wWw.VipLam.Info S GD T BèNH NH TRNG THPT CHUYấN Lấ QUí ễN K THI TH I HC NM HC 2009-2010 (ln 2) Mụn: Toỏn Khi A, B, V Thi gian lm bi: 180 phỳt Ngy thi: 03/04/2010 I PHN CHUNG CHO TT C TH SINH: ( im) 2x Cõu I: (2 im) Cho hm s y = x +1 Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s Chng minh rng ng thng d: y = - x + l truc i xng ca (C) Cõu II: (2 im) x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + Gii phng trỡnh: =0 2sinx - Gii bt phng trỡnh: x x + 2.log x x x + 2.(5 log x 2) Cõu III: ( im) Gi (H) l hỡnh phng gii hn thi (C) ca hm sụ y = x3 2x2 + x + v tip tuyn ca (C) ti im cú honh x0 = Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay c to thnh quay hỡnh phng (H) quanh trc Ox Cõu IV: (1im) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.ABC cú cnh ỏy bng a Bit khong cỏch gia hai a 15 ng thng AB v AC bng Tớnh th tớch ca lng tr Cõu V:(1im) Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim: (2 x + 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1) (2) y-1 ( y + 1)( x 1) + m x + = II PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt hai phn (Phn hoc phn Phn 1: Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: ( im) Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C): x2 + y2 = 1; v phng trỡnh: x2 + y2 2(m + 1)x + 4my = (1) Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca ng trũn vi mi m.Gi cỏc ng trũn tng ng l (Cm) Tỡm m (Cm) tip xỳc vi (C) x y + z = = v mt phng (P): 2x + y 2z + = Trong khụng gian Oxyz cho ng thng d: 1 Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm nm trờn d, tip xỳc vi mt phng (P) v i qua im A(2; - 1;0) Cõu VII.b: ( im) Cho x; y l cỏc s thc tho x2 + y2 + xy = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc P = 5xy 3y2 Phn 2: Theo chng trỡnh nõng cao: Cõu VI.b: ( im) x y z = = 1.Trong khụng gian Oxyz cho im A(3;2;3) v hai ng thng d1 : v 1 x y z d2 : = = Chng minh ng thng d1; d2 v im A cựng nm mt mt phng Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC 2.Trong mt phng Oxy cho elip (E) cú hai tiờu im F1 ( 3;0); F2 ( 3;0) v i qua im A 3; ữ Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu thc: P = F1M2 + F2M2 3OM2 F1M.F2M wWw.VipLam.Info Cõu VII.b:( im) Tớnh giỏ tr biu thc: 2k 2008 2010 S = C2010 3C2010 + 32 C2010 + + (1) k C2010 + + 31004 C2010 31005 C2010 Ht -Hng dn gii Cõu I: x = X Giao im hai tim cn I(- 1;2) Chuyn h trc to Oxy > IXY: y = Y + Hm s ó cho tr thnh : Y = hm s ng bin nờ (C) i xng qua ng thng Y = - X X Hay y = - x y = - x + x Cõu II: iu kin: s inx v cos v cosx 2 cosx = Bin i pt v: 4cos x - cos x cosx + = cosx = 2 iu kin < x < hoc x x x + 2.log x x x + 2.