban cho hội nghị kết thúc sau ngày làm việc Đưa vào biến số xij = 1, bố trí tiểu ban i làm việc phòng j, xij =0, ngược lại, i =1, 2, ,m, j =1, 2, .,n, dễ thấy mô hình toán học cho toán đặt toán (1)-(3), pi=1, i =1, 2, ,m Một số toán liên quan đến việc tổ chức mạng vận chuyển bưu Các toán tối ưu mạng, phần lý thuyết đồ thị hữu hạn lý thuyết toán học ứng dụng rộng rãi kinh tế, quân Người đặt móng cho lý thuyết đồ thị nhà toán học Euler, với “bài toán bảy cầu” tiếng vào năm 1736 4/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Trong trình khai thác khía cạnh khác toán, nhà toán học đặt sở lý luận cho lý thuyết toán học đời, lý thuyết đồ thị hữu hạn (lý thuyết Graph) Đến lý thuyết đồ thị hữu hạn nghiên cứu ứng dụng hầu hết lĩnh vực hoạt động kinh tế xã hội, công cụ toán học sắc bén nghiên cứu hệ thống kỹ thuật -công nghệ, hệ thống kinh tế -xã hội, hệ thống quân sự, hệ thống bưu viễn thông v.v Trong năm gần nhờ hỗ trợ công nghệ thông tin máy tính điện tử, lý thuyết graph trở thành công cụ hiệu quả, động giải nhiều toán liên quan đến nghiên cứu phân tích hệ thống Mô hình định tuyến mạng đường thư cấp Mạng đường thư cấp thực chất đồ thị có đỉnh nút trung tâm Bưu Bưu điện trung tâm Vận chuyển nút mạng qua đường trực tiếp qua nút trung gian Do xuất toán lựa chọn tuyến đường vận chuyển Tức phải cách vận chuyển từ nút tới nút khác cần phải qua nút trung gian Giữa đỉnh có cung liên kết chúng có đường vận chuyển trực tiếp với Để giải toán xác định đường vận chuyển bưu cần có khái niệm sau: Lưu lượng (luồng) vận chuyển bưu gửi: Số lượng bưu gửi xuất nút mạng cần phải chuyển tới nút mạng khác Đại lượng tính đơn vị thời gian (giờ, ngày, tuần, tháng), gọi tải trọng Do đặc điểm không đồng tải trọng theo ngày tuần tháng năm nên ta xét tải trọng trung bình ngày để lập kế hoạch vận chuyển (thống kê tháng tiêu biểu chia trung bình cho ngày) Trong mô hình, tải trọng nút mạng biểu diễn dạng ma trận mà phần tử (ij) hiểu tải trọng ngày từ nút mạng i tới nút mạng j Khả lưu thoát nút mạng số lượng bưu gửi khai thác nút mạng ngày Khả lưu thoát phụ thuộc vào nhiều yếu tố diện tích mặt bằng, mức độ giới hoá, tự động hoá, tổ chức sản xuất, mức độ không đồng tải trọng, tần số thời gian khởi hành phương tiện vận chuyển Giá trị cung (chiều dài cung) giá thành vận chuyển đơn vị sản phẩm theo cung liên kết, thời gian vận chuyển nút mạng Đơn vị sản phẩm túi thư, container bưu kiện tuỳ vào toán cụ thể Giá thành vận chuyển đơn vị sản phẩm biểu diễn qua chiều dài cung thời gian vận chuyển nút mạng 5/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Bài toán lập kế hoạch vận chuyển bưu gửi Trước tiên, xét hai nút mạng cần trao đổi bưu gửi, nút mạng nguồn ws, nút đích wt, luồng tải trọng từ nguồn tới đích là: (x1 , ,xj , ,xn) cung dj với xj> tạo thành tuyến vận chuyển tải trọng xjtừ nguồn wstới đích wt , tuyến vận chuyển xác định tập hợp nút mạng (hay tập hợp cung) tham gia vào tuyến vận chuyển Như vậy, toán định tuyến mạng vận chuyển bưu gửi cần xác định luồng bưu gửi từ nút mạng tới nút mạng khác cần phải qua nút trung gian để tối thiểu hoá chi phí vận chuyển toàn mạng, đồng thời việc lựa chọn tuyến đường cần thoả mãn điều kiện ràng buộc thời gian toàn trình khả lưu thoát nút mạng Trong mạng vận chuyển bưu chính, mạng đồng thời thực nhiều luồng trao đổi, luồng có nút khởi đầu nút kết thúc Do vậy, cần đưa vào ký hiệu luồng véc tơ xq: xq =(xq1, , xqj, ,xqn) Xqcần thoả mãn điều kiện không âm điều kiện bảo toàn luồng nghĩa là: AXq =Vq Xq ≥ 0Trong đó:Vq: véctơ tất phần tử 0, ngoại trừ hai phần tử tương ứng với nút mạng khởi đầu nút kết thúc có giá trị -vqvà Vq(vRlà lưu lượng cần vận chuyển luồng); A: Ma trận liên kết cung nút chứa m dòng n cột m số nút mạng n số cung Ma trận A mô hình định tuyến mạng vận chuyển luồng cần xác định Ma trận liên kết cung nút graph G = (W,D), ký hiệu A=[aij] có kích thước m x n với phần tử xác định sau: Ngoài luồng Xqcòn phải thoả mãn điều kiện ràng buộc không vượt khả khai thác nút mạng wi 6/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Xét véc tơ Pi(Pi1, Pi2, Pin) Pi= l djhướng tới đỉnh wivà Pi = ngược lại Véc tơ Pichính dòng i ma trận liên kết cung nút A mà tất phần tử -l thay Như vậy, điều kiện ràng buộc