21 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang Bài toán nội suy hàm p-adic quan tâm từ lâu có ứng dựng nhiều lĩnh vực khác giỗi tích hàm lý thuyết hàm MỤC LỤC p-adic Tuy nhiên, trước năm 1979 kết tập trung chủ MỞ ĐẦU .2 yếu vào việc nội suy hàm giới nội Năm 1979, công trình Hà Huy Khoái lần đưa lý thuyết tổng quát cho việc CEĨƯƠNG CÁC KEẾN THỨC SỞ nội suy hàm không thiết giới nội Lý thuyết có nhiều 1.1 Giá trị tuyệt đối ứng dựng việc nghiên cứu Lrhàm p-adic kết hợp với việc nghiên Phân loại giáelliptic trị tuyệtvàđốicác trêndạng trường số hữu tỷ Q cứu 1.2 đường cong modular sau công trình Hà Khoái Mỵ tỷVinh Quang, lý thuyết nội suy p-adic 1.3 Huy Trường số hữu p-adic 10 sử dụng để xây dựng tương tự p-adic lý thuyết Nevanlinna Do 1.4 Thíờng số phức p-adic Cp .13 phát triển lý thuyết này, đòi hỏi tự nhiên phải xây dựng trường hợp nhiều chiều P-ADIC lý thuyết CỦA Nevanlinna p-adic Để làm sở CHƯƠNG NỘI SUY ZETA-HÀM RIEMANN cho vấn đề đó, cần thiết phải phát triển lý thuyết nội suy lên trường hợp 15 hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến 2.1 Gông thức tính Í(2Ả;) 15 2.2 N Với lý đó, chọn đề tài ội suyNội p-adic p-ađic hàm /(2k) =as .21 suy zeta-hàm Riernarìri 2.3 Phân phối p-adic 25 (Riernariri zeta-jurictiori) Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày lại cách hệ thống khái niệm, kết zetarhàm Riemann tìm hiểu phép nội suy zeta-hàm Riemann trríờng hợp riêng Nội dung luận văn trình bày hai chương ChuỂơng Các kiến thức sở Chương Nội suy p-adic zetarhàm Riemann Nội dung chương bước đầu tìm hiểu số khái niệm, tính chất zeta-hà.m Riemann, đồng thời trình bày chứng minh chi tiết số tính chất zeta-hàm Riemann, liệ số Bemoulli trình bày phép nội suy p-adic zeta-liàm Riemann trường hợp riêng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học TS Mai Vãn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trì Thầy xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành trì Thầy giáo, Cô giáo tổ Đại số - Lý thuyết số Khoa Toán Trường Đại học Vinh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứa Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy giáo, Cô giáo Phòng Sau đại học - Trường Đại học Vinh, tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn thành khóa học thực luận văn này./ Nghệ An, thnng 06 năm, 2013 Tác gia CEĨƯƠNG CÁC KEẾN THỨC SỞ Trong chương này, trước hết giới thiệu số khái niệm, kết trường định giá, phương pháp xây dựng trường số p-adic 1.1 Giá trị tuyệt đối 1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối V K hàm số từ K vào M (ký hiệu v(x) = \x\v, Vx € K), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau (i) |rc|v > 0, với X € K \x\v = X = (ii) \xy\v = |x|v|r/|v, với