ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - VŨ TUẤN ANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội − 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - VŨ TUẤN ANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Hà Nội − 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dạng chuẩn Hecmit 1.2 Ma trận đơn môđula 10 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 14 2.1 Ước chung lớn 14 2.2 Thuật tốn Ơ-clít mở rộng 17 2.3 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 23 2.4 Một số ứng dụng phương trình Đi-ơ-phăng 29 Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 32 3.1 Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 32 3.2 Điều kiện tồn nghiệm nguyên 34 3.3 Thuật toán Hecmit 36 3.4 Nghiệm ngun dương hệ phương trình Đi-ơ-phăng 38 3.5 Quy hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính (Linear Diophantine Equations) mang tên nhà tốn học cổ Hy Lạp Đi-ơ-phăng xứ Alexandria vào khoảng Thế kỷ thứ sau Cơng ngun Đi-ơ-phăng viết chun luận có tên “Arithmetica”, sách sớm biết lý thuyết số đại số Phương trình Đi-ơ-phăng phương trình đại số địi hỏi tìm nghiệm hữu tỉ nguyên Phương trình đại số phương trình bao gồm biểu thức đa thức nhiều biến Tính “Đi-ơ-phăng” phương trình chỗ hệ số đa thức phải số hữu tỉ (hoặc số nguyên) nghiệm số hữu tỉ (hoặc số nguyên) Hai phương trình quen biết từ lý thuyết số sơ khai, có từ trước thời Đi-ơ-phăng ví dụ phương trình Đi-ơ-phăng Cả hai loại phương trình người Babylon biết đến Đó Phương trình bậc (tuyến tính), hai biến ax + by = c Phương trình bậc hai (phi tuyến), ba biến x2 + y = z Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày thuật tốn Ơ-clít tìm nghiệm ngun phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính n biến có dạng a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b, a1 , a2 , , an , b số hữu tỉ thuật tốn Hecmit tìm tất nghiệm ngun hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b với ma trận A véctơ b hữu tỉ Luận văn chia thành ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại khái niệm đại số dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn môđula, liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Đáng ý ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit nhờ phép biến đổi cột ma trận, dạng chuẩn Dạng chuẩn Hecmit lại có quan hệ với ma trận đơn mơđula (ma trận ngun, khơng suy biến có định thức +1 hay −1) Với ma trận hữu tỉ A có hạng số hàng ln tồn ma trận đơn môđula U cho AU dạng chuẩn Hecmit A Nêu cách đưa ma trận dạng chuẩn Hecmit, cách tìm ma trận đơn mơđula tương ứng đưa ví dụ số minh họa cách làm Chương "Phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính" đề cập tới phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính hai hay nhiều biến số Chương trình bày nhiều định nghĩa định lý cần thiết cho việc tìm tất nghiệm ngun phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Đó khái niệm ước chung lớn nhất, thuật tốn Ơ-clít, thuật tốn Ơ-clít mở rộng Đưa ví dụ số