TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI ITS NGUYỄN TIẾN QUANG - TS NGUYEN DUY THUẬN Cơ SỞ LÝ THUYẾT MÔĐUN VÀ VÀNH NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2001 „ -82/400-01 GÕ-OI Mã số: DTT03B[ L Ờ I NÔI Đ Ầ U Trong năm gần nhu cầu học h ỏ i sinh viên Khoa Toán, thầy giáo dạy Toán nhiều người khác quan tâm đến Toán học, ngày gia tăng, nhằm nâng cao hiểu biết Trong đ ó , sách tài liệu số ngành Toán học chưa biên soạn nưừc, mà nguồn tài liệu nhập từ nưừc vào l i hoi trưừc Sinh viên k h ô n g có tài liệu tự đọc mà học theo giảng thầy lừp Đ i ề u gây nhiều khó khăn cho người học, đặc biệt đ ố i vừi sinh viên đ i học học viên hệ sau đại học N ó hạn c h ế nhiều khả tự học sáng tạo sinh viên Vì lẽ đó, mạnh dạn biên soạn sách nhàm đáp ứng phần nguyện vọng học tập nhiều bạn đọc Cuốn sách biên soạn vừi mục đích làm giáo trình thuộc chuyên ngành Đ i số bậc Đ i học bậc Cao học N ộ i dung vấn đề lí thuyết vành m ô đ u n , lí thuyết phong phú phát triển mạnh m ẽ N ó bao gồm bảy chương Chương ì trình bày khái niệm m ô đ u n , m ô đ u n con, mỏđun thương, đồng cấu, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, m ô đ u n tự do, tích tenxơ Chương l i dành cho môđun cốt yếu, m ô đ u n đ ố i cốt y ế u , môđun xạ ảnh môđun nội xạ, bao nội xạ, phủ xạ ảnh Đ ó khái niệm quan trọnu lí thuyết vành m ô đ u n Chúng góp phần thúc đẩy phát triển mạnh m ẽ lí thuyết T chương IU đến chương V I trình bày vấn đê lừp vành môđun quan trọng C h n g I U d n h cho vành m ô đ u n Noether, v n h m ô đ u n Artin Chương I V trình bày khái niệm Jacobson đế, hai công cụ có nhiều hiệu lực việc nghiên cứu vành môđun Chương V dành cho vành nửa đơn, lớp vành có cấu trúc đơn giản, gần với không gian véctơ đóng vai trò quan trọng phân tích nhiều lớp vành khác Định lí trù mật định lí cấu trúc vành đơn nửa đơn bước đầu giúp bạn hiểu sâu chút lí thuyết vành C h n g V I trình bày vành địa p h n g v n h nửa địa phương Lớp vành có vai trò quan trọng không nhờng thân lí thuyết vành mà có ứng dụng số ngành toán học khác C h n g V U trình bày sơ lược vê số vành thường gặp v n h quy, vành nguyên thủy, vành nửa nguyên thủy, vành nguyên tố, vành nửa nguyên tố C h ú n g coi trọng việc trình bày đơn giản, dễ hiểu Sau mục chương có số lượng tập đủ để bạn đọc củng cố nhờng điều thu lượm Các tác g i ả chân thành cảm em Giáo sư Đ o n Quỳnh, Giáo sư tiến sĩ Hà Huy Khoái, Tiến sĩ Bùi Huy Hiền đọc kỹ thảo, g ó p nhiều ý kiến quí báu để hoàn thành sách C h ú n g hy vọng ràng sách giúp ích cho bạn học viên Cao học, sinh viên ngành Toán, thầy giáo dạy Toán trường Phổ thông nhiều bạn đọc khác Tuy nhiên, dù cố gắng đến