x,y e K (iii) Ix-\-yịv < \x\v + \y\v-, với x,y G K Một hàm giá trị tuyệt đối V K thỏa mãn điều kiện: \x + y\v < max{\x\v,\y\v} ,\/x,y cho \x\ i = \x\\ với X G K 1.1.5 Định lý ([2]) Giả sử (K I • I) ỉà trường định giá với đơn vị e, điều kiện sau ỉà tương đương (%) I • I phi Acsimét (ii) {x G K: |x*| < 1} n {x G K: \e — x\ < 1} = (Ui) Tạp số tự nhiên N bị chặn (iv) |2| < 1.1.6 Định lý ([2]) Giả sử K tnỉờng I • |i, I * I2, * * • , I * |â, giá trị tuyệt đối không tầm thường, đôi độc lập (hay không tương đương) K Nếu Xị, X‘2, • • • , xs phần tử thuộc K với s > 0, tồn ptìầri tử X G K cho: \x — Xỉ\ị < £, với i = 1,2, • • ,s 1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ Q 1.2.1 Định nghĩa VcẨ p số nguyên tố, a số nguyên khác Khi bậc a Nhận xét Nếu X số hữu tỷ, X =pa-, a, G z, 7^ 0,pf a,p{ b CKỞpX = a 1.2.2 Mệnh đề Giả sửx,y £ Q,p ỉồ Sớ nguyên tố Khi (ỉ) ordp(.7,7/) = ordpX + ordpy (ii) ordp f ^ = ordp/; - ordpy, y gh (my) ordp(.T + x/) > nin {ordpX, ordpT/} Chìhig minh Giả sử X = //*' — , y = pa'2—, với al5 />|, «2, ỉ>2 số nguyên kliông bí b2 chia hết cho p Suy ordp/; = a 1, ordpV/ = a2 p \ aịO/2, p \ bịl>2, pjaiÒ2, PÌ^òi(ii) Ta có — =]ía' “d suy cjhx'~aaìỉh -\-jf2~aũobị x+y=pL x+y=p — h l>2 □ 1.2.3 Mệnh đề Ánh xạ |.|p : Q ỉà giá trị tuyệt đối phi Acsimét Q h : Q—> R+ ,-ordp(x) X ỹ^O X = Chíổrig rrúrứi £ Q, ta có - Nếu X = suy I x\p = - Nếu X ỹ^O suy \x\p =p-°rảPx > - Nếu xy = tin \xy\p = \x\p\y\p = - Nếu xy 7^ 0, suy , , V íad + bc\ \xy\p =p-cxdpixy) — p- (ardpX-Kardpỉ/) = p-ardpx p-ordpy = ịxịp ịyịp suy X = — y = - Khi bd = ordp(ad-\-bc) — oixìp(ỉxỉ) > nnn{ordp(ud),ordp(ỏc)} — ordpỌxl) = {orcựací) — ordp(6cộ,ordp(6c) — ordp (ỏri)} = {ordpa — ordpb, ordpC — ord;//} Chíổrig rrúrứi Giả sử l-l giá trị tùy ý Q, khác tầm thường Khi tồn x-eQ: |a;| > u |a;| < Xét hai khả xảy Khả Tồn số nguyên dương n mà |n| > Gọi ??() số nguyên dương bé nhát cho I r?01 > (r?0 lưôn tồn tập số tự nhiên N tập thứ tự tốt) Suy ra, tìm a G1R thỏa mãn KI =«0Ta viết số tự nhiên n hệ đếm số riQ n = a{) + aiTìQ + a2ĩìị H -h asĩiị, < CLj < lìị), as 7^ Khi M < |oo| +MKI H -hK-IKI* < +rỉg H -\-rtQ \n\< Ục.nNa = ực:.rna Hay Vì c > nên lim ìực = N—%x> Bởi |r?,| < Tì? Vì (1) r?0+1| — lr?n+1 — 71 + n\ T lr?s+1 — nị + M Từ 77 77 s+1 l«s+1l - K > ĩỉ,fs+1) - (r?g+1 (do (1): |r?^+1 — 7?,| < (??Q+1 — n)a) a(.s-HL) > 77, c Trong bất đẳng thức cách thay 77 77A oo, ta cho N có |n| > rf (2) Trong trường hợp theo Định lý 1.1.4 suy |.| tương đương với |.