tính tốn chi tiết giúp hiểu rõ định nghĩa định lý Cuối chương đề cập đến số ví dụ ứng dụng thực tế phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Chương "Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính" đề cập tới hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm nguyên, dựa kết lý thuyết dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn mơđula nêu Chương Sau đó, trình bày thuật tốn Hecmit tìm tất nghiệm ngun hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Cuối chương đề cập tới nghiệm ngun dương hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng Các thuật tốn tìm nghiệm ngun hay ngun dương có kèm theo ví dụ số để minh họa Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn cịn có thiếu sót định Vì vậy, tác giả mong muốn tiếp thu chân thành cám ơn ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu hướng dẫn tận tình tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt năm tháng tác giả học tập trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Vũ Tuấn Anh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn mơđula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Mục 1.1 nói dạng chuẩn Hecmit: ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit, dạng chuẩn Mục 1.2 nói tới ma trận đơn mơđula: với ma trận hữu tỉ A có hạng số hàng tồn ma trận đơn môđula U cho AU dạng chuẩn Hecmit A Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3] [4] 1.1 Dạng chuẩn Hecmit Định nghĩa 1.1 Một ma trận cấp m × n có hạng số hàng ma trận gọi dạng chuẩn Hecmit (Hecmit normal form) nếu: • Ma trận có dạng [BO], B ma trận cấp m × m có nghịch đảo; • B có dạng tam giác dưới; • Các phần tử đường chéo B dương; • Mọi phần tử khác B không âm; Chương Kiến thức chuẩn bị • Phần tử lớn hàng B nằm đường chéo B , cịn O ma trận khơng cấp m × (n − m) Sau ví dụ ma trận dạng chuẩn Hecmit: 0 0 0 0 Định nghĩa 1.2 Các phép toán sau ma trận gọi phép toán cột sơ cấp (elementary column operations): a) Đổi chỗ hai cột; b) Nhân cột với −1 (tức đổi dấu cột); c) Thêm bội nguyên cột vào cột khác Định lý 1.1 (Dạng chuẩn Hecmit, [4] Định lý 4.1, tr 45) Mọi ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit cách thực phép toán cột sơ cấp Chứng minh Giả sử A ma trận hữu tỉ với hạng số hàng Khơng giảm tổng qt, xem A ma trận với phần tử nguyên Giả sử ta biến đổi A (bằng cách thực phép toán cột sơ cấp) dạng B O C D , B có dạng tam giác phần tử đường chéo số dương Bây dùng phép tốn cột sơ cấp, ta biến đổi D hàng đầu D[d11 d12 d1k ] không âm cho tổng d11 + d12 + + d1k nhỏ Ta giả thiết d11 ≥ d12 ≥ ≥ d1k Khi d11 > (do A có hạng số hàng) Hơn nữa, d12 > cách lấy cột thứ D trừ cột thứ hai D, hàng thứ có tổng nhỏ hơn, trái với giả thiết vừa nêu Do d12 = = d1k = ta nhận ma trận tam giác lớn Chương Kiến thức chuẩn bị Bằng cách lặp lại thao tác này, cuối ma trận A biến đổi thành [BO] với B = (bij ) ma trận tam giác với đường chéo dương Tiếp theo, ta biến đổi ma trận B sau Với hàng i = 2, , m (m × m cấp B ), thực động tác sau