ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY ROBOT HAI BẬC TỰ DO A SLIDING CONTROLLER FOR A TWO-LINK ROBOT ARM LÊ TẤN DUY Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Bài báo mô tả việc thiết kế điều khiển trượt cho hành trình tay máy robot hai bậc tự Bằng cách thay hàm signum hàm khuếch đại-tích phân (PI) bảo hòa, ta khử chattering cho tín hiệu điều khiển mà không gây sai lệch hoạt động hệ thống ABSTRACT This paper describes the design of a sliding mode controller for a two-link robot arm By replacing the signum function by a satured proportional-integral (PI), control chattering is eliminated without deterioration of the system Giới thiệu Lý thuyết điều khiển trượt phương pháp lớp biên để giải vấn đề chattering trình bày [1] Bài báo trình bày việc tính toán cấu trúc để điều khiển robot hai bậc tự áp dụng phương pháp thay hàm signum hàm PI-bão hòa Bộ điều khiển làm cho hệ thống hoạt động cách ổn định Tính hệ thống kiểm chứng kết mô với tay máy hai bậc tự quỹ đạo phẳng Mô tả toán học 2.1 Hệ phương trình động lực học Lagrange Sơ đồ cấu trúc động học tham số tay máy hai bậc tự vẽ hình 1: Y mt, Jt m2, J2 l1  lg1  m1, J1 lg2 l2 X Hình Cấu trúc động học tay máy hai khâu hai bậc tự đó: 1, 2 l1, l2 lg1, lg2 m1, m2 J1 , J2 mt , Jt Góc quay khâu Chiều dài hai khâu Chiều dài từ trục quay đến trọng tâm khâu Khối lượng toàn khâu Mômen quán tính khâu Khối lượng tải mômen quán tính tải Hệ phương trình động lực học Lagrange tay máy hai khâu có cấu trúc hình viết dạng ma trận sau [2]:  1   h 11     h    21 h 12    1  T 22  2T12   g1        h 22   2    T 12  g  (1) 1 2 mômen điều khiển tác động lên khâu khâu Các thành phần ma trận tính theo biểu thức đây: h 11  J  m1l 2g1  m (l12  l 2g  2l1l g C )  J  J t  m t (l12  l 22  2l1l C ) h 12  h 21  m (l g2  l1l g C )  J  J t  m t l 22 h 22  m l g2  J  J t  m t l 22 T  (m l1l g  m t l1l )S (2) g  m1gl g1C1  m g (l1C1  l g C12 )  m t g (l1C1  l C12 ) g  m gl g C12  m t gl C12 hii quán tính riêng khâu hij quán tính liên kết, Ci Si ký hiệu cosi sini (i = 1, 2) C12 ký hiệu cos(1+ 2) 2.2 Hệ phương trình trạng thái Đặt biến trạng thái cho khớp sau:   x 11  1  X          x 12  1   X   x 21       x     22     u    tín hiệu vào U       u     (3) (4) Hệ phương trình vi phân trạng thái khớp viết: Khớp 1: Khớp 2: x11  x 12     x  a (X )  b u   1j j  12  j1 x21  x 22     x  a (X )  b u   2j j  22  j1 (5) (6) Từ phương trình (1) đến (6), ta có hệ phương trình trạng thái khớp đây: Khớp 1: x11  x 12  1  2 x 12   D h 22 (Tx 22  2Tx 12 x 22 )  h 12 Tx 12  h 22 g1  h 12 g  D (h 22 u  h 12 u )  H H  x 11  x 12    2 x12  D  h 22 Tx 22  2h 22 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 22 g  h 12 g  h 22 u  h 12 u  H    (7)  Khớp 2: x21  x 22  1  2 x 22   D  h 12 (Tx 22  2Tx 12 x 22 )  h 12 Tx 12  h 12 g  h 11g  D ( h 12 u  h 11 u )  H H   x21  x 22    2 x22  D h 22 (Tx 22  2h 12 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 12 g1  h 11 g  h 12 u  h 11 u  H  (8)  Như mô hình tay máy robot hai bậc tự hệ đầu vào đầu ra, mô tả hai hệ nhỏ, hệ tương ứng với khớp 2, đặc trưng hai hệ phương trình vi phân trạng thái (7) (8) Các hệ phương trình dùng để mô hình hóa máy tính để tổng hợp luật điều khiển cho tay máy Thiết kế điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự 3.1 Thiết kế điều khiển kiểu trượt đơn Chọn mặt trượt cho khớp có dạng sau: Khớp S1 = C1.e11 + e12 = với e11 = x11d - x11 e12 = x12d - x12 (9) Khớp S2 = C2.e21 + e22 = với e21 = x21d - x21 e22 = x22d - x22 (10) Tín hiệu điều khiển cho khớp có dạng [1]: ˆ 1 C.e  uB qd  aˆ (q, q)  K sgn(S) Từ (3) (4), ta có:  u   h 11 h 12   C1 e 21   x21   aˆ (X)   K sgn(S1 )     u   h         12 h 22  C e 22   x22  aˆ (X ) K sgn(S )  hay viết cho khớp: (11) Khớp u  h 11 C1 e 21  x21  K sgn(S1 )  aˆ (X )  h 12 C e 22  x22  K sgn(S )  aˆ (X ) (12) Khớp u  h 12 C1 e 21  x21  K sgn(S1 )  aˆ (X)  h 22 C e 22  x22  K sgn(S )  aˆ (X) (13) S1 , S2 xác định theo công thức (9) (10) aˆ (X)   h 22 Tx 222  2h 22 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 22 