|oo Ktưí Giả sử |n| < 1, với 77 € N Ta tìm số tự nhiên bé 77o mà |?7o| < Rõ ràng ĨÌQ =p số nguyên tố (vì 77o hợp số, suy ĨĨQ =P\P2, với Pi 2>2 số tự nhiên lớn Pi < 7io,P2 < no, |rzo| = ịpiịịpỉị < 1, suy min{|j>i|, IP2I} < điều mâu thuẫn với cách chọn 77o) Đặt p = |p|, < p < upn +vqm = Bởi 10 = Iup1 + vqni\ < \v\ \ỊP\ +|?;| |r/"| < lí/i+kn < - + - = Điều vô lý 22 Vạy q số nguyên tố khác p \q\ = Giả sử a số nguyền bất kỳ, a / vàa = '/Ịk * • • 'ỉ\k dạiỉg Pi 7^ p, Vz = 1,2, p/>v = pQrdp nếupi =p Do < p < suy tồn /\ > cho p =p~x Nên suy 1.3.1 Pi ỹ^]),Vi = 1,2, Dãy Cauchy (Dãy cơnếu bản)Pi = p (p°rdr)A Giả sử p số nguyên tố cố định, dãy số hữu tỷ {x-n} gọi dãy Caucliy theo giá trị tuyệt p-ađic |.|p với £ > tùy ý, tồn số tự nhiên ĩì{) cho với ra, n> 77o, ta có %rri xn\p b 11 12 1.3.2 Quan hệ tương đương Giả sử {cij\ Hhrơ Từ định nghĩa quan hệ tương đương, ta có Gọi X lim tập \cL hợp—các dãy= cácbj\p số =hữu CLj\p limbản \ưị — tỷ theo giá trị tuyệt đối j—ỳoo J j—too J l*|p* Suy = \di% - hì) - ai)\p < max{|o£|p, \ƯJ 6,1, 16,1 \dị Ta xác định quan hệ hai X sau «L 1Ìml^l/> = {o,j}eX-,b = {bj}eX lim \dAp = a^ ĩ-=-VYl j—>oo ò lim Icij — bj\ = Do lim \U- — bj\p = lim \dị — aAp =0 j—*50 J Jj—>oo j—ỳoov J J ~ {ạAl • Quan hệ có tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên quan hệ tương đương X Mạt kliác ta lại có IK-+tíj) - ■"/ - bì)\p < ™ax{K - " / l y - bj\A - Đặt {dj A-ưj} iaj + bj} Q, = X/~ ={ã = {ặý}} □ Ot — x\p = < {bj €E x\ : lim ICLj — bj\ = p 7, * * ,/ỹ — l} số nguyên a có thẻ chọn tập { 2.1.2 Định nghĩa (số Bemoulli thứ k) BQ —là1, Bị = ,B2=-,B4 = 0, B4 = — —, Br, = 0, BQ = — Các số Bernoulli 2.1.3 BỔ đề ([5]) 2.1.4 h đề Mện 16 Bzk+1 =0,\/k> 1, Bk xác định định nghĩa 2.1.2 Chìhig minh f(x) = — G M, suy X X e? — , trước hết ta chứng tỏ hàm số f(x) -Ệ- —X 2e: X xeX 1-e^ X x(ex — 1) -\-x ~ẽ? - X 21 Từ Định nghĩa 2.1.2 ta có * =m XX +ẽ^ĩ = X oo u xr fc=o oo u ì* '~ỉ Đăt g(x) = — + Bk— _ợ(;r) = /(;/;), Vx G M, suy Ợ(.T) hàm k\ số chẵn Vì vạy y(:r) — g(—x) — 0k=0 lray oo Jc x + ỵ^ [1- (-1)*] Bkg- = 0, Vr € R fc=0 ^ (1 + 2Bì)x + £ B>! ! ————— = 0, Va; € R M (2fc + l)! C(2fc)=(-l)V^i5ị Chíừig minh T>2/, \ x k= 00 í x2\ 17 « n ( i + ã ) sini rv=l ' ' Theo Bổ đề 2.1.3, ta có (1) Lấy lqgarit tự nhiên hai vế (1), vế phải, ta có: +) kisinh(7nc) = lnTĨX ln — (l-e-2™) = 7ĨX — In H-ln (1 — e 27ra:) Trong vế trái 4H)của (1) (với < 7; < 1), ta có (*) l(l+% :J2 ln(7rx) +ln T2 / \ lĩlTT + Ỉ11.7; + Eln 1+s 77—1 ' ' 0000 +) ln = Ỉ117T + I1I.7; + EE(-h n=l /j=l = ln7T+ln.K + y (-1)WJ^2 /c=l L rv=1 = ln7T 4-111X + (— l)fc+1 £(2Ả;) fc=i Từ (*) (**), suy 7rr — ln2 +ln (1 — e~2lĩX) = Ì117Ĩ +lnrc ^)k+1'~rC (2Ả;) Đạo hàm hai vế theo X đẳng thức (2) (1 7T 1—ẽ - ỌTĨ = '7'-\+2^(-l)fc+1n2fe-1C(2 f -2TĨX (* *) (2) / ‘I \ 00 (TĨTS^ -22 -7-2^ 18 27re' -2ỉĩX g— 2TĨX oo Nhân hai vế đẳng thức với Xj ta «+rí=i+2ồ-rA(a) /í=l ™ +-J^7 = +2Ễ(-1)^C(^) fc=l X Tliay — = > cho X, ?+-^=l+Ễ(-^ÍlC(2,) TTX (TTX)2 2! 