với cột j = 1, , i − 1: thêm bội nguyên cột i vào cột j cho phần tử (i, j) không âm nhỏ bii Như vậy, thao tác áp dụng theo thứ tự: (i, j) = (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), Có thể thấy sau số phép biến đổi cột sơ cấp này, ma trận A đưa dạng chuẩn Hecmit Ví dụ 1.1 Đưa ma trận sau dạng chuẩn Hecmit A = −5 Ta có B = ∅, D = A Ta biến đổi D sau: cột trừ hai lần cột 1, cột trừ hai lần cột đổi chỗ hai cột ta nhận ma trận 0 1 0 A → −5 16 → −9 16 → −9 16 Tiếp đó, nhân cột với −1, cột trừ cột 2, cột trừ cột cột trừ ba lần cột 2, ta nhận ma trận 0 0 0 0 → 16 → → 2 → 2 Tiếp theo, cột trừ hai lần cột đổi chỗ hai cột 2, ta ma trận 0 0 → → ⇒ B = , (C = D = ∅) Cuối cùng, ta biến đổi B sau: với i = 2, lấy cột j = i − = trừ hai lần cột i = 2, ta ma trận B không âm, dạng tam giác dưới, không suy biến hàng B có phần tử lớn nằm Chương Kiến thức chuẩn bị đường chéo Từ nhận dạng chuẩn Hecmit [BO] ma trận A ban đầu: B= [BO] = 0 Trước nêu hệ Định lý 1.1, ta nhắc lại khái niệm nhóm (group) dàn (lattice) Định nghĩa 1.3 Tập hợp G ⊂ Rn gọi nhóm (cộng tính) có (i) θ ∈ G (nhóm chứa phần tử khơng); (ii) Nếu x, y ∈ G x + y ∈ G −x ∈ G (tổng phần tử thuộc nhóm phần tử đối phần tử thuộc nhóm phải phần tử thuộc nhóm) Ta nói nhóm sinh véctơ a1 , a2 , , am ∈ Rn G = {λ1 a1 + + λm am |λ1 , , λm ∈ Z} Định nghĩa 1.4 Nhóm G gọi dàn G sinh véctơ độc lập tuyến tính Khi đó, tập hợp véctơ gọi sở (basic) dàn Nhận xét 1.1 Nếu ma trận B nhận từ ma trận A phép tốn cột sơ cấp cột B cột A sinh nhóm Sau hệ đáng ý Định lý 1.1 Hệ 1.1 Nếu a1 , a2 , , am véctơ hữu tỉ nhóm sinh a1 , a2 , , am dàn, nghĩa nhóm sinh véctơ độc lập tuyến tính Chứng minh Ta giả thiết a1 , a2 , , am sinh tồn khơng gian Rn , trái lại ta áp dụng phép biến đổi tuyến tính khơng gian có số chiều thấp Giả sử A ma trận với cột a1 , a2 , , am , dó A có hạng số hàng A Giả sử [BO] dạng Chương Phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Biến x, y z phải lớn Vì ta tìm giá trị n k cho x = 47 + 5k > 0, y = + 2n − 3k > z = −n > với n, k ∈ Z (2.6) Các bất phương trình cho thấy n < 0, k > −10 2n − 3k > −2 với n, k ∈ Z Ta thử tìm n k nguyên thỏa mãn điều kiện nêu Chẳng hạn, 2n − 3k > −2 hay 3k < 2n + Ta biết n số âm Vì vậy, đặt n = −1 vào 2n − 3k > −2, ta k < Do đó, miền giá trị k −10 < k < Tiếp tục trình Chọn n = −2 cho kết k < Với n = −3 có k < −2 tiếp tục tính tốn thế, với n = −16 có k < −10 Kết sai k phải lớn −10 Vì vậy, miền giá trị n cần −15 ≤ n ≤ −1 Và miền giá trị k −9 < k < −1 Nếu chọn n = −14 thấy k −9 Đặt giá trị vào (2.6), ta tìm x = 47+5×(−9) = 2, y = 2+2×(−14)−3×(−9) = z = −(−14) = 14 Vì vậy, Peter mua cá, mèo 14 chó phải trả 151 euro Chọn n cho −15 ≤ n ≤ −1, k phụ thuộc n 31 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Chương đề cập tới hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính: điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm ngun, thuật tốn tìm nghiệm riêng nghiệm tổng quát hệ Cuối chương đề cập tới nghiệm ngun dương hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1] − [4] 3.1 Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Cho ma trận hữu tỉ A cấp m × n (tức ma trận với phần tử hữu tỉ) véctơ hữu tỉ b với m thành phần, tìm véctơ nguyên x cho Ax = b (3.1) Ta viết lại hệ dạng chi tiết sau: Tìm x1 , x2 , , xn nguyên thỏa mãn  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2    am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm a11 , a12 , , amn b1 , b2 , , bm số hữu tỉ (1 ≤ m ≤ n) 32 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Để làm ví dụ hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính, ta nhắc lại toán cổ, quen thuộc với nhiều người yêu thích mơn Tốn: "Vừa gà vừa chó có 36 con, bó chúng lại cho trịn, đếm đủ 100 chân Hỏi có gà, chó?" Bài tốn có cách giải số học (suy luận) đơn giản Bằng cơng cụ đại số, ta đặt giải toán sau Gọi x số gà y số chó Khi tốn mơ tả hai phương trình hai ẩn số: x + y = 36 2x + 4y = 100 Hệ phương trình giải theo nhiều cách, có lẽ đơn giản dùng phương pháp thế: từ phương trình đầu suy x = 36 − y, biểu thức x vào phương trình sau ta 2(36 − y) + 4y = 100 ⇔ 72 − 2y + 4y = 100 ⇔ −2y + 4y = 100 − 72 ⇔ 2y = 28 hay y = 14 Cuối cùng, y = 14 vào biểu thức x = 36 − y ta nhận x = 22 Như vậy, có tất 22 gà 14 chó Dễ kiểm tra lại giá trị thỏa mãn hai phương trình mơ tả tốn ban đầu Tổng qt, ta cần tìm thuật tốn đưa tất nghiệm ngun hệ phương trình Ax = b Vấn đề trở nên đơn giản ta biết nghiệm đơn x ¯ thỏa mãn A¯ x = b Mọi việc cịn lại cần làm tìm khơng gian nghiệm S hệ tuyến tính Ax = θ Khi đó, tập nghiệm hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b x ¯ + S Trước hết, ta giả thiết A có hạng số hàng nó, trái lại (rank(A) < m) ta cần giữ lại hàng A độc lập tuyến tính loại bỏ hàng phụ thuộc tuyến tính Hơn nữa, ta giả thiết phần tử A nguyên (chỉ cần nhân A với bội số chung 33 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính nhỏ mẫu số cuối cùng, chia nghiệm tìm cho bội số chung đó) Dạng chuẩn Hecmit A chìa khóa để ta tìm nghiệm hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b 3.2 Điều kiện tồn nghiệm nguyên Sau điều kiện cần đủ để hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b có nghiệm nguyên Định lý 3.1 ([4] Hệ 4.1a, tr 46) Giả sử A ma trận hữu tỉ có hạng số hàng A b véctơ cột hữu tỉ Khi đó, hệ Ax = b có nghiệm nguyên x yb số nguyên véctơ hàng hữu tỉ y mà yA véctơ nguyên Chứng minh (⇒) Điều kiện cần hiển nhiên, x yA véctơ nguyên Ax = b yb = y(Ax) = (yA)x số ngun (⇐) Chứng minh điều kiện đủ địi hỏi đơi chút khéo léo Ta biết tồn ma trận đơn môđula biến đổi A dạng chuẩn Hecmit (Hệ 1.4) Hơn nữa, biến đổi bảo toàn quan hệ tương đương định lý Do thay cho hệ Ax = b, ta chứng minh điều kiện đủ hệ [BO]x = b, tức giả thiết yb số nguyên véctơ hàng hữu tỉ y mà y[BO] véctơ nguyên hệ [BO]x = b có nghiệm ngun Thật vậy, rõ ràng −1 x = B0 b nghiệm hệ [BO]x = b Điều lo ngại mà ta gặp véctơ khơng ngun, B −1 có phần tử phân số (hữu tỉ) Tuy nhiên, cách xét tích B −1 [BO] theo hàng, ta thấy véctơ hàng thứ iBi−1 hữu tỉ tích Bi−1 [BO] véctơ nguyên B −1 [BO] = [IO] 34 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Vì theo giả thiết, Bi−1 b số nguyên, tức B −1 b véctơ nguyên Vậy −1 x = B0 b đích thực nghiệm ngun hệ phương trình [BO]x = b Cho A ma trận hữu tỉ Ký hiệu L dàn sinh véctơ cột A Định lý 3.1 cho điều kiện cần đủ để véctơ hữu tỉ b ∈ L Cụ thể từ chứng minh Định lý 3.1 cho thấy A có hạng số hàng dạng chuẩn Hecmit A [BO] (B có dạng tam giác dưới) b ∈ L B −1 b véctơ nguyên Một điều kiện cần đủ khác sau Định lý 3.2 ([4] Hệ 4.1c, tr 46) Cho A ma trận nguyên cấp m × n rank (A) = m Khi đó, ba điều sau tương đương: (i) Các định thức cấp m A có ước chung lớn 1; (ii) Hệ Ax = b có nghiệm nguyên x véctơ nguyên b; (iii) Với véctơ y, y T A véctơ nguyên y nguyên Chứng minh Do (i), (ii) (iii) bất biến phép toán cột sơ cấp A nên theo Định lý 1.1 (Chương 1), ta giả thiết A có dạng chuẩn Hecmit [BO] với B có dạng tam giác Khi thấy (i), (ii) (iii) tương đương với B = I Từ Định lý 1.1 (Chương 1) dễ dàng suy hệ hữu tỉ Ax = b có nghiệm ngun tồn véctơ nguyên x1 , , xt cho {x|Ax = b, x ∈ Z} = {x0 + λ1 x1 + + λt xt |λ1 , , λt ∈ Z}, x1 , , xt độc lập tuyến tính t = (số cột A) −rank(A) Sự tồn hệ nghiệm Smith phát biểu năm 1861 35 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 3.3 Thuật tốn Hecmit Mục trình bày thuật tốn Hecmit tìm dạng tổng quát cho nghiệm nguyên hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b, A ma trận nguyên cấp m × n, rank(A) = m b véctơ nguyên gồm m thành phần Như biết (Hệ 1.4) với A, b trên, tồn ma trận đơn môđula U cho H = AU dạng chuẩn Hecmit A, tức H = [BO] với B cấp m × m khơng âm, có dạng tam giác dưới, khơng suy biến hàng B có phần tử lớn nhất, nằm đường chéo B Theo định nghĩa ma trận đơn mơđula, U có nghịch đảo U −1 Do hệ Ax = b viết lại dạng tương đương AU U −1 x = b Đặt H = AU, y = U −1 x ∈ Rn hay x = U y, ta thấy hệ Ax = b trở thành hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số có dạng tam giác Hy = b x = U y Từ véctơ y ngun nghiệm x = U y nguyên Do U ma trận đơn môđula (tức U nguyên detU = ±1) nên theo Định lý 1.3, U −1 nguyên detU −1 = ±1 Vì thế, mối quan hệ y = U −1 x x = U y hai véctơ nguyên x y quan hệ hai chiều Giải hệ tam giác Hy = b, (3.2) ta nhận nghiệm yi = yi0 , i = 1, , m Nếu yi0 nguyên, ta nhận nghiệm nguyên hệ (3.1) ban đầu Nếu trái lại (tồn i với yi0 khơng ngun) hệ (3.1) khơng có nghiệm nguyên Như vậy, tồn nghiệm nguyên hệ (3.1) qui xét tồn nghiệm nguyên hệ (3.2) Ký hiệu U = (ukj )n×n ý x = U y ta nhận dạng tổng quát cho nghiệm nguyên hệ (3.1) (phụ thuộc n − m tham số nguyên yj ) : m n ukj yj0 xk = j=0 + ukj yj , k = 1, , n; j=m+1 36 (3.3) Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính yj (m + ≤ j ≤ n) tham số nguyên tùy ý (giá trị biến tự do) hay dạng véctơ x = U y với y = (y10 , , ym , ym+1 , , yn )T , yj ∈ Z, j = m + 1, , n Thuật tốn Hecmit(tóm tắt) giải hệ Ax = b, gồm bước sau: • Biến đổi A dạng chuẩn Hecmit H = [BO] • Tìm ma trận đơn môđula U cho H = AU • Giải