g1  h 12 g DH aˆ (X )  h 12 Tx 222  2h 12 Tx 12 x 22  h 12 Tx 12  h 12 g  h 11g DH (14)     (15) với D H  h 11 h 22  h 12 3.2 Dùng phương pháp lớp biên để giải vấn đề chattering Như nói phần 3.1, thay hàm signum hàm bão hòa V(S/), tín hiệu điều khiển viết lại sau: ˆ 1 C.e  uB qd  aˆ (q, q)  K.V (S / )   S /   1  V(S / )  S /    S /    S/    với: K ma trận (n x n) xác định dương chọn đủ lớn để đảm bảo điều kiện trượt thỏa mãn dù có tồn nhiễu tham số không xác định Tương tự cách khai triển phần 3.1, ta có tín hiệu điều khiển cho khớp: Khớp     u  h 11 C1 e 21  x21  K V S1    aˆ (X)  h 12 C e 22  x22  K V S    aˆ (X )  1  2     (16) Khớp     u  h 12 C1 e 21  x21  K V S1    aˆ (X)  h 22 C e 22  x22  K V S    aˆ (X)         (17) aˆ (X), aˆ (X) xác định theo (14) (15) 3.3 Bộ điều khiển trượt dùng hàm bão hòa-PI Sử dụng hàm bão hòa-PI, tín hiệu điều khiển có dạng: ˆ 1 C.e  uB qd  aˆ (q, q)  K.(S) S  S1 , S  K chọn mục 3.2 (Si) với i = 1,2 hàm bão hòa-PI định nghĩa sau: T  sgn(Si ) Si   i  t (Si )   S i  I i  Si  dt   i  S i   i  ti  i (18) Ii hệ số tích phân dương [1] Ta có tín hiệu điều khiển cho khớp: Khớp u  h 11 C1 e 21  x21  K (S1 )  aˆ (X)  h 12 C e 22  x22  K (S )  aˆ (X ) (19) Khớp u  h 12 C1 e 21  x21  K (S1 )  aˆ (X )  h 22 C e 22  x22  K (S )  aˆ (X ) (20) aˆ (X), aˆ (X) xác định theo (14) (15) Các kết mô nhận xét Ta thực mô tay máy hai bậc tự có tham số sau: Khâu Khâu l (m) 0,4 0,25 lg (m) 0,2 0,125 m (kg) 21,8 15 J (kg.m2) 0,728 0,196 Việc mô thực với trường hợp có tải (khối lượng tải mt = 10 kg mômen quán tính tải Jt = 0,1 kg.m2) hàm signum, bão hòa (sat) bão hòa-PI (sat-PI) sử dụng điều khiển 4.1 Hàm signum Khâu Khâu 4.2 Hàm sat Khâu Khâu 4.3 Hàm sat-PI Khâu Khâu Nhận xét: Việc sử dụng hàm sat sat-PI bảo đảm loại bỏ tượng chattering Nhưng hàm sat-PI bảo đảm sai số quỹ đạo nhỏ so với hàm sat đặc biệt hàm sat-PI đạt tính ổn định tín hiệu điều khiển điểm không, hàm sat điều (nhận xét thể rõ hình vẽ mặt trượt khâu 2) Kết luận Phương pháp điều khiển kiểu trượt ứng dụng cho tay máy hai bậc tự trình bày Tín hiệu điều khiển tính chọn để đảm bảo hệ thống kín ổn định bền vững nhiễu tải thay đổi thông số đối tượng điều khiển, phương pháp lớp biên ứng dụng để loại bỏ tượng chattering tín hiệu điều khiển trạng thái hệ thống mặt trượt Khi sử dụng hàm PI bão hòa (sat-PI) điều khiển thay cho hàm signum hàm sat, kết mô cho thấy, thay đổi tải trọng nhiễu loạn có giới hạn cho tay máy hệ điều khiển trượt giữ tính ổn định, khử tượng chattering tín hiệu điều khiển giảm sai số quỹ đạo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Lê Tấn Duy, Thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003 K.S Fu Robotics, Control, Sensing, vision and intelligence, Graw Hill, Inc 1987 Y.Itkis, Control systems of variable structure, New York, Wiley, 1976 V.A.Utkin, Sliding modes and their application in variable structure systems, Moscow, Mir 1987 J.J.E Slotine and S.S Satry, Tracking control of nonlinear systems using sliding surface with application to robot manipulator, Int J Control, vol 38, no , pp 465492, 1983 M.W.Spong.M.Vidyasagar, Robot Dynamics and Control, John Whiley & Sons, Inc America 1989 J.J.E Slotine and W.Li, Applied nonlinear control, Prentiee Hall, Englewood Cliff, New Jersey, 1991 J.J.E Slotine and S.Asada, Robot analysis and control, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley& Sons, Inc 1986 S.L.Salas, Einar Hill, Calculus one and several variables, New York, Wiley 1990  ... hóa máy tính để tổng hợp luật điều khiển cho tay máy Thiết kế điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự 3.1 Thiết kế điều khiển kiểu trượt đơn Chọn mặt trượt cho khớp có dạng sau: Khớp S1... tín hiệu điều khiển điểm không, hàm sat điều (nhận xét thể rõ hình vẽ mặt trượt khâu 2) Kết luận Phương pháp điều khiển kiểu trượt ứng dụng cho tay máy hai bậc tự trình bày Tín hiệu điều khiển tính... [4] [5] [6] [7] [8] [9] Lê Tấn Duy, Thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003 K.S Fu Robotics, Control, Sensing, vision and intelligence,