MOON.VN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TOÁN Pro-S thầy Đặng Việt Hùng Chuyên đề 1: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hà Nội, tháng năm 2015 Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Dạng Sự biến thiên hàm tham số Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên (hoặc cần bảng xét dấu y ' ) kết luận sở điểm tới hạn Chú ý: Quy tắc xét dấu hàm đa thức phân thức Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Xét biến thiên hàm số sau đây: a) y = −2 x + x + b) y = x3 − 3x + 3x + 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Lời giải: c) y = x − x − a) y = −2 x + x + Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = −6 x + x = −6 x ( x − 1)  → y ′ = ⇔ −6 x ( x − 1) = ⇔  x =1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ − y' + +∞ − Vậy hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (−∞; 0) (1; +∞) b) y = x3 − 3x + 3x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x − x + = ( x − 1) ≥  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ D Vậy hàm số cho đồng biến tập xác định c) y = x − x − Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x3 − x = x x −  → y′ = ⇔ x x − = ⇔   x = ±1 Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −1 ( y' ) ( − + ) − +∞ + Hàm số đồng biến (−1; 0) (1; +∞); hàm số nghịch biến (−∞; −1) (0; 1) 1 x2 d) y = x5 − x − x3 + + x − Tập xác định: D = R  x = −1 Đạo hàm: y′ = x − x − x + x + = ( x + 1) ( x − 1)( x − )  → y ′ = ⇔  x =  x = Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu y ' phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2) Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −1 y' + + − 0 Facebook: LyHung95 +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 1) (2; +∞); hàm số nghịch biến (1; 2) Ví dụ 2: [ĐVH] Xét biến thiên hàm số cho đây: x +1 x + 3x + a) y = b) y = 2x − x +1 c) y = − x + d) y = x − x + x +1 2x + e) y = x − x f) y = 3x − Lời giải: x +1 a) y = 2x − Tập xác định: D = R \ {1} Đạo hàm: y′ = −4 ( x − )2 > 0, ∀x ∈ D  → hàm số đồng biến tập xác định x + 3x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} b) y = Đạo hàm: y′ = ( x + 3)( x + 1) − x − 3x − = x + x  x = → y′ = ⇔ x + x = ⇔  2  x = −2 ( x + 1) ( x + 1) Bảng xét dấu đạo hàm: x −∞ −2 y' + −1 − 0 − || +∞ + Hàm số đồng biến (−∞; 2) (0; +∞); hàm số nghịch biến (−2; −1) (−1; 0) c) y = − x + x +1 Tập xác định: D = R \ {−1} Đạo hàm: y′ = −1 − < 0, ∀x ∈ D  → hàm số nghịch biến tập xác định ( x + 1)2 d) y = x − x + Hàm số xác định x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + > 0, ∀x  → D = R Đạo hàm: y′ = (x − 2x + )′ = x − 2x + Bảng xét dấu đạo hàm: x −1 x − 2x + 2 x y'  → y ′ = ⇔ x = −∞ − +∞ + Hàm số đồng biến (1; +∞) nghịch biến (−∞; 1) e) y = x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ x ( x − ) ≤ ⇔ ≤ x ≤  → D = [ 0; 2] ′ 2x − x ) ( y′ = = Đạo hàm: 2 x − x2 1− x 2x − x2  → y′ = ⇔ x = Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Bảng xét dấu đạo hàm: x y' + − Hàm số đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) 2x + f) y = 3x −  2 x + ≥  x ≥ −     2 Hàm số xác định  ⇔  → D = − ; + ∞ \     3  x ≠ x ≠  ( 3x − ) − x + 3x − − ( x + 1) −3 x − 5 x 2 + Đạo hàm: y′ = = =  → y′ = ⇔ x = − < − 2 ( 3x − ) ( 3x − ) x + ( 3x − ) x + Bảng xét dấu đạo hàm: x − +∞ − y’ || −  2 2  