2 Bộ GIÁO DỤCTẠO VÀ ĐÀO TẠO Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TRƯỜNG ĐAI HOC TRƯỞNG ĐAI HOCVINH VINH BÙI THỊ HÀ Chuyên ngành' ĐẠI SỐ VÀ LÝ THƯYÉT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dân khoa học PGS TS LÊ QUỐC HÁN Nghệ NghệAn An 2013 2013 MỤC LỤC Mục lục Mỷ đầu Kiến thức chuấn bị 1.1 Nửa nhóm tự 1.2 .Vị nhóm tự MỞ ĐẦU Lóp nhóm với biểu diễn hữu hạn < a,b I an = bn^abcr^b^2^n n= > mở rộng lóp nhóm tam giác, chúng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năm gần cấp nhóm nảy hữu hạn phụ thuộc vào dãy số Lucas \un\ cho ux = 2,7/, = 1,7/*+, = Iik+l +ĩtk(k> 1) pJ = < a,b\ an = bn, aba u = > P3 = < Năm 2006, H Doostie K a,b I a = b , a b d- W2-^ n n Ahmadidelir chứng = ab > minh Q*p,)là nhóm hữu hạn cấp cho day số Lucas Bản luận văn dựa báo Two cỉasses of fìnỉte serrúgrơups and monoids invoỉving Lucas mmibers tác giả K Ahmadidehr, c M Campbell H Doostie đăng tạp chí Semigroup Forum số 78 năm 2009 để tkn hiểu tính hữu hạn nửa nhóm SgCP,) vị nhóm Acbn{p ) với mối liên quan chúng với nhóm GpiV ) Luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, gồm ba chương Chương Kiến thức chuấn bị Trong chương này, chứng hệ thống khái niệm tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự nhóm tự đê làm sở cho việc trình bày chương sau Chương Biêu diên nửa nhóm Biêu diên nhóm Trong chương này, trình bảy biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm biểu diễn nhóm với cấu trúc tự tương ứng với mối hên hệ chúng nhóm Khoa Toán, Phòng Sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn tập thể lớp Cao học 19 Đại số Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giá CHƯƠNG 1.1 NỬA NHÓM Tự DO 1.1.1 Định nghĩa Giả sửH tập kí hiệu Chúng ta gọi A bảng chíừ phần tử chữ Mật dãy hữu hạn chữ gọi từ Tập hợp tất từ trcn A kí hiệu A+ Chúng ta viết u = v từ ^vàvlà Tạp hợp A+ nửa nhóm, gọi nưa nhóm từ trênA,, tích xác định cách ghép từ liên tiếp vào nhau, nghĩa tích từ W1 = aỉa2 an, w2 = bị)2 bm (ại?bj ^A) từ' W=WẢW2 =ap2 anbp2 bm Khi bô sung Ả từ rong (mà chữ nào), chứng ta nhận vị nhóm từ Ả Rõ ràng à = A+ u {l} với 1Ể A+ l.xv =w.l= vv, với 1.1.4 Định lỷ Nếu s sinh tự X a0 :X —> Plà ánh xạ, a0 có mở rộng đong cấu a :S -» p Kết phát biểu nửa nhóm s ảnh đồng cấu nửa nhóm từ, nửa nhóm từ sở nửa nhóm Mọi nửa nhóm tùy ý xây dựng nửa nhóm từ 1.1.5 Định lý Đổi với môi nửa nhóm s, tồn bảng chữ A toàn cẩu ụf :A+ —> s 1.1.6 Hệ ỈVẼ)ị nửa nhóm ỉàmột thương nửa nhóm tự 1.1.7 Định lý Àdọt nửa nhóm tự đắng cẩu với nửa nhóm từ A+ vớ/ bảng chữ A Bây ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lé vi — Dubreil — Jacotin nửa nhóm tự nhân tử hóa phần tử Giả sử Jc s Chúng ta nói x = xlx2 xn phân tích thành nhân tử phần tử phần tử xe s X