Đang tải... (xem toàn văn)
ÔN TẬP CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ LỚP 8 Chuyên đề nêu các dạng bài tập cơ bản để ôn tập chương II đại số lớp 8; Đây là các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh giỏi; Các bài tập giúp học sinh khắc sâu các kiến thức trọng tâm của chương và rèn cho học sinh kỹ năng tính toán, rút gọn, biến đổi các biểu thức đại số.
ễN TP CHNG II PHN THC I S LP Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc) Khi học xong chơng II: Phân thức đại số (Toán lớp 8) Trong phần ôn tập chơng có hệ thống lại số dạng tập Trong viết muốn trao đổi với bạn số dạng tập nh I Dạng 1: Rút gọn phân thức: A/ Kiến thức bản: Muốn rút gọn phân thức ta có thể: - Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung - Chia tử mẫu cho nhân tử chung (nếu có) B/ Bài tập: x5 x + x3 x 3x + x x + 3x x x5 x + x3 x 3x + x ( x ) + x ( x ) ( x ) x = = Lời giải: Ta có : x x3 + 3x x x x ( x3 x + 3x ) Bài 1: Rút gọn phân thức sau: Bài 2: Cho x + y + z = xyz Rút gọn phân thức: 2010x y z A= ( x + y z ) ( y + z x2 ) ( z + x2 y ) Lời giải: Ta có x + y z = ( x + y ) xy z = ( x + y + z ) ( x + y z ) xy = xy (do x + y + z = ) Tơng tự: y + z x = yz; z + x y = zx Thay vào A ta có: A= 2010 x y z 2010 x y z 1005 y z = = (vì xyz ) ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x2 y ) xy ( yz ) ( zx ) II Dạng 2: Các phép tính phân thức: A/ Kiến thức bản: 1/ Quy đồng mẫu nhiều phân thức: - Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung - Tìm nhân tử phụ mẫu thức - Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tơng ứng * Chú ý: Để tìm mẫu thức chung thuận tiện ta có thể: - áp dụng quy tắc đổi dấu phân thức - Rút gọn phân thức trớc quy đồng 2/ Các phép tính phân thức: a; Muốn cộng hai phân thức mẫu, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu Muốn cộng hai phân thức khác mẫu ta quy đồng mẫu thức cộng phân thức mẫu vừa tìm đợc b; Phép cộng phân thức có tính chất giao hoán, kết hợp c; Hai phân thức đợc gọi đối tổng chúng A A A A = = B B B B A C A C d; Phép trừ: = + ữ B D B D e; Phép nhân: A C A.C = B D B.D f; Phép chia: A C A D C : = Với B D B C D g;Phép nhân phân thức đại số có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối phép cộng B/ Bài tập: Bài 3: Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 3x y ; 3x y y x x3 + x 3x3 + 3x x5 ; ; x3 x x + x + x x 3x y y 3x = Lời giải: a/ áp dụng quy tắc đổi dấu ta có: y 2x 2x y2 2 Phân tích mẫu thức thành nhân tử: 3x y = ( x y ) ; x y = ( x y ) ( x + y ) a/ b/ MTC = ( x y ) ( x + y ) ; NTP1 = ( x + y ) ; NTP2 = Ta có: 4.2 ( x + y ) 8( x + 2y) = = x y ( x y ) ( x + y ) ( x y ) ( x + y ) ( y 3x ) 3x y y 3x = = 2 y 2x 2( x 2y) ( x + 2y) 6( x 2y) ( x + 2y) x ( x + 1) x3 + x x = = ; b/ * Rút gọn phân thức ta có: x x x ( x + 1) ( x 1) x x ( x + 1) 3x3 + 3x x5 = = ; = x + x + x3 x ( x + 1) x ( x + 1) x x MTC = x ( x 1) ( x + 1) ; NTP1 = x ( x + 1) ; NTP2 = x ( x 1) ; NTP3 = ( x 1) ( x + 1) x ( x + 1) x3 + x x = = Ta có: x x x x ( x 1) ( x + 1) x ( x 1) ( x 1) ( x + 1) x3 + 3x x5 = = = 2= ; x + 2x + x x ( x + 1) x ( x 1) ( x + 1) x x x ( x 1) ( x + 1) 1 1 + + + Bài 4: Cho biểu thức: P = x x + x x + 12 x x + 20 x 11x + 30 Tìm giá trị x để P có giá trị 1 1 Lời giải: Ta có: P = ( x 3) ( x ) + ( x ) ( x 3) + ( x ) ( x ) + ( x ) ( x ) ĐKXĐ: x 2; x 3; x 4; x 5; x 1 1 1 1 = = P= + + + x x ( x 6) ( x 2) x x x x x x x x x=0 Để P = x x = ( x ) ( x ) = 12 x ( x ) = (Thỏa mãn ĐKKXĐ) ( )( ) x = 1 Vậy x = 0; x = P có giá trị III Dạng 3: Biến đổi biểu thức hữu tỷ: A/ Kiến thức bản: * Một phân thức đại số biểu thức biểu thị dãy phép toán: cộng, trừ, nhân, chia phân thức gọi biểu thức hữu tỉ *Khi giải toán liên quan đến giá trị phân thức trớc tiên phải tìm điều kiện biến để giá trị tơng