3! “ fc!(3) • (fc + l)! ;ằ+«)+s^íií=i+Ẽ(-i)fc+iíĩC(2fc) (4) -I>T^=l+£(-l)^í(20 fc=0 " Thay vào (3), fc=ldo Đ&.+I =0, VA; > (Mệnh đề 2.1.4) ^)+7TX fc=l Vì Lị) = 1, Bị =fc=0 — nên từ (4) suy ra: y („*-% -í-hT< tí V (2fc)! 2»-i *> 0,Vr ^=tLLa2k) Do (2fe)! 22fc-1 =ầc(s)+ £ ả w ^ ns ^ n? 19 Hay C(2k)=(-ì)kĨT2k B2k —, với s > 1, Pỉ số nguyên tố, 1=1,2,3, Chứng minh oo Theo định nghĩa zeta-hàm Riemann, C(s)=Ẽ3 Giả sử Pi số nguyên tố, ri^l Pi I n 77— ,pifn oo ^ oo ^ TẪrử ^ ns 71^=1,7>!| 77 r^=l oo oo 1 v ^ p\ ns ^, ns TV=\ ,/>11 77 77=l,7>if77 -j oo -Ị oo -Ị 1 Suy □ (2k - 1)! V 2fc 2.1.6 Mệnh đề Pi 1~Pi }2k-1 PÌ ^ rử ^, rử n^=l.p\ TV=Í,7>|\ĩĩ \n 77^1 Th ^-ịn 1 I c (s)=—^ y 1 — p I 7ZS Hay CO) y*(s) (1) Trong oo I 77^=1,7>if77 ^ 20 1-2V ta - nhỏ tụy ý (ta chọn 6: =P~N, Nlà số nguyên dương đủ lớn), tồn ỗ (phụ thuộc vào e) cho Vx, xỉ G Qy \x - af\p < ỗ suy \f(x) - f(af)\p suy |??;s p-ađic — ns'hàm I = 11 số f(s) — rể = Ins= 25 Giả sử 2Ả:,2hỉ G Szk() (ở 2kị) G {2,4, ,p — 3}) Ả; = ỵ (mod^7), nhận mệnh đề sau: 2.2.3 Nhận xétMệnh đề ([5]) 2.2.5 Ta xét zeta-hàm Riemann oo I (l-p*-1) ir^Ể)~ (1_p^_1) • -rynyp nghĩa \a' — aL > —ỊTr V cho a' ị a-\-(j Từ A), vrq n , ta nhận ((s) = —— ỉ*(s), Tạp tập compac dãy Điều có nghĩa dãy số nguyên p-adic trích dãy hội tụ 26 (i) Mọt ánh xạ / : X —> Y hàm địa, phương liên tục X (ii) Với X tập compac mở không gian rnêtric (QỊ, (thường Zp Xp = {x G 1jp II X \p= 1}) Khi / : X —> hàm địa phương / tổ hợp tuyến tính hàm đặc trưng tập mỏ X 2.3.3 Định nghĩa Giả sử X tập compac Qy (X = z, Zp) Mọt phan phối padic ỊI X đồng cấy từ Q; - không gian véc tơ tuyến tính hàm địa phương X đến (Qy Nếu / : X —y Qp hàm địa phương, ta ký hiệu ịiự) = f Ặ giá tn phân phối Ị1 f 2.3.4 Định nghĩa tương đương Mật phân phối p-ađic ịi X ánh xạ cộng tính từ tập mở compac trong- X đến Q,,, điều có nghĩa, c Xìk hợp tập mở compac, đôi rời ư\ , U‘2, , ưn tin KU) =KUi) 2.3.5 +v(u2) Mệnh đề ([5]) Với mọi, árữi xạ ỊJL từ tập cấc khoảng chứa X đến Q,, cho hởi 27 Phẫn phối Haar xác định công thức: pHaar (u “b (p^ )) yy Phân phối mở rộng đến phân phối Zp vì: X ịi (a +bfC + ự**1)) = V (a + ự*)) / ^ ^yv+1 yp\ p-1 Đây phân phối (sai khác nhân tử số) cho vổi (I G Z/;, ta có ị^Haarip + Ư) = PHaariỤ), a + u = {x e ^ I X - a € £/} 1, a G Ư (3, tmriỹ tmíờng ììỢp ngitợc lại Phân phối Dirac Dễ dàng kiểm tra ịia cộng tính Chú ý f fịia = f(a) vói hàm địa phương / (ni) Phan phối Mazur 2.4 Phân phối Bernoulli Xét hàm hai biến t X sau tídi này, ta nhóm số hạng chứa í , với k ta thu đa thức biến X, ký hiệu Bkipc) (Bk(x) gọi đa thức 28 Berrìmdli, thứ k), xác định hệ thức: Ta giả sử < a < p p Cố định số nguyên không âm k Ta định nghĩa ánh xạ xác định HB,k ịa+ự*)) =Pi(~k-^Bk 2.4.1 