không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận g ó p ý bạn đọc, c h ú n g xin chân thành cảm ơn CÁC TÁC GIẢ CHƯƠNG I MÔĐUN §0 NHẮC LẠI VỀ VÀNH Vành R tập hợp với hai phép toán, đ ó R nhóm giao hoán với phép toán cộng nửa n h ó m v i phép toán nhàn; phép nhân phân phối đ ố i với p h é p cộng x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz với X, y, z E R Phần tử trung hòa phép cộng kí hiệu (thường gọi phan tử không) Phần tử đơn vị có phép nhân kí hiệu Ì Nếu vành R có nhiều phần tử có đem vị Ì * Vành gọi giao hoán phép nhân có tính chất giao hoán Vành vành R tập R đ n g thời nửa nhóm phép nhân nhóm đ ố i v i phép cộng Idêan trái ịiđêan phái) vành R vành A th a m ã n điều kiện e A (ar e A ) , a e A , r G R Vành đồng thời iđêan trái phải g ọ i iđêan hai phía (đơn giản iđêaiì) Ánh xạ f : R —> R' vành gọi đòng cấu vành nêu f(x + y) = f(x) + f(y) f ( x y ) = f(x)f(y) N ế u f : R —» R' đồng cấu vành, ta kí hiệu Kerf = Ịx e RỊ f(x) = 0} gọi hạt nhân đồng cấu vành f Hạt nhân đồng cấu vành iđêan R Ngược l i , m ỗ i iđêan vành R xem hạt nhân đồng cấu vành f : R - » R' n o Tập ì vành R iđêan thỏa m ã n hai điều kiện a- b e ì với m ọ i a, b R' RIKerf giao hoán Hơn f đơn cấu Chú ý Trong cu n sách vành R luôn giả thiết có đơn vị 1^0 §1 MÔĐUN - MÔĐUN CON - MÔĐUN THƯƠNG 1.1 Định nghĩa Giả sử R vành M ộ t R-môđun ( Ì ) n h ó m cộng aben M với (2) ánh xạ M phải M R —» M X (m, Ì') h-> mr, g ọ i phép nhân với vô hướng, thỏa mãn hệ thức (mr)r' = m(rr') (m + m')r = mr + mr' m(r + r') = mr + mr' m.l = m với m ọ i m, m' e M m ọ i r, r' e R N ế u O M , OR tương ứng phần tử trung hòa M R ta có thê dễ dàng suy từ định nghĩa r = ; mO = M M R OM - ( m r ) = (-m)r = m ( - r ) , với m ọ i m G M m ọ i r e R T sau thay cho O M OR ta viết đơn giản mà không sợ s l ầ m lẫn Tương t , R-môâun trái nhóm aben M với phép nhân với vô hướng rm (r e R, m e M ) thỏa mãn r'(rm) = (r'r)m r(m + in') = rm + i m ' (r + r')m = rm + r'm l.m = m với m ọ i m, m' e M r, r' e R Rõ ràng, vành R giao hoán khái n i ệ m m ô đ u n phải m ô đ u n trái trùng gọi đơn giản R - m ô đ u n Đ ể thuận tiện ta nói m ô đ u n thay cho m ô đ u n phải V ê kí hiệu, M R - m ô đ u n phải (trái) ta kí hiệu M R ( R M ) để rõ vành sở R cần thiết 1.2 Ví dụ Ì Phép nhân bên phải vành R xác định p h é p nhân với vô hướng R lên nhóm aben R, thỏa m ã n tiên đê môđun Bởi R R - m ô đ u n phải ( H i ể n nhiên R R - m ô đ u n trái với phép nhân bên trái R) T n g tự n h trên, m ấ i i đ ê a n p h ả i R m ộ t R- m ô đ u n phải; m ấ i iđêan trái R - m ố đ u n trái G i ả sử R = z vành số nguyên M ấ i n h ó m aben A có cấu trúc Z - m ô đ u n G i ả sử R = K trường M ấ i k h ô n g gian