(5 log x 2) log 22 x 5log x + log x Nghim: < x < hoc x Cõu III: Phng trỡnh tip tuyn : y=x+4 x = Phng trỡnh honh giao im: x3 2x2 = x = 2 0 2 V = ( x + 4) dx ( x x + x + 4) dx Cõu IV: Gi M; M ln lt l trung im ca AB v AB H MH MC AB // (ABC) ==> d(AB,AC) = MH a 15 a 15 HC = ; MC = ; MM = a 10 3 Vy V = a Cõu V: t f(x) = (2x + 1)[ln(x + 1) lnx] TX: D = [0;+) x +1 = (2 x + 1) ln x Gi x1; x2 [0;+) vi x1 > x2 x1 + > x2 + > x2 + Ta cú : x1 + f ( x1 ) > f ( x2 ) : f(x) l hm s tng ln > ln > x1 x2 T phng trỡnh (1) x = y wWw.VipLam.Info (2) x ( x 1)( x + 1) + m x + = x x 24 +m=0 x +1 x +1 x ==> X < x +1 Vy h cú nghiờm phng trỡnh: X2 2X + m = cú nghim X < t f(X) = X2 2X == > f(X) = 2X ==> h cú nghiờm -1 < m Cõu VI.a (C) cú tõm O(0;0) bỏn kớnh R = 1, (Cm) cú tõm I(m +1; -2m) bỏn kớnh R ' = (m + 1) + 4m + t X = OI = (m + 1) + 4m , ta cú OI < R Vy (C) v (Cm) ch tip xuc trong.==> R R = OI ( vỡ R > R) Gii m = - 1; m = 3/5 Gi I l tõm ca (S) ==> I(1+t;t 2;t) Ta cú d(I,(P)) = AI == > t = 1; t = 7/13 (S1): (x 2)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 = 1; (S2): (x 20/13)2 + (y + 19/13)2 + (z 7/13)2 = 121/139 Cõu VII.a xy y P= x + xy + y Vi y = ==> P = 5t Pt + ( P 5)t + P + = (1) Vi y t x = ty; ta cú: P = t + t +1 + P = thỡ phng trỡnh ( 1) cú nghim t = 3/5 + P thỡ phng trỡnh ( 1) cú nghim v ch = - P2 22P + 25 - 25/3 P T ú suy maxP , minP Cõu VI.b: r d1 qua M0(2;3;3) cú vect ch phng a = (1;1; 2) r d2 qua M1(1;4;3) cú vect ch phng b = (1; 2;1) urr r r r uuuuuur Ta cú a,b va a, b M M = (d1,d2) : x + y + z = ==> A (d1,d2) t +5 t +5 ; ;3 t ữ d2 ==> t = - ==> M(2;2;4) B(2 + t;3 + t;3 - 2t); M uuur r C( 1+t;4-2t;;3+t) : AC a ==> t = ==> C(1;4;2) x2 y x2 y 2 2 (E): + = + = , a = b + ==> + =1 a b a 4b 2 P = (a + exM)2 + (a exM)2 2( xM + yM ) (a2 e2 xM ) = Cõu VII.b: ( Ta cú: + i ( M + i Vy ) ) 2010 2010 ( ( + i + i ) ) 2010 2k 2008 2010 = ( C2010 3C2010 + 32 C2010 + + (1) k 3k C2010 + + 31004 C2010 31005 C2010 ) 2010 2010 -2010 -2010 + sin ) + 2010 cos + sin ữ 3 3 2010 2010 = 2.2 ( cos670 ) = 2.2 S = 22010 - 2010 = 22010 (cos wWw.VipLam.Info S GD & T Hng Yờn Trng THPT Minh Chõu THI TH VO I HC LN Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt Ngy thi: 10/1/2010 bi Cõu I (2.0 im) Cho hm s y = x 2mx + m (1) , vi m l tham s thc 1.Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) m = 2.Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng Cõu II : ( 2, im) Gii cỏc phng trỡnh 4sin x.cos3x + 4co s3 x.sin 3x + 3cos4x = log (x + 5x + 6) + log (x + 9x + 20) = + log Cõu III:( 1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 3a , BD = 2a v ct ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng a , tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a Cõu IV :( 2, im) Tính tích phân sau: I = cos x.cos 2 x.dx Cho số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z Chứng minh rằng: xy 625 z + + 15 yz x + + zx 81 y + 45 xyz Cõu V :(2,0 im) Trong mt phng (Oxy), cho ng trũn (C ): 2x + 2y 7x = v hai im A(-2; 0), B(4; 3) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca (C ) ti cỏc giao im ca (C ) vi ng thng AB Cho hm s y = 2x + (m + 1)x Tỡm cỏc giỏ tr ca m cho tim cn ca th hm s x+m tip xỳc vi parabol y = x2 +5 wWw.VipLam.Info log ( 3x +1) log 9x1 +7 + Cõu VI :(1,0 im) Cho khai trin ữ Hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x bit rng s hng th khai trin ny l 224 ***Ht*** P N MễN TON (ỏp ỏn- Thang im gm 04 trang) Cõu Ni dung I 1.