Mệnh đề ([5]) Một ánh ooạpBk rộng đến phân phối Z/; (gợi ptúìri phối Bemơuỉli thứ k) 2.4.2 Các ví dụ ([5]) ụ-BỊ) (a + ivK)) = P~N, nghĩa = pHaar- nghĩa hB, («+ (p^) =hMc lazur • 29 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Bước đầu tìm hiểu số kiến thức trường số p-adic giải tích trường số p-adic Trình bày cách chi tiết phép chứng minh oông thức tính giá trị zeta-hàm Riemann 2k Đồng thời chứng minh số tính chất khác zeta-hàm Riemann, hệ số Bernoulli, tìm điều kiện để hàm số f ( x ) = a x nội suy p-adic đến hàm liên tục vành số nguyên p-adic Kết luận văn tìm hiểu Mệnh đề 1.2.2, Mệnh 30 TÀI ITẸLT THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự s u y biến đường cong chỉnh hành tính hyperbolic Brvdy p-adic, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [2] Mai Văn Tư (2012), Giải tíđip-adic, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] Ha Huy Khoai (1979), p - adic interpolation* Arns translation Math Notes Vòll [4] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p - ũdár, Neuarứinna Cartan tìicmvĩrìĂiitci- J Malh Voi, No.5 [5] N.I Koblitz (1979), P-adic numbers, p-adic anaỉysis and Zeta-fnnction, Springer - Verlag [6] S.Lang (1991), Number theory /77, Encyclopeđia of Mathematical [...]... cliọnđược s, s' thỏa = |i-,/'q = I IV 1- (l+mpỴ''N \p (1 + mp)s pA = 1 + ựĩ? )ĩrrp + —-—-— - (rnp)2 + * * • + (rnp)s //X Chúng ta nhận được (mp)2 H + (ĩrrpỴ I/(>') - f(ss)\ = 1 - (1 + ĩrrpf A ựpNymp + -1)^2 + s"jr" ựĩ? — 1) < max< \{s"'ỊỈỉ)mp\ p ('trrị)ỳ (mpỴ ''pN < p (N+1) £ (ii) Nếu 1 < n < p — 1 thì kliông thể nội =p >suy |??;s p- ađic — ns 'hàm I = 11 số f(s) — rể = Ins= 25 Giả sử 2Ả:,2hỉ G Szk() (ở đây 2kị) G {2,4, ,p — 3}) và nếu Ả; = ỵ (mod^7), khi đó chúng ta nhận được mệnh đề sau: 2.2.3 Nhận xétMệnh đề ([5]) 2.2.5 Ta xét zeta- hàm Riemann oo I (l -p* -1)...13 = MpMP < \mi \p < p~ j Mặt khác từ định lý về ph p chia có dư, ta có a = kp' +r, với 0 < r - x \p < rnaxỊ \a — x \p, l^lpl < p~ j Vạy số nguyên a có thể chọn trong t p {o, 1,2, * * * ,Ịỷ — 1} 1.3.7 □ Định lý ([2]) Với mỗi l p tương đương a e Q.J, \a \p < 1, có đúng một dẫy Cauchy {dị} thỏa mãn hai điều kiện (i) 0 ... (ardpX-Kardpỉ/) = p- ardpx p- ordpy = ịx p ịy p suy X = — y = - Khi bd = ordp(ad--bc) — oix p( ỉxỉ) > nnn{ordp(ud),ordp(ỏc)} — ordpỌxl) = {orcựací) — ordp(6cộ,ordp(6c) — ordp (ỏri)} = {ordpa —... ,-ordp(x) X ỹ^O X = Chíổrig rrúrứi £ Q, ta có - Nếu X = suy I x p = - Nếu X ỹ^O suy x p =p- °rảPx > - Nếu xy = tin xy p = x p y p = - Nếu xy 7^ 0, suy , , V íad + bc xy p =p- cxdpixy) — p- ... dẫy {ỊoQp} 13 = MpMP < mi p < p~ j Mặt khác từ định lý ph p chia có dư, ta có a = kp' +r, với < r - x p < rnaxỊ a — x p, l^lpl < p~ j Vạy số nguyên a chọn t p {o,