véctơ K K - m ô đ u n Có nói khái niệm môãun mở rộng khái niệm nhóm aben khái niệm không gian véctơ 1.3 Nhận xét Ta nhắc lại tự đồng cấu n h ó m aben A lập thành vành End(A) Trong trường hợp A m ộ t R - m ô đ u n trái, p h é p nhân v i vô hướng hoàn toàn xác định đồng cấu vành: A (r, a) ^ ( 2Z -L+ z (Z/2Z) —-> f, g đồng cấu tắc Khi z ~ 2Z © (Z/2Z) f có nghịch đảo bên trái Nhưng đẳng cấu không thê xây m ọ i số nguyên X í đề u cho ta 2x * Phạm trù đôi ngẫu, phạm trù con, phạm trù tích 1.3 Định nghĩa Đối với phạm trù C có phạm trù đối ngẫu, ký hiệu c° xác định sau: (i) Vật phạm trù c° vật C (ii) H o m ( X , Y) = Homc(Y,X) c0 (iii) Cái hợp thành Pa c° hiểu hợp thành p C Ro ràng (C°)° = C 1.4 Định nghĩa Một phạm trù D phạm trù C điề u kiện sau thỏa mãn: (i) ObD e ObC, (i) Hom (A, B) c Homc(A, B), fì (iii) Hợp thành mũi tên D hợp thành C mũi tên đồng D mũi tên đồng C Phạm trù D phạm trù C gọi phạm trù đày nếu: Homo(A, B) = Homc(A, B) với cặp A, B D 258 Ví dụ, Phạm trù Ab nhóm aben phạm trù đầy phạm trù Gr nhóm 1.5 Định nghĩa Tích hai phạm trù C D phạm trù, ký hiệu c X D, xác định công thức sau: Ob(C X D) = Ob(C) X Ob(D) Hom((A, B), (X, Y) = Hom(A, X) X Hom(B, Y) ( f , g') o (f, g) = ( f o f, g' o g) 259 §2 HÀM TỬ Định nghĩa hàm tử 2.1 Định nghĩa Giả sử C D hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến F : c —> D hàm cho ứng với vật X e C vật FX e D với mẻHnũi tên a C mũi tên F(a) D thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nếu a : X -> Y F(a) : FX -> FY, (ii) F(idx) = idpx, (iii) F(a.o(3) = F(a)oF(P) a«p xác định Nếu F thỏa mãn điều kiện: (i') a : X - > Y => F(a) : FY - > FX, Ôi') F(idx) = id,x, (iii*) F((Xop) = F(p)„F(a) F gọi hờm tử phản biến Như vậy, F hàm tử phản biến từ C đến D F hiệp biến c° đến D Từ sau cho hàm tử không nói thêm ta hiểu hàm tử cho hiệp biến Ví dụ hàm tử / Giả sử C phạm trù tùy ý Sets phạm trù tập hợp Chúng ta xác định hàm tử hiệp biến F từ c° X C vào Sets sau: F(A, B) = Homc(A, B) F(u, v)(a) 260 = v„a.oU m ọ i (u, v) : ( A , B) —> ( A i , B i ) a e Homc(A, B) G i ả sử X vật cố định phạm trù C C h ú n g ta xác định hàm tử phản biến hx : C —> Sets sau: hx(Y) = Homc(X, Y ) h (u) : x V h-> V li , u : Y —> Y ' h m tử hiệp biến hx : C —> Sets sau: hx_(Y) = Homc(Y, X ) h (u) : v h ) U o v x Hai h m tử hx, hx gọi h m tử biếu diễn Trong phạm trù ModR (R vành giao hoán có đơn vị Ì * 0) ta lấy m ô đ u n M T h ế ánh xạ: X H M ®R X f h-> i d ® f M cho h m tử từ M o d R đến ModR 2.2 Định nghĩa Ta gọi song hàm tử h m tử F : c X D —> E Trong trường hợp F h m tử từ c° X D đến E ta nói F h m tử từ c X D đến E, phản biến theo biến thứ hiệp b i ế n theo b i ế n t h ứ hai Ta định nghĩa tương tự cho trường h p F h m tử từ c X D° đến E Do m ỗ i h m tử F : C —> D ánh xạ từ tập hợp vật C đ ế n tập hợp vật D ánh xạ từ tập mũi tên C đ ế n tập m ũ i tên D nên ta định nghĩa hợp thành hai hàm tử hợp thành hai ánh xạ ta nói tới phạm trù ổủa phạm trù, ký hiệu Cat M ũ i tên h m tử 2.3 Định nghĩa G i ả sử F G hai h m tử hiệp biến từ phạm trù C vào phạm trù D Ta nói cho m ũ i tên hàm tử f từ 261 F đến G (ký hiệu f : F —> G) đ ố i với m ỗ i vật A € C cho mũi tên: f ( A ) : FA GA cho biểu đ sau giao hoán: FA - Í M U GA F(u) G(u) FB -'JẽU (*) GB với m ọ i u : A —> B N ế u f ( A ) idô mũi tên với A £ C f gọi đấng cấu hàm tử N ế u F G hàm tử phản biến định nghĩa mũi tên h m tử, biểu đồ (*) thay t h ế biêu đồ giao hoán sau: FA - ^ U GA f G(u) F(u) FB - *U f GB với m ọ i u : A —» B M ũ i tên hàm tử gọi phép biến đổi tự nhiên hàm tử Ví dụ G i ả sử F : C —> D hàm tử V i m ỗ i A e C, mũi tên đồng i d A : FA —> FA F cho ta' mũi tên hàm tử idp : F —> F mà ta gọi mũi tên hàm tử đồng hàm tử F 2.4 Định nghĩa G i ả sử F, H , G : c - > D hàm tử, ( p : F - * G v v | / : G — > H l mũi tên hàm tử Các mũi tên: 262 V|/(X) o (p(X) : FX -> HX , X e ObC cho ta m ũ i tên h m tử từ F đến H , ký hiệu Vị/ o ọ , g ọ i tích m ũ i tên hàm tử G đẳng cấu hàm tử hai hàm tử hiệp biến tồn mũi tên hàm tử xụ : G —> F cho \ị/(p = i d f , (pv|/ = 'lác- (Mệnh đề tương tự đ ú n g với h m tử phản biến) Chứng minh G i ả sử A e C Do cp(A) : FA —> G A idô mũi tên nên tồn V|/(A) : G A —> FA cho: G o F , ta xét idô m ũ i tên: PFX • FX - > F o G(FX) Do F trung thành nên P(FX) = F(a(X)), với a ( X ) : X - > GoF(X) Dễ thử lại a = ( a ( X ) ) đẳng cấu hàm tử • Đ ể cho gọn, từ sau đ ố i với mũi tên hàm tử a : F —> G ta ký hiệu a A thay cho a ( A ) 265 § TÍCH VÀ ĐÔI TÍCH TÍCH 3.1 Định nghĩa Giả sử A vật phạm trù C, ì lập chi số tùy ý G i ả thiết cho họ vật (A, I i e 1) phạm trù C họ mũi tên (Pi : A —> Ai) Ta i ràng vật A với (họ mũi tên (Pi I i € ì) tích cua họ vật (Aj I i e ì) thỏa mãn điều kiện sau đ ố i với vật B e C với họ m ũ i tên (Vị I i €L I), Vj : B —> A i , tồn mũi tên V : B —» A cho biểu đồ sau giao hoán: B — % A \ /Pi , i € ỉ A' Tích họ vật A ký hiệu bới A = Y\A, Ì Các mũi tên Pi gọi phép chiếu tắc M ộ t c c h đ ố i ngẫu, ta gọi đối tích họ vật (Ai I i e ì) vật A với họ mũi tên (jj I i e ì), jj : Aj —» A thỏa m ã n điều kiện sau: đ ố i với m ỗ i vật B C họ (Vị ị i e ì) mũi tên Vi : Ai —> B tồn mũi tên V : A —> B cho biểu đồ sau giao hoán: V i \ /"í, , i e ì Ai Đối tích họ vật A j ký hiệu A = ỊJ n Hom(X, Ai) Ì I (Pi(p)i H o m ( J j A i , X ) J Ị n Hom(Ai, X ) I I ẹ 1-» ( B Đ ố i tích hai tập hợp A , B hợp rời rạc A B