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến  − ;   ; +∞   3 3  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Xét biến thiên hàm số sau: 1) y = −2 x + 2) y = x − x + 3) y = −2 x3 + 3x + 4) y = x − x + x − 12 5) y = x − x + 6) y = − x + x − 7) y = x + x + x − x +1 9) y = x−2 1− x 11) y = 3x − 13) y = x + x 8) y = x + x + 2x −1 10) y = x +1 x2 + 3x + 12) y = x +1 14) y = x − − x +1 Dạng Sự biến thiên hàm có tham số Phương pháp: Sử dụng tính chất tam thức bậc hai để giải Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax + bx + c, gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình f(x) = 0, với x1 < x2 + Nếu a > 0:  x > x2 f ( x) > ⇔   x < x1 f ( x ) < ⇔ x1 < x < x2 a > + f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ <  x < x2 < α < β a >  → + f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :  α < β < x1 < x2 a <  → x1 < α < β < x2 f ( x ) > ⇔ x1 < x < x2 + Nếu a < 0:  x > x2 f ( x) < ⇔   x < x1 a < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < + f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) : a >  → x1 < α < β < x2  x1 < x2 < α < β a <  →  α < β < x1 < x2 Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm m để hàm số Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R a) y = c) y = ( m − 1) x + mx + ( 3m − ) x + đồng biến R Lời giải: x − x + ( m − 1) x + m  → y′ = x2 − x + m − Hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ − ( m − 1) ≤ ⇔ m ≥ a) y = Vậy hàm số đồng biến R m ≥ b) y = − x3 + mx + ( 3m − ) x +  → y ′ = − x + 2mx + 3m − Hàm số nghịch biến R y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ ⇔ m + ( 3m − ) ≤ ⇔ Vậy hàm số đồng biến R c) y = ( m − 1) x + mx + −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 −3 − 17 −3 + 17 ≤m≤ 2 → y ′ = ( m − 1) x + 2mx + 3m − ( 3m − ) x +  Để hàm số đồng biến R y′ ≥ 0, ∀x ∈ R Khi m − = ⇔ m =  → y′ = x +   Ta thấy hàm số đồng biên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu   m − > m > m > Khi m − ≠ ⇔ m ≠  → y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ ⇔ m − ( m − 1)( 3m − ) ≤ −2m + 5m − ≤  ∆′ ≤ m >  m ≥ ⇔   → m ≥ m ≤   Vậy với m ≥ hàm số cho đồng biến R BÀI TẬP LUYỆN TẬP x3 − x + ( m − 1) x + m đồng biến R 2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx + ( 2m − 1) x + đồng biến R 1) Tìm m để hàm số y = 3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx + ( 3m − ) x + nghịch biến R 3 x 4) Tìm m để hàm số y = + ( m − 1) x + ( 2m − 3) x + đồng biến R 3 II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên dựa vào bảng biến thiên để kết luận điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chú ý: Với số dạng hàm đặc biệt (thường hàm vô tỉ) ta phải tính giới hạn điểm biên bảng biến thiên chặt chẽ Các ví dụ điển hình: Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = x3 + x − 36 x − 10 b) y = x + x − d) y = c) y = x − x x − x3 + Lời giải: a) y = x + x − 36 x − 10 Tập xác định: D = R  x = −3 Đạo hàm: y ' = x + x − 36 = x + x −  → y ' = ⇔ x2 + x − = ⇔  x = Bảng biến thiên: x −∞ −3 ( ) y' + − 0 +∞ + +∞ 71 y −∞ −54 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 3) (2; +∞); hàm số nghịch biến (−3; 2) Hàm số đạt cực đại x = −3; y = 71 đạt cực tiểu x = 2; y = −54 b) y = x + x − Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x3 + x = x x +  → y ′ = ⇔ x = ( ) Bảng biến thiên: −∞ x − y' +∞ + +∞ +∞ y −3 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; 0) nghịch biến (0; +∞) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = −3 c) y = x − x Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = x − x3 = x − x  → y′ = ⇔ x − x = ⇔   x = ±1 Bảng biến thiên: ( x ) −∞ y' ( −1 + ) − y −∞ + +∞ − −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (−∞; −1) (0; 1); hàm số nghịch biến (−1; 0) (1; +∞) Hàm số đạt cực đại x = −1; y = x = 1; y = Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y = d) y = x − x3 + Tập xác định: D = R Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 x = Đạo hàm: y′ = x − x = x ( x − 3)  → y ′ = ⇔ x ( x − 3) = ⇔  x = Dấu y’ phụ thuộc vào dấu biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên hình vẽ −∞ x − y' +∞ − + +∞ +∞ y − 15 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến (3; +∞) hàm số nghịch biến (−∞; 3) 15 Hàm số đạt cực tiểu x = 3; y = − Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: x +1 a) y = x − x b) y = x + x + c) y = x+3 Lời giải: a) y = x − x Hàm số xác định − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  → D = [ −1;1] x2 Đạo hàm: y′ = − x − 1− x = − 2x2 1− x  → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2 Bảng biến thiên: x −1 − − y' 2 + +1 − y −   1     Hàm số đồng biến  − ; ;1  ; hàm số nghịch biến  −1; −   2 2     1 1 Hàm số đạt cực đại x = ;y= đạt cực tiểu x = − ;y =− 2 2 b) y = x + x + Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = + 3x x + + 3x  → y ′ = ⇔ x + + x = ⇔ x + = −3 x x +1 x <  x <  x <  ⇔ ⇔ ⇔ →x = −    x = ± 4 x + = x 5 x =   Giới hạn:    lim x + x + = lim  x + x +  = lim x  − + x  → −∞ x  →−∞ x  → −∞ x  x   ( x +1 = )   = +∞  Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] ( 2x + )  x + = lim  x + x + x  → +∞ x  →+∞ x  Bảng biến thiên: lim x    = lim x  + + x  → +∞ x   −∞ − − y'   = +∞  +∞ Facebook: LyHung95 +∞ + +∞ y     ; +∞  Hàm số đồng biến  −∞; −  ; hàm số nghịch biến  5    Hàm số đạt cực tiểu x = − ; y = 5 x +1 c) y = x+3 Hàm số xác định x + > ⇔ x > −3  → D = [ −3; + ∞ ] Đạo hàm: y′ = x +1 ( x + 3) +  x+5 x + = ( x + 3) − x − = = → y ′ > 0, ∀x ∈ D x+3 ( x + 3) x + ( x + 3) x + ( x + 3) x + x+3 − Bảng biến thiên: x −3 +∞ y' + +∞ y −∞ Hàm số cho đồng biến miền xác định cực trị BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm cực trị hàm số sau quy tắc I: 1) y = 3x − x3 4) y = x4 − x + 2) y = x3 − x2 + x − 5) y = x − x + 3) y = − x + x − 15 x x4 6) y = − + x + 2 DẠNG TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y ' giải phương trình y ' = để tìm nghiệm + Tính y '' giá trị nghiệm tìm kết luận Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường áp dụng cho hàm số khó lập bảng biến thiên hàm lượng giác, hàm siêu việt, hàm vô tỉ Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số sau: a) y = sin x − x b) y = cos x + cos x Lời giải: c) y = x + x − x Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a) y = sin x − x Tập xác định: D = R π π ⇔ x = ± + k 2π  → x = ± + kπ π π     y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 <     Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin x  →  π   π  y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = >     Đạo hàm: y′ = 2cos x −  → y ′ = ⇔ cos x = Vậy hàm số đạt cực đại x = Hàm số đạt cực tiểu x = − π π π  π + kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ = − − kπ 6 3  π π  π  π + kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = − + − kπ 6   b) y = cos x + cos x Tập xác định: D = R 2π   cos x = − x=± + k 2π   Đạo hàm: y′ = − sin x − sin x = − sin x (1 + 2cos x )  → y′ = ⇔ 2⇔    x = kπ sin x = Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos x  2π   2π   4π  y ′′  ± + 4nπ  = − cos  ± + 4nπ  − 2cos  ± + 8nπ  = > + Nếu k = 2n  →       y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 <  2π   2π   4π  y ′′  ± + 4nπ + 2π  = − cos  ± + 4nπ + 2π  − 2cos  ± + 8nπ + 4π  = > + Nếu k = 2n +  →       y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 3  ; k = 2n Vậy hàm số đạt cực đại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) =   − ; k = 2n +   − ; k = 2n 2π  2π   4π   Hàm số đạt cực tiểu x = ± + kπ; y = cos  ± + kπ  + cos  ± + k 2π  =       ; k = 2n +  c) y = x + x − x Hàm số xác định x − x ≥ ⇔ ≤ x ≤  → D = [ 0; 2] Đạo hàm: y′ = + − 2x 2 x − x2 = x − x2 + − x  x ≥  → y′ = ⇔ x − x2 + − x ⇔ x − x2 = x − ⇔  2  x − x = x − x + 2x − x2 x ≥  2+  =1+  x ≥  x = ⇔ ⇔   x − x + =    x = − = −   →x =  (1 − x )2 − 2x − x − 2 ′ x − x2 = x − x − x + x − = − Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − 3mx + x − 3m + Tìm giá trị m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = c) hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = d) hàm số đạt cực đại điểm có hoành độ x = –1 Lời giải: ′ a) Ta có y = 3x − 6mx + Hàm số cho có cực trị y ' = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm  m>  ⇔ y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ 9m − > ⇔ m > ⇔   m < −  6 Vậy với m > ; m 3m > ⇔ > m >1 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG c) PT ⇔ x − x = Facebook: Lyhung95 − 3m − 3m ⇔ x4 − 2x2 + = ( 2) 2 Số nghiệm PT(2) số giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng y = − 3m ( đường thẳng song song với trục Ox)   − 3m = m =   Do PT(1) có nghiệm ⇔ d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔  ⇔ − m   >2 m<   Vậy m = ; m < giá trị cần tìm 3 Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y’ giải phương trình y’ = để tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên dựa vào bảng biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = x3 − 3x b) y = x + x − x −1 c) y = x + x − d) y = x − 2x + Hướng dẫn giải: a) y = x − 3x Tập xác định: D = R x = Đạo hàm: y′ = 12 x − 12 x3 = 12 x (1 − x )  → y′ = ⇔  x =1 Dấu y’ phụ thuộc vào dấu biểu thức (1 − x) nên ta có bảng biến thiên: −∞ x y’ + +∞ + − y −∞ +∞ Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn điểm x = Hàm số giá trị nhỏ b) y = x + x − Tập xác định: D = R Đạo hàm: y′ = x3 + x = x x +  → y ′ = ⇔ x = ( ) Bảng biến thiên: x −∞ − y’ +∞ + +∞ y +∞ −2 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ −2 điểm x = Hàm số giá trị lớn ( ) Cách khác: Ta có y = x + x − = x2 + − ≥ − = −1  → ymin = −1 ⇔ x = c) y = x + x − x ≥1 Hàm số xác định x + x − ≥ ⇔   → D = ( −∞; −2] ∪ [1; +∞ )  x ≤ −2 2x + 1 Đạo hàm: y′ =  → y′ = ⇔ x + = ⇔ x = − 2 x +x−2 Bảng biến thiên: Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x −∞ −2 − y’ − − || Facebook: Lyhung95 +∞ + || + +∞ +∞ y 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ hai điểm x = −2 x = x −1 d) y = x − 2x + Do x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ R  → D = R Đạo hàm: y′ = x − x + − ( x − )( x − 1) Giới hạn đặc biệt: (x lim x  → ±∞ − 2x + ) = (x − x2 + x − 2x + ) x =  → y′ = ⇔ − x + x = ⇔  x = x −1 =0 x − 2x + 2 Bảng biến thiên: −∞ x − y’ + +∞ − y − Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn 1/2 x = 2, giá trị nhỏ −1/2 x = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: x2 − x + 1) y = x + 2) y = x x + x +1 2 x2 + x + 4) y = x + 5) y = x x2 + 1 3) y = x + , ( x > ) x DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Phương pháp: + Tìm tập xác định hàm số + Tính y’ giải phương trình y’ = để tìm nghiệm Giả sử nghiệm x1; x2; x3… + Chọn nghiệm thuộc đoạn [a; b] Tính giá trị hàm số nghiệm hai biên a, b + Giá trị lớn giá trị tìm GTLN hàm số, giá trị nhỏ GTNN hàm s ố Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 – 9x [–3; 0] b) y = x + − x [–1; 0] x +1 c) y = [–1; 2] d) y = ( x + ) − x x +1 Hướng dẫn giải: a) y = x – 3x – 9x [–3; 0] Tập xác định: D = R  x = −1 Đạo hàm: y′ = x − x − = x − x −  → y′ = ⇔ x2 − x − = ⇔  x = ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Do tìm giá trị lớn nhất, nhỏ [–3; 0] nên ta loại nghiệm x = y ( −1) = Ta có y ( −3) = −27  → hàm số đạt giá trị lớn x = −1 giá trị nhỏ −27 x = −3 y (0) = b) y = x + − x [–1; 0] Tập xác định: D = ( −∞;1] Đạo hàm: y′ = − 1− x y ( −1) = − Ta có y ( 0) = 1− x −1 1− x  → y′ = ⇔ − x − = ⇔ − x =  → x = ∈ [ −1; 0] 4   ymax = ⇔ x = 4  →  y = − ⇔ x = −1  3 y  = 4 x +1 c) y = [–1; 2] x2 + x2 + − Đạo hàm: y′ = = x ( x + 1) 2 1− x x2 + = x + − x − x =  → y′ = ⇔ − x = ⇔ x = 1∈ [ −1; 2] 2 2 x +1 x +1 x +1 x + x2 + ( ) ( ) y ( −1) = Ta có  y = ⇔ x = y (1) =  →  max  ymin = ⇔ x = −1 y ( 2) = d) y = ( x + ) − x Hàm số xác định − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤  → D = [ −2; 2] Đạo hàm: y′ = − x − y ( −2 ) = Ta có x ( x + 2) − x2 = − x2 − x2 − 2x − x2 = −2 x − x + 4 − x2 x =1  → y ′ = ⇔ −2 x − x + = ⇔   x = −2  y = 3 ⇔ x = y (1) = 3  →  max  ymin = ⇔ x = ± y ( 2) = Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau:  π a) y = x + cos x 0;   2  π b) y = cos x + 4sin x 0;   2 Hướng dẫn giải:  π a) y = x + cos x 0;   2 π  x = + k 2π  Đạo hàm : y′ = − sin x  → y′ = ⇔ sin x = ⇔ 3π x = + k 2π  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 y ( 0) = π  π Do x ∈ 0;   → x = Ta có   π π  π  ymax = + ⇔ x = π 4 → y   = +  4 y = ⇔ x =  π π y  = 2  π b) y = cos x + 4sin x 0;   2 Cách 1: cos x =  →x = y′ = −2 sin x + 4cos x  → y′ = ⇔ sin x = 2cos x ⇔ sin x = cos x ⇔  π sin x =  →x =  y ( 0) = Ta có π   ymax = 2 ⇔ x = π y   = 2  → 4 y = ⇔ x =  π y  = − 2 Cách 2: ( ) y = cos x + 4sin x = − 2sin x + 4sin x = −2 sin x + 4sin x + = −2 t + 4t + 2; t = sin x  π Do x ∈  0;   → t ∈ [ 0;1] Khi y = −2 t + 4t +  → y′ = −4 2t + = ⇔ t = ∈ [ 0;1]  2 y (0) = Ta có π  ⇔x=    ymax = 2 ⇔ t = y →  = 2   2 y = ⇔ t = ⇔ x =  y (1) = − Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Câu 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + mx − x + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến R b) đồng biến khoảng (1;3) Câu 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x − mx + (1 − 2m ) x + Tìm m để hàm số cho a) đồng biến R b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x − 3x + m + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( −1;1) b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x + ( m − 1) x + 4m Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1;1) Câu 5: [ĐVH] Cho hàm số y = − x − x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) Câu 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( 2m − 1) x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( 0;1) Câu 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( 2m + 1) x + m Tìm m để hàm số cho đồng biến ( 0; ) Câu 8: [ĐVH] Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + m − Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( 0;3) b) nghịch biến ( −2; −1) LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP Câu 1: [ĐVH] Cho hàm số y = − x + mx − x + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến R b) đồng biến khoảng (1;3) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải: Ta có y ' = − x + 2mx − a) Hàm số nghịch biến R ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Vậy với −2 ≤ m ≤ hàm số nghịch biến R b) Hàm số đồng biến khoảng (1;3) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ − x + 2mx − ≥ 0, ∀x ∈ [1;3] (do y ' liên tục x = 1, x = ) x2 + = g ( x ) ( *) x (*) 2m ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1;3] ⇔ 2m ≥ x =   x = −2 ( loai ) 13 Ta có: g (1) = 5, g ( ) = 4, g ( 3) = ⇒ max g ( x ) = ⇒ 2m ≥ ⇔ m ≥ Vậy với m ≥ hàm số đồng biến khoảng (1;3) Câu 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − mx + (1 − 2m ) x + Tìm m để hàm số cho a) đồng biến R b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Ta có g ' ( x ) = x2 − ; g '( x) = ⇔ x2 Lời giải: Ta có y ' = x − 2mx − 2m + a) Hàm số đồng biến R ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ' ≤ ⇔ m2 + 2m − ≤ ⇔ −1 − ≤ m ≤ −1 + 2 Vậy với −1 − ≤ m ≤ −1 + hàm số đồng biến R b) Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ x − 2mx − 2m + ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục x = ) x2 + = g ( x ) ( *) x +1 (*) 2m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ 2m ≤ Ta có: g ' ( x ) = x2 + x − ( x + 1) > 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇒ g ( x ) đồng biến ⇒ g ( x ) = g (1) = ⇒ 2m ≤ ⇔ m ≤ hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x − 3x + m + Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( −1;1) Vậy với m ≤ b) đồng biến khoảng (1; +∞ ) Ta có y ' = 3x + ( m + 1) x − Lời giải: a) Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ 3x + ( m + 1) x − ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục x = −1, x = ) ⇔ ( m + 1) x ≤ − x • TH1: x ∈ ( 0;1] ⇒ ( m + 1) ≤ (1) − 3x = g ( x) x (1) ( m + 1) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ ( 0;1] 3x2 + < ⇒ g ( x ) nghịch biến x2 ⇒ g ( x ) = g (1) = ⇒ ( m + 1) ≤ ⇔ m ≤ −1 Ta có: g ' ( x ) = − − 3x = g ( x) x ( ) ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;0 ) • TH2: x ∈ [ −1; ) ⇒ ( m + 1) ≥ ( 2) 3x2 + < ⇒ g ( x ) nghịch biến x2 ⇒ max g ( x ) = g ( −1) = ⇒ ( m + 1) ≥ ⇔ m ≥ −1 Ta có: g ' ( x ) = − Từ trường hợp ⇒ m = −1 Vậy với m = −1 hàm số nghịch biến ( −1;1) b) Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇔ 3x + ( m + 1) x − ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞ ) (do y ' liên tục x = ) − 3x ( *) x (*) ( m + 1) ≥ max g ( x ) , ∀x ∈ [1; +∞ ) ⇔ ( m + 1) ≥ 3x2 + Ta có: g ' ( x ) = − < ⇒ g ( x ) nghịch biến x2 ⇒ max g ( x ) = g (1) = ⇒ ( m + 1) ≥ ⇔ m ≥ −1 Vậy với m ≥ −1 hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Câu 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x + ( m − 1) x + 4m Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1;1) Lời giải: Ta có: y ' = x + x + m − Hàm số nghịch biến ( −1;1) y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ 3x + x + m − ≤ 0, ∀x ∈ [ −1;1] (do y ' liên tục x = −1, x = ) ⇔ m ≤ −3 x − x + = g ( x ) (*) (*) m ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ −1;1] Ta có: g ' ( x ) = −6 x − 6; g ' ( x ) = ⇔ x = −1 Ta có: g ( −1) = 4, g (1) = −8 ⇒ g ( x ) = −8 ⇒ m ≤ −8 Vậy với m ≤ −8 hàm số nghịch biến ( −1;1) Câu 5: [ĐVH] Cho hàm số y = − x − x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) Lời giải: Ta có y ' = −3 x − x + m Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Hàm số cho nghịch biến ( −1; +∞ ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ −3 x − x + m ≤ 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ m ≤ 3x + x, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) Xét hàm số f ( x ) = 3x + x với x ∈ ( −1; +∞ ) có f ' ( x ) = x +  f ' ( x ) = 6 x + =  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈∅   x ∈ ( −1; +∞ )  x ∈ ( −1; +∞ )  x ∈ ( −1; +∞ ) Lập bảng biến thiên hàm số ( −1; +∞ ) ta m ≤ f ( −1) = −3 Đ/s: m ≤ −3 Câu 6: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( 2m − 1) x + mx + Tìm m để hàm số cho nghịch biến ( 0;1) Lời giải: Ta có y ' = x + ( 2m − 1) x + m = x − x + m ( x + 1) Hàm số cho nghịch biến ( 0;1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ x − x + m ( x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ m ( x + 1) ≤ x − x ⇔ m ≤ Xét hàm số f ( x ) = 2x − x2 , ∀x ∈ ( 0;1) 4x + 2x − x2 −4 x − x + với x ∈ ( 0;1) có f ' ( x ) = 4x + ( x + 1)   x = −1   1  f ' ( x ) = −4 x − x + =  ⇔ ⇔ x= ⇔x=  2  x ∈ ( 0;1)  x ∈ ( 0;1)   x ∈ ( 0;1) Lập bảng biến thiên hàm số ( 0;1) ta m ≤ f ( ) = Đ/s: m ≤ Câu 7: [ĐVH] Cho hàm số y = x + ( m + 1) x + ( 2m + 1) x + m Tìm m để hàm số cho đồng biến ( 0; ) Lời giải: Ta có y ' = x + ( m + 1) x + 2m + = x + x + + 2m ( x + 1) = ( x + 1) + 2m ( x + 1) Hàm số cho đồng biến ( 0; ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ ( x + 1) + 2m ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x + + 2m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x ≥ −2m − 1, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ x ∈ [ −2m − 1; +∞ ) , ∀x ∈ ( 0; ) Do YCBT ⇔ −2m − ≤ ⇔ −2m ≤ ⇔ m ≥ − Đ/s: m ≥ − Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Câu 8: [ĐVH] Cho hàm số y = Facebook: Lyhung95 x − ( 2m + 1) x + m − Tìm m để hàm số cho a) nghịch biến ( 0;3) b) nghịch biến ( −2; −1) Lời giải: a) Ta có y ' = x3 − ( 2m + 1) x = x ( x − 2m − 1) Hàm số cho nghịch biến ( 0;3) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ x ( x − 2m − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) x2 − ⇔ x − 2m − ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≥ , ∀x ∈ ( 0;3) 2 x2 − với x ∈ ( 0;3) có f ' ( x ) = x > 0, ∀x ∈ ( 0;3) Xét hàm số f ( x ) = Lập bảng biến thiên hàm số ( 0;3) ta m ≥ f ( 3) = Đ/s: m ≥ b) Ta có y ' = x3 − ( 2m + 1) x = x ( x − 2m − 1) Hàm số cho nghịch biến ( −2; −1) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ( ) ⇔ x x − 2m − ≤ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ x − 2m − ≥ 0, ∀x ∈ ( −2; −1) ⇔ m ≤ Xét hàm số f ( x ) = x2 − , ∀x ∈ ( −2; −1) x2 − với x ∈ ( −2; −1) có f ' ( x ) = x < 0, ∀x ∈ ( −2; −1) Lập bảng biến thiên hàm số ( −2; −1) ta m ≤ f ( −1) = Đ/s: m ≤ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 GIẢI PHÁP TỐI ƯU CHO KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2016 PRO–S PRO–E (Phù hợp với học sinh Khá - Giỏi, nhận thức nhanh) (Phù hợp với học sinh TB-khá, học chậm, chắc) Bao gồm 3 khóa học Bao gồm 2 khóa học KHÓA LTĐH 2016 CHUẨN – B1 KHÓA LTĐH 2016 CHUẨN – B2 KHÓA LUYỆN ĐỀ 2016 – T1 KHÓA LUYỆN ĐỀ 2016. .. →∞ x  1   lim + = +∞   x  →0 x  lim 1 = ∞  →  x → 0 x  lim 1 = −∞   x → 0− x   +∞ khi a > 0   −∞ khi a < 0 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95   0; khi m > n a n x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0  lim =  ∞; khi m < n m m −1... Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = b x  →∞ Cách tìm tiệm cân ngang: Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của... →−∞ x  →−∞ x −3 1− x x +1 x +1 x +1 e) Xét lim = lim = lim x  →∞ 2 x 2 + 3 x  →∞ x  →∞ 3 3   x 2+ 2 x2  2 + 2  x x   2 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Khi x  → +∞ thì |x| = x nên ta được lim x  →+∞ x +1 3 x 2+ 2 x = lim x  →+∞ x +1 3 x 2+ 2 x = lim... thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = −2 3x 2 + x + 3 13 13 +) Ta có y = f ( x) = = 3x − 5 + ⇒ f ( x) − (3 x − 5) = x+2 x+2 x+2 a) y = Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Suy ra lim x  →∞ lim [ f ( x) − (3x − 5)] = x  →∞ Facebook: LyHung95 13 = 0 ⇒ y = 3x − 5 là tiệm cận... Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau b) y = 2 x 2 + mx − 4 x+m c) y = mx + 1 x+m d) y = mx3 − 1 x 2 − 3x + 2 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Bài 4: [ĐVH] Tim m để đồ thị hàm số y = Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = Facebook: LyHung95 x 2 + 2mx + m −... thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận luôn là một hằng số a) y = x2 − x + 1 x −1 b) y = 2 x2 + 5 x − 4 x+3 c) y = x2 + x − 7 x −3 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI... điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8 3 1 1 c) y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1 3 3 Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT... hạn: lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = +∞ ; lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = −∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95  x = −1 - Đạo hàm: y ' = −3 x 2 + 3 = 0 ⇔  x = 1 - Bảng biến thiên: x −∞ y’ -1 + 0 1 − +∞ 0 +∞ + 4 y −∞ 0 Nhận xét: Hàm... x 3 − 4 x + 1) = +∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ 2  x = 3 - Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 4 = 0 ⇔  2  x = − 3  Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 - Bảng biến thiên: x −2 3 −∞ y’ + 0 1+ y 2 3 − yCT = 1 − + 16 3 3 +∞ 1− −∞ Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = − 0 +∞ 16 ... chậm, chắc) Bao gồm khóa học Bao gồm khóa học KHÓA LTĐH 2016 CHUẨN – B1 KHÓA LTĐH 2016 CHUẨN – B2 KHÓA LUYỆN ĐỀ 2016 – T1 KHÓA LUYỆN ĐỀ 2016 – T2 KHÓA LUYỆN GIẢI BÀI TẬP HỌC PHÍ TRỌN GÓI : 900.000... x2 1− x 2x − x2  → y′ = ⇔ x = Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook:... Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm m để hàm số Pro – S năm 2016 môn Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: