BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT Chƣơng GIỚI THIỆU VỀ TĨNH HỌC Mục đích chƣơng Kiến thức  Giới thiệu khái niệm học kỹ thuật, tĩnh học, động lực học  Giới thiệu đại lượng bản: chiều dài, thời gian, khối lượng, lực  Đưa định luật Newton cho chuyển động chất điểm định luật hấp dẫn  Nhắc lại đặc điểm véc tơ phép toán véc tơ  Đưa hướng dẫn chung cho bước giải toán tĩnh học Kỹ Giúp sinh viên  Biết cách chuyển đổi đơn vị hệ đơn vị hệ đơn vị khác  Biết áp dụng phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành quy tắc tam giác vào toán cụ thể  Biết phân tích véc tơ theo thành phần vuông góc thực phép toán véc tơ sử dụng thành phần vuông góc Các dạng tập tập mẫu Bài tập luyện tập Chú ý cách ký hiệu véc tơ (1) Các vectơ viết chữ in đậm, ví dụ: F véctơ lực (2) Độ lớn vectơ A ký hiệu | A| đơn giản A (nghiêng) (3) Khi viết tay, ký hiệu thông thường A Véctơ biểu diễn đoạn thẳng có hướng hình vẽ, ghi kèm theo bên cạnh độ lớn véctơ A ký hiệu véctơ A DẠNG 1: Tìm véc tơ tổng véc tơ thành phần sử dụng quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc tam giác) (thường áp dụng véc tơ lực đồng quy phẳng) Các bƣớc thực  Vẽ véc tơ tổng theo quy tắc hình bình hành theo quy tắc tam giác A A A+B B A B+A A+B A B B B quy tắc hình bình hành quy tắc tam giác Lưu ý: Khi hai véc tơ cộng tuyến (nằm đường thẳng) véc tơ tổng tính theo phép cộng đại số Phép trừ véc tơ A-B định nghĩa A – B = A+ (-B)  Xác định độ lớn phương chiều véc tơ tổng, ta dùng định lý hàm số sin, định lý hàm số cos Định lý hàm số sin Định lý hàm số cos a b c   sin  sin  sin  a  b  c  2bc cos  b  c  a  2ac cos  c  a  b  2ab cos   Giải tìm ẩn số đề yêu cầu CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài tập mẫu 1.1 Trên hình.M1.1(a) biểu diễn hai véc tơ định vị có độ lớn A = 60m B = 100m (véc tơ định vị véc tơ vẽ hai điểm không gian) Hãy xác định véc tơ tổng R = A + B Hình.M 1.1(a) Lời giải Trước tiên, ta sử dụng quy tắc tam giác (hoặc quy tắc hình bình hành) để vẽ véc tơ tổng R = A + B Sau đó, độ lớn hướng véc tơ tổng tìm cách áp dụng định lý hàm số sin định lý hàm số cos  Véc tơ tổng R = A + B thể hình.M1.1(b)  Xác định độ lớn véc tơ R định lý hàm số sin R2  602  1002  2.60.100cos1400 Suy R  151m Để tìm góc tạo R với phương ngang, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin 100 R    25.20  sin  sin1400 Từ hình vẽ, ta thấy R tạo với phương ngang góc 300 + α = 55.20 Do ta tổng A B Hình.M 1.1(b) Bài tập mẫu 1.2 Vòng treo hình vẽ chịu tác dụng hai lực F1, F2 Hãy xác định véc tơ tổng R = F1 + F2 Cho F1 = 200N, F2 = 400N F1 600 Lời giải  Sử dụng quy tắc hình bình hành để vẽ véc tơ tổng R = F1 + F2  F2 Hình.M.1.2 Xác định độ lớn R định lý hàm số cos R2  2002  4002  2.200.400cos1200 Suy R = 529.15 N  Để tính góc φ – góc tạo R với phương ngang hình vẽ, ta tìm góc α theo định lý hàm số sin 400 R   sin   0.65 sin  sin1200 Suy α = 40.890 Từ đó, φ = 900 – 40.890 = 49.110 F α φ F2 1200 R BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1.1 Xác định độ lớn hợp lực tác dụng lên mắt đinh vít hướng đo theo chiều kim đồng hồ từ trục x Hình B1.1 1.2 Xác định độ lớn hợp lực hướng đo theo chiều ngược kim đồng hồ từ chiều dương trục x Hình B1.2 Hình B1.3 Hình B1.4 1.3 Một chịu tác dụng hai lực A B hình vẽ Nếu   600 , xác định độ lớn hợp lực hai lực hướng đo theo chiều kim đồng hồ từ trục nằm ngang 1.4 Nếu hợp lực tác dụng dọc chiều dương trục u có độ lớn 5kN, xác định độ lớn FB hướng  DẠNG 2: Phân tích véc tơ theo thành phần vuông góc cộng véctơ sử dụng thành phần vuông góc Để biểu diễn véc tơ theo thành phần vuông góc A = Ax i + Ay j + Az k ta có cách sau Cách  Phân tích A thành hai thành phần vuông góc: thành phần hướng theo trục z (hoặc hướng theo trục x, y) thành phần nằm mặt phẳng xy (hoặc nằm mặt phẳng yz, xz, tương ứng) A = Axy + Az Axy = A.sinϕ Az = A.cosϕ  Bước tách thành phần nằm mặt phẳng xy thành hai thành phần hướng theo hai trục x, y Ax y Axy = Ax + Ay Ax = Axy.cosθ = A.sinϕ.cosθ Ay = Axy.sinθ = A.sinϕ.sinθ  Vậy ta có A = Ax i + Ay j + Az k với Ax = A.sinϕ.cosθ Ay = A.sinϕ.sinθ Az = A.cosϕ Axy Cách Tìm góc tạo A chiều dương trục x, y, z Gọi góc  x , y , z , ta có Ax = A cosθx Ay = A cosθy Az = A.cosθz Cách Tìm thành phần hình chiếu véc tơ dựa vào véc tơ phương đoạn thẳng chứa véc tơ Chẳng hạn, véc tơ F nằm đoạn AB hướng từ A đến B Ta biểu diễn véc tơ F theo thành phần vuông góc dùng véc tơ phương AB Thực theo ba bước sau:  Viết véc tơ AB Tìm tọa độ điểm A (xA, yA, zA), tìm tọa độ điểm B (xB, yB, zB) Suy AB   xB  xA  i   yB  y A  j   zB  z A  k  Tính véc tơ đơn vị phương AB λ= AB  xB  xA   yB  y A   zB  z A   i j k AB AB AB AB Viết F = Fλ   x  x i  y  y j z  z k  B A  B A  B A  x x 2 y y 2 z z  B A  B A A   B F = Fλ = F      Cộng véc tơ sử dụng thành phần hình chiếu vuông góc Xét hai véctơ A = Ax i + Ay j + Az k B = Bxi + Byj + Bzk Kí hiệu C tổng A B C = Cxi + Cyj + Czk Ta có Cx  Ax  Bx Cy  Ay  By Cz  Az  Bz Bài tập mẫu 1.3 Cho véc tơ A hình vẽ a) Hãy xác định thành phần vuông góc véc tơ A b) Hãy xác định góc véc tơ A chiều dương trục tọa độ Hình M1.3 Lời giải a) Xác định thành phần vuông góc véc tơ A  Trước tiên ta tách A thành hai thành phần hình vẽ + Az nằm dọc theo trục z + Axy nằm mặt phẳng xy Vì A, Az, Axy nằm mặt phẳng nên sử dụng công thức lượng giác, ta có Az = Acos300 = 12 cos300 = 10.392m Axy = Asin300 = 12 sin300 = 6m  Tiếp theo, ta tách Axy thành hai thành phần Ax, Ay nằm dọc theo hai trục x, y Ax = Axycos400 = 6cos400 = 4.596m Ay = Axysin400 = 6sin400 = 3.857m  Do đó, biểu diễn véc tơ A theo thành phần vuông góc A = Ax i + Ay j + Az k = 4.60i + 3.86j + 10.39k m b) Xác định góc véc tơ A chiều dương trục tọa độ Các góc A trục tọa độ tìm từ phương trình sau  cos  x    cos y    cos z   Ax 4.596  A 12 Ay 3.857  A 12 Az 10.392  A 12  x  67.50    y  71.30   y  30.0 Bài tập mẫu 1.4 Dây cáp buộc vào chốt cố định hình vẽ kéo lực F có độ lớn 500N Hãy xác định thành phần vuông góc lực F Lời giải Viết AB Tọa độ điểm A, B A (4,0,3) B (0,6,0) Hình M1.4 Suy AB  4i  j  3k Tính véc tơ đơn vị phương AB Viết F = Fλ: Các thành phần vuông góc F Bài tập mẫu 1.5 Puli hình (a) chịu tác dụng lực dây đai P Q Sử dụng thành phần hình chiếu vuông góc, xác định độ lớn hướng lực tổng P + Q Lời giải Dựa vào hình (b), biểu diễn véctơ P Q theo thành phần hình chiếu vuông góc Lực tổng P Q tìm cách cộng thành phần chúng: Chúng ta tính độ lớn hướng R BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1.1 Cho véc tơ F hình vẽ có độ lớn 240N a) Hãy phân tích véc tơ F thành ba thành phần vuông góc theo phương x, y, z (biểu diễn véc tơ thành phần hình vẽ) b) Hãy biểu diễn véc tơ F thành thành phần vuông góc cách dùng véc tơ đơn vị phương véc tơ OA Hình B.1.1 1.2 Biết độ lớn lực Q 100N a) Hãy phân tích véc tơ Q thành ba thành phần vuông góc theo phương x, y, z (biểu diễn véc tơ thành phần hình vẽ) b) Hãy biểu diễn véc tơ Q thành thành phần vuông góc cách dùng véc tơ đơn vị phương véc tơ AB Hình B.1.2 1.3 Cho hệ hình bên Các dây xích sử dụng để chống cột điện Biểu diễn lực dạng Decarter Bỏ qua đường kính cột Hãy tính góc  z véc tơ lực F trục z Và xác định thành phần 1.4 vuông góc F Biết F = 240N Hình B1 Hãy xác định tổng hai véc tơ lực hình vẽ 1.5 Hình B1 Hình B1 1.6 Độ lớn ba lực F1 = 1.6kN, F2 = 1.2, F3 = 1.0kN Hãy tìm tổng ba véc tơ cho 1.7 Nếu R hợp lực lực P Q, tìm P Q (hình B1 7) 1.8 Cho R hợp lực P Q Hãy xác định Q góc θ (hình B1 8) Hình B1 Hình B1 10  Khối tâm (tâm khối lượng)  Vật thể ghép nối VÍ DỤ ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định khối tâm đƣờng cong phẳng Bài 8.1 Xác định khối lượng khối tâm ( ) phần đường cong parabol hình bên, biết khối lượng đơn vị dài 2kg/m Lời giải Xét phần tử đường cong dL, chiều dài phần tử tính sau Ở 151 Vì Khối lượng phần tử Tâm phần tử xác định Tính tích phân, ta có 152 Bài 8.2 Cho hệ hình bên Biết khối lượng đơn vị dài thành 0.5kg/m, xác định phản lực liên kết O Lời giải Xét đơn vị dài cong dL Tâm Vì Lấy tích phân, ta có: Tọa độ khối tâm theo phương x, xác định sau Khi hệ lực tác dụng lên vật thỏa mãn phương trình cân sau: 153 Dạng 2: Xác định khối tâm mặt phẳng Bài 8.3 Xác định diện tích tâm diện tích hình bên Lời giải Xét phần tử song song với trục x, hình bên Diện tích phần tử Tâm phần tử xác định Lấy tích phân ta có: 154 Bài 8.4 Một phẳng làm thép có khối lượng riêng 7850kg/m3 Nếu độ dày 10mm, xác định phản lực liên kết A sức căng dây BC Lời giải Xét phân tố song song với phương y hình bên Diện tích phân tố xác định Tâm phân tố có tọa độ Diện tích xác định Khối lượng tọa độ khối tâm theo phương x xác định sau: 155 Giải phóng liên kết, sơ đồ hóa lực tác dung lên vật hình bên, ta có phương trình cân bằng: Bài 8.5 Xác định diện tích tâm diện tích miền nằm đồ thị hai đường y = x y= x3/9 Lời giải Xét phân tố song song với trục y hình bên Diện tích phân tố Tâm phân tố xác định Diện tích tìm Tâm diện tích xác định 156 Dạng 3: Xác định vị trí khối tâm phƣơng pháp ghép nối Bài 8.6 Xác định tâm ( ) diện tích cho hình bên Lời giải Sử dụng phương pháp phân chia Chia miền cần tính thành miền hình vẽ, tính tâm diện tích miền Sau sử dụng công thức biết, ta có: 157 Bài 8.7 Cho phẳng tạo từ thép (A) đồng thau (B) Hãy xác định khối lượng vị trí khối lượng ( ) Biết khối lượng riêng thép 7.85Mg/m3 đồng thau 8.74Mg/m3 158 Lời giải 159 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập xác định tâm đƣờng cong Bài 8.8 Xác định khối lượng tâm khối lượng cong đồng chất hình bên Biết khối lượng đơn vị dài 3kg/m Bài 8.9 Xác định khối lượng khối tâm thẳng hình bên biết khối lượng đơn vị