với phép nhúng tắc j , j A B 267 Trong phạm trù nhóm Gr tích hai nhóm A, B tích trực tiếp A X B chúng, đối tích hai nhóm A, B tích tự hai nhóm Trong phạm trù R-môđun có tích đối tích, tích trực tiếp tổng trực tiếp họ R-môđun 268 THƯ MỤC F.w Anderson, K.R Fuler Rings and Categories of Modules Berlin - Heidelberg - New York (1974) I Bucur, A Deleanu Introduction to the theory of categories and functors London - New York Sydney (1968) c Faith Algebra: Rings, Modules and Categories I , I I Springer - Verlag (1973, 1976) L Fuchs Infinite Abelian Groups New York London (1970) F Kasch Moduln und Ringe Stuttgart (1977) J Lambek Lectures on Rings and Modules New York - London (1966) s Lang Algebra New York (1965) s MacLane Homology Springer - Verlag (1963) S.H Mohamed, B.J Midler Continuous and Discrete Modules Cambridge Univ Press (1990) 10 D.w Sharpe, p Vamos Injektive Modules London (1972) 11 B Stenstrom Ring of Quotients Berlin - Heidelberg - New York (1975) 269 MỤC L Ụ C Trang Lời nói đầu Chương ì Môđun §0 N h ắ c l i v ề v n h §1 M ô đ u n - m ô đ u n - m ô đ u n t h n g §2 Đồng câu m ô đ u n 16 §3 Tích trực t i ế p - Tổng trực t i ế p 26 §4 M ô đ u n t ự d o 36 §5 T í c h T e n x 44 C h n g l i M ô đ u n n ộ i x - M ô đ u n xạ ả n h §1 M ô đ u n cốt y ế u , đ ố i cốt y ế u 51 §2 P h ầ n bù 58 §3 M ô đ u n xạ ả n h 64 §4 M ô đ u n n ộ i xạ vo §5 Bao n ộ i xạ p h ủ xạ ả n h 80 §6 M ô đ u n sinh - M ô đ u n đ ố i sinh 88 Chương I U V n h A R T I N - Vành N O E T H E R §1 M ô đ u n A r t i n - M ô đ u n Noether §2 Ví d ụ 98 102 §3 M ộ t v i đặc t r n g k h c m ô đ u n Noether môđun A r t i n §4 V n h Noether 105 109 §5 Sự p h â n tích M ô đ u n n ộ i xạ t r ê n v n h Noether A r t i n §6 M ô đ u n có độ d i h ữ u h n 112 116 Chương IV C ă n đ ế §1 C ă n v đê m ô đ u n 270 122 §2 T í n h chất c ă n đ ế §3 C ă n m ô đ u n xạ ả n h , m ô đ u n h ữ u h n sinh, đ ế m ô đ u n hữu h n đ ố i sinh 131 137 §4 Đặc t r n g m ô đ u n h ữ u h n sinh, m ô đ u n đ ế h ữ u h n đ ố i sinh c ă n v đ ế §5 C ă n v n h §6 C ă n v n h v t ự động cấu m ô đ u n n ộ i xạ m ô đ u n xạ ả n h 139 144 151 Chương V M ô đ u n nửa đ n - V n h nửa đ n §1 Đ ị n h nghĩa v t í n h chất 158 §2 V n h nửa đơn 168 §3 V n h đơn v nửa đơn 176 §4 Đ ị n h lý t r ù m ậ t 181 Chương VI V n h địa phương, v n h nửa địa p h n g §1 Đ ị n h nghĩa t í n h chất v n h địa phương 191 §2 V n h t ự đồng cấu v n h địa p h n g 199 §3 Đ ị n h lý K r u l l - Remark - Schmidt 207 §4 V n h nửa địa p h n g 215 Chương VII Sơ lược sô v n h k h c §1 V n h c h í n h quy 223 §2 V n h n g u y ê n t h ủ y , v n h nửa n g u y ê n t h ủ y 237 §3 V n h n g u y ê n tố, v n h