Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Phương pháp giải: Để xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta thực sau: +) Xác định giao tuyến ∆ = ( P ) ∩ (Q ) +) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây bước quan trọng nhé!) a = ( R) ∩ ( P) +) Xác định đoạn giao tuyến thành phần:  ⇒ ( ( P );(Q ) ) = ( a; b ) b = ( R ) ∩ (Q ) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 3a SA vuông góc với đáy (ABCD) góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính góc a) (SAC) (SCD) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) Hướng dẫn: a) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ⇒ sin EHD b) Kẻ AM ⊥ SB; MN / / BC ⇒ AMN = 900 c) Kẻ DH ⊥ SC ; DE ⊥ AC ; F = DE ∩ BC ⇒ DHF 1   DH : DH = SD + DC  Để tính DHF ⇒  DF  BC  HF : cos C = ⇒ HF = CH + CF − 2CH CF cos C SC  Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABCD điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB Biết góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 60 Tính góc a) SD (ABCD) b) (SAB) (SAC) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, BAD = 1200 Gọi H trung điểm OA Biết mặt phẳng (SHC) (SHD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính góc a) (SBC) (ABCD) b) (SAC) (SCD) Ví dụ [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc SA = SB = SC Gọi I, J trung điểm AB, BC Tính góc mặt phẳng (SAJ) (SCI) Hướng dẫn giải: Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC tam giác Trong ∆ABC, gọi H giao điểm SJ CI, H trọng tâm, đồng thời trực tâm ∆ABC Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góc hai mặt phẳng (SAJ) (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với SH Do ∆ABC nên AH ⊥ BC, (1) Lại có, SA, SB, SC đôi vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC, (2) Từ (1) (2) ta BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*) Tương tự, ta có  AB ⊥ CH  AB ⊥ CH ⇒ ⇒ AB ⊥ ( SCH )   SC ⊥ ( SAB ) ⊃ AB  AB ⊥ CH Hay AB ⊥ SH, (**) Từ (*) (**) ta SH ⊥ (ABC) ( ABC ) ∩ ( SAJ ) = AJ Mà  ⇒ ( ( SAJ ),( SCI ) ) = ( AJ , CI ) ( ABC ) ∩ ( SCI ) = CI Do ∆ABC nên CHJ = 900 − HCJ = 900 − 300 = 600 Vậy ( ( SAJ ),( SCI ) ) = ( AJ , CI ) = CHJ = 600 Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy b) Tính góc tạo mặt bên mặt đáy Hướng dẫn giải: Giả sử hình chóp tam giác SABC Do đặc tính hình chóp tam giác tất cạnh bên nhau, tất cạnh đáy Từ SA = SB = SC = 2a ABC tam giác cạnh 3a Gọi H hình chiếu vuông góc S xuống (ABC) Theo tính chất đường xiên hình chiếu, SA = SB = SC nên HA = HB = HC ⇒ H trọng tâm ∆ABC a) S.ABC chóp tam giác nên cạnh bên nghiêng với đáy, ta cần tính góc SA (ABC) A ∈ (ABC) nên hình chiếu A xuống (ABC) Do SH ⊥ (ABC) nên H hình chiếu S xuống (ABC) Khi đó, HA hình chiếu SA lên (ABC) Suy ra, ( SA,( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH = α Gọi I trung điểm BC, AI trung tuyến 3a ∆ABC cạnh 3a nên AI = ⇒ AH = AI = a 3 AH a 3 Từ ta cosα = = = ⇒ α = 300 SA 2a Vậy ( SA,( ABC ) ) = 300 Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b) Tương tự, mặt bên nghiêng với đáy nên ta tìm góc (SBC) (ABCD) Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC  BC ⊥ SH Mà  ⇒ BC ⊥ ( SAH )  BC ⊥ AH ( SAH ) ∩ ( ABC ) = AI Lại có  ⇒ ( ( SBC ),( ABC ) ) = ( SI , AI ) = β ( SAH ) ∩ ( SBC ) = SI  2  SH = SA − AH = 4a − a = a Theo câu a,   HI = AI = a  2 3 SH a Khi đó, tan β = = = ⇒ β = arctan   IH a   2 3 Vậy góc mặt bên đáy hình chóp β = arctan     ( ) Ví dụ [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA = a vuông góc với (ABCD) Tính góc mặt phẳng sau: a) (SAB) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Hướng dẫn giải: a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD hình vuông ABCD ta có AO = a AC = 2 Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB  AB ⊥ SA ( SAD) ∩ ( SAB ) = SA Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SAD ) Mặt khác,  ⇒ ( ( SAB ),( ABC ) ) = ( SA, AD ) = SAD = 900 AB ⊥ AD ( SAD ) ∩ ( ABC ) = AD   b) (SBD) ∩ (ABD) = BD  AB ⊥ AC ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Ta có  ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Mặt khác,  ⇒ ( ( SBD ),( ABD ) ) = ( SO, AO ) = SOA  AB ⊥ SA ( SAC ) ∩ ( ABD) = AO SA a Xét tam giác vuông SOA ta có: tanSOA = = = ⇒ ( ( SBD ),( ABD) ) = arctan AO a 2 c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD) Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( SAD) ∩ ( SAB ) = SA Do  ⇒ ( ( SAB ),( SCD) ) = ( SA, SD ) = ASD ( SAD) ∩ ( SCD ) = SD AD a Xét tam giác vuông SAD: tan ASD = = = ⇒ ASD = 300 ⇒ ( ( SAB ),( SCD ) ) = 300 SA a 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 4a; AD = 4a Tam giác SAB vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Biết SA = 2a Gọi I trung điểm BC Tính góc a) DI SA b) (SAI) (ABCD) c) SC (ABCD) d) DI (SAB) e)* SC (SDI) Bài [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc (SBC) (SCD) 600 Đ/s: SA = a Bài [ĐVH]: Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O OB = Chứng minh rằng: a) ASC = 900 a a , dựng SO ⊥ (ABCD) SO = 3 b) (SAB) ⊥ (SAD) Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... SH Để xác định góc hai mặt phẳng (SAJ) (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với SH Do ∆ABC nên AH ⊥ BC, (1) Lại có, SA, SB, SC đôi vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BC, (2) Từ (1) (2) ta BC ⊥ (SAH)... = 600 Ví dụ [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy b) Tính góc tạo mặt bên mặt đáy Hướng dẫn giải: Giả sử hình chóp tam giác SABC Do đặc tính hình... mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Biết SA = 2a Gọi I trung điểm BC Tính góc a) DI SA b) (SAI) (ABCD) c) SC (ABCD) d) DI (SAB) e)* SC (SDI) Bài [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O SA vuông góc