(1 im) Khi m = hm s tr thnh: y = x x TX: D= Ă (2im) im x = x = ' S bin thiờn: y = x x = x ( x 1) = yCD = y ( ) = 0, yCT = y ( 1) = Bng bin thiờn x - y 0.25 -1 y 0 + 0.25 + + + + -1 -1 0.25 th f (x) = x4-2x2 -10 -5 10 -2 -4 -6 -8 0.25 wWw.VipLam.Info x = ' 2 (1 im) y = x 4mx = x ( x m ) = x = m Hm s ó cho cú ba im cc tr pt y ' = cú ba nghim phõn bit v y ' i du x i qua cỏc nghim ú m > Khi ú ba im cc tr ca th hm s l: ( ) ( A ( 0; m 1) , B m ; m + m , C yB y A xC xB = m m ; AB = AC = m + m , BC = m m = m4 + m ) m ( AB AC.BC R= =1 = m 2m + = m = SVABC 4m m (2,0 0.25 SVABC = Cõu II ) m ; m + m 0.25 0.25 0.25 (1,0 im) Phng trỡnh ó cho tng ng vi phng trỡnh : Phng trỡnh : sin x.cos3x + 4co s x.sin 3x + 3 co s4x = 4[(1 co s x) sin x.cos3x + (1 sin x)co s x.sin 3x ] + 3 co s4x = 4[( sin x.cos3x + co s x.sin 3x) cos x sin x(co sx.cos3x + sin x.sin 3x)] + 3 co s4x = 1 4[ sin 4x sin 2x.co s2x ] + 3 co s4x = sin 4x sin 4x ữ+ 3 co s4x = 3sin 4x + 3 co s4x = sin 4x + co s 4x = sin(4x + ) = sin 2 4x + = + k2 4x + = + k2 4x = + k2 x = 24 + k (k Z) 4x + = + k2 4x + = + k2 4x = + k2 x = + k 6 0,50 sin 4x + co s4x = 0,50 ỏp ỏn im 2.(1,0 im) PT log (x + 5x + 6) + log (x + 9x + 20) = + log (*) + iu kin x < x < x > x + 5x + > < x < : x < x > x + 9x + 20 > x > , v cú : 0,25 + log = log 24 + PT (*) 2 (x + 5x + 6)(x + 9x + 20) = 24 log (x + 5x + 6)(x + 9x + 20) = log 24 (x < 5) ( < x < 3) (x > 2) (x < 5) ( < x < 3) (x > 2) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 24 (*) (x < 5) ( < x < 3) (x > 2) (**) 0,25 0,25 + t t = (x + 3)(x + 4) = x + 7x +12 (x + 2)(x + 5) = t , PT (*) tr thnh : t(t-2) = 24 (t 1) = 25 t = t = t=6: x = x + 7x +12 = x + 7x + = ( tha x = : x + 7x +12 = x + 7x +16 = : vụ nghim kin (**)) 0,25 t=-4 + Kt lun : PT cú hai nghim l x = -1 v x = - Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a wWw.VipLam.Info Cõu III (1,0 im) T gi thit AC = 2a ; BD = 2a v AC ,BD vuụng gúc vi ti trung im O ca mi ng chộo.Ta cú tam giỏc ABO vuụng ti O v AO = a ; BO = a , ã B D = 600 ú A Hay tam giỏc ABD u T gi thit hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) nờn giao tuyn ca chỳng l SO (ABCD) 0,25 Do tam giỏc ABD u nờn vi H l trung im ca AB, K l trung im ca HB ta cú DH AB v DH = a ; OK // DH v OK = a OK AB AB DH = 2 0,25 (SOK) Gi I l hỡnh chiu ca O lờn SK ta cú OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI l khong cỏch t O n mt phng (SAB) Tam giỏc SOK vuụng ti O, OI l ng cao S 1 a = + SO = 2 OI OK SO 0,25 Din tớch ỏy S ABC D = 4S ABO = 2.OA.OB = 3a ; a ng cao ca hỡnh chúp SO = Th tớch chúp S.ABCD: VS ABC D IV (1,0 = S ABC D SO = I D O 3a 3 C a A 3a B K H 0,25 Cho số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z Chứng minh rằng: xy im) 4 625 z + + zx 81 y + + 15 yz x + 45 xyz Bất đẳng thức x2 + + + y + 25 z + 2 9y x 25 z 2 x VT ( x + y + z ) + ( + 45 36 2 + ) 9(.3 x.3 y.5 z ) + 3 y 5z ( x.3 y.5 z ) 0,25 Đặt t = ( x.3 y.5 z ) ta có x + y + 5z ( x.3 y.5 z ) = t 0,25 wWw.VipLam.Info Điều kiện < t Xét hàm số f(t)= 9t + 36 36 36 = 36t + 27t 36t 27 =45 t t t 0,25 Dấu xảy khi: t=1 hay x=1; y= 1 ; z= 0,25 1.(1,0 im) 1/ + ng trũn (C ) : 7 65 2x + 2y 7x = x + y x = x ữ + y = 16 (C ) cú tõm I ;0 ữ v bỏn kớnh R = 65 + ng thng AB x+2 y x+2 = , hay : y = vi A(-2; 0) v B(4; 3) cú phng trỡnh 0,25 + Giao im ca (C ) vi ng thng AB cú ta l nghim h PT x+2 2x + 2y 7x = 2x + 5x(x 2) = ữ 7x = x = 0; y = x+2 x+2 x = 2; y = y = y = x + y = Vy cú hai giao im l M(0; 1) v N(2; 2) 0,25 uuur + Cỏc tip tuyn ca (C ) ti M v N ln lt nhn cỏc vect IM = ;1ữ v uur IN = ; ữ lm cỏc vect phỏp tuyn , ú cỏc TT ú cú phng trỡnh ln lt l : (x 0) + 1(y 1) = , hay : 7x 4y + = (x 2) + 2(y 2) = , hay : x + 8y 18 = 2/ Cho hm s y = 2x + (m + 1)x Tỡm cỏc giỏ tr ca m cho tim cn ca x+m 0,50 im th hm s tip xỳc vi parabol y = x +5 2x + (m + 1)x xỏc nh vi mi x m x+m m2 m Vit hm s v dng y = 2x + m + x+m 13 + TH1 : m m = m = : Cú hm s bc nht y = 2x + m ( x m Hm s y = 0,25 0,25 ) : th khụng cú tim cn + TH2 : m m m 13 : th hm s cú tim cn ng l ng 0,25 thng (d1) x = -m wWw.VipLam.Info v tim cn xiờn l ng thng (d2) y = 2x + - m + ng thng (d1) x = - m luụn ct parabol parabol y = x2 +5 ti im (-m ; m2 +5) ( vi mi m 13 ) v khụng th l tip tuyn ca parabol + Tim cn xiờn (d2) y = 2x + - m tip xỳc vi parabol y = x2 +5 PT x2 +5 = 2x + - m , hay PT x2 2x + +m = cú nghim kộp ' = 1-(4 + m) = m = ( tha iu kin) Kt lun : m = -3 l giỏ tr cn tỡm 0,25 log ( 3x +1) x (1,0 im) Cho khai trin 2log2 +7 + ữ Hóy tỡm cỏc giỏ tr ca x bit rng s hng th khai trin ny l 224 log ( 3x +1) log2 9x1 +7 + ữ a = 2log2 9x + = ( x + ) k =8 k k k Ta cú : ( a + b ) = C8 a b vi k =0 ; b=2 ( ) log 3x +1 = ( 3x + 1) 0,25 + Theo th t khai trin trờn , s hng th sỏu tớnh theo chiu t trỏi sang 1 phi ca khai trin l T6 = C ( 9x + ) ữ ( 3x + 1) ữ = 56 ( x + ) ( 3x + 1) x +7 + Theo gi thit ta cú : 56 ( 9x + ) ( 3x + 1) = 224 x = 9x + = 4(3x + 1) +1 3x = x = ( 3x ) 4(3x ) + = x = x = 0,25 0,25 0,25 Ht - ... C2010 + + 31004 C2010 31005 C2010 ) 20 10 20 10 -20 10 -20 10 + sin ) + 20 10 cos + sin ữ 3 3 20 10 20 10 = 2. 2 ( cos670 ) = 2. 2 S = 22 010 - 20 10 = 22 010 (cos wWw.VipLam.Info... 4b 2 P = (a + exM )2 + (a exM )2 2( xM + yM ) (a2 e2 xM ) = Cõu VII.b: ( Ta cú: + i ( M + i Vy ) ) 20 10 20 10 ( ( + i + i ) ) 20 10 2k 20 08 20 10 = ( C2010 3C2010 + 32 C2010 + + (1) k 3k C2010... M = (d1,d2) : x + y + z = ==> A (d1,d2) t +5 t +5 ; ;3 t ữ d2 ==> t = - ==> M (2; 2;4) B (2 + t;3 + t;3 - 2t); M uuur r C( 1+t;4-2t;;3+t) : AC a ==> t = ==> C(1;4 ;2) x2 y x2 y 2 2 (E): +