nửa n g u y ê n t ố 242 P h ụ lục P h m trù h m tử §1 P h m t r ù 254 §2 H m t 260 §3 Tích đ ố i tích 266 Thư mục 269 271 Chịu trách nhiệm xuất bản: G i m đốc N G Ô T R A N ÁI Tổng biên tập vũ D Ư Ơ N G T H Ụ Y Chịu trách nhiệm nội dung: H i ệ u trưởng T r n g Đ H S P H N ộ i Đ I N H Q U A N G BÁO Hội đong thấm định: GS Đ O À N QUỲNH GS T S K H HÀ HUY K H O Á I TS B Ù I HUY H I Ể N Biên tập: TRẦN PHƯƠNG DUNG Sửa in trình bày bìa: ĐINH QUANG HÙNG C SỞ LÝ T H U Y Ế T VÀNH VÀ M Ô Đ U N I n 2000 k h ổ 14,5 X 20,5 t i Xưởng i n Đ H S P H N ộ i Số giấy p h é p : 82/CXB-400 ký n g y 15/01/2001 I n xong nộp lưu chiểu q u ý I V n ă m 2001 cm cm [...]... ạ i 5 Giả sử M R là mô un khác không, N là mô un con thực sự của M và a £ M \ N Chứng minh rằng 14 Ì) M có mô un con K tối đại với tính chất N c K và a Ễ K 2) Nếu M = aR + N thì M có mô un con tối đại K với tính chất N c K v à a i K 6 Chứng minh rằng trong mô un Qz các số hữu tỉ không có mô un con tối đại 7 Cho A là iđêan của vành R Chứng tỏ ràng A là iđêan phái tối đại khi và chỉ khi nó là iđêan... M ĐUN 2.1 Định nghĩa Cho hai mô un MR, NR Một đồng cấu R-môdun hay một ánh xạ tuyến tính f : M —> N là một ánh xạ f thỏa mãn các điều kiện f(x + y) = f(x) + f(y) f(xr) = f(x)r đối với mọi X, y 6 M, r e R Nế u N = M thì f được gọi là một tự đòng cấu của M Một đồng cấu R -mô un còn được gọi đơn giản là một đòng cấu nế u không cần thiế t phải chí rõ vành cơ sở Dễ thấy f : M —> N là đồng cấu mô un khi và. .. đ ạ i D Ta chứng 12 tỏ D là mô un con t ố i đ ạ i trong M Thật vậy, nếu N là m ô đ u n con của M sao cho D c N c M , N ^ M thì N e r, và do tính tối đại của D trong r ta có N = D • 1.16 H ệ quả Mỗi mô un hữu hạn sinh M Ít {0} đêu chứa m đun con (ối đại Chứng minh Trong chứng minh trên ta đặt A = { 0 } • 1.17 Mệnh đề (Luật mô ula) Nếu B, c, D là những mô un của R -mô un M và c e B thì (D + C) n B =... u và m chự nế u ìĩiA = 0 2 Giả sử A là R - m ô đ u n phải và B là nhóm aben Chứng tỏ ràng tập các đồng cấu nhóm H o m ( A , B) có cấu trúc R - m ô đ u n phải z 3 Mô un M R gọi là đơn nế u M * 0 và chí có hai m ô đ u n con là 0 và M Chứng minh rằng M là đơn khi và chự khi mR = M với m ọ i 0 * m e M 4 Cho ì và M là hai iđêan thực sự của vành R Chứng minh rằng: 1) M là iđêan tối đ ạ i nế u R / M là vành. .. huống cụ thể 3.12 Định nghĩa Mô un con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có mô un con c của A sao cho A = B © c Mô un A * 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong A 29 3.13 Ví dụ 1) Giả sử V = V là không gian véctơ trên trường K K và {ai Ị i e 1} là một cơ sở của nó Khi đó hiển nhiên V = 0 3iK I 2) Trong Zz mọi mô un con đều có