Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Bài : Giải hệ phương trình :  x  y  x  y  102 2 x  y  a)  b)  ( x  y )( x  y  2)   x  xy  y  69 HD : 2 x  y  (1) a)  ( x  y )( x  y  2)  (2) Từ (1)  y=2x-7 thay vào (2) ta : (3x-7)(-x+5)=4  -3x2+22x-39=0 13 , y= Khi : x=3 , y=-1 x= 3   x  y   xy  x  y  102 b) Biến đổi hệ :  (là hệ đối xứng loại (I))  x  y  xy  69 Đặt ẩn phụ : S=x+y, P=xy S2-4P   S  P  S  102 (1) Ta có hệ đơn giản :   S  P  69 (2) Từ (2) P=69-S thay vào (1) ta : S2-2(69-S)=S+102  S2+S-240 =0  S=15, S=-16 i) S=15, P=54 => hệ có nghiệm : (x=9, y=6) (x=6, y=9) ii) S=-16,P=85 ( không thõa mãn) Bài : Giải hệ phương trình  x2  y  x a)  2  y  2x  y  x  xy  y  25 b)  xy  y  10  HD  x2  y  x a)  hệ đối xứng loại (II)  y  2x  y Trừ theo vế hai phương trình ta : 3(x2-y2)=7(x-y)  (x-y)(3x+3y-7)=0 x-y=0 3x+3y-7=0 i) x=y , hệ có nghiệm : x=y=0 , x=y=-7  3x ii) 3x+3y-7=0 => y  Khi : x2 x  21x  98  ( vô nghiệm )  x  xy  y  25 b)  ( hệ đẳng cấp ) xy  y  10  i) x=0 , y=0 không thõa mãn  x  2tx  t x  25 ii) x, y khác , đặt y=tx , hệ phương trình trở thành :  tx  t x  10   3t  t     2 (t  t ) x  10 Ta có : 3t2+t-2=0  t=-1, t=2/3 t=-1 không thõa mãn t=2/3 ta có (x=3, y=2) , (x=-3, y=-2) Bài : Giải hệ phương trình :  xy  y  y   a)  2  x  y  xy  x  y    x  y  xy  b)   x  xy   x  y HD : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định  xy  y  y   (1) a)  2  x  y  xy  x  y   (2) Từ phương trình (2) x  (4 y  3) x  y  y   ,   (4 y  3)2  4(4 y  y  2)  (2)  x   y  1, x   y  i) x   y  1, (  y  1) y  y  y    ( x  3  2 , y   ), ( x    2 , y   2) ii) x   y  2, (  y  2) y  y  y    ( x  3  5, y  1 ), ( x    5, y  1 )  x  y  xy  b)   x  xy   x  y Cọng theo vế ta : 2x2+ y2+3xy+9=3+7x+5y  y2 + (3x-5)y +2x2-7x+6=0 Ta có :   (3 x  5)2  4(2 x  x  6)  ( x  1) Khi : y= -x+2 , y=-2x+3 i) y=- x+2 , x2 +(2-x)2 +x(2-x)=3  x=y=1 ii) y=-2x+3 , x2 +(3-2x)2+x(3-2x)=3  (x=y=1),( x=3, y=-1 ) Vậy nghiệm hệ (1,1) ,(3,-1) Bài : Giải hệ phương trình     x3 x y 2   x  3x  y  x y a)  b)     x x y xy   y4  x3   y  3  HD :  x  y  x (1  y )  (1)  x4  3x2  y  x2 y a)     x  x  y  xy  x  y  x (2 y  1) (2)   Thay (2) vào (1) ta :  x (2 y  1)   x (1  y )   x (1  y )(2 y  4)  i) x=0=> y=0 ii) y=2=> x2-3x+2=0=> x=1,x=2 1 iii) y= => x2+ =0 vô nghiệm 2  x  y   x3  b)   y4  x3   y  3  1 Cộng theo vế ta : x  y   y  x   x  y 4 1 1  ( x  x  x  )  ( y  y  y  )   ( x  x  )2  ( y  y  )2  4 2   x  x         ,    x, y    2    y2  y     x=0, y=2, y= Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 1 3  , : t  t  , t  t  , t  2t  2 1 3  2 y     x  3 2 2  x  y  1 3  2 x    y 3 2 2 Ta có : x,y nghiệm phương trình : t  t    2 x  x  y   x  3        y4  x3   y  3 2 y    4  1     ,y => Nghiệm hệ :  x   2   Bài : Giải hệ phương trình   x  y  x y  xy  xy    xy  x   y a)  (A.08) b)  2 (B.09)  x y  xy   13 y  x  y  xy (2 x  1)    HD : 5   2  x  y  x y  xy  xy    x  y  xy ( x  y )  xy     a)   x  y  xy (2 x  1)    ( x  y )  xy     4 Đặt : u= u  x  y , v  xy   u  uv  v   Hệ phương trình trở thành :   u2  v    Trừ theo vế ta : u  uv  u   u  0, u  v  i) u  x  y  , v  xy   => hệ có nghiệm ( x  ,y 25 ) 16 ii) u  v  Khi : u  x  y   3 , v  xy   => hệ có nghiệm (x=1,y=  ) 2  xy  x   y b)  2  x y  xy   13 y x    7 x  y y  Ta có y=0 không thõa mãn , biến đổi hệ phương trình :   x  x   13  y y2 x Đặt u  x  , v  y y  uv7 hệ phương trình trở thành :   u  v  13 Cọng theo vế hệ ta : u2+u-20=0  u=-5, u=4 x i) u  x    5, v   12 vô nghiệm y y x ii) u  x   4, v    ( x  1, y  ), ( x  3, y   1) y y 3 Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Bài : Giải hệ phương trình 1  x   y  x y (A.03 a)   2y  x 1  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only  x  x  ( y  3)  y  b)  (A.10) 2  x  y   x  ) HD: 1  (1) x   y  x y a)  ( x,y khác 0)  y  x  (2)  1 1 )   y  x, y   Từ (1)  x   y    ( x  y )(1  x y xy x i) x=y 1  Ta có x3-2x+1=0  (x-1)(x2+x-1)=0  x=1 , x= 1  1  1  1  Nghiệm hệ : (x=1,y=1) , (x= ,y= ) , (x= , y= ) 2 2 ii) y   Ta có : x     x  x   x x Đặt f(x)=x4+x+2 , f’(x)=4x3+1 , f’(x)=0 x=  f ( x)  f ( )  Trong trường hợp vô nghiệm  x  x  ( y  3)  y  (1) b)  2  x  y   x  (2) ĐK : x  , y  2 Từ (1)  ((2 x )  1)2 x  (  y  1)  y  g (2 x )  g (  y ), g ( t )  t ( t  1) Hàm số g(t) xác định R , g’(t) =3t2+1>0 => g(t) đồng biến R  4x2 Khi :  y  x  x  0,  y  x  x  0, y  2   4x2  x  Thay vào : (2) ta :     4x    2   4x2  Xét hàm số h ( x )  x      x  , h ( )  , x thuộc (0,3/4) 2     4x2   3 h '( x )  x  x   0, x   0,    4x  4   Khi hệ có nghiệm (x=1/2 , y=2) b) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình :  x y  xy   y 1)   xy  x   y  x  xy  y  2)  2  xy  y  y  Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định xy  2 x  y  x  y  3)   x2  y  x  y   x  y  x  y  y 5)   x  y   x  y  xy   y 7)  2  y ( x  y)  x  y   x  x y  y 9)   x y  y  y Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only  ( x  1)( y  1)  10 z  2010 4)   ( xy  1)( x  y )  140 z  1985 2 x - x y  x y  6)  x y - x  xy  -1  x  y  xy  8)   x   y   2 x  2y  x  y  xy 9)  x 2y  y x   2x  2y Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Hướng dẫn tập  x   x y  xy   y  1)     xy  x   y  x  2) ĐK : y  2 x  7 y y x  5 y y  2 x  x  y   đưa hệ dạng hệ      x20  y y xy   1 x  y2   3)  x y  x  y  x2  y  2  1   x  y   x  y  xy   x  y  2u  u  v    2v  v  u    dk x  y  0 xy     x  y   xy  x  y   xy   x  y   x y    xy  x  y      x  y     x  y  x  y    xy    x  y  3   2  x  y  x  y    4) Đặt u=x+y, v=xy-1 Hệ phương trình trở thành : u2+v2+10z2=2010 , uv+140z=1985 Ta có (u-v)2= .=-10(z-14)2 => z=14 2 y  x  5) x  x  y  y  x  y  y  x   5 y  xy 2 (x  xy )   x y 6) Biến đổi hệ tương đương với  x y  (x  xy )  1 u   v x  xy  u *Đặt ẩn phụ  , ta hệ  x y  v v  u  1 *Giải hệ nghiệm (u;v) (1;0) (-2;-3) *Từ giải nghiệm (x;y) (1;0) (-1;0)  x2  x y 4  y  x  y  xy   y  7) Dễ thấy y  , ta có:   2  y(x  y)  2x  y  ( x  y )2  x    y x 1  uv   u  4v  v  3, u  , v  x  y ta có hệ:  Đặt u    y v  2u  v  2v  15  v  5, u  8) x  y  ( y  xy )   ( x  y )( x  y )   x 2 y 0   x 2 y  x  y  Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát , Bình Định Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 9) Nhận xét (0 ; 0) nghiệm hệ phương trình Xét y  , cho hai vế hệ phương trình cho y3 ta hê:  x 3  x        2 (1) y  y   y    x  (2)  y    y   x x thay (2) vào (1) ta         y  y x Đặt t =  t  t    (t  1)(t  2t  2)   t  1 y Với t = - => y = - x ta : x3 – x3 = - 2x => x = y = (loại) Vậy hệ phương có nghiêm (0;0) ... x,y nghiệm phương trình : t  t    2 x  x  y   x  3        y4  x3   y  3 2 y    4  1     ,y => Nghiệm hệ :  x   2   Bài : Giải hệ phương trình  ... http://www.foxitsoftware.com For evaluation only 9) Nhận xét (0 ; 0) nghiệm hệ phương trình Xét y  , cho hai vế hệ phương trình cho y3 ta hê:  x 3  x        2 (1) y  y   y ...  4   Khi hệ có nghiệm (x=1/2 , y=2) b) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình :  x y  xy   y 1)   xy  x   y  x  xy  y  2)  2  xy  y  y  Lê Quang Dũng – THPT số Phù Cát ,