phương trình Hy = b tìm nghiệm nguyên y = (y10 , , ym ) • Tính nghiệm tổng quát Ax = b theo công thức (3.3) Ví dụ 3.1 Giải hệ phương trình Đi-ơ-phăng Ax = b với x1 A = −5 , x = x2 b = −2 x3 Dạng chuẩn Hecmit A ma trận đơn mơđula tương ứng (xem Ví dụ 1.1 1.5): −1 29 −14 32 −8 −9 Giải hệ tam giác Hy = b ta nhận nghiệm nguyên 0 H = AU = , U = y1 = y10 = 1, y2 = y20 = −2 Nghiệm tổng quát hệ Ax = b cho tính theo công thức (3.3): x1 −1 + 2y3 x = x2 = 29 −14 32 × −2 = 57 + 32y3 , y3 ∈ Z x3 −16 − 9y3 −8 −9 y3 Kiểm tra lại cho thấy nghiệm thỏa mãn hệ phương trình ban đầu Ví dụ 3.2 Giải hệ phương trình Đi-ơ-phăng Ax = b với x1 A = −11 , x = x2 b = x3 37 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Đưa A dạng chuẩn Hecmit tính ma trận đơn môđula U tương ứng: −5 −2 10 0 H = AU = 13 với U = −1 −1 −7 Giải hệ tam giác Hy = b ta nhận nghiệm nguyên y1 = y10 = 1, y2 = y20 = Nghiệm tổng quát hệ Ax = b cho tính theo cơng thức (3.3): x1 −5 −2 10 −5 + 10y3 x −1 −1 −1 + y3 , y3 ∈ Z x= = × = x3 −7 y3 − 7y3 Vậy nghiệm nguyên cần tìm hệ x1 = −5 + 10k, x2 = −1 + k, x3 = − 7k với k ∈ Z Kiểm tra lại cho thấy nghiệm thỏa mãn hệ phương trình cần giải 3.4 Nghiệm nguyên dương hệ phương trình Đi-ơ-phăng Trong nhiều tốn thực tế người ta cần tìm nghiệm ngun dương (chứ khơng đơn nghiệm ngun) hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Ax = b, A ∈ Rm×n ma trận ngun rank(A) = m, b ∈ Rm véctơ nguyên Trong tốn thế, dùng thuật tốn Hecmit để tìm nghiệm ngun dương hệ phương trình cần giải Sau số ví dụ áp dụng thuật tốn Hecmit Ví dụ 3.3 (Bài tốn cổ "Trăm trâu, trăm bó cỏ") Tổng đàn trâu có 100 con, gồm ba loại: trâu đứng, trâu nằm trâu già Đàn trâu ăn hết 100 bó cỏ Cho biết: trâu đứng ăn 5, trâu nằm ăn 3, lụ khụ trâu già bó Hỏi loại có trâu? Giải Gọi số trâu đứng x1 , số trâu nằm x2 số trâu già x3 38 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính Theo đầu ta có hệ phương trình ẩn số: x1 + x2 + x3 = 100 x3 = 100 5x1 + 3x2 + Vì số trâu phải số nguyên dương nên ta cần tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình Ta đưa hệ dạng có hệ số nguyên, cách nhân hai vế phương trình sau với ta nhận hệ tương đương: x1 + x2 + x3 = 100 15x1 + 9x2 + x3 = 300 Trước hết, ta áp dụng thuật tốn Hecmit tìm nghiệm ngun hệ Bỏ qua kỹ thuật chi tiết, ta đưa kết tính tốn dạng chuẩn Hecmit H A ma trận đơn môđula U tương ứng sau: −1 1 100 0 A = 15 , b = 300 , H = AU = , U = −7 −1 Giải hệ tam giác Hy = b ta nhận nghiệm nguyên y1 = y10 = 100, y2 = y20 = 100 Nghiệm tổng quát hệ Ax = b cho tính theo cơng thức (3.3): x1 −1 100 −100 + 4y3 200 − 7y3 , y3 ∈ Z x = x2 = −7 × 100 = x3 −1 y3 3y3 Vậy nghiệm nguyên cần tìm hệ x1 = −100 + 4k, x2 = 200 − 7k, x3 = 3k với k ∈ Z Muốn có nghiệm ngun dương, ta cần tìm k ∈ Z thỏa mãn x1 = −100 + 4k > ⇔ k > 25, 200 x2 = 200 − 7k > ⇔ k < ⇒ k ≤ 28, x3 = 3k > ⇔ k > Có giá trị k thỏa mãn điều kiện này: k = 26, k = 27 k = 28 • Với k = 26 ⇒ x1 = trâu đứng, x2 = 18 trâu nằm x3 = 78 trâu già 39 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính • Với k = 27 ⇒ x1 = trâu đứng, x2 = 11 trâu nằm x3 = 81 trâu già • Với k = 28 ⇒ x1 = 12 trâu đứng, x2 = trâu nằm x3 = 84 trâu già Kiểm tra lại cho thấy nghiệm thỏa mãn điều kiện tốn Ví dụ 3.4 (Bài tốn dân gian "Trăm bánh, trăm người ăn") Trong lễ hội, có 100 bánh dành cho 100 người ăn Đàn ông ăn 3, đàn bà ăn 2, lai dai hai trẻ ăn Hỏi có đàn ơng, đàn bà trẻ tham dự? Giải Gọi x1 số đàn ông, x2 số đàn bà x3 số trẻ Theo đầu ta có hệ phương trình ẩn số: x1 + x2 + x3 = 100 x3 3x1 + 2x2 + = 100 Giải tương tự ví dụ trước Kết ta nhận −1 1 100 0 −2 −5 A = 1, , b = 200 , H = AU = , U = −1 0 Nghiệm nguyên toán: y1 = 100, y2 = 200 x1 = −100 + 3k, x2 = 200 − 5k, x3 = 2k với k ∈ Z Có giá trị nguyên k cho nghiệm nguyên dương 34 ≤ k ≤ 39 Các nghiệm nguyên dương toán ghi bảng sau k x1 : 34 35 36 37 37 39 Đàn ông x2 : 11 14 17 Đàn bà x3 : 30 25 20 15 10 Trẻ 68 70 72 74 76 78 Kiểm tra lại cho thấy sáu nghiệm thỏa mãn điều kiện toán 40 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính 3.5 Quy hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính có quan hệ mật thiết với tốn qui hoạch tuyến tính ngun: Trong số véctơ nguyên x ∈ Rn nghiệm Ax = b, x ≥ tìm véctơ x∗ đạt cực tiểu hàm tuyến tính cT x Cụ thể cT x∗ = min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn , x ≥ 0}, (3.4) A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn nguyên cho trước Trường hợp riêng khơng địi hỏi x ≥ 0, (3.4) gọi toán qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng (Diophantine linear programming) Bằng cách đưa ma trận A dạng chuẩn Hecmit H = AU với U ma trận đơn mơđula thích hợp, tốn qui hoạch tuyến tính nguyên (3.4) qui tốn qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng (n − m) biến nguyên y¯ = (ym+1 , , yn )T với m ràng buộc bất đẳng thức Cụ thể toán min{¯ cT y¯|U¯ y¯ ≥ ¯b, y¯ ∈ Zn−m }, (3.5) ¯ = (ukj )k=1, ,m;j=m+1, ,n cấp m × (n − m) U ¯b = (¯b1 , , ¯bm ) với ¯bk = − m ukj y , k = 1, , m j j=1 n i=1 ci uij , j = c¯ = (¯ cm+1 , , c¯n ) với c¯j = m + 1, , n ¯ y¯ ≥ ¯b đảm bảo cho giá trị biến Trong toán (3.5) điều kiện U toán ban đầu không âm ∗ Giả sử véctơ y¯∗ = (ym+1 , , yn∗ ) nghiệm tối ưu toán (3.5) ∗ Khi đó, véctơ x∗ = U y ∗ với y ∗ = (y10 , , ym , ym+1 , , yn∗ ) nghiệm tối ưu tốn qui hoạch tuyến tính ngun (3.4) Từ lập luận suy Định lý 3.3 ([3], Định lý 2, tr 19) Bài tốn qui hoạch tuyến tính nguyên min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn , x ≥ 0} 41 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính có miền ràng buộc rỗng, tương đương với tốn qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng có dạng (3.5) Hệ 3.1 ([3], tr 19) Bài toán qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng min{cT x|Ax = b, x ∈ Zn } có miền ràng buộc rỗng, tương đương với toán min{¯ cT y¯|¯ y ∈ Zn−m } Ví dụ 3.5 ([3], tr 19) Xét tốn qui hoạch tuyến tính nguyên cT x = −x1 − 2x2 + 3x3 → min, với điều kiện (Ax = b, x ∈ Z, x ≥ 0):  4x1 − 4x2 + 3x3 = 5x1 − 7x2 + 6x3 =  xj ≥ 0, xj ∈ Z, j = 1, 2, (3.6) Dữ kiện toán −4 3 A = −7 , b = c = −1 −2 Dạng chuẩn Hecmit H A 0 H = U = ma trận đơn môđula U −3 4 −9 , (H = AU ) −8 Hệ ràng buộc (3.6) toán chuyển dạng (theo biến y ): y1 0 × yy2 3 = , với nghiệm nguyên y1 = y10 = y2 = y20 = Xác định dạng tổng quát x = U y với y = (y10 , y20 , y3 )T , y3 ∈ Z, cho nghiệm nguyên hệ (3.6): x1 x2 x3 = −3 4 −9 × 4 −8 y3 42 = 10 − 3y3 28 − 9y3 , 25 − 8y3 Chương Hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính hay x1 = 10 − 3y3 , x2 = 28 − 9y3 , x3 = 25 − 8y3 với y3 tham số nguyên tùy ý Để đảm bảo cho x1 , x2 , x3 ≥ cần phải có 10 − 3y3 ≥ 0, 28 − 9y3 ≥ 0, 25 − 8y3 ≥ 0, nghĩa y3 ≤ Do cT x = −(10 − 3y3 ) − 2(28 − 9y3 ) + 3(25 − 8y3 ) = − 3y3 nên toán qui hoạch tuyến tính ngun Đi-ơ-phăng (3.5) cho ví dụ có dạng: min{9 − 3y3 |y3 ≤ 3, y3 ∈ Z} Nghiệm tối ưu toán y3∗ = Do đó, nghiệm tối ưu tốn cần giải x∗1 = x∗2 = x∗3 = 43 Kết luận Phương trình Đi-ơ-phăng phương trình đại số địi hỏi tìm nghiệm ngun Có nhiều dạng phương trình Đi-ơ-phăng, đơn giản giải trọn vẹn hệ phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính, tất hệ số biến số nguyên (hay nói chung hữu tỉ) Luận văn trình bày nội dung sau: Kiến thức sở dạng chuẩn Hecmit ma trận Các phép toán cột sơ cấp đưa ma trận hữu tỉ dạng chuẩn Hecmit Ma trận đơn môđula liên quan tới dạng chuẩn Hecmit cách tìm ma trận Thuật tốn Ơ-clít Ơ-clít mở rộng tìm ước chung lớn số nguyên dương tìm nghiệm ngun phương trình Đi-ơ-phăng tuyến tính nhiều biến số Điều kiện cần đủ để hệ phương trình Đi-ơ-phăng có nghiệm ngun Thuật tốn Hecmit tìm tất nghiệm nguyên nguyên dương hệ Đi-ơ-phăng tuyến tính Qui hoạch tuyến tính Đi-ơ-phăng Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu phương trình Đi-ơ-phăng Tác giả hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu sâu loại phương trình độc đáo lý thú này, đặc biệt phương trình bậc cao phương pháp giải khác 44 Tài liệu tham khảo [1] T Andreescu et al., An Introduction to Diophantine Equations: A Problem-Based Approach, DOI 10.1007/978 − − 8176 − 4549 − − 2, Springer Science-Business Media, LLC 2010 [2] T David Introduction to Diophantine Equations September 7, 2006, http://www.geometer.org/mathcircles [3] M M Kovalev Discrete Optimization - Integer Programming, 2nd edition, Moscow, 2003 (in Russian) [4] A Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming John WileySon, New York, 1986 [5] Nguồn Internet 45 ... 2.5 Phương trình Đi- ơ -phăng phương trình đa thức với hệ số nguyên nghiệm phương trình số nguyên số tự nhiên Phương trình Đi- ơ -phăng phương trình Đi- ơ -phăng tuyến tính Ví dụ phương trình ax +... 23 2.4 Một số ứng dụng phương trình Đi- ơ -phăng 29 Hệ phương trình Đi- ơ -phăng tuyến tính 32 3.1 Hệ phương trình Đi- ơ -phăng tuyến tính 32 3.2 Đi? ??u kiện tồn nghiệm nguyên... Hecmit tìm tất nghiệm ngun hệ phương trình Đi- ơ -phăng tuyến tính Cuối chương đề cập tới nghiệm ngun dương hệ phương trình Đi- ơ -phăng tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Đi- ơ -phăng Các thuật tốn tìm