dạng mZ, m... A Ta nói u là cơ sơ của A nếu u là hệ sinh và độc lập tuyến tính trong A K h i đó A được gọi là R - m ô đ u n tự do v ớ i cơ sở u Ta cũng nói u là tập sinh tự do của A 4.3 Ví dụ Ì 0 là R - m ô đ u n tự do v ớ i cơ sở rỗng 2 Bản thân vành R là R - m ô đ u n tự do v ớ i cơ sở { Ì } 3 G i ả sử ì là tập hợp nào đó K h i đ ó R (,) (= ẹ Ri, Ri = R, i G ì) là R - m ô đ u n tự do với cơ sở u = {ei I i... mô un f : M —» N ta kí hiệu Imf = f(M), 16 Kerf = Ị x e M I f(x) = 0} = ĩ'(0) và gọi I m f là ảnh của f, còn Kerf là hạt nhân của f 2.2 Mệnh đề Cho đông cấu mô unỊ: M —» N và u,v tương ứng là mô un con của M , N Khi đó: ì) f(Ư) lã mô un con của N 2)f~'(V) = {xeM / f ( x ) e V} là mô un con của M Đặc biệt, ỉm/ và Kerf là những mô un con tương ứng của N, M Chứng minh ỉ ) G i ả sử X, y e u K h i đó f(x),... u là mô un con cểa A và cp : A —> B là đơn cấu thì u = (p~'((p(U)), nghĩa là m ỗ i mô un con cểa A biểu diễn được dưới dạng ọ ' ( V ) M ặ t khác, nếu V là mô un con cểa B và (Ọ : A —> B là toàn cấu thì V = cp(cp ' ( V ) ) , nghĩa là mô un con V cểa B được biểu diễn dưới dạng (p(U) Bây giờ chúng ta xem xét một sự kiện quan trọng là sự phân tích một đồng cấu thành tích 2.6 Định lí Mỗi dòng cấu R-môdun... một họ đòng cấn mô un Khi đó tương ứng 0 Bi f : © Ai - > ĩ I cho bởi f((aO) = (fi(aj)) là một đồng cấu, được kí hiệu bài ©fị vờ được gọi là tổní> trực tiếp của họ các đòníỊ cấu (f| I i € ì) 3.7 Định nghĩa Mô un A R được gọi là tổng trực tiếp troiiiỊ của một họ các mô un con (Aj I i e ì) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: \)A=ỵ A t i I 2) nX^' = 0 , Aị với mọi j G ì '*/' 3.8 B ổ đ ề Mô un là tổng trực... ra p h é p n h â n v i vô hư n g cảm sinh để MỈA trở thành một R - m ô đ u n 1.18 Mệnh đề và định nghĩa Cho A là môdun con của R -mô un M Khi đó tương ứng (M/A) x R - > MÍA 13 (m + A , r) M> mr + A lờ một ánh xạ Hơn nữa, nhóm thương MÍA là R -mô un với phép nhân với vô ìiướiiíỊ (m + A)r = mr + A vờ được gọi là mô un thươnạ Chứng mình Giả sử rri| + A = m 4- A T h ế thì 2 IĨ1| = m + a, a € A Từ đó m r = ... cứu vành mô un Chương V dành cho vành nửa đơn, lớp vành có cấu trúc đơn giản, gần với không gian véctơ đóng vai trò quan trọng phân tích nhiều lớp vành khác Định lí trù mật định lí cấu trúc vành. .. cấu vành, ta kí hiệu Kerf = Ịx e RỊ f(x) = 0} gọi hạt nhân đồng cấu vành f Hạt nhân đồng cấu vành iđêan R Ngược l i , m ỗ i iđêan vành R xem hạt nhân đồng cấu vành f : R - » R' n o Tập ì vành. .. bi) = Ao B CHƯƠNG li M ĐUN NỘI X Ạ - M ĐUN X Ạ ẢNH §1 M ĐUN CON C Ố T Y Ế U , ĐÔI C Ố T Y Ế U 1.1 Định nghĩa Mô un A mô un M gọi cốt yếu (hay lớn) M với mô un khác không B M ta có A n