dài Bài 8.10 Xác định tâm đoạn dây hình bên 160 Bài 8.11 Xác định tâm cong hình bên Biểu diễn kết theo bán kính r góc tâm Bài tập xác định tâm diện tích phẳng Bài 8.12 Xác định diện tích tâm diện tích hình bên Bài 8.13 Xác định diện tích tâm diện tích hình bên 161 Bài 8.14 Xác định diện tích tâm diện tích hình bên Bài 8.15 Tấm phẳng có độ dày 0.5in, làm từ thép có trọng lượng riêng 490Ib/ft3 Hãy xác định thành phần phản lực theo phương ngang phương thẳng đứng A, sức căng dây thừng B Bài 8.16 Xác định diện tích tâm diện tích hình bên Bài 8.17 Một thép có độ dày 0.3m có trọng lượng riêng 7850kg/m3 - Xác định vị trí khối tâm - Xác định phản lực liên kết A B (Gợi ý: thành phần phản lực pháp tuyến B vuông góc với tiếp tuyến B, 162 tìm từ tan ) Bài 8.18 Xác định tâm diện tích hình bên Gọi ý: chọn phân tố có độ dày dy chiều dài Bài 8.19 Nếu mật độ khối điểm chữ nhật hình bên số, xác định khối lượng tâm khối lượng phẳng Cho biết độ dày t Bài tập sử dụng phƣơng pháp ghép nối Bài 8.20 Cho giá kết nối từ bẩy nhình bên, khối lượng đơn vị dài 6kg/m Hãy xác định vị trí khối tâm hệ, bỏ qua khối lượng phẳng điểm ghép nối 163 Bài 8.21 Cho hệ hình bên, đồng chất có khối lượng đơn vị dài 6kg/m Xác định vị trí khối tâm hệ, bỏ qua kích thước điểm ghép nối độ dày Sau xác định phản lực liên kết A E Bài 8.22 Xác định tâm diện tích thiết diện máng hình bên Bài 8.23 Xác định tọa độ khối tâm thiết diện hình bên 164 Bài 8.24 Xác định tọa độ trọng tâm G tường có hình dáng, kích thước hình bên Bài 8.25 Xác định tâm miền diện tích hình bên Bài 8.26 Xác định khối tâm khối có hình dạng kích thước hình bên 165 [...]... đương Và tìm tọa độ của giao điểm của đường thẳng chứa R và tấm chữ nhật ĐS: R = - 24 ,2i – 24 ,5j + 20 5, 1k (kN), x = 0 ,70 8( m), y = 0, 7 16 (m) 2. 6 Hãy xác định độ lớn của ba lực T1 ,T2 ,T3 tác dụng lên tấm để chúng tương đương với một Hình B2 .5 và B2 .6 lực R  21 0 k  kN  2. 7 Thay thế ba lực căng của dây cáp tác dụng lên cột cờ bằng một lực tương đương Cho T1 = 10 00N, T2 =20 00N, và T3 = 17 50 N Hình B2 .7 2. 2... = 60 N Hãy xác định a) độ lớn của lực R tương đương với ba lực trên b) các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz 12 Lời giải a) Xác định độ lớn lực R tương đương với ba lực đã cho Ta có F1 = 26 0λAB = 26 0 F2 = 75 AC = 75  3i  12 j  4k   26 0    60 i  24 0j  80 k 13   AB AB  3i  4k   75    45 i  60 k 5   AC AC F1 = - 60 j Suy ra hợp lực R là R   F  F1  F2... F3   60 i  24 0 j  80 k    45 i  60 k    60 j   10 5i  30 0 j  14 0k Độ lớn của R là R  10 5   30 0   14 0  2 2 2  34 7. 3N b) Xác định các tọa độ của giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz Gọi giao điểm của đường tác dụng của R và mặt phẳng yz là D Véc tơ đơn vị chỉ phương của R là Tọa độ điểm D có thể được xác định từ các tỷ số Từ ta nhận được 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 2 .1. .. y và có độ lớn 60 0N, xét với θ = 45 0 Lời giải Biểu diễn các lực trong hệ tọa độ Decartes Khi đó hợp lực được biểu diễn như sau R  FA  FB   FAcos600  FB cos 450  i   FAcos300  FB sin 45 0  j Theo giả thiết R  60 0 j Suy ra: Giải hệ trên ta tìm được: FA = 43 9 , 23 (N) FB = 31 0 ,5 82 9 (N) Bài tập mẫu 2. 