trênX Xị e x,i - 1,2, , n Nếu X sinh s có nhân tử hóa trênX Nòi chung phân tích không nhất, nghĩa xảy xỉ x2 xk =y1 y2 ynn với xk * yk ) ocữ(y„)là hai nhân tử hóa a(x) trân A Vĩ A+ thỏa mãn khẳng định Định lý, nên ta phải có «0(x.) - a (ỵì) với i = 1, 2, , n (và m = rì) Vì a0 song ánh nên Xị = y,-, với i = 1, 2, , n sthỏa mãn khẳng định Định lý 1.1.8 Giả thiết iSthỏa mãn điều kiện Ký hiệu p = ocữx giả sử Ị3 : A 5* mở rộng đồng cấu /30 Khi Ị3 toàn ánh ( Xsinh s ) đơn ánh ( p{u)= p(v) với u,ve A+ ,u*v Ị){u) có hai cách nhân tử hóa khác X trái giả thiết) Vậy p song ánh đẳng cấu Định lý 1.1.8 chứng minh □ 1.2 VỊ NHÓM Tự DO Không vị nhóm AVnào nửa nhóm tự do, 1= 1.1 Từ phần tử đơn vị có tập sinh tự M Nếu nhân tử hóa phần tử V ,x2, ,xn thuộc tập sinh Aẩứảx = X hai cách 10 1.2.4 Định lý Một vị nhóm M vị nhóm tự Ađ\ {1} nửa nhóm tự Đối với điều kiện ngược lại, tập M\ {1} nửa nhóm M Điều thỏa mãn không \M có hai cách nhân tử hóa khác Phần lại khăng định suy từ định nghĩa vị nhóm tự □ Những két khác nửa nhóm tự chuyển sang cho vị nhóm tự Nói riêng ta có 1.2.5 Định lý (i) Một vị nhóm M sinh tự X môi X E M\ {1} có nhân tử hóa trênX (ii) Moi vị nhỏm ảnh đồng cấu vị nhóm từ A với bảng chữ ccả A chọn thích hợp (iii) Mọt vị nhóm M ỉà tự M đắng cấu với vị nhóm từ À với bảng chữ A 1.2.6 Định lý Giả sử Xí ỉà vị nhóm vị nhóm từ A Thế thỉMtự : u,V, ưvv, wv M => M 11 tiền tố Vỵ Vỵ tiền tố Giả sử V^—IỌV (trong trường hợp khác lập luận tiến hành tương tự tính đối xứng) Khi upv E M u2 Ii3 nn = wv2 v3 vm ( A có luật giản ước ) Theo giả thiết we My điều mâu thuẫn y = Ii{we B(M) Vậy M tự □ 1.2.7 Định lý Giả sử {M, 11 e /} họ vị nhóm à Khi M = n Mt ỉàvị nhóm tự Ẩ ieỉ Rõ ràng A/là vị nhóm u,v,uw,vwe Mị,yi Giả sử s = Sg( p 3) Chứng ta chứng tỏ s1 cTl b ab n X sl tương ứng iđêan trái tối tiểu iđêan phải tối tiểu s Muốn phải chứng minh khăng định sau phương pháp quy nạp theo độ dài w: Vwe{ứ,ồ}+, 3w x e{a, bỴw ì w=d'~ ì b (3) We {a, z?}+, 3wl E ịa, bỴ : wwx = abri~l (4) _ìì innVr rt -\ W1W= ba b a a = a ab n-\ - a b Tương tự, trường hợp w=b thi chọn My = à'ba1,1 bm Bây giờ, giả sử w = w' a w = w' b Iw] = k < k +1 thi theo v -V -' v V -' (vì m= v V -' 29 v V ' 11 l r w:w=={ba(bả baba^ b ^ CỈ).TtM~\.la) M) aịart~lb).a baba"^]b = {bam babam 1) (b^a) {anlb) a — bam babain~Ảanbna (vì an thuộc tâm s ) = (bamba)(d1 ba1" tì") = (ba"‘b (vì bnthuộc tâm S) cr2á‘bamb"*'b"ử-' \ = (bd" b a)(dt~2a bb1,l~x) ' -V -' = bd"bd‘bm 72-1 = a b 7/1 7/2“ _ /2—1 = £>£/ b a.a b.b Nếu w = vi/ ỏ, chọn wì = bd"bììì~laWỉ nhận được: = ỠO b a b wĩw = bd"bUÌ~xa w\ w b = Ố7 7« 7_ 7/2-1/2 7_2 /2-2 27 7/2 7/H-l 30 7/— 777 7.777-1 _ 7.77 27 = b b a ba b = b a ba b 777 7.777-1 = ả- b" d"b'"-\.bn (vì ò"thuộc tâm S) ' -V -' = crbd"b"*\b""2 (vi w>2) = ab.b"~2 _ 7.77-1 Giả sử khẳng định (4) với từ có độ dài không vượt k I w I = d'~2 ab = d'~l b = &+ >v= avd w=bw) với \w’\ = k Theo giả thiết quy nạp, tồn Do đó, Sla"~ìb iđêan trái tối tiểu s w\ E { cho w Wj = Í7Ò' 1-1 Để chứng minh (4), ta quy nạp theo độ dài w Nếu I w I = thi Đối với trường hợp w= au) chọn vq = u) Ỵ b a l b 1,bJỴthì w=a w=b wwl = (ữW)(Wj ổ2a"'ồ"'_1) l m+l x d-2đó a2ww bdnl b"" b’"-\b d Trong trường hợp w=a chọn w l = b' H l =Khi = ab”~ Trong trường hợp w=b thi chọn wl = b^1 d b d" b f f ỉ ~ l Khi v ——-V ' s -V - / 31 v V -' 77-2 77-4 „7 „7 777-I7/7777+1 7/7+1 377777-1 777 777/ x7.72-2 72-5 777-1 m l 777+1 m7 777-1 l n777 x m ab.b = "' naè.b b5b'^' *od (b = b\p Mld"Ỵao - ){b a)* b — Phần cuối tiết trình bày biểu diễn nửa nhóm Gp( p 1) 3.2.4 Định lý Nhóm Gp(Y J có biểu diễn nửa nhóm sau đây: | J _ 7 _7 inun-\ _ _ ìnim n[ ĨH1ỈH-1 \ r = < a7b I babd b a- a7 abd b d \abd b ) b d b a= b> ì n i m m Chửng minh Giả sử E— abảnbm ty, - d'b n Khi đó, Gp( Px) = a^—a, a — b với giả thiết 4^ (và tương ứng, 4^ ) kí hiệu hoán vị vòng quanh cua E bắt đầu (và kết thúc) với al ( z = 1,2) phép Ebc\{ đầu kết thúc với a2 Bây thay E = hệ thức 4° ct\ — aẢ hệ thức = ar2 u2 nhận tìr u2 cách thay 36 = aba'"b'"a"{aba"‘bỴbbambma = b (iặV1 = abd" b'" b~l = abà"b'^y Từ nhận sgỹ) = [...]... là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm < A\\i > Tồn tại một từ w E A+ biểu diễn đơn vị củaÁẩxèiAẩầuạc xác định bởi biêu diễn vị nhóm < A \ K , w= 1> (ii) Giả sử A là một bảng chữ cái và A~l = 1 I a e Ằị là một bảng chữ cái 21 CHƯƠNG 3 3.1 MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN VỚI DÃYS LUCAS Lóp các nhóm với biểu diễn hữu hạn p = X từ tập s vào một nhóm Xtùy ý đều mở lộng được thành một đồng cấu duy nhất h : F —> X Nhóm đó được gọi 1 à nhỏm tụ do sinh bởi tập s đã cho 1.3.6 Định nghĩa Mật nhóm ơtừy ý cho... là dạy số Lucas • Trong [8] đã chứng minh được rằng Gp(P j) là nhóm mêtaaben Hơn nữa, nếu n=0 (mod4) hoặc 72= ±1 (modó) thì chúng làmêtaxyclic p 1 = < a^h\d l — btl, abắ 2 -^2J — 1 > với n là sổ tự nhiên lớn hơn 1 Thế thì ẦdònCV J là một nhóm và K íơyị p J = 2 và m- Giả sưM= Mon( p Tnrớc tiên, chúng ta chứng tỏ rằng Mcỏ một iđêan trái tối tiểu duy nhất và một iđêan ... biêu diễn vị nhóm < A K , w= 1> (ii) Giả sử A bảng chữ A~l = I a e Ằị bảng chữ 21 CHƯƠNG 3.1 MỘT SỐ LỚP NỬA NHÓM VÀ VỊ NHÓM HỮU HẠN LIÊN QUAN VỚI DÃYS LUCAS Lóp nhóm với biểu diễn hữu hạn p = s 1.1.6 Hệ ỈVẼ)ị nửa nhóm ỉ một thương nửa nhóm tự... tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự nhóm tự đê làm sở cho vi c trình bày chương sau Chương Biêu diên nửa nhóm Biêu diên nhóm Trong chương này, trình bảy biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm biểu