CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2015-2016) (Thi: thứ 7, 26-9-2015) Bài 1 1    (a, b, c  0) a b c a bc 1 1 Chứng minh 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a  b  c2015 2a  x  1 a a b) Rút gọn B  với x    2 a 1 a 1 x2  x a) c) Cho Tính :   (0  a  1)  94  94 Bài 2: Giải pt a) x5  x  x3  x  x   b) 8x  x  x  y    c)  y   z   z  x   Bài Tìm giá trò lớn biểu thức : M  5x  2xy  2y2  14x  10y 1 Bài 4: Chứng minh 10n  18n  28 27, n  N Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao BI CK cắt H Trên đoạn BH lấy điểm D cho ADC 900 Gọi F giao điểm BE CD Chứng minh 1   2 AD DF DE Bài 6: Cho tam giác ABC có ABC  ACB  500 Lấy N điểm nằm tam giác ABC cho NBC  100 NCB  200 Chứng minh tanANB tanNBC = BC Bài 7: Trên cạnh BC hình vuông ABCD lấy BE  ; tia đối tia CD lấy F BC cho CF  Gọi I giao điểm AE BF Chứng minh A, B, I, C thuộc đường tròn Trang Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2015-20156) Bài 1 1 1 1    (a, b, c  0) Chứng minh 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a bc a b c a  b  c2015 a) Cho Ta có:  a  b 1 1 1 1 ab          a b c a bc a b a bc c ab c a  b  c     ca  cb  c  ab  ab ab     a  b      a  b    0 ab c a  b  c ab c a  b  c abc a  b  c           a  b  b  c  c  a   1   2015  2015  2015 2015  1 1 a b c c TH1: a = -b, đó:   2015  2015  2015  2015 2015 1 a b c a  b  c 2015    a 2015  b 2015  c 2015 c 2015  1     2015 2015 2015 2015  1 1 a b c a  2015  2015  2015  2015 TH2: b = -c, đó:  2015 1 a b c a  b  c 2015     a 2015  b 2015  c 2015 a 2015 1   2015  2015  2015 2015  1 1 a b c b  2015  2015  2015  2015 TH3: c = -a, đó:  2015 1 a b c a  b  c 2015   c  a 2015  b 2015  c 2015 c 2015  1 1 Vậy 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a  b  c2015 b) Rút gọn B   1 a a với x    2 a 1 a 1 x2  x 2a  x   (0  a  1)   1 a a   1 a a  Ta có: x     x2   2  (0  a  1)  2 a 1 a  4 a 1 a   1 a a   1 a a   x2 1   2  x2 1   2   4 a 1 a  4 a 1 a   x 1  2 Thế vào B   1 a a   1 a  a 2a  x 1 x2  x Trang     1 a a  x     2 a 1 a    , ta được: Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016  1 a a  2a    2 a 1 a  B  1 a a   1 a a        2 a 1 a   a 1 a  1 a  a a a a 1 a  1 a  B a a 1 a 1 a c) Tính : x     Ta có: x      x3     94  94        x  18   x 1  x  3x  18    x  3  x  3x      15    x    x     2    x 3 Bài 2: Giải phương trình sau: a) x5  x  x3  x  x  Ta có: x5  x  x3  x  x   x5  x  x3  x  x    x  2x  x  2x  x  2x  x  2x  x    x4  x  2  x3  x  2  x  x  2  x  x  2   x  2    x    x  x  x  x  1  x    x  x  x  x   1 2 x   x  x2  Giải (1) : ta có: x  x  x  x     x      1   (vô lí) 2 2   b) 8x   x Điều kiện: x  ; đặt t  1  t    x  , phương trình cho trở thành : x t  t   2t  5t  16    t    2t  3t  4t     t  t Với t =  x  Trang Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG  x  2  y   c)  y   z   z  x   2015 -2016 1  2  3 Điều kiện : x  0, y  0, z  0, Từ pt (1) ta suy y  2x 2x  Từ pt (3) ta suy z  x 1 x Thế vào pt (2), ta được:  2    4 2x  2x  x 2x  x Điều kiện: x  2, x  2x   x   x    x  2x  1 Với điều kiện trên, pt (4) trở thành:    x  2x  1   x  2x  1  2x   x   x     x  2x  1  2x   2x  x   4x  2x  x    3x  6x     x  1   x 1 suy y =1 ; z =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x, y, z) = (1, 1, 1) Bài Tìm giá trò lớn biểu thức: M  5x  2xy  2y2  14x  10y 1 Ta có : M  5x  2xy  2y2  14x  10y 1  2M  4y  4xy  20y  10x  28x   2M   2y    2y  x     x     x    10x  28x  2 2  2M   2y  x    9x  18x  23  2M   2y  x     3x  3  32 2 1  2  2y  x     3x  3  32   16  3x   x   16 Dấu ‘’=’’ xảy khi:   2y  x   y  M Vậy Mmax Bài 4: Chứng minh 10n  18n  28 27, n  N Ta có : Trang Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 10n  18n  28  10n   18n  27 = 10  1 10 n 1  10 n 2   1  18n  27 =9   1    1  =9  9k  n   18n  27 n 1 n 2   9  1  9  1  1  18n  27  =81k  27n  27 =27  3k  n  1 27 Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao BI CK cắt H Trên đoạn BH lấy điểm D cho ADC 900 Gọi F giao điểm BE CD Chứng minh 1   2 AD DF DE A I K H D E F B C Gọi O giao điểm AF DE AD2  AI.AC  HTL    Dễ chứng minh được: AE  AK.AB  HTL   AD  AE  ADE cân tai A   AI.AC  AK.AB  AIB ∽ AKC  FDE  ADE  FDA  FED  AED  FEA  Ta có:   FDE  FED  FDE cân F  FD=FE FDA  FEA  90  ADE  AED  ADE cân A  AD  AE Ta có:   AF đường trung trực đoạn thẳng DE FD  FE   AF  DE O  O trung điểm DE Xét ADF vuông D, ta có: DO đường cao  1    2 AD DF DO DE Bài 6: Cho tam giác ABC có ABC  ACB  500 Lấy N điểm nằm tam giác ABC cho NBC  100 NCB  200 Chứng minh: tanANB.tanNBC  Trang Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 A OJ N K B C H Kẻ đường cao AH cắt BN O, AK vuông góc với BN K, CN cắt AK J BOC cân O  OCH  OCN  100  ACO  OAC  400  OA  OC AON  BOH  800  OAJ  100  JAC  JCA  300  AJC cân J  AJ  JC Mà OA  OC Nên OJ đường trung trực AC  OJ phân giác AOC    JOC  50 AOC  100 Mà NOC  200 (góc OBC ) Nên JON  300  JNO  góc BNC  OJN cân t ại J  K trung điểm ON  AON cân A  ANB  AON  800 Vậy tanANB.tanNBC  tan800.tan100  tan800.cot80  Bài 7: Trên cạnh BC hình vuông ABCD lấy BE  BC ; tia đối tia CD lấy F BC Gọi I giao điểm AE BF Chứng minh A, B, I, C thuộc đường tròn cho CF  A H B G K E D Trang C I F Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 Gọi G giao điểm CI AB; H trung điểm AB, K giao điểm CH AI BI BE Ta có: BEI ∽ CEK  g  g      CK  2BI CK CE Mà BI = 2HK (Vì HK đường trung bình ABI ) Nên CK = 4HK CK 2BI BI Do đó:  mà CK = 2BI nên    CH CH CH GB BI Mà (hệ Thales)  GH CH GB GB GB BE nên   =  = mà = AB = BC nên GB = BE GH HB AB BC Xét GBC EBA , ta có:  BG  BE cmt      BC  BA  A BCD hình vuông   CBG  A BE  c  g  c   BCG  BA E   A BE  CBG  90    ECI  BA E Xét EI C EBA , ta có: CEI  A EB  góc đối đỉnh    EI C ∽ EBA  EI C  EBA  90    ECI  BA E  cmt  Vậy A, B, I, C thuộc đường tròn -HẾT - Trang Học Sinh Giỏi Lớp –Quận (2015-2016) ...  2015  2015  2015  2015 TH2: b = -c, đó:  2015 1 a b c a  b  c 2015     a 2015  b 2015  c 2015 a 2015 1   2015  2015  2015 2015  1 1 a b c b  2015  2015  2015  2015 TH3:... 1   2015  2015  2015 2015  1 1 a b c c TH1: a = -b, đó:   2015  2015  2015  2015 2015 1 a b c a  b  c 2015    a 2015  b 2015  c 2015 c 2015  1     2015 2015 2015 2015 ... THĂNG LONG 2015 -2016 HƯỚNG DẪN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2015- 20156) Bài 1 1 1 1    (a, b, c  0) Chứng minh 2015  2015  2015  2015 2015 a b c a bc a b c a  b  c2015 a)