2 Ba dây được buộc vào cột trụ tại A như hình (a) Các lực trong dây là F1 = 26 0N, F2 = 75 N, và F3... là T1= 55 0N, T2 = 20 0N, và T3 = 75 0 N Hãy thay thế ba lực trên bằng một lực R tương đương Thể hiện véc tơ kết quả trên hình vẽ 2 .1 Hãy xác định độ lớn của lực P và góc θ để ba lực như trên hình vẽ tương đương với một véc tơ lực R =85 i +20 j kN ĐS: 10 9 ,6( kN), θ = 29 ,90 Hình B2 1 Hình B2 2 2 .3 Lực R là hợp lực của các lực P1, P2, P3 tác dụng lên tấm chữ nhật Hãy xác định độ lớn P1, P2 nếu R = 40 kN và P3... P2 nếu R = 40 kN và P3 = 20 kN ĐS: P1 = 62 , 3( kN), P2 = 44 ,6( kN) Hình B2 .3 2. 4 Một người tác dụng một lực P có độ lớn 25 0N lên tay cầm của xe đẩy Biết rằng hợp lực của các lực P, Q (phản lực tác dụng lên bánh xe) và W (trọng lượng của xe đẩy) là R = 50 i (N), hãy xác định trọng lượng W Hình B2 .4 14 2. 5 Độ lớn của ba lực tác dụng lên tấm chữ nhật là T1= 10 0kN, T2 = 80 kN, và T3 = 50 kN Hãy thay thế các lực... x)dx 0 0 Hệ lực phân bố đều Q q Q = ql = l l 2 l 2 34 Hệ lực phân bố dạng tuyến tính (dạng tam giác) Q q Q= = l Hệ lực phân bố dạng tuyến tính (dạng hình thang) q2 q1 2l Q1 3 Q1  q1l Q2 Q2  = 2l l l 3 l 2 l 3 l ql ql 2  q2  q1  l 2 3 2 35 B Miền diện tích A Miền thể tích Khối hình hộp chữ nhật Hình chữ nhật Khối lăng trụ tam giác Hình tam giác Bảng 3 .1 Trọng tâm của một số dạng hình học thường... Hình B2.9 17 2 .10 Cho lực F =80 N tác động lên điểm C của một ống nước như trên hình B2 .10 Hãy xác định momen của lực lấy đối với điểm A và điểm B Biểu diễn kết quả theo vecto Cartesian 2 .11 Hãy xác định momen của lực Q đối với điểm O và điểm C Biết độ lớn của lực Q là 10 0N Hình B2 .11 Hình B2 .10 2 . 12 Một cái chìa vặn đai ốc được dùng để vặn chặt một đai ốc trên bánh xe Hãy xác định momen của một lực 60 0N... dương của trục y vào mặt phẳng Oxz) thấy thành phần 45 kN quay quanh O theo chiều ngược chiều KĐH Momen với trục z Momen của lực F với trục z bằng không vì lực F cắt trục z Mz = 0 b) Tính momen của lực F với điểm O Nhận thấy rằng véctơ r  OA  4k i j k do vậy M O  r×F  0 0 4   72 0 i  18 0 j(kN.m) kết quả này là phù hợp với 45 18 0 60 các kết quả của phần trước 21 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 2 . 13 Hãy xác định... momen Mx My Mz của lực F với các trục tọa độ bằng phương pháp hình học (phương pháp vô hướng) a) Xác định momen của lực F đối với điểm O bằng phương pháp véctơ b) Chỉ ra rằng MO = Mxi + Myj + Mzk Hình.M 2. 5 Lời giải Tính toán các thành phần vuông góc của lực F F  F (3i  12 j - 4k ) 32  12 2  42  48 i  18 0 j - 60 k kN a) Khi tính toán momen của một lực, lực có thể đặt tại điểm bất kỳ trên đường tác ... cos z   Ax 4. 59 6  A 12 Ay 3. 8 57  A 12 Az 10 .3 92  A 12  x  67 .50    y  71 . 30   y  30 .0 Bài tập mẫu 1. 4 Dây cáp buộc vào chốt cố định hình vẽ kéo lực F có độ lớn 50 0N Hãy xác... phẳng yz 12 Lời giải a) Xác định độ lớn lực R tương đương với ba lực cho Ta có F1 = 26 0λAB = 26 0 F2 = 75 AC = 75  3i  12 j  4k   26 0    60 i  24 0j  80 k 13   AB AB  3i  4k   75 ... 45 i  60 k   AC AC F1 = - 60 j Suy hợp lực R R   F  F1  F2  F3   60 i  24 0 j  80 k    45 i  60 k    60 j   10 5i  30 0 j  14 0k Độ lớn R R  10 5   30 0   14 0  2  34 7. 3N