ứng mẫu thức khác B/ Bài tập: 2 x+2 x + 3x x + A = + ì Bài 5: Cho biểu thức: ữ x +1 4x 3x 3x a; Rút gọn biểu thức A b; Tìm x để A có giá trị 670 c; Tìm x Z để Z A Lời giải: a; ĐKXĐ: x 0; x 1; x Ta có: A = ( x + ) ( x + 1) + x x ( x + 1) ì x + 3x x + 1 + x 3x + x x = = x ( x + 1) 4x 3x 3x b; Để A = 670 x = 670 x = 2010 x = 2011 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x = 2011 A có giá trị 670 c; Ta có x 6 = 2: = Z x Ư(6) = { 1; 2; 3; 6} Để Z A x A x Ta có bảng sau: x-1 x -6 -5 -3 -2 -2 -1 -1 (Loại) (Loại) 2 3 Z A x2 y y2 x2 Bài 6: Cho biểu thức: P = ( + x ) ( y 1) ( x + y ) ( + x ) ( x + y ) ( y 1) Vậy x { 5; 2; 2;3; 4;7} Tìm cặp số nguyên (x; y) để P có giá trị 12 Hớng dẫn: ĐKXĐ: x 1; y 1; x y MTC = ( x + y ) ( + x ) ( y 1) Quy đồng, thực phép trừ rút gọn ta đợc: P = xy + x y Ta cần tìm cặp số nguyên (x; y) để P = 12 xy + x y = 12 ( y + 1) ( x 1) = 11 Ta có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là: ( x; y ) = ( 12;0 ) ; ( 2;10 ) ; ( 10; ) ; ( 0; 12 ) IV Dạng 4: Các toán có nội dung tổng hợp: Bài 7: Tìm số hữu tỷ x để phân thức A = Hớng dẫn: ĐKXĐ: x R 10 có giá trị số nguyên tố x2 + 10 y 10 = y (Với y N ) Ta có x = (*) x < y 10 y số nguyên tố y x +1 nên y { 2;3;5;7} Thay giá trị y vào (*) ta đợc x { 2; 1;1; 2} Đặt Bài 8: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x 10 x + 65 x2 + 2 x +1 Hớng dẫn: ĐKXĐ: x R Ta có: A = 10 x + 70 x 10 x = 10 ( ) 10 x +7 x +7 Vậy Max A = 10 đạt đợc x = -1 Bài 9: Cho x; y; z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x yz + xy z + xyz + xy + xz + yz xyz x yz + yz xy z + xz 3xyz + xy = x + ữ+ y + ữ+ z + ữ + + Hớng dẫn: Ta có: A = x y z xyz xyz xyz áp dụng bất đẳng thức CôSi cho số dơng ngoặc ta đợc A Vậy Min A = đạt đợc x = y = z = Bài 10: Cho số khác không a; b; c Tính giá trị biểu thức: Q = x 2009 + y 2010 + z 2011 + 11 x2 + y2 + z x2 y z Biết x; y; z thỏa mãn điều kiện: 2 = + + 2011 a +b +c a b c Hớng dẫn: Từ giả thiết ta có: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + =0 2 2 ữ 2 ữ 2 ữ a +b +c c a +b +c a a +b +c b b2 + c2 a2 + c2 a + b2 2 x2 ì 2 + y ì + z ì = 0(*) a ( a + b2 + c2 ) b2 ( a + b2 + c ) c2 ( a + b2 + c ) Từ (*) suy x = y = z = Vậy ta có: Q = 11 2011 Bài 11: Cho số a; b; c thỏa mãn: a + b + c = ; a + b + c = 3 Tính giá trị biểu thức: Q = ( xy + yz + zx ) ( a + b + c ) + 2010 x y z = = a b c x y z = = = k x = ka; y = kb; z = kc xy + yz + zx = k ( ab + bc + ac ) (*) a b c Mặt khác : a + b + c = ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) = (do a + b2 + c = ) nên suy ab + bc + ca = 0(**) Từ (*) (**) suy xy + yz + zx = Hớng dẫn: Đặt Vậy Q = ì( a + b + c ) + 2010 = 2010 Bài tập áp dụng: Bài 1: Rút gọn phân thức sau: a; 3 x3 + x x x + x + 17 x + 10 b; Bài 2: Thực phép tính: x + x3 + x x + x3 + x x + x yz y zx z xy A= + + ( x + y) ( x + z ) ( y + z ) ( y + x) ( z + x) ( z + y ) x + 3x 6x P = + Bài 3: Cho biểu thức: ữ: ữ 2 x + x + x + 27 x + x x x + x 27 a; Rút gọn P b; Tìm giá trị x để P = c; Tìm x Z để P có giá trị số nguyên x2 x + 3x + b; Đáp số: Bài 1: a; (Thêm bớt 2x vào mẫu thức) x+5 x + 3x Bài 2: A = Bài 3: a; P = x+3 x b; x = c; x { 0;1; 2; 4;5;6;9} ... (Thỏa mãn ĐKKXĐ) ( )( ) x = 1 Vậy x = 0; x = P có giá trị III Dạng 3: Biến đổi biểu thức hữu tỷ: A/ Kiến thức bản: * Một phân thức đại số biểu thức biểu thị dãy phép toán: cộng, trừ, nhân, chia... Phép chia: A C A D C : = Với B D B C D g;Phép nhân phân thức đại số có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối phép cộng B/ Bài tập: Bài 3: Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 3x y ; 3x y y x... 10 có giá trị số nguyên tố x2 + 10 y 10 = y (Với y N ) Ta có x = (*) x < y 10 y số nguyên tố y x +1 nên y { 2;3;5;7} Thay giá trị y vào (*) ta đợc x { 2; 1;1; 2} Đặt Bài 8: Tìm giá trị