khả lưu thoát nút mạng là: Trong đó: hi: Khả Lưu thoát nút mạng W r: Số đôi nút mạng mạng có trao đổi bưu gửi Tiêu chí tối ưu toán vận chuyển bưu gửi sau: Giả sử C (C1,C2, Cn) Véctơ chi phí vận chuyển Cj cước vận chuyển l đơn vị sản phẩm qua cung dj(chiều dài cung dj) Khi chi phí vận chuyển là: Z = CX1 + + CXq+ + CXr = C(X1 + + Xq+ + Xr) → Vậy mô hình vận chuyển tối ưu là: Trong trường hợp điều kiện hạn chế khả lưu thoát nút mạng, toán định tuyến mạng bưu đơn giản toán tìm đường ngắn 7/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) đôi nút mạng Bài toán tìm đường ngắn giải thuật toán dán nhãn Dijkstra Mô hình mạng đường thư thành phố Mạng đường thư thành phố đồ thị đỉnh bưu cục Hai đỉnh đồ thị nối kết với cung liên kết chúng có tuyến đường Trong thành phố bưu cục có đường thư, nên đồ thị kết nối theo kiểu điểm nối điểm Đồ thị mạng đường thư thành phố đồ thị có hướng khoảng cách i tới j j tới i không trùng (đường chiều) Giá trị cung biểu diễn khoảng cách thời gian vận chuyển nút mạng chi phí vận chuyển nút mạng Ta có chi phí vận chuyển nút mạng là: cịj = krij rij : Khoảng cách nút i nút j (cần xác định theo khoảng cách thực tế phải lựa chọn rij đường ngắn nhất, tức phải thoả mãn điều kiện rij ≤ rik + rkj cạnh tam giác nhỏ tổng cạnh lại) k: Chi phí vận chuyển l km ô tô Thời gian vận chuyển cung ij Vij : Vận tốc vận chuyển ô tô từ nút i tới nút j t0j : Thời gian trao đổi nút mạng j Khi tổ chức mạng đường thư sử dụng phương thức đường thẳng, đường vòng hỗn hợp Mạng đường vòng có ưu điểm sử dụng phương tiện vận chuyển hiệu Do thành phố thường sử dụng đường vòng tính kinh tế Bài toán Bài toán tổ chức mạng đường thư thành phố xác định hành trình ô tô phải qua nút mạng nào, theo trình tự để đảm bảo chi phí vận chuyển toàn mạng nhỏ (hoặc tổng quãng đường hay tổng thời gian vận chuyển nhỏ nhất) đồng 8/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) thời thoả mãn ràng buộc thời gian vận chuyển ô tô dung lượng vận chuyển ô tô Trong hệ thống khai thác tập trung tồn Bưu điện trung tâm Nếu chia nút mạng làm hai loại nguồn đích, nút mạng trung tâm nguồn, nút mạng lại đích ngược lại Trong mô hình vận chuyển bưu gửi thành phố, đỉnh đồ thị đặc trưng số lượng bưu gửi mà cần nhận từ qi ngược lại cần gửi ri Trong đó: 0: nút nguồn i = l ÷ N : đích Trong hệ thống khai thác phân tán đồ thị chia thành đồ thị con, đồ thị có nút mạng nguồn việc giải toán thực tế giải toán Nếu mạng vận chuyển thành phố chủ yếu ô tô, ta giả sử: M: số ô tô toàn mạng Qj - dung lượng j ô tô, phụ thuộc vào loại ô tô T - thời gian vận chuyển tối đa cho phép đường thư T xác định dựa định mức (T = giờ) Qj = (Pj / b, Vj / d) Trong Pj : tải trọng ô tô; Vj : thể tích vận chuyển ô tô; b: Khối lượng trung bình túi thư; d: thể tích trung bình túi thư 9/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Mô hình toán học Giả sử gọi xijk ẩn cần tìm, xijk = tuyên vòng k, đỉnh j tới sau đỉnh i, Xijk = trường hợp ngược lại, mô hình toán học toán mạng đường thư thành phố là: Biến Xijk cần thoả mãn ràng buộc sau: j=0÷N (1) k = ÷ M, p = ÷ N (2) k=1÷M (3) k=1÷M (4) Trong t0i : thời gian trao đổi nút mạng i (l): Do đỉnh đồ thị thuộc tuyến đường vòng; (2): Đối với đỉnh, số lượng cung vào phải đỉnh; (3): Ràng buộc dung lượng ô tô; (4): Ràng buộc thời hạn vận chuyển ô tô Đây toán tổng quát mạng vận chuyển thư thành phố Bài toán tìm hành trình bưu tá qua n điểm trường hợp riêng có tuyến đường vòng qua n điểm (M=1), toán cần xác định M tuyến đường cho M ô tô cần thoả mãn hạn chế (ràng buộc) tiêu thời gian dung lượng vận chuyển ô tô 10/10 ... ,yn} đỉnh xi tương ứng với tập Ai, đỉnh yi tương ứng với tập Bi, phần tử uj, yj tương ứng với phần tử zj Tập cung mạng G xác định sau 2/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Khả thông qua tất cung... thuyết đồ thị hữu hạn lý thuyết toán học ứng dụng rộng rãi kinh tế, quân Người đặt móng cho lý thuyết đồ thị nhà toán học Euler, với “bài toán bảy cầu” tiếng vào năm 1736 4/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần. .. nhóm j, + aij =0, ngược lại, + pij số lượng nhóm chuyên đề mà sinh viên i phải tham dự, i = 1, 2, ,m; j=1, 2, ,n 3/10 Một số ứng dụng đồ thị(phần 1) Trong số cách phân sinh viên vào nhóm chuyên